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1、第2课时指数幂及运算1【知知识提提炼】1.1.分数指数分数指数幂的意的意义分分数数指指数数幂正分数正分数指数指数幂规定：规定： = _(a0= _(a0，m,nNm,nN* *，且，且n1) n1) 负分数分数指数指数幂规定：定：(a0(a0，m,nNm,nN* *，且，且n1) n1) 0 0的分数的分数指数指数幂0 0的正分数指数的正分数指数幂等于等于_,0_,0的的负分数指数分数指数幂_0 0没有意没有意义22.2.有理数指数有理数指数幂的运算性的运算性质(1)a(1)ar ra as s=a=ar+sr+s(a0,r,sQ).(a0,r,sQ).(2)(a(2)(ar r) )s s=
2、_(a0,r,sQ).=_(a0,r,sQ).(3)(ab)(3)(ab)r r=_(a0,b0,rQ).=_(a0,b0,rQ).3.3.无理数指数无理数指数幂一般地一般地, ,无理数指数无理数指数幂a a(a0,(a0,是无理数是无理数) )是一个确定的是一个确定的_._.有理数指数有理数指数幂的运算性的运算性质同同样适用于无理数指数适用于无理数指数幂. .a arsrsa ar rb br r实数数3【即即时小小测】1.1.思考下列思考下列问题: :(1)(1)分数指数分数指数幂与根式有何关系与根式有何关系? ?提示提示: :根式可以表示成分数指数幂的形式根式可以表示成分数指数幂的形式,
3、 ,分数指数幂是根式的另分数指数幂是根式的另一种表示形式一种表示形式, ,如如 4(2)(2)分数指数幂分数指数幂 可以理解为可以理解为 个个a a相乘吗？相乘吗？提示：提示：不可以不可以. .分数指数幂分数指数幂 不可以理解为不可以理解为 个个a a相乘相乘. .事实上，事实上，它是根式的一种新写法它是根式的一种新写法. .52. 2. 化为分数指数幂为化为分数指数幂为_._.【解析解析】在根式在根式 中，根指数是中，根指数是5 5，根据根式与分数指数幂的转，根据根式与分数指数幂的转化规律，可得化规律，可得答案：答案：63.3.计算：计算： =_.=_.【解析解析】答案：答案：74.4.若若
4、1010a a=5,10=5,10b b=9,=9,则1010a-ba-b= =. .【解析解析】同底数幂相除同底数幂相除, ,底数不变底数不变, ,指数相减指数相减, ,可得可得 答案答案: :8【知知识探究探究】知知识点点1 1分数指数分数指数幂观察如察如图所示内容所示内容, ,回答下列回答下列问题: :问题1:1:正数的分数指数正数的分数指数幂与整数指数与整数指数幂有什么不同有什么不同? ?问题2:2:分数指数分数指数幂与根式有什么关系与根式有什么关系? ?9【总结提升提升】从三个角度理解分数指数从三个角度理解分数指数幂(1)(1)与根式的关系与根式的关系: :分数指数分数指数幂是根式的
5、另一种写法是根式的另一种写法, ,根式与分数指数根式与分数指数幂可以相互可以相互转化化. .(2)(2)底数的取底数的取值范范围: :由分数指数由分数指数幂的定的定义知知a0a0时, , 可能会有意可能会有意义. .当当 有意有意义时可借助定可借助定义将底数化将底数化为正数正数, ,再再进行运算行运算. .(3)(3)运算性运算性质: :分数指数分数指数幂的运算性的运算性质形式上与整数指数形式上与整数指数幂的运算性的运算性质完全一完全一样. .记忆有理数指数有理数指数幂的运算性的运算性质的口的口诀是是: :乘相加乘相加, ,除相减除相减, ,幂相乘相乘. .10知知识点点2 2有理数指数有理数
6、指数幂的运算性的运算性质观察如察如图所示内容所示内容, ,回答下列回答下列问题: :问题1:1:对于有理数指数于有理数指数幂运算性运算性质应注意什么注意什么? ?问题2:2:有理数指数有理数指数幂运算有哪些常运算有哪些常见结论? ?11【总结提升提升】1.1.有理数指数有理数指数幂运算性运算性质的两个关注点的两个关注点(1)(1)有理数指数有理数指数幂的运算性的运算性质是由整数指数是由整数指数幂的运算性的运算性质推广而来推广而来的的, ,整数指数整数指数幂的运算性的运算性质对于有理数指数于有理数指数幂也同也同样适用适用. .(2)(2)在运算性在运算性质中中, ,要注意要注意幂的底数是正数的的
