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1、 圆知识体系复习圆知识体系复习本章知识结构图圆的基本性质圆的基本性质圆圆圆的对称性圆的对称性弧、弦圆心角之间的关系弧、弦圆心角之间的关系同弧上的圆周角与圆心角的关系同弧上的圆周角与圆心角的关系与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系正多边形和圆正多边形和圆有关圆的计算有关圆的计算点和圆的位置关系点和圆的位置关系切线切线直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系三角形的外接圆三角形的外接圆三角形内切圆三角形内切圆等分圆等分圆圆和圆的位置关系圆和圆的位置关系弧长弧长扇形的面积扇形的面积圆锥的侧面积和全面积圆锥的侧面积和全面积一一.圆的基本概念圆的基本概念:1.圆的定义圆的定义:到定点的距离等于定长的点的到定
2、点的距离等于定长的点的集合叫做圆集合叫做圆.2.有关概念有关概念: (1)弦、直径弦、直径(圆中最长的弦圆中最长的弦)(2)弧、优弧、劣弧、等弧弧、优弧、劣弧、等弧(3)弦心距弦心距O二二. 圆的基本性质圆的基本性质1.圆的对称性圆的对称性:(1)圆是轴对称图形圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直经过圆心的每一条直线都是它的对称轴线都是它的对称轴.圆有无数条对称轴圆有无数条对称轴.(2)圆是中心对称图形圆是中心对称图形,并且绕圆心旋转并且绕圆心旋转任何一个角度都能与自身重合任何一个角度都能与自身重合,即圆具即圆具有旋转不变性有旋转不变性.2.垂径定理垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦垂直于弦的直
3、径平分这条弦,并且并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的两条弧.ADBPC CD是圆是圆O的直径的直径,CD AB AP=BP,ACBC=ADBD=3.同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系:(1)(1)在同圆或等圆中在同圆或等圆中, ,如果圆心角相等如果圆心角相等, ,那么它那么它所对的弧相等所对的弧相等, ,所对的弦相等所对的弦相等. .(2)(2)在圆中在圆中, ,如果弧相等如果弧相等, ,那么它所对的圆心角那么它所对的圆心角相等相等, ,所对的弦相等所对的弦相等. .(3)(3)在一个圆中在一个圆中, ,如果弦相等如果弦相等, ,那么它所对的弧那么它所对的
4、弧相等相等, ,所对的圆心角相等所对的圆心角相等. .ABDCO COD = AOBABCD= AB=CD例：如图，例：如图，P为为O的弦的弦BA延长线上一点，延长线上一点，PAAB2，PO5，求，求O的半径。的半径。关于弦的问题，常常关于弦的问题，常常需要需要过圆心作弦的垂线过圆心作弦的垂线段段，这是一条非常重要，这是一条非常重要的的辅助线辅助线。圆心到弦的距离、半圆心到弦的距离、半径、弦长径、弦长构成构成直角三角直角三角形形，便将问题转化为直，便将问题转化为直角三角形的问题。角三角形的问题。MAPBOA 4.圆周角圆周角:定义定义:顶点在圆周上，两边和圆相交的顶点在圆周上，两边和圆相交的角
5、，叫做圆周角角，叫做圆周角.性质性质:(1)在同一个圆中在同一个圆中,同弧所对的圆同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半周角等于它所对的圆心角的一半. BAC= BOC12在同圆或等圆中在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的所有的同弧或等弧所对的所有的圆周角相等圆周角相等.相等的圆周角所对的弧相等相等的圆周角所对的弧相等.圆周角的性质圆周角的性质(2)ADB与与AEB 、ACB 是同弧所对的圆周角是同弧所对的圆周角 ADB= AEB = ACB性质性质 3:半圆或直径所对的圆周角都半圆或直径所对的圆周角都相等相等,都等于都等于900(直角直角).性质性质4: 900的圆周角所对的弦是圆的直径的圆周
6、角所对的弦是圆的直径. AB是是 O的直径的直径 ACB=900圆周角的性质圆周角的性质:(2)点在圆上点在圆上 (3)点在圆外点在圆外(1)点在圆内点在圆内1.点和圆的位置关系点和圆的位置关系ACB如果规定点与圆心的距离为如果规定点与圆心的距离为d,圆的半径圆的半径为为r,则则d与与r的大小关系为的大小关系为:点与圆的位置关系 d与r的关系 点在圆内点在圆内点在圆上点在圆上点在圆外点在圆外drdrdr三三.与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系:2.直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系:OOOl ll ll l(1) 相离相离:(2) 相切相切:(3) 相交相交:一条直线与一个圆没有公共点一条
