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1、 晶体的对称性是晶体的基本性质基本性质之一。 内部特征内部特征 格子构造 外部现象外部现象 晶体的几何多面体形态 晶体的物理性质 化学性质 晶体的对称晶体的对称元素元素晶体的对称元素一、对称的概念一、对称的概念是宇宙间的普遍现象。 是自然科学最普遍和最基本的概念，是建造大自然的密码。 对对称称是是指指物物体体或或图图形形中中相相相相同同同同部部部部分分分分作作有有规规律律的的重重复复。对对于于晶晶体体外外形形而而言言，就就是是晶晶面面与与晶晶面面、晶晶棱与晶棱、角顶与角顶的有规律重复。棱与晶棱、角顶与角顶的有规律重复。 晶体的对称元素二、晶体的对称二、晶体的对称1. 由由于于晶晶体体都都具具有
2、有格格子子状状构构造造，而而格格子子状状构构造造就就是是质质点点在在三三维维空空间间周周期期重重复复的的体体现现，因因此此，所所以的晶体都是对称的以的晶体都是对称的。2. 晶晶体体的的对对称称受受格格子子构构造造规规律律的的限限制制。即即只只有有符符合合格格子子构构造造规规律律的的对对称称才才能能在在晶晶体体上上出出现现，因因此，此，晶体对称又是有限的。晶体对称又是有限的。3. 晶晶体体的的对对称称既既然然取取决决于于格格子子构构造造，因因此此晶晶体体的的对对称称不不仅仅体体现现在在外外形形上上，也也体体现现在在物物理理性性质质上上（光学、力学、热学、电学性质）。（光学、力学、热学、电学性质）
3、。4. 是晶体的基本性质之一。是晶体的基本性质之一。5. 是晶体科学分类的依据。是晶体科学分类的依据。晶体的对称元素三、晶体的对称操作和对称要素三、晶体的对称操作和对称要素 在对晶体的对称研究中，为使晶体上相同部分作有规律重复，必须借助一定的几何要素（点、线、面）进行一定的操作（如反映、旋转、反伸等）才能实现，这些操作称为对称操对称操作作(symmetry operation)，在操作中所借助的几何要素，称为对称要素对称要素(symmetry elementsymmetry element)。对称面对称面(symmetry plane)对称轴对称轴(symmetry axis) 对称中心对称中
4、心(center of symmetry) 倒转轴倒转轴(rotoinversion axis)晶体的对称元素 对称面（对称面（P） 对称面是一个假想的平面，亦称镜面。与之相应的对称操作是此平面的反反映映。由这个平面将图形平分后成互为镜镜像像的两个相等部分，分别相当于物体本身和它的像。对称面必通过晶体的中心。m 对称面 非对称面晶体的对称元素对称操作对称操作：对于此平面的对于此平面的反映反映标志标志：两部分上对应点的连线是否与两部分上对应点的连线是否与 对称面对称面垂直等距垂直等距 垂直并平分晶面垂直并平分晶面 垂直晶棱并通过它的中心垂直晶棱并通过它的中心 包含晶棱包含晶棱可能出现的位置可能出
5、现的位置：数目数目：0 P 9晶体的对称元素对称轴对称轴（L Ln n）定义定义：通过晶体几何中心的一根假通过晶体几何中心的一根假 想的想的直线直线 对称操作对称操作：是围绕此直线的是围绕此直线的旋转旋转 特征特征：当图形围绕此直线旋转一定角度后，可使相当图形围绕此直线旋转一定角度后，可使相 同部分重复同部分重复（图形复原图形复原） 重复时所旋转的最小角度称重复时所旋转的最小角度称基转角基转角( ( ) )旋转一周重复的次数称为旋转一周重复的次数称为轴次轴次(n)(n) n=360 n=360 晶体的对称元素二次对称轴(two-fold rotation) (L2)= 360/2 =180A
