高等数学C3导数与微分课件

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1、2013高 等 数 学 2013 2013C1. 函数与向量函数与向量C2. 极限与连续极限与连续C4. 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用C5. 定积分与不定积分定积分与不定积分C3. 导数与微分导数与微分主要内容主要内容C8.微分方程微分方程C6. 二重积分与曲线积分二重积分与曲线积分C7. 无穷级数无穷级数C9.概率论基础概率论基础2013第三章导数与微分第三节第三节 高阶导数、高阶偏导数高阶导数、高阶偏导数第一节第一节 导数、偏导数及其运算导数、偏导数及其运算 第二节第二节 微分与全微分微分与全微分第四节第四节 参数方程与隐函数方程微分法参数方程与隐函数方程微分法习题课习题课20

2、13 3.1 导数、偏导数及其运算导数、偏导数及其运算 一、导数的定义一、导数的定义二、函数的求导运算法则二、函数的求导运算法则三、偏导数的概念与计算三、偏导数的概念与计算2013一、一、 导数的定义导数的定义引例引例1. 变速直线运动的速度变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为则 到 的平均速度为而在 时刻的瞬时速度为自由落体运动引例引例2. 曲线的切线斜率曲线的切线斜率曲线在 M 点处的切线割线 M N 的极限位置 M T(当 时)切线 MT 的斜率2013变化率问题引出导数的定义变化率问题引出导数的定义定义定义1 . 设函数在点存在,并称此极限为记作:即则称函数若的某邻域内有定义

3、, 在点处可导可导, 在点的导数导数. 2013运动质点的位置函数在 时刻的瞬时速度曲线在 M 点处的切线斜率说明说明: 在经济学中, 边际成本率,边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数.2013若上述极限不存在 ,在点 不可导. 若也称在若函数在开区间 I 内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:注意注意:就说函数就称函数在 I 内可导. 的导数为无穷大 .2013例例1. 用定义推导下列求导公式:(C 为常数)解解:即解解:说明：说明：对一般幂函数( 为常数) （以后将证明）2013例如，例如，现在先应用一般公式可以得到解解:特殊地,2013解解:令则即类似可证得解解

4、: 2013例例2. 证明函数在 x = 0 不可导. 证证:不存在 , 例例3. 设存在, 求极限解解: 原式20131. 导数的几何意义导数的几何意义曲线在点的切线斜率为切线方程切线方程:法线方程法线方程:思考思考: 曲线哪一点有垂直切线 ? 哪一点处的切线与直线平行 ? 写出其切线方程.提示提示:在原点 (0 , 0) 有垂直切线在点(1,1) , (1,1) 处,2013证证: 设在点 x 处可导,存在 , 因此必有其中故所以函数在点 x 连续 .注意注意: 函数在点 x 连续未必可导连续未必可导.反例反例:在 x = 0 处连续 , 但不可导.即2. 一元函数的可导性与连续性的关系一

5、元函数的可导性与连续性的关系定理定理1.2013在点的某个右右 邻域内3. 单侧导数单侧导数若极限则称此极限值为在 处的右右 导数导数,记作即(左)(左左)例如例如,在 x = 0 处有定义定义2 . 设函数有定义,存在,2013定理定理2. 函数在点且存在简写为在点处右右 导数存在定理定理3. 函数在点必 右右 连续.(左左)(左左)若函数与都存在 , 则称显然:在闭区间 a , b 上可导在开区间 内可导,在闭区间 上可导.可导的充分必要条件是且2013二、函数的求导运算法则二、函数的求导运算法则 1. 函数的四则运算求导法则函数的四则运算求导法则的和、 差、 积、 商 (除分母为 0的点

6、外) 都在点 x 可导, 且下面省略证明, 给出相应的推论和例题.2013和差法则可推广到任意有限项的情形.( C为常数 )积法则可有推论:( C为常数 )商法则可有推论:2013例例4. 求解下列导数问题:解解:解解:求2013(3). 求证证证: 类似可证:20132、反函数的求导法则、反函数的求导法则 y 的某邻域内单调可导, 证证: 在 x 处给增量由反函数的单调性知且由反函数的连续性知 因此2013例例5. 求反三角函数及指数函数的导数.解解: 1) 设则类似可求得利用, 则2013在点 x 可导,3、复合函数求导法则、复合函数求导法则在点可导复合函数且在点 x 可导,例如,关键:

7、搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.推广推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.2013例例6. 求下列导数:解解: (1)(2)(3). 设求解解:(4). 设解解:2013两边取对数利用复合函数求导法则,两边对 x 求导解解:即2013指数求导法指数求导法两边求对数对于幂指函数对数求导法对数求导法两边求导可以使用下列两种方法:即 其实对数求导法适合更一般的情形,如类似前例(5)复杂积商函数情形.2013初等函数的求导问题初等函数的求导问题 由常数和基本初等函数的导数公式 (P76),有限次四则运算的求导法则 与复合函数求导法则可得结论:且导数仍为初等函数初等函数在定义区间内可导,2013

