全国大学生力学竞赛—材料力学冲刺课件

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1、 材材材材 料料料料 力力力力 学学学学 竞竞竞竞 赛赛赛赛 训训训训 练（练（练（练（2 2）一、简化问题一、简化问题一、简化问题一、简化问题一、简化问题一、简化问题二、平衡与叠加二、平衡与叠加二、平衡与叠加二、平衡与叠加二、平衡与叠加二、平衡与叠加三、结构的失效三、结构的失效三、结构的失效三、结构的失效三、结构的失效三、结构的失效模型简化模型简化模型简化模型简化模型简化模型简化 数学简化数学简化数学简化数学简化数学简化数学简化 物理事实简化物理事实简化物理事实简化物理事实简化物理事实简化物理事实简化 对称结构简化对称结构简化对称结构简化对称结构简化对称结构简化对称结构简化 整体平衡整体平衡

2、整体平衡整体平衡局部平衡局部平衡局部平衡局部平衡叠加原理及其应用叠加原理及其应用叠加原理及其应用叠加原理及其应用构件的失效构件的失效构件的失效构件的失效训训 练练 内内 容容危险截面和危险点危险截面和危险点危险截面和危险点危险截面和危险点危险截面和危险点危险截面和危险点组合结构的失效组合结构的失效组合结构的失效组合结构的失效四、变动荷载问题四、变动荷载问题四、变动荷载问题四、变动荷载问题四、变动荷载问题四、变动荷载问题变动荷载对结构强度、刚度和稳定性的变动荷载对结构强度、刚度和稳定性的变动荷载对结构强度、刚度和稳定性的变动荷载对结构强度、刚度和稳定性的变动荷载对结构强度、刚度和稳定性的变动荷载

3、对结构强度、刚度和稳定性的最不利位置最不利位置最不利位置最不利位置最不利位置最不利位置利用极值性质确定利用极值性质确定利用极值性质确定利用极值性质确定利用极值性质确定利用极值性质确定最不利位置最不利位置最不利位置最不利位置最不利位置最不利位置临界点、临界线以及它们所界定的区域临界点、临界线以及它们所界定的区域临界点、临界线以及它们所界定的区域临界点、临界线以及它们所界定的区域临界点、临界线以及它们所界定的区域临界点、临界线以及它们所界定的区域五、极值和优化问题五、极值和优化问题五、极值和优化问题五、极值和优化问题五、极值和优化问题五、极值和优化问题利用函数导数求极值利用函数导数求极值利用函数导

4、数求极值利用函数导数求极值张量的极值就是其主值张量的极值就是其主值张量的极值就是其主值张量的极值就是其主值利用极值出现处的性质和特点求极值利用极值出现处的性质和特点求极值利用极值出现处的性质和特点求极值利用极值出现处的性质和特点求极值结构的优化结构的优化结构的优化结构的优化基础性概念和基本方法基础性概念和基本方法基础性概念和基本方法基础性概念和基本方法基础性概念和基本方法基础性概念和基本方法六、非线性问题六、非线性问题六、非线性问题六、非线性问题六、非线性问题六、非线性问题七、能量方法七、能量方法七、能量方法七、能量方法七、能量方法七、能量方法八、应变的测量八、应变的测量八、应变的测量八、应变

5、的测量八、应变的测量八、应变的测量物理非线性物理非线性物理非线性物理非线性物理非线性物理非线性几何非线性几何非线性几何非线性几何非线性几何非线性几何非线性稳定问题稳定问题稳定问题稳定问题稳定问题稳定问题互等定理互等定理互等定理互等定理互等定理互等定理温度荷载问题温度荷载问题温度荷载问题温度荷载问题温度荷载问题温度荷载问题动荷载问题动荷载问题动荷载问题动荷载问题动荷载问题动荷载问题非线性问题非线性问题非线性问题非线性问题非线性问题非线性问题应变测试原理应变测试原理应变测试原理应变测试原理应变测试原理应变测试原理常用测试方法常用测试方法常用测试方法常用测试方法常用测试方法常用测试方法五、极值和优化