6、Symmetrical PatternA Symmetrical Pattern66180 rotationto reproduce a motif in a symmetrical patternMotifElementOperationOperationthe symbol for a two-fold rotationfirst operation stepsecond operation step晶体的对称元素三次对称轴(Three-fold rotation) (L3)= 360/3 =120666step 1step 2step 3A Symmetrical PatternA Sy
7、mmetrical Pattern120 rotationto reproduce a motif in a symmetrical patternOperationOperationthe symbol for a three-fold rotation晶体的对称元素6666666666666662-fold3-fold4-fold6-fold其他的对称轴其他的对称轴(没有没有5-fold 和和 6-fold 的的) 晶体的对称元素 A. A. 过一对平行晶面的中心过一对平行晶面的中心 B. B. 过一对晶棱的中心过一对晶棱的中心 C. C. 相对两角顶的连线相对两角顶的连线 D. D. 角
8、顶、晶面中心和棱中点任意两个的连线角顶、晶面中心和棱中点任意两个的连线 数目数目0 L2 60 L3 40 L4 30 L6 1对称轴可能出现的位置为晶体的对称元素定义定义：位于晶体几何中心的一个位于晶体几何中心的一个假想的点假想的点 对称操作对称操作：是对此点的是对此点的反伸反伸 特点特点：如果通过此点作任意直线，则在此直线上如果通过此点作任意直线，则在此直线上距对称中心等距离的两端上必定可以找到对应点距对称中心等距离的两端上必定可以找到对应点 识别标志识别标志： 两两成对两两成对 对对平行对对平行 同形等大同形等大 方向相反方向相反 对称中心对称中心（C）所有晶面晶体的对称元素旋转反伸轴旋
9、转反伸轴（Lin）定义定义：一根过晶体几何中心假想的直线一根过晶体几何中心假想的直线对称操作对称操作：围绕此直线的围绕此直线的旋转和旋转和对此直线上的一个点对此直线上的一个点反伸反伸 的的复合操作复合操作晶体的对称元素Li1=CLi2=PLi3=L3+CLi6=L3+PLi4晶体的对称元素值值得得指指出出的的是是，除除Li4外外，其其余余各各种种旋旋转转反反伸伸轴轴都都可可以以用用其其它它简简单单的的对对称称要要素素或或它它们们的的组组合合来来代代替替，其其间间关关系如下：系如下： Li1 = C， Li2 = P， Li3 = L3 +C， Li6 = L3 + P 但一般我们在写晶体的对称
10、要素时，保留但一般我们在写晶体的对称要素时，保留Li4 和和Li6，而而其他旋转反伸轴就用简单对称要素代替。这是因为其他旋转反伸轴就用简单对称要素代替。这是因为Li4 不能被代替，不能被代替， Li6在晶体对称分类中有特殊意义。在晶体对称分类中有特殊意义。但是，在晶体模型上找但是，在晶体模型上找Li4往往是比较困难的，因为容易往往是比较困难的，因为容易误认为误认为L2。我们不能用我们不能用L2代替代替Li4 ，就像我们不能用，就像我们不能用L2代替代替L4一样。一样。 因为因为L4高于高于L2 ， Li4也高于也高于L2 。在晶体模型上找对称要在晶体模型上找对称要素，一定要找出最高的。素，一定