7、底数是正数的规定定, ,如果改如果改变等式成等式成立的条件立的条件, ,则有可能不成立有可能不成立, ,如如a=-2,b=-4a=-2,b=-4时,(ab) =(-2),(ab) =(-2)(-4)(-4)=(-2) =(-2) (-4) (-4) 则无意无意义. .122.2.有理数指数有理数指数幂运算的常运算的常见结论(1)(1)有理数指数有理数指数幂的运算的运算还有如下性有如下性质: :aar ra as s=a=ar-sr-s(a0,r,sQ);(a0,r,sQ); (a0,b0,rQ). (a0,b0,rQ).13(2)(2)指数指数幂的几个常的几个常见结论: :当当a0a0时,a,
8、ab b0;0;当当a0a0时,a,a0 0=1;=1;而当而当a=0a=0时,a,a0 0无意无意义; ;若若a ar r=a=as s(a0(a0且且a1),a1),则r=s;r=s;乘法公式仍适用于分数指数乘法公式仍适用于分数指数幂, ,如如: :14【题型探究型探究】类型一型一根式与分数指数根式与分数指数幂的互化的互化【典例典例】1.1.根式根式 化成分数指数化成分数指数幂是是. .2.2.将下列根式与分数指数将下列根式与分数指数幂进行互化行互化: :15【解解题探究探究】1.1.典例典例1 1中中a a的取的取值范范围是什么是什么? ?提示提示: :a a的取值范围是的取值范围是a0
9、.a0.2.2.典例典例2 2中如何将中如何将(2),(3)(2),(3)化化为分数指数分数指数幂? ?提示提示: :(2)(2)可将三次根号下部分化为分数指数幂可将三次根号下部分化为分数指数幂.(3).(3)可先将三次根式化可先将三次根式化为分数指数幂为分数指数幂. .16【解析解析】1.1.因为因为-a0-a0，所以，所以a0a0，所以所以答案：答案：-(-a)-(-a)17【方法技巧方法技巧】根式与分数指数根式与分数指数幂互化的互化的规律律(1)(1)根指数根指数 分数指数的分母分数指数的分母, ,被开方数被开方数( (式式) )的指数的指数 分数指数的分子分数指数的分子. .(2)(2
10、)在具体在具体计算算时, ,通常会把根式通常会把根式转化成分数指数化成分数指数幂的形式的形式, ,然后利用然后利用有理数指数有理数指数幂的运算性的运算性质解解题. .18【补偿训练补偿训练】用分数指数幂表示下列各式：用分数指数幂表示下列各式：【解析解析】19类型二类型二 利用分数指数幂的运算性质化简求值利用分数指数幂的运算性质化简求值【典例典例】1. =_1. =_2.2.计算下列各式计算下列各式( (式中字母均为正数式中字母均为正数) )：20【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1对于对于 中的底数中的底数 应如何处理？应如何处理？提示：提示：可将可将 写成写成 的形式再进行计算的形式再
11、进行计算. .2.2.对于典例对于典例2 2中的两小题，计算的顺序分别是什么？中的两小题，计算的顺序分别是什么？提示：提示：对于对于(1)(1)应先把各系数相乘，再按指数幂进行运算；而对于应先把各系数相乘，再按指数幂进行运算；而对于(2)(2)先进行每一项的计算，然后再合并先进行每一项的计算，然后再合并. .21【解析解析】答案：答案：2.(1)2.(1)原式原式= =(2)(2)原式原式=0.4=0.4-1-1-1+(-2)-1+(-2)-4-4+2+2-3-322【方法技巧方法技巧】1.1.指数指数幂运算的常用技巧运算的常用技巧(1)(1)有括号先算括号里的有括号先算括号里的, ,无括号先
12、无括号先进行指数运算行指数运算. .(2)(2)负指数指数幂化化为正指数正指数幂的倒数的倒数. .(3)(3)底数是小数底数是小数, ,先要化成分数先要化成分数; ;底数是底数是带分数分数, ,要先化成假分数要先化成假分数, ,然后然后要尽可能用要尽可能用幂的形式表示的形式表示, ,便于用指数便于用指数幂的运算性的运算性质. .232.2.根式化根式化简的步的步骤(1)(1)将根式化成分数指数将根式化成分数指数幂的形式的形式. .(2)(2)利用分数指数利用分数指数幂的运算性的运算性质求解求解. .3.3.对于化于化简结果的要求果的要求对化化简求求值的的结果果, ,一般用分数指数一般用分数指数幂的形式保留的形式保留; ;在在进行指数行指数幂运算运算时, ,通常是化通常是化负指数指数为正指数正指数, ,化根式化根式为分数指数分数指数幂, ,化小数化小数为分数分数, ,同同时要兼要兼顾运算的运算的顺序序. .24【变式训练变式训练】计算下列各式：计算下列各式：25【解析解析】(1)(1)原式原式=1=126