6、问题五、极值和优化问题五、极值和优化问题五、极值和优化问题五、极值和优化问题五、极值和优化问题利用函数导数求极值利用函数导数求极值利用函数导数求极值利用函数导数求极值提示提示提示提示 利用函数导数求极值的关键，是明确自变量和目标利用函数导数求极值的关键，是明确自变量和目标函数，并建立目标函数函数，并建立目标函数与自变量之间的函数关系。与自变量之间的函数关系。 一般可以直接利用目标函数的物理意义来确定所求出一般可以直接利用目标函数的物理意义来确定所求出极值是极大或极小。大多数情况下不必通过二阶导数确定极值是极大或极小。大多数情况下不必通过二阶导数确定极值的性质。极值的性质。 由于在许多情况下是在

7、有限区间内讨论问题的，因此由于在许多情况下是在有限区间内讨论问题的，因此应注意区间两端点处的函数值是否可能构成极值。应注意区间两端点处的函数值是否可能构成极值。 如果函数是线性的，那么极值一定出现在所讨论的区如果函数是线性的，那么极值一定出现在所讨论的区间的两个端点处。间的两个端点处。RRR例例例例例例 圆形横截面对称地去掉最上下部份，有圆形横截面对称地去掉最上下部份，有圆形横截面对称地去掉最上下部份，有可能使抗弯截面系数增加。求使抗弯截面系可能使抗弯截面系数增加。求使抗弯截面系可能使抗弯截面系数增加。求使抗弯截面系数为最大的角度数为最大的角度数为最大的角度 。 圆台的惯性矩等于四个三角形与四

8、个扇圆台的惯性矩等于四个三角形与四个扇圆台的惯性矩等于四个三角形与四个扇形对水平对称轴惯性矩的和。形对水平对称轴惯性矩的和。形对水平对称轴惯性矩的和。三角形对水平对称轴的惯性矩三角形对水平对称轴的惯性矩三角形对水平对称轴的惯性矩 I I I1 11bbhhCCKK直角三角形对于过形心的直角三角形对于过形心的直角三角形对于过形心的 C C C 轴的惯性矩。轴的惯性矩。轴的惯性矩。R例例例例例例 圆形横截面对称地去掉最上下部份，有圆形横截面对称地去掉最上下部份，有圆形横截面对称地去掉最上下部份，有可能使抗弯截面系数增加。求使抗弯截面系可能使抗弯截面系数增加。求使抗弯截面系可能使抗弯截面系数增加。求

9、使抗弯截面系数为最大的角度数为最大的角度数为最大的角度 。 圆台的惯性矩等于四个三角形与四个扇圆台的惯性矩等于四个三角形与四个扇圆台的惯性矩等于四个三角形与四个扇形对水平对称轴惯性矩的和。形对水平对称轴惯性矩的和。形对水平对称轴惯性矩的和。三角形对水平对称轴的惯性矩三角形对水平对称轴的惯性矩三角形对水平对称轴的惯性矩 扇形对水平对称轴的惯性矩扇形对水平对称轴的惯性矩扇形对水平对称轴的惯性矩Rr例例例例例例 圆形横截面对称地去掉最上下部份，有圆形横截面对称地去掉最上下部份，有圆形横截面对称地去掉最上下部份，有可能使抗弯截面系数增加。求使抗弯截面系可能使抗弯截面系数增加。求使抗弯截面系可能使抗弯截

10、面系数增加。求使抗弯截面系数为最大的角度数为最大的角度数为最大的角度 。 圆台的惯性矩等于四个三角形与四个扇圆台的惯性矩等于四个三角形与四个扇圆台的惯性矩等于四个三角形与四个扇形对水平对称轴惯性矩的和。形对水平对称轴惯性矩的和。形对水平对称轴惯性矩的和。三角形对水平对称轴的惯性矩三角形对水平对称轴的惯性矩三角形对水平对称轴的惯性矩 扇形对水平对称轴的惯性矩扇形对水平对称轴的惯性矩扇形对水平对称轴的惯性矩RrRrR圆台关于水平对称轴的惯性矩圆台关于水平对称轴的惯性矩圆台关于水平对称轴的惯性矩抗弯截面系数抗弯截面系数抗弯截面系数圆台关于水平对称轴的惯性矩圆台关于水平对称轴的惯性矩圆台关于水平对称轴