11、要找出最高的。晶体的对称元素晶体的对称元素由由于于晶晶体体是是具具有有格格子子构构造造的的固固体体物物质质，这这种种质质点点格格子子状状的的分分布布特特点点决决定定了了晶晶体体的的对对称称轴轴只只有有n n = = 1 1，2 2，3 3，4 4，6 6这五种，不可能出现这五种，不可能出现n = n = 5 5， n n 6 6的情况。的情况。为什么呢？为什么呢？1 1、直观形象的理解：直观形象的理解：垂直五次及高于六次的对称轴垂直五次及高于六次的对称轴的平面结构不能构成面网，且的平面结构不能构成面网，且不能毫无间隙地铺满整个空间不能毫无间隙地铺满整个空间, 即不能成为晶体结构。即不能成为晶体
12、结构。晶体对称定律晶体对称定律晶体的对称元素2.2.晶体对称定律晶体对称定律数学证明方法：数学证明方法：内容：只能出现轴次内容：只能出现轴次(n)为一次、二次、三次、四次和六为一次、二次、三次、四次和六次的对称轴，而不可能存在五次及高于六次的对称轴。次的对称轴，而不可能存在五次及高于六次的对称轴。轴次轴次 n 的确定的确定: n = 360 / a + 2a cos = ma cos = (m-1)/2 -2 m - 1 2由于平行行列的结点间由于平行行列的结点间距相等，距相等，m只能取整数只能取整数m = 3, 2, 1, 0, -1 = 0, 60, 90, 120, 180 n = 1,
13、 6, 4, 3, 2（但是，在准晶体中可以有（但是，在准晶体中可以有5、8、10、12次轴）次轴）晶体的对称元素1、至少有一端通过晶棱中点的对称轴只能是几次对、至少有一端通过晶棱中点的对称轴只能是几次对 称轴？称轴？2、一对正六边形的平行晶面之中点的连线，可能是、一对正六边形的平行晶面之中点的连线，可能是 几次对称轴的方位？几次对称轴的方位？3、在只有一个高次轴的晶体中，能否有与高次轴斜、在只有一个高次轴的晶体中，能否有与高次轴斜 交的交的P或或L2存在？为什么？存在？为什么？思考思考题题晶体的对称元素四、对称要素的组合四、对称要素的组合 对称要素组合不是任意的，必须符合对称要素的组合定律；
14、对称要素组合不是任意的，必须符合对称要素的组合定律； 当对称要素共存时，也可导出新的对称要素。当对称要素共存时，也可导出新的对称要素。晶体的对称元素对称要素组合定理：对称要素组合定理：定理定理1：如果有一个如果有一个L2垂直于垂直于Ln，则必有，则必有n个个L2垂直于垂直于Ln ，Ln L2 LnnL2 (任意两个相邻的任意两个相邻的L2的夹角是的夹角是Ln基转角的一基转角的一半半)。例如。例如: L4 L2 L44L2 , L3 L2 L33L2逆定理：逆定理： 如果两个如果两个相邻的相邻的L2相交，在交点上垂直两个相交，在交点上垂直两个L2方向方向必会产生一个必会产生一个Ln，其基转角是两
15、个，其基转角是两个L2夹角的两倍。并导出夹角的两倍。并导出其他其他n个在垂直个在垂直Ln平面内的平面内的L2。思考思考: 两个两个L2相交相交30,交点处并垂直交点处并垂直L2所在平面会产生什么对所在平面会产生什么对称轴称轴?晶体的对称元素晶体的对称元素定理定理2：如果一个对称面如果一个对称面P垂直于偶次对称轴垂直于偶次对称轴Ln(偶偶)，交点必，交点必为对称中心：为对称中心： Ln (偶偶) P LnP C 。如。如L4 P L4PC 逆定理：逆定理：如果有一个偶次对称轴如果有一个偶次对称轴Ln (偶偶)与对称中心与对称中心C共存，共存，则过则过C且垂直于该对称轴必有一对称面且垂直于该对称轴
