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1、数学八年级上册BS版第四章一次函数第四章一次函数专题专题5 5一次函数中的综合问题一次函数中的综合问题数学八年级上册BS版专题专题解解读读典例典例讲练讲练目目录录CONTENTS数学八年级上册BS版返回目录返回目录 问题综述一次函数的综合问题,常常涉及三角形全等、三角形存在性问题、相交型图象信息问题等.在遇到这些问题时,关键是要认真审题,理清题意,熟练运用一次函数的知识正确解答.数学八年级上册BS版返回目录返回目录要点归纳1.一次函数与三角形全等中“三垂直”模型相结合.右图为“三垂直”全等模型,其中 ABC 为等腰直角三角形,AE EC,BF CF,E,C,F 三点共线,则有 ACE CBF.
2、在与一次函数的综合题中需要作垂线构造全等三角形.数学八年级上册BS版返回目录返回目录2.一次函数中的三角形存在性问题的解题步骤.(1)找点:利用尺规作图确定点的位置;(2)求点:利用等量关系或联立函数表达式,直角三角形需要根据直角顶点分类讨论,再由等腰直角三角形的特殊性,利用勾股定理或构造全等三角形求解;(3)定点:依据题意确定符合要求的点的坐标.数学八年级上册BS版返回目录返回目录3.相交型图象信息问题.若两个一次函数 y1与 y2的图象的交点坐标为(x0,y0),则当 x x0时,函数值 y1 y2 y0;当函数值 y y0时,自变量的值 x1 x2 x0.数学八年级上册BS版0 2典例典
3、例讲练讲练数学八年级上册BS版返回目录返回目录 类型一一次函数中的三角形全等问题 如图,已知一次函数 y 2 x 2的图象与 y 轴交于点 A,与 x 轴交于点 B,过点 B 作线段 BC AB 且 BC AB,直线 AC 交 x 轴于点 D.数学八年级上册BS版返回目录返回目录(2)若点 Q 是图中坐标平面内不同于点 B,C 的一点,当以点 B,D,Q 为顶点的三角形与 BCD 全等时,直接写出点 Q 的坐标.(1)求点 A,B,C 的坐标和直线 AC 的函数表达式;数学八年级上册BS版返回目录返回目录(1)解:把 x 0代入 y 2 x 2中,得 y 2.所以点 A 的坐标为(0,2).把
4、 y 0代入 y 2 x 2,得2 x 20,解得 x 1.所以点 B 的坐标为(1,0).如图1,过点 C 作 CM x 轴于点 M,图1图1所以 AOB BMC 90.因为 AB BC,所以 ABC 90.所以 ABO MBC 90.数学八年级上册BS版返回目录返回目录所以 OAB MBC.所以 AOB BMC(AAS).所以 BM OA 2,CM OB 1.所以 OM 3.所以点 C 的坐标为(3,1).设直线 AC 的函数表达式为 y kx b(k 0).因为 ABO OAB 90,数学八年级上册BS版返回目录返回目录(2)点 Q 的坐标为(3,1),(4,1)或(4,1).【解析】如
5、图2,以点 B,D,Q 为顶点的三角形与 BCD 全等时,点 Q 有三种情形.由图形的全等,知点 Q1与点 C 关于 x 轴对称.故点 Q1(3,1);由直线 AC,知 D(60),点 C 与点 Q3关于 BD 的中垂线对称,故点 Q3(4,1);点 Q2和点 Q3关于 x 轴对称,故点 Q2(4,1).故点 Q 的坐标为(3,1),(4,1)或(4,1).图2【点拨】在解答一次函数与三角形的综合性问题时,常会用到三角形全等中的常见模型,例如本题中用到的“三垂直”模型,也常常会利用轴对称的知识去解题.数学八年级上册BS版返回目录返回目录 如图,在平面直角坐标系中,已知直线 y kx b 与 x