7、直线与一个圆没有公共点,叫做叫做直线与这个圆相离直线与这个圆相离.一条直线与一个圆只有一个公共点一条直线与一个圆只有一个公共点,叫叫做直线与这个圆相切做直线与这个圆相切.一条直线与一个圆有两个公共点一条直线与一个圆有两个公共点,叫叫做直线与这个圆相交做直线与这个圆相交.OOl l(1)当直线与圆相离时当直线与圆相离时dr;(2)当直线与圆相切时当直线与圆相切时d =r;(3)当直线与圆相交时当直线与圆相交时dr.直线与圆位置关系的识别直线与圆位置关系的识别:drl ldrOl ldr设圆的半径为设圆的半径为r,圆心到直线的距离为圆心到直线的距离为d,则则:1.与圆有一个公共点的直线。与圆有一个
8、公共点的直线。2.圆心到直线的距离等于圆的圆心到直线的距离等于圆的半径的直线是圆的切线。半径的直线是圆的切线。3.经过半径的外端且垂直于这条经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。半径的直线是圆的切线。OAl l OA是半径是半径,OA l l 直线直线l l是是 O的切线的切线.切线的性质切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径圆的切线垂直于经过切点的半径.OAl OA l l 直线直线l l是是 O的切线的切线,切切点为点为A切线长定理：切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；这点与圆心的连线平分的切线长相等；这点与圆心的连线平分这两
9、条切线的夹角。这两条切线的夹角。BAPO PA、PB为为 O的切线的切线 PA=PB, APO= BPO不在同一直线上的三点确定一个圆不在同一直线上的三点确定一个圆.OCBA三角形的外接圆与内切圆三角形的外接圆与内切圆:三角形的外心就是三角形各边垂直平分线的交点三角形的外心就是三角形各边垂直平分线的交点.OABC三角形的内心就是三角形各角平分线的交点三角形的内心就是三角形各角平分线的交点.等边三角形的外心与内心重合等边三角形的外心与内心重合.特别的特别的:内切圆半径与外接圆半径的比是内切圆半径与外接圆半径的比是1:2.OABCD经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的经过三角形的三个顶点的圆叫做三
10、角形的外接圆外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心外心，三角形叫做圆的三角形叫做圆的内接三角形内接三角形。问题问题1：如何作三角形的外接圆：如何作三角形的外接圆？如何找三角形的外心？如何找三角形的外心？问题问题2：三角形的外心一定：三角形的外心一定 在三角形内吗？在三角形内吗？ C90ABC是锐角三角形是锐角三角形ABC是钝角三角形是钝角三角形基础题：基础题：1. 1.既有外接圆既有外接圆既有外接圆既有外接圆, ,又内切圆的平行四边形是又内切圆的平行四边形是又内切圆的平行四边形是又内切圆的平行四边形是_._.2. 2.直角三角形的外接圆半径为直角三角形的外接圆半径为直角三
11、角形的外接圆半径为直角三角形的外接圆半径为5cm,5cm,内切圆半径为内切圆半径为内切圆半径为内切圆半径为1cm,1cm, 则此三角形的周长是则此三角形的周长是则此三角形的周长是则此三角形的周长是_._.3. 3. OO边长为边长为边长为边长为2cm2cm的正方形的正方形的正方形的正方形ABCDABCD的内切圆的内切圆的内切圆的内切圆,E,E、F F切切切切 OO 于于于于P P点，交点，交点，交点，交ABAB、BCBC于于于于E E、F F，则，则，则，则BEFBEF的周长是的周长是的周长是的周长是_._.EF HG正方形正方形正方形正方形22cm22cm2cm2cm4.如图，如图， O为为
12、ABC的内切圆，切点分的内切圆，切点分别为别为D，E，F，P是弧是弧FDE上的一点，若上的一点，若A+ C=110度，则度，则FPE=_度度CoDEAB.FP5 5如如图图，已已知知ABC的的三三边边长长分分别别为为AB=4cm，BC=5cm，AC=6cm，O是是ABC的的内内切切圆圆，切切点点分分别别是是E、F、G，则，则AE= ，BF= ，CG= 。7如图，M与x 轴相交于点A（2，0），B（8，0），与y轴相切于点C，求圆心M的坐标AO y.MCxB6. 6.小红家的锅盖坏了小红家的锅盖坏了小红家的锅盖坏了小红家的锅盖坏了, ,为了配一个锅盖为了配一个锅盖为了配一个锅盖为了配一个锅盖,
13、,需要测量锅盖的需要测量锅盖的需要测量锅盖的需要测量锅盖的直径直径直径直径( (锅边所形成的圆的直径锅边所形成的圆的直径锅边所形成的圆的直径锅边所形成的圆的直径), ),而小红家只有一把长而小红家只有一把长而小红家只有一把长而小红家只有一把长20cm20cm 的直尺的直尺的直尺的直尺, ,根本不够长根本不够长根本不够长根本不够长, ,怎么办呢怎么办呢怎么办呢怎么办呢? ?小红想了想小红想了想小红想了想小红想了想, ,采取以下方采取以下方采取以下方采取以下方法法法法: :首先把锅平放到墙根首先把锅平放到墙根首先把锅平放到墙根首先把锅平放到墙根, ,锅边刚好靠到两墙锅边刚好靠到两墙锅边刚好靠到两墙