11、的惯性矩抗弯截面系数抗弯截面系数抗弯截面系数RrRR抗弯截面系数抗弯截面系数抗弯截面系数未切前抗弯截面系数未切前抗弯截面系数未切前抗弯截面系数五、极值和优化问题五、极值和优化问题五、极值和优化问题五、极值和优化问题五、极值和优化问题五、极值和优化问题利用函数导数求极值利用函数导数求极值利用函数导数求极值利用函数导数求极值利用极值出现处的性质和特点求极值利用极值出现处的性质和特点求极值利用极值出现处的性质和特点求极值利用极值出现处的性质和特点求极值提示提示提示提示提示提示 函数在某点处取极值，那么在这一点处函数的导数为函数在某点处取极值，那么在这一点处函数的导数为函数在某点处取极值，那么在这一点

12、处函数的导数为零。若函数是挠度，则意味着该点转角为零。零。若函数是挠度，则意味着该点转角为零。零。若函数是挠度，则意味着该点转角为零。例例例例例例 如图的简支梁中，如图的简支梁中，如图的简支梁中，BC BC BC 段段段为刚体。为刚体。为刚体。ACACAC 段的抗弯刚度为段的抗弯刚度为段的抗弯刚度为EIEIEI ，求梁中的最大挠度，求梁中的最大挠度，求梁中的最大挠度。 q q q L LLB BBA AAL LLC CC梁的变形如图。梁的变形如图。梁的变形如图。先求支反力。先求支反力。先求支反力。 最大挠度必产生于最大挠度必产生于最大挠度必产生于 ACACAC 之间。之间。之间。q q q B

13、 BBA AAC CCq q q B BBA AAC CC3 33qLqLqL / / 4 4 4 qLqLqL / / 4 4 4 q q q B BBA AAC CC3 33qLqLqL / / 4 4 4 = 0= 0= 0qLqLqL / / 4 4 4 将原结构视为两段悬臂梁。将原结构视为两段悬臂梁。将原结构视为两段悬臂梁。q q B BA AAC C3 3qLqL / / 4 4 x xxqLqLqL / / 4 4 4 q q q B BBA AC CC3 33qLqLqL / / 4 4 4 L LLL LL x xxqLqL / / 4 4 q B BBA AqLqLqL /

14、 / 4 4 4 L LL x xxqLqL / / 4 4 L LLqLqLqL2 22 / / 4 4 4 例例例例例例 如图的简支梁中，如图的简支梁中，如图的简支梁中，BC BC BC 段段段为刚体。为刚体。为刚体。ACACAC 段的抗弯刚度为段的抗弯刚度为段的抗弯刚度为EIEIEI ，求梁中的最大挠度，求梁中的最大挠度，求梁中的最大挠度。 梁的变形如图。梁的变形如图。梁的变形如图。先求支反力。先求支反力。先求支反力。 最大挠度必产生于最大挠度必产生于最大挠度必产生于 ACACAC 之间。之间。之间。将原结构视为两段悬臂梁。将原结构视为两段悬臂梁。将原结构视为两段悬臂梁。q B BBA

15、AqLqLqL / / 4 4 4 L LL x xxqLqL / / 4 4 L LLqLqLqL2 22 / / 4 4 4 q B BBA AqLqLqL / / 4 4 4 L LL x xxqLqL / / 4 4 L LLqLqLqL2 22 / / 4 4 4 由由由 可解得可解得可解得故有最大挠度故有最大挠度故有最大挠度q q q B BBA AAC CCw wwmaxmaxmax 提示提示提示提示提示提示 简支梁问题的求解，可以在极值点处分解为两个悬简支梁问题的求解，可以在极值点处分解为两个悬简支梁问题的求解，可以在极值点处分解为两个悬臂梁来进行分析。臂梁来进行分析。臂梁来进