8、三、三、 偏导数定义及其计算法偏导数定义及其计算法在点存在,的偏导数，记为的某邻域内则称此极限为函数极限设函数注意注意:2013同样可定义对 y 的偏导数若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x则该偏导数称为偏导函数, 也简称为偏导数偏导数 , 记为或 y 偏导数存在 ,2013例如例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 .偏导数定义为(请自己写出)2013二元函数偏导数的几何意义二元函数偏导数的几何意义:是曲线在点 M0 处的切线对 x 轴的斜率.在点

9、M0 处的切线斜率.是曲线对 y 轴的2013多元函数在某点各偏导数都存在,显然例如例如, ,注意：注意：但在该点不一定连续不一定连续.在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!2013例例7 . 求解法解法1:解法解法2:在点(1 , 2) 处的偏导数.2013例例8. 设证证:例例9. 求的偏导数 . 解解:求证2013偏导数记号是一个例例10. 已知理想气体的状态方程求证:证证:说明说明:(R 为常数) , 不能看作分子与分母的商 !此例表明,整体记号,2013 3.2 微分与全微分微分与全微分一、微分的概念与计算一、微分的概念与计算二、全微分的概念与计算二、全微分的概

10、念与计算2013一、微分的概念与计算一、微分的概念与计算: 引例引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则面积的增量为关于x 的线性主部高阶无穷小时为当 x 在取得增量时,变到边长由其定义定义1: 若函数在点 的增量可表示为(常数A 不依赖于x)的微分微分,则称函数而 称为记作即在点可微可微,2013定理定理1 函数在点 可微的充要条件充要条件是即习惯上证证: 必要性必要性已知在点 可微 ,则故在点可导,且充分性充分性:已知即在点 的可导,则自变量的微分自变量的微分,记作2013说明说明:时 ,所以时很小时, 有近似公式与是等

11、价无穷小,当故当微分的几何意义切线纵坐标的增量则有导数也叫作微商2013例如例如,由基本初等函数的求导公式可以推出对应的微分公式,又如又如,还可以得到下列的微分运算法则微分运算法则设 u(x) , v(x) 均可微 , 则(C 为常数)2013分别可微 ,的微分为微分形式不变微分形式不变5. 复合函数的微分则复合函数2013例例1. 求下列微分问题:求 解解:(2) 设求 解解: 利用一阶微分形式不变性 , 有2013(3) 在下列括号中填入适当的函数使等式成立:说明说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.注意: 数学中的反问题往往出现多值性.的近似值 .(4) 求解解: 设取由201

12、3当很小时,由的近似值 .解解:(5). 计算常用近似公式常用近似公式:可以推出2013二、全微分的定义与计算、全微分的定义与计算 定义定义2: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y )可表示成其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，称为函数在点 (x, y) 的全微分全微分, 记作若函数在域 D 内各点都可微,则称函数 f ( x, y ) 在点( x, y) 可微可微，处全增量则称此函数在在D 内可微内可微.1. 全微分的定义全微分的定义2013(2) 偏导数连续下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1) 函数可微函数 z

13、= f (x, y) 在点 (x, y) 可微由微分定义 :得函数在该点连续偏导数存在 函数可微 即2. 可微的条件与连续性的关系可微的条件与连续性的关系:2013定理定理2 2(必要条件)若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可可微微 ,则该函数在该点偏导数必存在,且有反例反例: 函数注意注意:.偏导数存在函数 不一定可微 易知 但因此,函数在点 (0,0) 不可微 .定理2 的逆定理不成立, 即2013定理定理3 (充分条件)若函数的偏导数则函数在该点可微分.反例反例: 函数注意注意:. 偏导数连续是可微的充分条件,但不是必要的!易知 且但偏导函数在点 (0,0) 不连续 .

14、20133. 全微分叠加原理全微分叠加原理:若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可可微微 ,常记为习惯上把自变量的增量用微分表示,类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.例如, 三元函数的全微分为记作故有下述叠加原理称为偏微分偏微分.2013例例2. 求下列函数的全微分:在点 (2,1) 处的全微分. 解解:(2). 计算函数的全微分. 解解: (1) 计算函数20134. 多元复合函数求导的微分法则多元复合函数求导的微分法则定理定理4. 若函数处偏导连续, 在点 t 可导, 则复合函数且有链式法则说明说明: 1)若定理中 偏导数连续偏导数连续减弱为偏导数存在偏导数存在, 则

15、定理结论不一定成立.2)若定理中 偏导数连续偏导数连续减弱为可微可微, 则定理结论依然成立.2013推广推广:1) 中间变量多于两个的情形. 例如,设下面所涉及的函数都可微 .2) 中间变量是多元函数的情形.例如,2013多元复合函数的全微分形式不变性多元复合函数的全微分形式不变性:设函数的全微分为可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, 则复合函数都可微, 其全微分表达 形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性全微分形式不变性.2013例例3. 设设解法一解法一:解法二解法二:可得出同样结论!2013例例4.解解:2013例例5. 设 求全导数解解:思考一下如何用其他方法呢?例例6. 已

