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1、隐函数与参量函数微分法隐函数与参量函数微分法一、隐函数的导数一、隐函数的导数定义定义: :隐函数的显化隐函数的显化问题问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则隐函数求导法则: :用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.两边对两边对 x 求导，当遇到求导，当遇到 y 的函数的函数 f(y)时时将将求出的这些导数代入求出的这些导数代入得到关于得到关于的的代数方程，代数方程，至于隐函数求二阶导数，与上同理至于隐函数求二阶导数，与上同理例例1 1解解解得解得例例2 2解解所求切线方程为所求切线方程为显然通过原点显然通过原点
2、.例例3 3解解补证补证反函数的求导法则反函数的求导法则由由隐函数的微分法则隐函数的微分法则例例4解解例例5 求证抛物线求证抛物线上任一点的切线上任一点的切线在两在两坐标轴上的截距之和等于坐标轴上的截距之和等于a证证故故曲线上任一点曲线上任一点处处切线的斜率为切线的斜率为切线方程为切线方程为故在两故在两坐标轴上的截距之和为坐标轴上的截距之和为二、对数求导法二、对数求导法 有时会遇到这样的情形，即虽然给出的是显函数有时会遇到这样的情形，即虽然给出的是显函数但直接求导有困难或很麻烦但直接求导有困难或很麻烦观察函数观察函数方法方法: :先在方程两边取对数先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导然后
3、利用隐函数的求导方法求出导数方法求出导数.目的是利用对数的性质简化目的是利用对数的性质简化求导运算。求导运算。-对数求导法对数求导法适用范围适用范围: :例例6 6解解等式两边取对数得等式两边取对数得例例7 解解这这函数的定义域函数的定义域 两边取对数得两边取对数得两边对两边对 x 求导得求导得两边取对数得两边取对数得两边对两边对 x 求导得求导得同理同理例例8解解两边取对数得两边取对数得两边对两边对 x 求导得求导得例例9解解两边取对数得两边取对数得两边对两边对 x 求导得求导得例例1010解解等式两边取对数得等式两边取对数得一般地一般地三、由参数方程所确定的函数的导数三、由参数方程所确定的
4、函数的导数例如例如消去参数消去参数问题问题: : 消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导?参量函数参量函数由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得容易漏掉容易漏掉例例1111解解 所求切线方程为所求切线方程为例例12证证例例13设设曲线曲线由极坐标方程由极坐标方程r=r()所确定，试求该所确定，试求该曲线上任一点的切线斜率，并写出过对数螺线曲线上任一点的切线斜率，并写出过对数螺线上点上点处的处的切线的直角坐标方程切线的直角坐标方程解解由由极坐标和直角坐标的变换关系知极坐标和直角坐标的变换关系知切线斜率为切线斜率为故故切线的直角坐标方程为切线的直角坐标方程为例例
5、1414解解四、相关变化率四、相关变化率相关变化率问题相关变化率问题: :已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?例例1515解解4000m水面上升之速率水面上升之速率五、小结五、小结隐函数求导法则隐函数求导法则: : 直接对方程两边求导直接对方程两边求导;对数求导法对数求导法: : 对方程两边取对数对方程两边取对数,按隐函数的求按隐函数的求 导法则求导导法则求导;参数方程求导参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则实质上是利用复合函数求导法则;相关变化率相关变化率: : 通过函数关系确定两个相互依赖的通过函数关系确定两个相互依赖的 变化率变化率; ; 解法解法: : 通过建立两者之间的关系通过建立两者之间的关系, , 用链用链 式求导法求解式求导法求解. .思考题思考题思考题解答思考题解答不对不对