14、锅边刚好靠到两墙, ,用直尺紧贴用直尺紧贴用直尺紧贴用直尺紧贴墙面量得墙面量得墙面量得墙面量得MAMA的长的长的长的长, ,即可求出即可求出即可求出即可求出锅盖锅盖锅盖锅盖的直径的直径的直径的直径, ,请你利用图乙请你利用图乙请你利用图乙请你利用图乙, ,说说说说明她这样做的道理明她这样做的道理明她这样做的道理明她这样做的道理. .圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系:.外离外离外切外切相交相交内切内切内含内含O1O2O1O2O1O2O2O1O1O2 两圆的位置关系数量关系及识别方法 外离 外切 相交 内切 内含dR+rd=R+rd=R-rdR-rR-rdR+r典型例题典型例题:1.如图如图, O
15、的直径的直径AB=12,以以OA为直径为直径的的 O1交大圆的弦交大圆的弦AC于于D,过过D点作小圆的点作小圆的切线交切线交OC于点于点E,交交AB于于F.EO1ODCBAF(2)猜想猜想DF与与OC的位的位置关系置关系,并说明理由并说明理由.(1)说明说明D是是AC的中点的中点.(3)若若DF=4,求求OF的长的长.2.如图如图,正方形正方形ABCD的边长为的边长为2,P是线段是线段BC上的一个动点上的一个动点.以以AB为直径作圆为直径作圆O,过点过点P作圆作圆O的切线交的切线交AD于点于点F,切点为切点为E.DCBAFPOE(1)求四边形求四边形CDFP的周长的周长.(2)设设BP=x,A
16、F=y,求求y关关于于x的函数解析式的函数解析式.Q三三.正多边形正多边形:2.半径：正多边形外接圆的半径叫做这半径：正多边形外接圆的半径叫做这个正多边形的半径个正多边形的半径.中心：一个正多边形外接圆的圆心中心：一个正多边形外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心叫做这个正多边形的中心3.中心角：正多边形每一边所对的外接圆中心角：正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角的圆心角叫做这个正多边形的中心角4.边心距：中心到正多边形一边的距离边心距：中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距叫做这个正多边形的边心距OABFDCEG3 正多边形和圆正多边形和圆（1）.有关概念有关概
17、念（2）.常用的方法常用的方法（3）.正多边形的作图正多边形的作图EFCD.边心距r半径半径半径半径R R R R中心角O O O O边OABCRda1.1.圆的周长和面积公式圆的周长和面积公式2.2.弧长的计算公式弧长的计算公式3.3.扇形的面积公式扇形的面积公式S=360nr2L L=180nr=12l lr rS或或四四.圆中的有关计算圆中的有关计算:周长周长C=2r面积面积s=r2Or4.圆柱的展开图圆柱的展开图:DBCArhS侧侧 =2r hS全全=2r h+2 r25.圆锥的展开图圆锥的展开图:底面底面侧面侧面aahrS侧侧 =r aS全全=r a+ r2例例.如图，圆锥的底面半径
18、为如图，圆锥的底面半径为2cm，母线长，母线长为为8cm，一只蚂蚁从底面圆周上一点，一只蚂蚁从底面圆周上一点A出出发，沿圆锥侧面爬行一周回到发，沿圆锥侧面爬行一周回到A点，求蚂点，求蚂蚁爬行的最短路线长是多少？蚁爬行的最短路线长是多少？BAOAECBAOD常见的基本图形及结论常见的基本图形及结论:1.如图如图,在以在以O为圆心的为圆心的两个同心圆中两个同心圆中,大圆的弦大圆的弦AB交小圆于交小圆于C、D,则则:AC=BD若大圆的弦切小圆于若大圆的弦切小圆于C,则则OACBAC=BC两圆之间的环形面积两圆之间的环形面积S= AB22.如图如图,以等腰以等腰ABC的腰的腰AB为直径作为直径作 O交
19、底边交底边BC于点于点D,则则:OCBAD点点D是是BC的中点的中点.OPBADC3.如图如图,已知已知PA、PB切圆切圆O于点于点A,B,过弧过弧AB上任一点上任一点E作圆作圆O的切线的切线,交交PA,PB于点于点C,D,则则:(1) PCD的周长的周长=2PA(2) COD= 900- APBEOABCOABCDFEDFE4.如图如图, ABC各边分别各边分别切圆切圆O于点于点D、E、F.(1) DEF= 900- A(3) S ABC= (a+b+c)r(2) BOC= 900+ AABCOEFD5.在在Rt ABC中中, ACB是直角是直角,三边分三边分别是别是a、b、c,内切圆半径是内切圆半径是r,则则:内切圆半径内切圆半径r=a+b-c26.如图如图,AB是圆是圆O的直径的直径,AD,BC,DC均均为切线为切线,则则:(1)DC=AD+BC(2) DOC=900OBDCAE专题一：与圆有关的辅助线的作法：专题一：与圆有关的辅助线的作法：辅助线，辅助线， 莫乱添，莫乱添， 规律方法记心间；规律方法记心间；圆半径，圆半径， 不起眼，不起眼， 角的计算常要连，角的计算常要连，构成等腰解疑难；构成等腰解疑难；切点和圆心，切点和圆心， 连结要领先；连结要领先； 遇到直径想直角，遇到直径想直角， 灵活应用才方便。灵活应用才方便。弦与弦心距，弦与弦心距， 亲密紧相连；亲密紧相连；
