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1、11.2 11.2 三角形全等的判定三角形全等的判定( (二二) )1 三边对应相等的两个三角形全等（可以简写三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为为“边边边边边边”或或“SSS”）。）。ABCDEF在在ABC和和 DEF中中 ABC DEF（SSS）AB=DEBC=EFCA=FD用符号语言表达为：用符号语言表达为：用符号语言表达为：用符号语言表达为： 三角形全等判定方法三角形全等判定方法1知识回顾知识回顾: :2 三步走：三步走：准备条件准备条件摆齐条件摆齐条件得结论得结论注重书写格式注重书写格式3除了除了SSS外外,还有其他情况吗？继续探索三角形全还有其他情况吗？继续探索三角形全等的条件
2、等的条件.(2) 三条边三条边(1) 三个角三个角(3) 两边一角两边一角(4) 两角一边两角一边 当两个三角形满足六个条件中的三个时，有四种当两个三角形满足六个条件中的三个时，有四种情况情况:SSS不能不能!?4继续探讨三角形全等的条件：继续探讨三角形全等的条件： 两边一角两边一角思考：已知一个三角形的两条边和一个角，那么这两条边思考：已知一个三角形的两条边和一个角，那么这两条边与这一个角的位置上有几种可能性呢？与这一个角的位置上有几种可能性呢？ABCABC图一图一图二图二在图一中，在图一中， A A是是ABAB和和ACAC的的夹角，夹角，符合图一的条件，符合图一的条件，它它可称为可称为“两
3、边夹角两边夹角”。符合图二的条件，符合图二的条件， 通常通常说成说成“两边和其中一边的对角两边和其中一边的对角”5已知已知ABCABC，画一个，画一个ABCABC使使A B =AB,A C =A A B =AB,A C =A C , C , A =A =AA。结论结论: :两边及夹角对应相等的两边及夹角对应相等的两个三角形全等两个三角形全等思考：思考： A B C 与与 ABC 全等吗？如何验正？全等吗？如何验正？画法画法: 1.画画 DA E= A；2.在射线在射线A D上截取上截取A B =AB,在射线在射线A E上截上截取取A C =AC;3. 连接连接B C.ACBAEDCB思考：思考
4、： 这两个三角形全等是满足哪三个条件？这两个三角形全等是满足哪三个条件？探索边角边6 三角形全等判定方法三角形全等判定方法2用符号语言表达为：用符号语言表达为：用符号语言表达为：用符号语言表达为：在在ABC与与DEF中中ABCDEF（SAS） 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。等。(可以简写成可以简写成“边角边边角边”或或“ “SASSAS” ”) )FEDCBAAC=DFC=FBC=EF71.1.在下列图中找出全等三角形在下列图中找出全等三角形308 cm9 cm308 cm8 cm8 cm5 cm308 cm5 cm308 cm5 cm8 cm
5、5 cm308 cm9 cm308 cm8 cm82: 在下列三角形中在下列三角形中,哪两个三角形全等哪两个三角形全等?404430444530453046404640解解:全等的三角形有全等的三角形有:和和, 和和.9A4545 探索边边角BBC10cm10cm 8cm8cm 8cm8cm 两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗? ?已知：已知：AC=10cm,BC=8cm, AC=10cm,BC=8cm, A=45 . .ABCABC的形状与大小是唯的形状与大小是唯一确定的吗一确定的吗? ?1010cm10cm ABC4545 8cm8
6、cm 探索边边角BA8cm8cm 4545 10cm10cm CSSASSA不存在不存在显然：显然： ABCABC与与ABABC C不全等不全等11知识梳理知识梳理: :ABDABCSSASSA不能不能不能不能判定全等判定全等判定全等判定全等12两两边边及及一一角角对对应应相相等等的的两两个个三三角角形形全全等等吗吗？两边及夹角对应相等的两两边及夹角对应相等的两个三角形全等（个三角形全等（SAS)SAS)；两边及其中一边的的对角对应相两边及其中一边的的对角对应相等的等的两个三角形不一定全等两个三角形不一定全等 现在你知道哪些三角形全等的现在你知道哪些三角形全等的判定方法？判定方法？SSS,SA