16、必有一对称面P，即，即 Ln (偶偶) C LnP C 。或，如果有一个对称面。或，如果有一个对称面P与对称中心与对称中心C共存，共存，则过则过C且垂直于且垂直于P必有一个必有一个Ln (偶偶) ，即，即P C Ln (偶偶) P C这一定理说明了这一定理说明了L2、P、C三者中任两个可以产生第三者。三者中任两个可以产生第三者。因为偶次轴包含因为偶次轴包含L2 。晶体的对称元素定理定理3：如果有一个对称面如果有一个对称面P包含对称轴包含对称轴Ln，则必有，则必有n个个P同同时包含时包含Ln，即，即Ln P/ LnnP/（相邻的两个（相邻的两个P的夹角为的夹角为Ln基转角的一半）；如基转角的一半
17、）；如L3 P/ L33P/逆定理：逆定理：两个两个对称面对称面P相交，其交线必为一相交，其交线必为一对称轴对称轴Ln，其基，其基转角为相邻两转角为相邻两对称面对称面夹角的两倍，并导出其他夹角的两倍，并导出其他n个包含个包含Ln的的P。 （定理（定理3与定理与定理1类似）类似）思考思考:两个对称面相交两个对称面相交60,交线处会产生什么对称轴交线处会产生什么对称轴?晶体的对称元素定理定理4：如果有一个二次轴如果有一个二次轴L2垂直于旋转反伸轴垂直于旋转反伸轴Lin，或有一个，或有一个对称面对称面P包含包含Lin，当，当n为奇数时，必有为奇数时，必有n个个L2垂直垂直Lin或或n个个P包包含含L
18、in：当：当n为偶数时，必有和为偶数时，必有和n/2个个L2垂直垂直Lin或或n/2个个P包含包含Lin； Lin L2 Lin nL2 或或Lin P/ Lin nP/（n为奇数）为奇数） Lin L2 Lin n/2L2 或或Lin P/ Linn/2 P/ （n为偶数）为偶数） 晶体的对称元素定理定理5 如果两个对称轴如果两个对称轴Ln和和Lm以以角斜交时，围绕角斜交时，围绕Ln必有必有n个共点且对称分布的个共点且对称分布的Lm；同时，围绕；同时，围绕Lm必有必有m个共点且对称个共点且对称分布的分布的Ln：Ln Lm=nLmmLn。 且任二相邻的且任二相邻的Ln与与Lm之间的之间的交角均
19、等于交角均等于。补充补充晶体的对称元素有了对称要素组合定理，我们就可以判断一个晶体上的有了对称要素组合定理，我们就可以判断一个晶体上的对称要素组合形式的正确与否。对称要素组合形式的正确与否。 请大家根据上述对称要素组合定理判断下列对称要素请大家根据上述对称要素组合定理判断下列对称要素组合形式是否正确：组合形式是否正确： 1、L43P 2、L22P 3、L32L2 4、3L2 5、L3PC 6、L6PC 怎么样？你的成绩如何？怎么样？你的成绩如何？ 应该为应该为 L44P ，根据组合定理，根据组合定理3， 4个个P包含包含L4 根据组合定理根据组合定理3， 2个个P包含包含L2 应该为应该为 L
20、33L2 ，根据组合定理，根据组合定理1， 3个个L2垂直垂直L3 其中一个其中一个L2 直立，另外两个直立，另外两个L2垂直这个直立的垂直这个直立的L2 应该为应该为 L33P ，因为，因为L3不是偶次轴，所以不能产生不是偶次轴，所以不能产生C P垂直垂直L6，L6是偶次轴，所以产生是偶次轴，所以产生C对称要素组合测试对称要素组合测试晶体的对称元素五、五、32个对称型（点群）及其推导个对称型（点群）及其推导 各种晶体的对称程度有很大的差别，主要表现在它们所具有的对称要素的种类、轴次和数目上。 晶体形态中，全部对称要素的组合，称为该晶体晶体形态中，全部对称要素的组合，称为该晶体形态的形态的对称