16、行分析。五、极值和优化问题五、极值和优化问题五、极值和优化问题五、极值和优化问题五、极值和优化问题五、极值和优化问题利用函数导数求极值利用函数导数求极值利用函数导数求极值利用函数导数求极值结构的优化结构的优化结构的优化结构的优化利用极值出现处的性质和特点求极值利用极值出现处的性质和特点求极值利用极值出现处的性质和特点求极值利用极值出现处的性质和特点求极值提示提示提示提示提示提示 优化的结构，应使结构的各部份的强度、刚度和稳定优化的结构，应使结构的各部份的强度、刚度和稳定优化的结构，应使结构的各部份的强度、刚度和稳定性都得到充分的利用。性都得到充分的利用。性都得到充分的利用。 在强度问题中，优化

17、的结构应尽量使结构中各构件（或构在强度问题中，优化的结构应尽量使结构中各构件（或构在强度问题中，优化的结构应尽量使结构中各构件（或构件中的各个部份）的危险点应力同时达到许用应力。件中的各个部份）的危险点应力同时达到许用应力。件中的各个部份）的危险点应力同时达到许用应力。例例例例例例 如图的混凝土梁单位长度的重如图的混凝土梁单位长度的重如图的混凝土梁单位长度的重量为量为量为 q q q 。为了便于运输，可在梁上。为了便于运输，可在梁上。为了便于运输，可在梁上预埋吊钩。吊钩位置应在何处？如预埋吊钩。吊钩位置应在何处？如预埋吊钩。吊钩位置应在何处？如何正确吊装以避免梁开裂？何正确吊装以避免梁开裂？何

18、正确吊装以避免梁开裂？L L L 吊钩应置于横截面尺寸小的一侧，并关于中点对称预埋。吊钩应置于横截面尺寸小的一侧，并关于中点对称预埋。吊钩应置于横截面尺寸小的一侧，并关于中点对称预埋。梁处于吊装状态时，可简化为如图的梁。梁处于吊装状态时，可简化为如图的梁。梁处于吊装状态时，可简化为如图的梁。a a a L L L a a a q q q L LLB BBA AAa aaa aaC CCD DD弯矩的峰值出现在弯矩的峰值出现在弯矩的峰值出现在 C C C、D D D 截面。截面。截面。例例例例例例 如图的混凝土梁单位长度的重如图的混凝土梁单位长度的重如图的混凝土梁单位长度的重量为量为量为 q q

19、 q 。为了便于运输，可在梁上。为了便于运输，可在梁上。为了便于运输，可在梁上预埋吊钩。吊钩位置应在何处？如预埋吊钩。吊钩位置应在何处？如预埋吊钩。吊钩位置应在何处？如何正确吊装以避免梁开裂？何正确吊装以避免梁开裂？何正确吊装以避免梁开裂？吊钩应置于横截面尺寸小的一侧，并关于中点对称预埋。吊钩应置于横截面尺寸小的一侧，并关于中点对称预埋。吊钩应置于横截面尺寸小的一侧，并关于中点对称预埋。梁处于吊装状态时，可简化为如图的梁。梁处于吊装状态时，可简化为如图的梁。梁处于吊装状态时，可简化为如图的梁。弯矩的峰值出现在弯矩的峰值出现在弯矩的峰值出现在 C C C、D D D 截面。截面。截面。q q q

20、 L LLB BBA AAa aaa aaC CCD DDq q q L LLB BBA AAa aaa aaC CCD DD 考察考察考察 C C C、D D D 截面的弯矩与截面的弯矩与截面的弯矩与 a a a 的函数关系。的函数关系。的函数关系。MMMa aaMMMqLqLqL2 2 2 8 88 L LL 4 44 L LL 2 22 a aaqLqLqL2 2 2 8 88 MMMC CCMMMqLqLqL2 2 2 8 88 L LL 4 44 L LL 2 22 a aaqLqLqL2 2 2 8 88 MMMC CCMMMD DDMMMqLqLqL2 2 2 8 88 L LL

21、 4 44 L LL 2 22 a aaqLqLqL2 2 2 8 88 MMMC CCMMMD DDMDMMMqLqLqL2 2 2 8 88 L LL 4 44 L LL 2 22 a aaqLqLqL2 2 2 8 88 MMMC CCMMMD DDMD 只有只有只有 C C C 、D DD 截面弯矩的绝对截面弯矩的绝对截面弯矩的绝对值相等，值相等，值相等， 才能使最大绝对值弯矩才能使最大绝对值弯矩才能使最大绝对值弯矩为最小。为最小。为最小。q q q L LLB BBA AAa aaa aaC CCD DD 为了避免产生附加的弯矩，为了避免产生附加的弯矩，为了避免产生附加的弯矩，在吊装

