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1、目录 上页 下页 返回 结束 转化 可分离变量微分方程 第二节解分离变量方程解分离变量方程 可可分离变量方程分离变量方程 第七章 目录 上页 下页 返回 结束 分离变量方程的解法分离变量方程的解法:设 y (x) 是方程的解, 两边积分, 得 则有恒等式 当G(y)与F(x) 可微且 G (y) g(y) 0 时, 的隐函数 y (x) 是的解. 则有称为方程的隐式通解, 或通积分.同样, 当 F (x) = f (x)0 时, 由确定的隐函数 x(y) 也是的解. 设左右两端的原函数分别为 G(y), F(x), 说明由确定目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 求微分方程的通解.解解: 分
2、离变量得两边积分得即( C 为任意常数 )或或说明说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形, 因此可能增、减解.( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 解初值问题解解: 分离变量得两边积分得即由初始条件得 C = 1,( C 为任意常数 )故所求特解为目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 求下述微分方程的通解:解解: 令 则故有即解得( C 为任意常数 )所求通解:目录 上页 下页 返回 结束 练习练习:解法解法 1 分离变量即( C 0 )解法解法 2故有积分( C 为任意常数 )所求通解:积分目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 子的含量
3、M 成正比,求在衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律. 解解: 根据题意, 有(初始条件)对方程分离变量, 即利用初始条件, 得故所求铀的变化规律为然后积分:已知 t = 0 时铀的含量为已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原目录 上页 下页 返回 结束 例例5.成正比,求解解: 根据牛顿第二定律列方程初始条件为对方程分离变量, 然后积分 :得利用初始条件, 得代入上式后化简, 得特解并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 降落伞下落速度与时间的函数关系. t 足够大时目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 有高 1 m 的
4、半球形容器, 水从它的底部小孔流出,开始时容器内盛满了水,从小孔流出过程中, 容器里水面的高度 h 随时间 t 的变解解: 由水力学知, 水从孔口流出的流量为即求水小孔横截面积化规律.流量系数孔口截面面积重力加速度设在内水面高度由 h 降到 目录 上页 下页 返回 结束 对应下降体积因此得微分方程定解问题:将方程分离变量:目录 上页 下页 返回 结束 两端积分, 得利用初始条件, 得则得容器内水面高度 h 与时间 t 的关系:可见水流完所需时间为 因此目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 微分方程的概念微分方程;定解条件;2. 可分离变量方程的求解方法:说明说明: 通解不一定是方
5、程的全部解 .有解后者是通解 , 但不包含前一个解 .例如, 方程分离变量后积分; 根据定解条件定常数 .解; 阶;通解; 特解 y = x 及 y = C 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.常用的方法常用的方法:1) 根据几何关系列方程 ( 如: P298 题5(2) ) 2) 根据物理规律列方程3) 根据微量分析平衡关系列方程(2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.(3) 求通解, 并根据定解条件确定特解. 3. 解微分方程应用题的方法和步骤例4例5例6目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习 求下列方程的通解 :提示提示: (1) 分离变量(2) 方程变形为目录 上页 下页 返回 结束 作业P 304 1 (1) , (5) , (7) , (10); 2 (3), (4) ; 4 ; 5 ; 6第三节