21、型对称型 或或 点群点群。一般来说，当强调对称要素。一般来说，当强调对称要素时称对称型，强调对称操作时称点群。时称对称型，强调对称操作时称点群。 经过数学推导，证明对称型只有32种。我们将属于同一对称型的所有晶体，归为一类，称为晶类晶类。晶类也只有32个。 在32个晶类中，按它们所属的对称型特点划分为七个晶系晶系。 再按高次对称轴的有无和高次对称轴的数目，将七个晶系并为三个晶族晶族。晶体的对称元素 对称型的书写顺序一般是首先写从高到低不同轴次的对称对称型的书写顺序一般是首先写从高到低不同轴次的对称轴或旋转反伸轴，其次写对称面，最后写对称心。但在等轴晶轴或旋转反伸轴，其次写对称面，最后写对称心。
22、但在等轴晶系中，不论一个对称型中有无大于系中，不论一个对称型中有无大于3 3次的对称轴，次的对称轴，3 3次对称轴次对称轴L L3 3应当始终放在第应当始终放在第2 2位。位。晶体的对称元素 请同学们自己分析一下课本第请同学们自己分析一下课本第34页页“图图4-14 常见对称型中对称要素在晶体上的空间配常见对称型中对称要素在晶体上的空间配置置”各个图的对称型各个图的对称型如如晶体的对称元素晶体的对称元素晶体的对称元素A A类对称型（高次轴不多于一个）的推导：类对称型（高次轴不多于一个）的推导：A类对称型共有类对称型共有27种，根据对称要素对其推导种，根据对称要素对其推导1 1）对对称称轴轴L
23、Ln n单单独独存存在在（原原始始式式对对称称型型 ），可可能能的的对对称型为称型为L L1 1；L L2 2；L L3 3；L L4 4；L L6 6 。2 2）对对称称轴轴与与对对称称轴轴的的组组合合（轴轴式式对对称称型型） 。在在这这里里我我们们只只考考虑虑L Ln n与与垂垂直直它它的的L L2 2的的组组合合。根根据据上上节节所所述述对对称称要要素素组组合合规规律律L Ln n L L2 2 L Ln nnLnL2 2 ，可可能能的的对对称称型型为为：（L L1 1L L2 2= =L L2 2）；）；L L2 22 2L L2 2=3=3L L2 2；L L3 33 3L L2 2
24、；L L4 44 4L L2 2；L L6 66 6L L2 2 如果如果L L2 2与与L Ln n斜交有可能斜交有可能出现多于一个的高次轴，出现多于一个的高次轴，这时就不属于这时就不属于A类对称型了。类对称型了。晶体的对称元素3）对对称称轴轴Ln与与垂垂直直它它的的对对称称面面P的的组组合合（中中心心式式对对称称型型） 。考考虑虑到到组组合合规规律律Ln(偶偶) PLn(偶偶)PC，则可能的对称型为，则可能的对称型为L2PC；L4PC；L6PC。4）对称轴）对称轴Ln与包含它的对称面的组合（与包含它的对称面的组合（平面式对平面式对称型称型 ）。根据组合规律。根据组合规律Ln PLnnP，可
25、能的对，可能的对称型为：称型为：（L1P=P）L22P；L33P；L44P；L66P。 晶体的对称元素？5）对对称称轴轴Ln与与垂垂直直它它的的对对称称面面以以及及包包含含它它的的对对称称面面的的组组合合（轴轴面面式式对对称称型型 ）。垂垂直直Ln的的P与与包包含含 Ln的的 P的的 交交 线线 必必 为为 垂垂 直直 Ln的的 L2， 即即Ln P P=Ln P P L2 =LnnL2(n+1)P(C)（ C只只在在有有偶偶次次轴轴垂垂直直P的的情情况况下下产产生生)，可可能能的的对对称称型型为为 ： (L1L22P=L22P） ； L22L23PC=3L23PC；（L33L24P=Li63