22、时可考虑采用辅助吊杆。在吊装时可考虑采用辅助吊杆。在吊装时可考虑采用辅助吊杆。提示提示提示提示提示提示 当某个参量同时决定两个当某个参量同时决定两个当某个参量同时决定两个函数，且这两个函数处于此长彼函数，且这两个函数处于此长彼函数，且这两个函数处于此长彼消的态势时，这两个函数值的交消的态势时，这两个函数值的交消的态势时，这两个函数值的交点往往就是极值点。点往往就是极值点。点往往就是极值点。MMMqLqLqL2 2 2 8 88 L LL 4 44 L LL 2 22 a aaqLqLqL2 2 2 8 88 MMMC CCMMMD DDMD分析和讨论分析和讨论分析和讨论分析和讨论 q q q

23、L LLA AAB BB 梁的横截面为矩形，两支座怎样移动，才能使梁的承梁的横截面为矩形，两支座怎样移动，才能使梁的承梁的横截面为矩形，两支座怎样移动，才能使梁的承载能力为最大？载能力为最大？载能力为最大？60603030 梁的横截面如图，两支座怎样移动，才能使梁的承载梁的横截面如图，两支座怎样移动，才能使梁的承载梁的横截面如图，两支座怎样移动，才能使梁的承载能力为最大？能力为最大？能力为最大？例例例例例例 如图承受均布荷载的梁由三个如图承受均布荷载的梁由三个如图承受均布荷载的梁由三个相通的油缸支承。为使梁中弯矩为相通的油缸支承。为使梁中弯矩为相通的油缸支承。为使梁中弯矩为最小，油缸的直径比应

24、为多少？并最小，油缸的直径比应为多少？并最小，油缸的直径比应为多少？并求中间支座与两端支座的高度差。求中间支座与两端支座的高度差。求中间支座与两端支座的高度差。d dd1 11d dd1 11d dd2 22L LLL LLA AAq qq分析分析分析分析分析分析 由于底部油缸连通，即油压相同，因此梁所承受的支反由于底部油缸连通，即油压相同，因此梁所承受的支反由于底部油缸连通，即油压相同，因此梁所承受的支反力与油缸支承面积成正比。力与油缸支承面积成正比。力与油缸支承面积成正比。 因此，欲求梁中弯矩为最小的要求，实际上是对支反力的因此，欲求梁中弯矩为最小的要求，实际上是对支反力的因此，欲求梁中弯

25、矩为最小的要求，实际上是对支反力的要求。要求。要求。A AAq qqR RRR=R=R=0 00M=qLM=qLM=qL2 22/ / / 2 22R qLR qLR qLRqLRqLR=R=R=2 22qLqLqLM=qLM=qLM=qL2 22/ / / 2 22R RR 问题可简化为如图的模型。问题可简化为如图的模型。问题可简化为如图的模型。当梁中正弯矩与负弯矩数值相等时，梁中弯矩最小。当梁中正弯矩与负弯矩数值相等时，梁中弯矩最小。当梁中正弯矩与负弯矩数值相等时，梁中弯矩最小。 梁中的正弯矩随梁中的正弯矩随梁中的正弯矩随 R R R 的增加单调的增加单调的增加单调递减。递减。递减。梁中的

26、负弯矩数值随梁中的负弯矩数值随梁中的负弯矩数值随 R R R 的增加单调递增。的增加单调递增。的增加单调递增。端部支反力：端部支反力：端部支反力：d dd1 11d dd1 11d dd2 22L LLL LLA AAq qq例例例例例例 如图承受均布荷载的梁由三个如图承受均布荷载的梁由三个如图承受均布荷载的梁由三个相通的油缸支承。为使梁中弯矩为相通的油缸支承。为使梁中弯矩为相通的油缸支承。为使梁中弯矩为最小，油缸的直径比应为多少？并最小，油缸的直径比应为多少？并最小，油缸的直径比应为多少？并求中间支座与两端支座的高度差。求中间支座与两端支座的高度差。求中间支座与两端支座的高度差。A AAq

