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1、最新考纲1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解第第8讲讲 函数与方程函数与方程1函数的零点(1)函数的零点的概念对于函数yf(x)，把使_的实数x叫做函数yf(x)的零点(2)函数的零点与方程的根的关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与_有交点函数yf(x)有_知知 识识 梳梳 理理f(x)0零点零点x轴轴(3)零点存在性定理如果函数yf(x)满足：在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线；_；则函数yf(x)在(a，b)上存在零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也
2、就是方程f(x)0的根2二分法(1)定义：对于在区间a，b上连续不断且_的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间_，使区间的两个端点逐步逼近_，进而得到零点近似值的方法叫做二分法f(a)f(b)0f(a)f(b)0一分为二一分为二零点零点(2)给定精确度，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：确定区间a，b，验证f(a)f(b)0，给定精确度；求区间(a，b)的中点c；计算f(c)；()若f(c)0，则c就是函数的零点；()若f(a)f(c)0，则令bc(此时零点x0(a，c)；()若f(c)f(b)0，则令ac(此时零点x0(c，b)判断是否达到精确度：即若|ab|，
3、则得到零点近似值a(或b)；否则重复.1判断正误(在括号内打“”或“”) 精彩PPT展示(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点 ( )(2)函数yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)0. ( )(3)二次函数yax2bxc(a0)在b24ac0时没有零点( )(4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值 ( )诊诊 断断 自自 测测答案答案C3(2014湖北七市湖北七市(州州)联考联考)已知函数已知函数f(x)与与g(x)的图象在的图象在R上连上连续不断，由下表知方程续不断，由下表知方程f(x)g(x)有实数解的区间是有实数解的区间是()x1
4、0123f(x)0.6773.0115.4325.9807.651g(x)0.5303.4514.8905.2416.892A.(1，0) B(0，1) C(1，2) D(2，3)解析解析记记h(x)f(x)g(x)，依题意，注意到，依题意，注意到h(0)0，h(1)0，因此函数，因此函数h(x)的零点属于的零点属于(0，1)，即方程，即方程f(x)g(x)有实数解的区间是有实数解的区间是(0，1)，故选，故选B.答案答案B4(人教A必修1P92A1改编)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是 ()答案答案A答案答案2考点一函数零点的判断与求解【例1】 (1)(2014
5、唐山一模)设f(x)exx4，则函数f(x)的零点位于区间 ()A(1，0) B(0，1) C(1，2) D(2，3)(2)(2014湖北卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x23x.则函数g(x)f(x)x3的零点的集合为 ()A1，3 B3，1，1，3解析(1)f(x)exx4，f(x)ex10，函数f(x)在R上单调递增，对于A项，f(1)e1(1)45e10，f(0)30，f(1)f(0)0，A不正确；同理可验证B，D不正确，对于C项，f(1)e14e30，f(2)e224e220，f(1)f(2)0.故f(x)的零点位于区间(1，2)答案答案(1)C(2)D规律方
6、法(1)确定函数的零点所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为确定区间两端点对应的函数值的符号是否相反(2)根据函数的零点与相应方程根的关系可知，求函数的零点与求相应方程的根是等价的对于求方程f(x)g(x)的根，可以构造函数F(x)f(x)g(x)，函数F(x)的零点即方程f(x)g(x)的根答案答案D(1)若若yg(x)m有零点，求有零点，求m的取值范围；的取值范围；(2)确定确定m的取值范围，使得的取值范围，使得g(x)f(x)0有两个相异实根有两个相异实根.图图1图图2f(x)x22exm1(xe)2m1e2.其图象的对称轴为xe，开口向下，最大值为m1e2.故当m1e22e，即m
7、e22e1时，yg(x)与yf(x)有两个交点，即g(x)f(x)0有两个相异实根m的取值范围是(e22e1，)规律方法函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用(2)画出函数f(x)的图象如图所示，观察图象可知，若方程f(x)a0有三个不同的实数根，则函数yf(x)的图象与直线ya有3个不同的交点，此时需满足0a1，故选D.答案(1)C(2)D考点三与二次函数有关的零点问题考点三与二次函数有关的零点问题【例例3】
8、是否存在这样的实数是否存在这样的实数a，使函数，使函数f(x)x2(3a2)xa1在区间在区间1，3上恒有一个零点，且只有一个零点上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由的取值范围；若不存在，说明理由规律方法解决与二次函数有关的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组【训练3】 已知f(x)x2(a21)x(a2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围解法一设方程x2(a21)x(a2)0的两根分别为x1，x2(x1x2)，则(x11)(x
9、21)0，x1x2(x1x2)10，由根与系数的关系，得(a2)(a21)10，即a2a20，2a1.法二函数图象大致如图，则有f(1)0，即1(a21)a20，2a1.故实数a的取值范围是(2，1)思想方法1判定函数零点的常用方法有：(1)零点存在性定理；(2)数形结合；(3)解方程f(x)0.2研究方程f(x)g(x)的解，实质就是研究G(x)f(x)g(x)的零点3转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题易错防范1函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)0的根，也是函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标2函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象