16、知求解解: 由两边对 x 求导得由2013 3.3 高阶导数、高阶偏导数高阶导数、高阶偏导数一、高阶导数一、高阶导数二、高阶偏导数二、高阶偏导数2013一、高阶导数的概念与计算一、高阶导数的概念与计算速度即加速度即引例引例：变速直线运动定义定义1. 若函数的导数可导,或即或的二阶导数二阶导数 , 记作的导数为则称类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 ,阶导数的导数称为 n 阶导数 ,依次类推 ,分别记作2013或例例1. 求下列函数的n 阶导数:(1) 设求解解:依次类推 , 可得思考思考: 设问2013(2). 设求解解:特别有:解解:规定 0 ! = 1思考思考:(3). 设求2013(

17、4) 设求解解: 一般地 ,类似可证:2013二、高阶偏导数的概念与计算二、高阶偏导数的概念与计算设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数， 则称它们是z = f ( x , y ) 的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导数:2013类似可以定义更高阶的偏导数.例如，例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为则定理定理.本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.(证明略) 例如例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) ,当三阶混合偏导数在点 (x , y , z) 连续连续时, 有2013例例2. 求函数

18、解解 :的二阶偏导数及 说明说明:函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.因为初等函数的偏导数仍为初等函数 , 而初等2013注意注意: :但这一情形并不总成立.例如例如, ,当当当当二者不等二者不等二者相等二者相等2013例例3. 证明函数满足拉普拉斯证：证：利用对称性 , 有方程2013为简便起见 , 引入记号例例4. 设 f 具有二阶连续偏导数,求解解: 令则2013思考思考: 设二阶偏导数连续,证明下列表达式在极坐标系下的形式:2013 3.4 参数方程与隐函数方程微分法参数方程与隐函数方程微分法一、参数方程确定的函数求导一、参数方程确定的函数求导

19、二、隐函数确定的函数求导二、隐函数确定的函数求导2013一、由参数方程确定的函数的导数一、由参数方程确定的函数的导数若参数方程可确定一个 y 与 x 之间的函数可导, 且则时, 有时, 有(此时看成 x 是 y 的函数 )关系,2013若上述参数方程中二阶可导,且则由它确定的函数可求二阶导数 .利用新的参数方程,可得例例1 :解解:求2013例例2. 设, 且求解解:为两可导函数之间有联系之间也有联系称为相关变化率相关变化率相关变化率问题解法:2013例例3. 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,其速率为当气球高度为 500 m 时, 观察员视线的仰角增加率是多少? 解解: 设气球

20、上升 t 分后其高度为h , 仰角为 ,则两边对 t 求导已知 h = 500m 时,2013二、隐函数方程确定的函数求导二、隐函数方程确定的函数求导若由方程可确定 y 是 x 的函数 ,由表示的函数 , 称为显函数显函数 .例如例如,可确定显函数可确定 y 是 x 的函数 ,但此隐函数不能显化 .函数为隐函数隐函数 .则称此隐函数求导方法求导方法: 两边对 x 求导(含导数 的方程)2013例例4. 求由方程在 x = 0 处的导数解解: 方程两边对 x 求导得因 x = 0 时 y = 0 , 故确定的隐函数2013例例5. 求椭圆在点处的切线方程.解解: 椭圆方程两边对 x 求导故切线方

21、程为即2013例例6对 x 求导两边取对数解解:,求导函数?2013 下面利用偏导数来考虑隐函数方程确定的函数求导问题.定理定理1.1. 设函数则方程单值连续函数 y = f (x) ,并有连续(隐函数求导公式)定理证明从略. 具有连续的偏导数;的某邻域内某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足满足条件导数2013例例7. 验证方程在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数解解: 令连续 ,由 定理1 可知,导的隐函数 则在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可且求2013两边对 x 求导两边再对 x 求导令 x = 0 , 注意此时导数的另一求法导数的另一求法 利用隐函数求导2013定理

22、定理2 . 若函数 的某邻域内具有连续偏导数连续偏导数 ,则方程在点并有连续偏导数定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 定理证明从略.满足 在点满足:某一邻域内可唯一确2013例例8. 设解法解法1 利用隐函数求导再对 x 求导2013解法解法2 利用公式设则两边对 x 求偏导2013 隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形, 但这里仅给出实例解法, 对Jacobi行列式表达形式只作简单介绍!由 F、G 的偏导数组成的行列式称为F、G 的雅可比雅可比( Jacobi )行列式.以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , 即下例方法的一般化可推出P92 定理3 的结论 .2013例例9. 设解解:方程组两边对 x 求导，并移项得求练习练习: 求答案答案:由题设故有2013P92 1(1)(2),2(1)(3),3(1)(3)(5)(6);作业作业P93 4(2)(4)(6)(7),5(2)(3)(4),6;P93 7(1)(3)(4), 8,9(2); P95 18(2)(4),19(1)(4),20;P95 21(2) ,22;P95 23(1)(2),24(2)(4)(5),25;P94 10(2)(3),12,13(1)(2),15,16(2);P96 27,30;