26、L23P）；）；L44L25PC；L66L27PC。 晶体的对称元素6 6）旋旋转转反反伸伸轴轴单单独独存存在在（倒倒转转原原始始式式对对称称型型）。可可能的对称型为：能的对称型为：L Li i1 1= =C C；L Li i2 2= =P P；L Li i3 3= =L L3 3C C；L Li i6 6= =L L3 3P P。7）旋转反伸轴）旋转反伸轴Lin与垂直它的与垂直它的L2（或包含它的（或包含它的P）的组）的组合（合（倒转轴面式对称型倒转轴面式对称型 ）。根据组合规律，当）。根据组合规律，当n为奇为奇数时数时LinnL2nP，可能的对称型为：，可能的对称型为：（Li1L2P=L2
27、PC）；）；Li33L23P=L33L23PC；当；当n为偶数为偶数时时 Lin(n/2)L2 (n /2)P ，可能的对称型为：，可能的对称型为：（Li2L2P=L22P）；）；Li42L22P；Li63L23P=L33L24P。 晶体的对称元素例：如果晶体中有一个例：如果晶体中有一个L4，同时又有一个，同时又有一个L2垂直于它和一垂直于它和一个对称面垂直它，则个对称面垂直它，则L4 L2 L44L2（组合定律（组合定律1），），L4 PL4PC（组合定律（组合定律2），因为垂直），因为垂直L4的的P 与与L2是包含关系，是包含关系，所以：所以：L2 PL22P（组合定律（组合定律3），这两
28、个），这两个P中，有一个中，有一个是垂直是垂直L4包含包含L2的，而另一个是包含的，而另一个是包含 L4垂直垂直L2，这个包含，这个包含L4 的的P以及垂直以及垂直L4的的P与与L4组合（根据推导组合（根据推导5）：）： Ln P P=Ln P P L2 =LnnL2(n+1)PC，最后产生对，最后产生对称型称型L44L25PC，金红石就是这种对称型。，金红石就是这种对称型。晶体的对称元素7个组合类型中共导出个组合类型中共导出35个对称型，其中重复的个对称型，其中重复的有有8个，故实际导出的个，故实际导出的A类对称型共类对称型共27种。种。 。请同学们将表中空格的内容填上，空格中的内容请同学们
29、将表中空格的内容填上，空格中的内容与表中其他内容是重复的。与表中其他内容是重复的。L Ln nL Ln nnL L2 2Ln CLn PCLn nPLn nL L2 2 (n+1)P(C)L Li in nL Li in n nL L2 2 nPL Li in n n/2L L2 2 n/2PL L1 1L Li i1 1 = CL L2 23L3L2 2L2 PCL2 2P3L L2 2 3PCL Li i2 2 = PL L3 3L L3 33L L2 2L3 3PL Li i3 3 =L L3 3 CL3 3L L2 2 3PCL L4 4L L4 44L L2 2L4 PCL4 4PL
30、4 4L L2 2 5PCL Li i4 4L Li i4 4 2L2 2PL L6 6L L6 66L L2 2L6 PCL6 6PL6 6L L2 2 7PCL Li i6 6=L L3 3 PL Li i6 6 3L L2 2 3P= L L3 3 3L L2 2 4P晶体的对称元素还有还有5个是个是B类（高次轴多于一个）对称型，不要求推导。类（高次轴多于一个）对称型，不要求推导。此外还有3L44L36L29PC，3L24L33PC，3Li44L36P晶体的对称元素对称型符号对称型符号 习惯符号习惯符号 按一定的顺序表示出晶体所有对称要素的符号按一定的顺序表示出晶体所有对称要素的符号 m