7、S13例例1.1.如图，如图，AC=BDAC=BD，CAB= DBACAB= DBA，你能，你能判断判断BC=ADBC=AD吗？说明理由。吗？说明理由。ABCD证明证明: :在在ABCABC与与BADBAD中中 AC=BD CAB= DBA AB=BAABCBAD（SAS）(已知已知)(已知已知)(公共边公共边) BC=AD (全等三角形的对应边相等）全等三角形的对应边相等）14AB DC 注意注意: : 要充分利用图形中要充分利用图形中“公共边公共边”这个条件这个条件. .15如果已知如果已知CBA= DAB，还要再增加什么条件，就能还要再增加什么条件，就能使使ABCBAD？ABCD如图，已
8、知如图，已知CBA= DAB，BC=AD，你能，你能判断判断BC=AD吗？说明理由。吗？说明理由。16如图：如图：AB=ACAB=AC，AD=AEAD=AE，ABEABE和和ACDACD全等吗？请说明理由。全等吗？请说明理由。AEDCB注意注意: : 要充分利用图形中要充分利用图形中“公共角公共角”这个条件这个条件. .你还能得到哪些相等你还能得到哪些相等的线段的线段?说明理由说明理由.17 因因为全等三角形的全等三角形的对应角相等，角相等，对应边相等，所以，相等，所以，证明分明分别属于两个三角形的属于两个三角形的线段相等或角相等的段相等或角相等的问题，常常通，常常通过证明两个明两个三角形全等
9、来解决。三角形全等来解决。18例例1、如如图，有一池塘，要，有一池塘，要测池塘两端池塘两端A A、B B的的距离，可先在平地上取一个可以直接到达距离，可先在平地上取一个可以直接到达A A和和B B的点的点C C，连接接ACAC并延并延长到到D D，使，使CD=CA.CD=CA.连接接BCBC并延并延长到到E E，使，使CE=CB.CE=CB.连接接DEDE，那么量出，那么量出DEDE的的长就是就是A A、B B的距离的距离. .为什么？什么？分析：如果能证明分析：如果能证明ABCDEC ，就可以得出，就可以得出AB=DE.在在ABC和和DEC中，中，CA=CD , CB=CE .如果能得出如果
10、能得出ACB=DCE， ABC和和DEC就全等了就全等了191、如图，、如图，B点在点在A点的正北方向。点的正北方向。两车从路段两车从路段AB的一端的一端A出发，分别出发，分别向东、向西进行相同的距离，到达向东、向西进行相同的距离，到达C、D两地。此时两地。此时C，D到到B的距离的距离相等吗？为什么？相等吗？为什么？BDAC【证明证明】在在BAD和和BAC中，中，BA=BA（公共边）（公共边）BAD= BAC（已知）（已知）AD=AC（已知）（已知） BADBAC (SAS).BD=BC（全等三角形对应边相等）（全等三角形对应边相等）20CABDO2.2.在下列推理中填写需要补充在下列推理中填
11、写需要补充的条件，使结论成立：的条件，使结论成立：(1)(1)如图如图, ,在在AOBAOB和和DOCDOC中中AO=DO(已知已知)_=_( )BO=CO(已知已知) AOBDOC（ ） AOB DOC对顶角相等对顶角相等SAS21(2).(2).如图，在如图，在AECAEC和和ADBADB中，已知中，已知AE=ADAE=AD，AC=ABAC=AB，请说明，请说明AEC ADBAEC ADB的理由。的理由。_=_(已知已知)A= A( 公共角公共角)_=_(已知已知) AECADB（ ）AEBDCAEADACABSAS解：解：在在AEC和和ADB中中223.若若AB=AC，则添加什么条件可得
12、，则添加什么条件可得ABD ACD?ABD ACDAB=ACABDCBAD= CADSA SAD=ADBD=CDS234.如图，要证如图，要证ACB ADB ，至少选用，至少选用哪些条件可哪些条件可ABCDACB ADBSAS证得证得ACB ADBAB=AB CAB= DAB AC=ADSBC=BD24已知：如图，已知：如图， AB=CB AB=CB ， ABD= CBD ABD= CBD ABD ABD 和和 CBD CBD 全等吗？全等吗？例例2 2分析分析: ABD CBD ABD CBD边边:角角:边边:AB=CB(已知已知)ABD= CBD(ABD= CBD(已知已知) )？ABCD