27、qqx xxR RRqLqLqLR/ R/ R/ 2 22A AAq qqR RRqLqLqLR/ R/ R/ 2 22x xx 跨中弯矩跨中弯矩跨中弯矩跨中弯矩取极值的位置跨中弯矩取极值的位置跨中弯矩取极值的位置该处弯矩该处弯矩该处弯矩d dd1 11d dd1 11d dd2 22L LLL LLA AAq qq跨中弯矩跨中弯矩跨中弯矩跨中弯矩取极值的位置跨中弯矩取极值的位置跨中弯矩取极值的位置该处弯矩该处弯矩该处弯矩A AAq qqR RRqLqLqLR/ R/ R/ 2 22x xx d dd1 11d dd1 11d dd2 22L LLL LLA AAq qq中点弯矩中点弯矩中点弯

28、矩A AAq qqR RRqLqLqLR/ R/ R/ 2 22x xx 跨中弯矩极值与中点弯矩数值跨中弯矩极值与中点弯矩数值跨中弯矩极值与中点弯矩数值相等：相等：相等：由此可得中点支反力：由此可得中点支反力：由此可得中点支反力：d dd1 11d dd1 11d dd2 22L LLL LLA AAq qq中点弯矩中点弯矩中点弯矩 跨中弯矩极值与中点弯矩数值跨中弯矩极值与中点弯矩数值跨中弯矩极值与中点弯矩数值相等：相等：相等：由此可得中点支反力：由此可得中点支反力：由此可得中点支反力：A AAq qqR RRqLqLqLR/ R/ R/ 2 22x xx d dd1 11d dd1 11d

29、dd2 22L LLL LLA AAq qqA AAq qqR RRqLqLqLR/ R/ R/ 2 22x xx 端部支反力：端部支反力：端部支反力：两者之比：两者之比：两者之比：若油缸压力为若油缸压力为若油缸压力为 p p p：支座高度差：支座高度差：支座高度差：d dd1 11d dd1 11d dd2 22L LLL LLA AAq qq分析和讨论分析和讨论分析和讨论分析和讨论 如图的悬臂梁承受均布荷载，如图的悬臂梁承受均布荷载，如图的悬臂梁承受均布荷载，右端有一铰支座。为了提高梁的承右端有一铰支座。为了提高梁的承右端有一铰支座。为了提高梁的承载能力，可以把支座的位置适当向载能力，可以

30、把支座的位置适当向载能力，可以把支座的位置适当向上提升上提升上提升 。支座高度差支座高度差支座高度差L LLq qqL LLq qq 等于多少，才能使梁的承载等于多少，才能使梁的承载等于多少，才能使梁的承载能力提高得最多？能力提高得最多？能力提高得最多？d dd1 11d dd1 11d dd2 22L LLL LLA AAq qqx xxy yyx xx等强度梁的概念等强度梁的概念等强度梁的概念等强度梁的概念等强度梁的概念等强度梁的概念 由此即可确定截面的尺寸。由此即可确定截面的尺寸。 截面尺寸主要截面尺寸主要取决于弯矩，但在取决于弯矩，但在剪力很大而弯矩较剪力很大而弯矩较小的区段也应考虑小

31、的区段也应考虑剪力的影响。剪力的影响。根据强度设计梁的截面根据强度设计梁的截面根据强度设计梁的截面根据强度设计梁的截面根据强度设计梁的截面根据强度设计梁的截面 P PPL/L/L/ 2 22L/L/L/ 2 22P PPL/L/L/ 2 22L/L/L/ 2 22h hh0 00xh1(x)P PPL/L/L/ 2 22L/L/L/ 2 22h hh0 00在左端，只考虑剪力的影响在左端，只考虑剪力的影响在左端，只考虑剪力的影响随着随着随着 x x x 的增加，应考虑弯矩的影响的增加，应考虑弯矩的影响的增加，应考虑弯矩的影响由于对称性，可以只考虑左半部份。由于对称性，可以只考虑左半部份。由于对