31、LnmPC(n-对称轴轴次，从高到低排列，对称轴轴次，从高到低排列，m-对称对称 轴或对成面的数目）轴或对成面的数目）国际符号国际符号（反映（反映对称要素对称要素及其在及其在空间的取向空间的取向）晶体的对称元素 n单独一个对称轴单独一个对称轴Ln 单独一个单独一个Lin N/m Ln垂直它的垂直它的P的组合的组合 N22或或N2 Ln和垂直它的和垂直它的L2的组合（的组合（N1时，时，1省略）省略） Nmm Ln和包含它的和包含它的P的组合（的组合（N1时，时，1省略，省略， N=2时，特写为时，特写为mm2） N2m Lin和包含它的和包含它的P以及垂直它的以及垂直它的L2的组合的组合 N/
32、mmm Ln和包含它的和包含它的P以及垂直它的以及垂直它的P的组合的组合 X3Y或或X3第二位上为第二位上为3者表示者表示4L3说明晶体的对称元素六、晶体的对称分类六、晶体的对称分类32晶类晶类高、中、低级晶族高、中、低级晶族7大晶系大晶系属于同一属于同一对称型的对称型的晶体晶体高次轴的有无及高次轴的有无及多少多少轴次的高低轴次的高低及数目及数目晶体的对称元素三斜晶系三斜晶系单斜晶系单斜晶系斜方晶系斜方晶系三方晶系三方晶系四方晶系四方晶系六方晶系六方晶系等轴晶系等轴晶系晶体低级晶族中级晶族高级晶族4L31L61L41L3L2+P 3无无L2或或PL2P3晶体的对称元素低级晶族：低级晶族：所有的
33、对称要素必定相互平行或垂直所有的对称要素必定相互平行或垂直中级晶族：中级晶族：除高次轴外如有其他对称要素存在时，除高次轴外如有其他对称要素存在时， 它们必定与唯一的高次轴它们必定与唯一的高次轴垂直或平行垂直或平行高级晶族：高级晶族：除除4L3外，必定还有外，必定还有3个相互垂直的二次轴个相互垂直的二次轴 或四次轴，它们与每一个或四次轴，它们与每一个L3均以等角度相交均以等角度相交注意注意晶体的对称元素课本课本P38表表4-5非常重要，一定要熟记。非常重要，一定要熟记。中级晶体的对称分类晶体的对称元素（接上表）晶体的对称元素七、五次对称轴、二十面体与准晶七、五次对称轴、二十面体与准晶这部分内容只
34、要求大概了解。这部分内容只要求大概了解。当球体（原子、离子）堆积时，形成二十面体最稳定，当球体（原子、离子）堆积时，形成二十面体最稳定，但二十面体上有五次轴，不能在晶体结构中出现，所但二十面体上有五次轴，不能在晶体结构中出现，所以当晶体进一步长大后，晶体结构就不得不放弃二十以当晶体进一步长大后，晶体结构就不得不放弃二十面体结构。面体结构。但在准晶体中有二十面体结构，在生物界也有二十面体但在准晶体中有二十面体结构，在生物界也有二十面体结构，所以，准晶为生物界与非生物界架起一座桥梁。结构，所以，准晶为生物界与非生物界架起一座桥梁。晶体的对称元素思考题思考题对称的概念。晶体的对称和其它物质的对称有对
35、称的概念。晶体的对称和其它物质的对称有何本质区别？何本质区别？什么是晶体对称定律？证明之。什么是晶体对称定律？证明之。怎样划分晶族和晶系？下列对称型各属何晶族怎样划分晶族和晶系？下列对称型各属何晶族和晶系？和晶系？ L2PC 3L2PC L44L25PC L66L27PC C 3L44L36L29PC L33L2 L33L23PC 3L24L33PC中级晶族晶体中能否有或中级晶族晶体中能否有或P与唯一的高次轴与唯一的高次轴（L3、L4、L6）斜交？为什么？）斜交？为什么？晶体的对称元素本章重点总结：本章重点总结： 1) 对称要素：对称要素：P, Ln, C, Lin； 2) 对称要素组合：对称要素组合：4个定理；个定理； 3) 对称型：要学会用组合定理判断正确与否；对称型：要学会用组合定理判断正确与否； 4) 晶体的对称分类：晶体的对称分类：3个晶族，个晶族，7个晶系，个晶系，32个晶类。个晶类。晶体的对称元素