6、 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B(0,6),与直线 y 2 x 交于点 C(a,4).(1)求点 C 的坐标及直线 AB 的函数表达式.(2)若点 E 的坐标是(4,0),过点 E 作直线 l x 轴,交直线 y 2 x 于点 F,交直线 y kx b 于点 G.求 CGF 的面积.直线 l 上是否存在点 P,使 OP BP 的值最小?若存在,直接写出点 P 的坐标;若不存在,说明理由.数学八年级上册BS版返回目录返回目录(3)若点 E 是 x 轴上的一个动点,点 E 的横坐标为 m(m 0),当点 E 在 x 轴上运动时,当 m 取何值时,直线 l 上存在点 Q,使得以点 A,C,Q 为
7、顶点的三角形与 AOC 全等?请直接写出相应的 m 的值.备用图数学八年级上册BS版返回目录返回目录解:(1)将点 C(a,4)代入 y 2 x,可得 a 2,所以点 C 的坐标为(2,4).将点 B(0,6),点 C(2,4)代入 y kx b,可得 b 6,2 k b 4,所以 k 1.所以直线 AB 的函数表达式为 y x 6.(2)因为直线 l x 轴,点 E,F,G 都在直线 l 上,且点 E 的坐标为(4,0),所以点 F,G 的横坐标均为4.设点 F(4,y1),G(4,y2),分别代入 y 2 x 和 y x 6,可得 y18,y22,所以 F(4,8),G(4,2).所以 F
8、E 8,GE 2.所以 FG 6.数学八年级上册BS版返回目录返回目录图1如图1,过点 C 作 CH FG 于点 H.因为 C(2,4),E(4,0),所以 CH 422.图1数学八年级上册BS版返回目录返回目录存在点 P(4,3),使得 BP OP 的值最小.理由如下:如图2,设点 O 关于直线 l 的对称点为 D(8,0),连接 BD.设直线 BD 的函数表达式为 y mx n(m 0).图2图2将点 B(0,6),D(8,0)代入 y mx n,可得 n 6,8 m n 0.因为点 P 在直线 l:x 4上,令 x 4,则 y 3,所以点 P 的坐标为(4,3).数学八年级上册BS版返回
9、目录返回目录(3)m 的值为2,6或8.理由如下:因为直线 AB 的函数表达式为 y x 6,所以 A(6,0).分三种情况讨论:如图3,当 OAC QCA,点 Q 在第四象限时,则 ECA EAC.所以 AE CE 4,OE 642.所以 m 2;图3数学八年级上册BS版返回目录返回目录如图4,当 ACO ACQ,点 Q 在第一象限时,因为 A(6,0),B(0,6),所以 OA OB.所以 OAC OBC 45.图4因为 ACO ACQ,所以 OAC QAC 45.所以 OAQ 90.所以点 E 与点 A 重合.所以 OE AO 6.所以 m 6;数学八年级上册BS版返回目录返回目录如图5
10、,当 ACO CAQ,点 Q 在第一象限时,图5 ACO CAQ,CAO ACQ.所以 CQ AO 6.易得 AE 2,所以 OE 8.图5所以 m 8.综上所述,m 的值为2或6或8.数学八年级上册BS版返回目录返回目录类型二一次函数与三角形的存在性问题 如图,已知四边形 ABCO 是长方形,O 为坐标原点,点 B 的坐标为(8,6),点 A,C 都在坐标轴上,P 是线段 BC 上的一动点,PC m.直线 y 2 x 6向右平移6个单位长度后,在该直线上是否存在点 G,使 APG 是等腰直角三角形?若存在,请求出点 G 的坐标;若不存在,请说明理由.数学八年级上册BS版返回目录返回目录解:存