32、称性，可以只考虑左半部份。例例例例例例 图中梁的宽度图中梁的宽度图中梁的宽度 b b b 保持不保持不保持不变，材料许用应力为变，材料许用应力为变，材料许用应力为 和和和 ，根据等强度观点确定根据等强度观点确定根据等强度观点确定梁的高度梁的高度梁的高度 h h h 的变化规律。的变化规律。的变化规律。b bbh hhxh1(x)P PPL/L/L/ 2 22L/L/L/ 2 22h hh0 00P PPL/L/L/ 2 22L/L/L/ 2 22显然显然显然 h h h1 11 应大于应大于应大于 零零零，即，即，即故有故有故有例例例例例例 图中梁的宽度图中梁的宽度图中梁的宽度 b b b 保

33、持不保持不保持不变，材料许用应力为变，材料许用应力为变，材料许用应力为 和和和 ，根据等强度观点确定根据等强度观点确定根据等强度观点确定梁的高度梁的高度梁的高度 h h h 的变化规律。的变化规律。的变化规律。b bbh hh分析和讨论分析和讨论分析和讨论分析和讨论 为什么汽车车厢为什么汽车车厢为什么汽车车厢的支承弹簧要采取如的支承弹簧要采取如的支承弹簧要采取如图的结构形式？图的结构形式？图的结构形式？分析和讨论分析和讨论分析和讨论分析和讨论 为了提高结构的承载能力和经济性，可以采取哪些措施？为了提高结构的承载能力和经济性，可以采取哪些措施？为了提高结构的承载能力和经济性，可以采取哪些措施？改

34、善荷载分布方式和支承方式改善荷载分布方式和支承方式改善荷载分布方式和支承方式改善荷载分布方式和支承方式改善荷载分布方式和支承方式改善荷载分布方式和支承方式利用材料性能改善结构的承载方式利用材料性能改善结构的承载方式利用材料性能改善结构的承载方式利用材料性能改善结构的承载方式利用材料性能改善结构的承载方式利用材料性能改善结构的承载方式改善构件的几何形式改善构件的几何形式改善构件的几何形式改善构件的几何形式改善构件的几何形式改善构件的几何形式在超静定结构中有意识地利用装配应力在超静定结构中有意识地利用装配应力在超静定结构中有意识地利用装配应力在超静定结构中有意识地利用装配应力在超静定结构中有意识地

35、利用装配应力在超静定结构中有意识地利用装配应力提示提示提示提示提示提示 梁由混凝土材料制成，如果横截面从左图改为右图，梁由混凝土材料制成，如果横截面从左图改为右图，梁由混凝土材料制成，如果横截面从左图改为右图，只能改善强度而不能改善刚度。只能改善强度而不能改善刚度。只能改善强度而不能改善刚度。 把构件的材料由低质钢改为优质钢，不能提高其刚度和把构件的材料由低质钢改为优质钢，不能提高其刚度和把构件的材料由低质钢改为优质钢，不能提高其刚度和稳定性。稳定性。稳定性。q qqF FFF FFR RRF FFF FF分析和讨论分析和讨论分析和讨论分析和讨论 两个梁材料相同，左梁分为若干层，右梁为整体材料

36、，两个梁材料相同，左梁分为若干层，右梁为整体材料，两个梁材料相同，左梁分为若干层，右梁为整体材料，谁能承受更大的力谁能承受更大的力谁能承受更大的力 F F F ？ 两个构件材料相同，一个由整两个构件材料相同，一个由整两个构件材料相同，一个由整体钢筋制成，一个由若干根钢丝组体钢筋制成，一个由若干根钢丝组体钢筋制成，一个由若干根钢丝组成，两者有效横截面积相同，谁能成，两者有效横截面积相同，谁能成，两者有效横截面积相同，谁能承受更大的力承受更大的力承受更大的力 F F F ？五、极值和优化问题五、极值和优化问题五、极值和优化问题五、极值和优化问题五、极值和优化问题五、极值和优化问题利用函数导数求极值