13、(SAS) 现在例现在例1的已知条件不改变的已知条件不改变,而问题改而问题改变成变成:问问AD=CD，BD平分平分ADC吗？吗？ 25ABCD练习练习 (2) (2) 已知已知:AD=CD:AD=CD， BD BD 平分平分 ADC ADC 。 问问A= C A= C 吗？吗？262、如图，点、如图，点E、F在在BC上，上，BE=CF，AB=DC， B= C，求证：，求证： A= DADBEFC【证明证明】 BE=CF（已知）（已知） EF=FE（公共部分）（公共部分） BE+EF=CF+FE即即BF=CE（等式性质）（等式性质）在在ABF和和DCE中，中，BF=CE（已证）（已证）B= C（
14、已知）（已知）AB=DC（已知）（已知） BADBAC (SAS).A= D（全等三角形对应边相等）（全等三角形对应边相等）273.如图如图:己知己知ADBC,AE=CF,AD=BC,E、都在直、都在直线上，试说明线上，试说明。FCBEDA28ABCDFE4.如图如图,已知已知AB=DE,AC=DF,AB=DE,AC=DF,要说明要说明ABCDEFABCDEF，还需增加一个什么条件？还需增加一个什么条件？295、已知：如图，、已知：如图，AB=AE， AC=AD， BAD= EAC，BC与与DE相等吗？为什相等吗？为什么？么？ABCDE分析分析: : ABC ADE ABC ADE边边: :角
15、角: :边边: :AC=AD (AC=AD (已知已知) )AB=AE (AB=AE (已知已知) )？(SAS)全等三角形的全等三角形的对应边相等对应边相等BC = DEBC = DE303132337、如图，、如图，BA AC于于A，BA CD，ABCE，ACCD，则，则ABC ，请说明理由，请说明理由ABCED343536ABCEF10、如图，分别以直角三角形、如图，分别以直角三角形ABC的两直角边的两直角边为边，在直角三角形的外部作两个等边三角形，为边，在直角三角形的外部作两个等边三角形，分别为分别为BCF和和ACE，连，连BE、AF。问：。问：BE和和AF相等吗？为什么？相等吗？为什
16、么？如果如果ABC不是直角三角形，还有类似结论吗？不是直角三角形，还有类似结论吗？3711、在等边、在等边ABC中，中，D、E是是AB、AC上的上的点，并且满足点，并且满足AD=CE，BE、CD相交于点相交于点O。求求DOB的度数。的度数。OBCDEA38已知：已知：BDBD、CECE是是ABCABC的高，点的高，点P P在在BDBD的的延长线上。延长线上。BP=AC,BP=AC,点点Q Q在在CECE上。上。CQ=ABCQ=AB。探索探索APAP与与AQAQ的关系。的关系。12.12.AEBCPDQ39已知：等腰已知：等腰RtRt OABOAB中中, AOB=90, AOB=90,等腰等腰R
17、tRt EOFEOF中中, EOF=90, EOF=90,连接连接AE,BFAE,BF。探。探究究AEAE与与BFBF的关系。的关系。13.13.BAOFE40 三边对应相等的两个三角形全等（可以简写三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为为“边边边边边边”或或“SSS”）。）。ABCDEF在在ABC和和 DEF中中 ABC DEF（SSS）AB=DEBC=EFCA=FD用符号语言表达为：用符号语言表达为：用符号语言表达为：用符号语言表达为： 三角形全等判定方法三角形全等判定方法1知识梳理知识梳理: :41 三角形全等判定方法三角形全等判定方法2用符号语言表达为：用符号语言表达为：用符号语言表达为：用符号语言表达为：在在ABC与与DEF中中ABCDEF（SAS） 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。等。(可以简写成可以简写成“边角边边角边”或或“ “SASSAS” ”) )知识梳理知识梳理: :FEDCBAAC=DFC=FBC=EF42知识梳理知识梳理: :ABDABCSSASSA不能不能不能不能判定全等判定全等判定全等判定全等43
