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1、第四节第四节 直线、平面平行的判定及其性质直线、平面平行的判定及其性质基础梳理基础梳理1. 直线与平面平行的判定与性质(1)判定定理如果 一条直线和这个 的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.(2)性质定理如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面 ,那么这条直线就和 平行.平面外平面内相交交线2. 平面与平面平行的判定与性质(1)判定定理如果一个平面内有两条 都平行于另一个平面,那么这两个平面 .(2)性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么所得的两条交线 .3. 两个平行平面间的距离两个平行平面的 的长度叫做两个平行平面间的距离.相交直线平行平行公垂线段典例分
2、析典例分析【例1】已知四边形ABCD是空间四边形,E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形.题型一题型一 线线平行线线平行分析 若证四边形是平行四边形,只需证一组对边平行且相等或两组对边分别平行即可.证明 如图,连接BD.EH是ABD的中位线,EHBD,EH= BD.又FG是CBD的中位线,FGBD,FG= BD,FGEH,且FG=EH,四边形EFGH是平行四边形.学后反思 证明四边形EFGH是平行四边形,可有两条途径,一是证两组对边分别平行,二是证明一组对边平行且相等.举一反三举一反三1. 已知E、 分别是正方体 的棱AD、 的中点.求证:BEC=
3、 证明: 如图,连接 . ,E分别为 ,AD的中点, AE.四边形 为平行四边形, .又 , ,四边形 是平行四边形. EB.同理 EC.又 与CEB方向相同, =CEB.【例2】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,侧面对角线AB1,BC1上分别有两点E,F,且B1E=C1F.求证:EF平面ABCD.题型二线面平行题型二线面平行分析 要证EF平面ABCD,方法有两种:一是利用线面平行的判定定理,即在平面ABCD内确定EF的平行线;二是利用面面平行的性质定理,即过EF作与平面ABCD平行的平面.证明 方法一:过E作EMAB于M,过F作FNBC于N,连接MN(如图),则EMBB1,FNBB
4、1,EMFN.AB1=BC1,B1E=C1F,AE=BF, .又BB1=CC1,EM=FN,四边形EMNF是平行四边形,EFMN.又EF平面ABCD,MN平面ABCD,EF平面ABCD.方法二: 连接B1F,并延长交BC的延长线于点P,连接AP(如图).BPB1C1,B1FC1PFB, .AB1=BC1,B1E=C1F,AE=BF, ,EFAP.又EF平面ABCD,AP平面ABCD,EF平面ABCD.方法三:过点E作EHBB1于点H,连接FH(如图),则EHAB, .又AB1=BC1,B1E=C1F, FHB1C1.B1C1BC,FHBC.EHFH=H,平面EFH平面ABCD.EF平面EFH,
5、EF平面ABCD.学后反思 判断或证明线面平行的常用方法有:(1)利用线面平行的定义(无公共点);(2)利用线面平行的判定定理(a,b,aba);(3)利用面面平行的性质定理(,aa);(4)利用面面平行的性质(,a,a,aa).举一反三举一反三2. 如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为正方形,E为PC中点.求证:PA面EDB.证明:如图，连接AC交BD于O,连接EO.四边形ABCD为正方形,O为AC的中点.E为PC的中点,EO为PAC的中位线,故EOPA.又EO 面EDB，且PA 面EDB,PA面EDB.题型三题型三 面面平行面面平行【例3】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
6、其棱长为1.求证:平面AB1C平面A1C1D.分析 要证明面AB1C面A1C1D,根据面面平行的判定定理或推论，只要证明AC面A1C1D，AB1面A1C1D,且ACAB1=A,即可.证明 方法一: AA1BB1 AA1=BB1 AA1 CC1 BB1CC1 BB1=CC1 四边形AA1C1C为平行四边形 ACA1C1 A1C1平面A1C1D AC平面A1C1D方法二:易知AA1和CC1确定一个平面AC1,于是,平面AC1平面A1C1=A1C1平面AC1平面AC=AC平面A1C1平面AC A1C1AC A1C1平面AB1C AC平面AB1C AC平面A1C1D 同理,AB1平面A1C1D 平面A
7、B1C平面A1C1D. ACAB1=AA1C1平面AB1C 同理,A1D平面AB1C 平面AB1C平面A1C1D. A1C1A1D=A1学后反思 证明平面与平面相互平行,一般利用面面平行的判定定理,将面面平行转化为线面平行或线线平行来证明.具体方法有:(1)面面平行的定义;(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行;(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行;(4)两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行;(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化.3. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N、E、F分别是棱A1B
8、1,A1D1,B1C1,C1D1的中点.求证:平面AMN平面EFDB.举一反三举一反三证明: 如图，连接MF.M、F分别是A1B1,C1D1的中点,且四边形A1B1C1D1为正方形,MFA1D1.又A1D1 AD,MFAD,四边形ADFM为平行四边形,AMDF.又AM平面EFDB,DF平面EFDB,AM平面EFDB.同理可证,AN平面EFDB.AM,AN平面AMN,AMAN=A,平面AMN平面EFDB.题型四题型四 平行的探究问题平行的探究问题【例4】长方体ABCD-ABCD，点PBB（不与B、B重合），PABA=M,PCBC=N,求证：MN平面AC.分析 要证明MN平面AC,只要证明MN平行
9、于面AC内的一条直线即可，而这条直线应与MN共面.由于AC与MN共面,只要证明ACMN即可.解 如图，连接AC,AC,ABCDABCD为长方体，ACAC.AC平面ACB,AC平面ACB,AC平面ACB.又平面PAC过AC与平面ACB交于MN，MNAC.MN平面AC，AC平面AC，MN平面AC.学后反思 定理、定义是做题的依据，具备了条件，便可得到结论；条件不足，要通过题设和图形的结构特征、性质去寻求，增添辅助线是解决问题的关键.4. 如图,四棱锥PABCD的底面是边长为a的正方形,侧棱PA底面ABCD,侧面PBC内有BEPC于E,且 ,试在AB上找一点F,使EF平面PAD.举一反三举一反三解析
10、： 如图，在面PCD内作EGPD于G,连接AG.PA平面ABCD,CDAD,CD面PAD,CDPD,CDEG.又ABCD,EGAB.若有EF平面PAD,则EFAG,四边形AFEG为平行四边形,即EG=AF. ,且易知PBC为直角三角形,BC2=CECPCP= ,故AFFB=21时,EF平面PAD.题型五题型五 平行关系的综合应用平行关系的综合应用【例5】(14分)如图，正三棱柱 的底面边长为2,点E、F分别是棱 、 上的点，点M是线段AC上的动点，EC=2FB=2.（1）当点M在何位置时，MB平面AEF;(2)若MB平面AEF，判断MB与EF的位置关系，说明理由，并求MB与EF所成角的余弦值.