11、在点 G,使 APG 是等腰直角三角形.理由如下:直线 y 2 x 6向右平移6个单位长度后的函数表达式为 y 2(x 6)62 x 6.如图1,当 AGP(B)90,AG PG 时,易得点 G 的坐标为(4,2),且在直线 y 2 x 6上;图1数学八年级上册BS版返回目录返回目录图2数学八年级上册BS版返回目录返回目录图3【点拨】等腰直角三角形的存在性问题要抓住腰相等,然后构造全等三角形解决问题.数学八年级上册BS版返回目录返回目录 解:(1)经过.因为 y kx 2 k,所以 y k(x 2).所以当 x 2时,y 0.所以直线 l2经过定点(2,0).(1)直线 l2是否经过 x 轴上
12、一定点?若经过,求该定点的坐标;若不经过,请说明理由.数学八年级上册BS版返回目录返回目录(2)过点 M(0,6)作平行于 x 轴的直线 l3,点 Q 为直线 l3上的一个动点,当 QAB 是不以点 A 为顶角顶点的等腰三角形时,求点 Q 的坐标.所以点 B 的坐标为(0,3),点 A 的坐标为(6,0).如图,设点 Q 的坐标为(n,6).数学八年级上册BS版返回目录返回目录数学八年级上册BS版返回目录返回目录类型三相交型图象信息问题 甲、乙两个工程队同时挖掘两段长度相等的隧道,甲、乙两队挖掘隧道长 y(m)与挖掘时间x(天)之间关系的部分图象如图所示.请解答下列问题:(1)在前2天的挖掘中
13、,甲队的挖掘速度为 m/天,乙队的挖掘速度为 m/天.(2)当2 x 6时,求 y乙与 x 之间的函数表达式;开挖几天后,两工程队挖掘的隧道长度相差5 m?1015数学八年级上册BS版返回目录返回目录(1)【解析】甲队挖掘速度:60610(m/天),乙队前2天挖掘速度:30215(m/天).故答案为10,15.(2)解:当2 x 6时,设 y乙 kx b(k 0).根据图象,得2 k b 30,6 k b 50,解得 k 5,b 20.所以当2 x 6时,y乙5 x 20.数学八年级上册BS版返回目录返回目录由题可得,当0 x 2时,y乙15 x;当2 x 6时,y乙5 x 20.当0 x 6
14、时,y甲10 x.由10 x 5 x 20,解得 x 4.当0 x 2时,15 x 10 x 5,解得 x 1;当2 x 4时,(5 x 20)10 x 5,解得 x 3;当4 x 6时,10 x(5 x 20)5,解得 x 5.故挖掘1天或3天或5天后,两工程队挖掘的隧道长度相差5 m.【点拨】特别注意分段函数的图象和自变量的取值范围,不同的取值范围内,对应不同的图象.数学八年级上册BS版返回目录返回目录 1.如图,l1表示某机床公司一天的销售收入与销售量的关系,l2表示该公司一天的销售成本与销售量的关系.有以下四个结论:l1对应的函数表达式是 y x;l2对应的函数表达式是 y x 1;当
15、销售量为2件时,销售收入等于销售成本;利润与销售量之间的函数表达式是 W 0.5 x 1.其中正确的结论是 (填序号).数学八年级上册BS版返回目录返回目录数学八年级上册BS版返回目录返回目录2.一辆客车从甲地开往乙地,一辆出租车从乙地开往甲地,两车同时出发,设客车离甲地的距离为 y1(km),出租车离甲地的距离为 y2(km),客车行驶时间为 x(h),y1,y2与 x 的函数关系图象如图所示.解:(1)y160 x(0 x 10),y2100 x 600(0 x 6).(1)根据图象,直接写出 y1,y2关于 x 的函数关系式;数学八年级上册BS版返回目录返回目录(2)令 y1 y2,即60 x 100 x 600,(2)若设两车间的距离为 S(km),请写出 S 关于 x 的函数关系式;数学八年级上册BS版返回目录返回目录(3)甲、乙两地间有A,B两个加油站,相距200km,若客车进入A站加油时,出租车恰好进入B站加油,求A加油站到甲地的距离.解得 x 5.所以 y160 x 300;当6 x 10时,60 x 360,不合题意.即A加油站到甲地距离为150km或300km.(3)由题意,得 S 200,数学八年级上册BS版演示完毕 谢谢观看