11、分析 对于第（1）问，可采用分析法得到，即假设MB平面AEF，则平面MBF与AEF的交线与MB平行，由平面几何的知识不难探求M应为AC的中点;第（2）问MB与EF异面可由判定定理推证，求夹角用平移法.解 (1)如图，当M是线段AC中点时，MB平面AEF.取AE中点N，连接NF,MN，则MN CE BF,即MN BF,.2MNFB是平行四边形，MB NF.4又NF 平面AEF，MB 平面AEF，MB平面AEF.6(2)MB与EF是两条异面直线.EF 平面 ,B平面 ,B EF,M 平面 ，MB与EF是异面直线.8由（1）知MBNF,EFN就是异面直线MB与EF所成的角10由平面ABC平面 ，BM
12、AC,知MB平面 ，又NFMB,FN平面 FNAE，而N是AE的中点,EF=AF= ，NF=BM= ，.12在RtEFN中,cosEFN= .即所求角的余弦值为 .145. 如图所示,在四面体ABCD中,截面EFGH平行于对棱AB和CD.试问:截面在什么位置时,截面的面积最大?举一反三举一反三解析： AB平面EFGH,平面EFGH与平面ABC和平面ABD分别交于FG、EH,ABFG,ABEH,FGEH.同理可证,EFGH.截面EFGH是平行四边形.设AB=a,CD=b,FGH=(a、b、均为定值,其中为异面直线AB与CD所成的角),又设FG=x,GH=y.由平面几何知识,得 .两式相加,得 ,
13、即y= (a-x).S EFGH=FGGHsin =x (a-x)sin = x(a-x).x0,a-x0,且x+(a-x)=a(定值),当且仅当x=a-x,即x= 时,(SEFGH)max= .故当截面EFGH的顶点E、F、G、H分别为棱AD、AC、BC、BD的中点时,截面面积最大.易错警示易错警示【例】如图所示,已知E,F分别是正方体 棱 , 上的点，且AE= .求证:四边形 是平行四边形.错解 在正方体 中,平面 平面 由两平行平面与第三平面相交，得交线平行,故 FB.同理可证, EB.故四边形 为平行四边形.错解分析 错解主要错在盲目地在立体几何证明中套用平面几何定理.立体几何问题只有
14、在化归为平面几何问题后才能直接使用平面几何知识解题.正确的思路应分为两步,第一步将立体几何问题化归为平面几何问题,即先证明四边形 为平面四边形(四点共面),第二步再证四边形 为平行四边形,或者用平行四边形的充要条件证明.正解 方法一:如图,在平面 中,作EGAD交 于G点,连接GC,易证EG AD BC,四边形GEBC为平行四边形,EB GC.又由AE= ,得 FC,四边形 为平行四边形, GC.于是EB ,四边形 为平行四边形.方法二:在平面 中,过A作AH 交 于H,连接HF,易得四边形 为平行四边形.于是 AE 四边形 为平行四边形, HF.又 AB,HF AB,四边形HABF为平行四边
15、形,AH BF.又AH ,BF 四边形 为平行四边形.考点演练考点演练10. 如图，正方体 的棱长为1 cm，过AC作平行于对角线 的截面，求截面面积.解析：如图，设过AC的平面交 于E点，连接BD交AC于点F. 平面AEC， 平面 ，平面 平面AEC=EF，EF AB=1,AC= ,EF= BD1= , 11. 在空间四边形ABCD中，P、Q、R分别为AB、AD、CD的中点，平面PQR交BC于S.求证：四边形PQRS为平行四边形.证明: 如图，P、Q为AB、AD中点，PQBD.又PQ 平面BCD，BD 平面BCD,PQ平面BCD.又平面PQR平面BCD=RS,PQ 平面PQR,PQRS.R是DC的中点，S为BC的中点，PQ RS,四边形PQRS为平行四边形.12. 如图所示，在直四棱柱 中，已知DC= =2AD=2AB,ADDC,ABDC，设E是DC的中点.求证：D1E平面 证明： 如图，连接BE，则四边形DABE为正方形，BE=AD= ,且BEAD ,四边形 为平行四边形， .又 平面 平面 平面