37、利用函数导数求极值利用函数导数求极值利用函数导数求极值结构的优化结构的优化结构的优化结构的优化张量的极值就是其主值张量的极值就是其主值张量的极值就是其主值张量的极值就是其主值利用极值出现处的性质和特点求极值利用极值出现处的性质和特点求极值利用极值出现处的性质和特点求极值利用极值出现处的性质和特点求极值提示提示提示提示提示提示 应力、应变、惯性矩和惯性积这三类量都是张量。应力、应变、惯性矩和惯性积这三类量都是张量。应力、应变、惯性矩和惯性积这三类量都是张量。 杆件横截面上的形心主惯性矩就是该截面上沿不同方位杆件横截面上的形心主惯性矩就是该截面上沿不同方位杆件横截面上的形心主惯性矩就是该截面上沿不

38、同方位的惯性矩的极值。的惯性矩的极值。的惯性矩的极值。例例例例例例 如图的结构中，若允许在顶端增加一如图的结构中，若允许在顶端增加一如图的结构中，若允许在顶端增加一根可拉压的弹簧以增加抗失稳能力，那么根可拉压的弹簧以增加抗失稳能力，那么根可拉压的弹簧以增加抗失稳能力，那么弹簧应如何安置最为合理？弹簧应如何安置最为合理？弹簧应如何安置最为合理？分析分析分析分析分析分析 图示的杆件失稳，发生在横截面形图示的杆件失稳，发生在横截面形图示的杆件失稳，发生在横截面形心主惯性矩较小的方向上。心主惯性矩较小的方向上。心主惯性矩较小的方向上。 故应沿故应沿故应沿 x x x 轴安装弹簧最合理。轴安装弹簧最合理

39、。轴安装弹簧最合理。4040404040409494946 666 666 66x xxy yyx xxy yyx xx y yy x xxy yyx xx y yy 因此，应先计算图示坐标系下的两个因此，应先计算图示坐标系下的两个因此，应先计算图示坐标系下的两个惯性矩和惯性积，再求其主方向。惯性矩和惯性积，再求其主方向。惯性矩和惯性积，再求其主方向。分析和讨论分析和讨论分析和讨论分析和讨论 将宽为将宽为将宽为 6 6 6b b b 的硬纸折叠成的硬纸折叠成的硬纸折叠成上图的形状粘牢，竖立起来。上图的形状粘牢，竖立起来。上图的形状粘牢，竖立起来。F FFF FF 另外，将宽为另外，将宽为另外，

40、将宽为 8 8 8b b b 的硬纸的硬纸的硬纸折叠成下图的形状粘牢竖立。折叠成下图的形状粘牢竖立。折叠成下图的形状粘牢竖立。 如果上图的结构能够承受如果上图的结构能够承受如果上图的结构能够承受的竖向压力为的竖向压力为的竖向压力为 F F F ，那么下图结，那么下图结，那么下图结构能够承受多大的荷载？构能够承受多大的荷载？构能够承受多大的荷载？6 66b bb8 88b bb分析和讨论分析和讨论分析和讨论分析和讨论提示提示提示提示提示提示 如果截面的对称轴多于如果截面的对称轴多于如果截面的对称轴多于两个，那么任意过形心的轴都两个，那么任意过形心的轴都两个，那么任意过形心的轴都是该截面的形心惯性

41、主轴。是该截面的形心惯性主轴。是该截面的形心惯性主轴。6 66b bb8 88b bbF FFF FF 如图的横截面中，各部份如图的横截面中，各部份如图的横截面中，各部份对形心惯性主轴的贡献是相等对形心惯性主轴的贡献是相等对形心惯性主轴的贡献是相等的。的。的。五、极值和优化问题五、极值和优化问题五、极值和优化问题五、极值和优化问题五、极值和优化问题五、极值和优化问题利用函数导数求极值利用函数导数求极值利用函数导数求极值利用函数导数求极值结构的优化结构的优化结构的优化结构的优化张量的极值就是其主值张量的极值就是其主值张量的极值就是其主值张量的极值就是其主值利用极值出现处的性质和特点求极值利用极值

42、出现处的性质和特点求极值利用极值出现处的性质和特点求极值利用极值出现处的性质和特点求极值提示提示提示提示提示提示 应力、应变、惯性矩和惯性积这三类量都是张量。应力、应变、惯性矩和惯性积这三类量都是张量。应力、应变、惯性矩和惯性积这三类量都是张量。 应力的极值问题有三个层面：（应力的极值问题有三个层面：（应力的极值问题有三个层面：（1 1 1）是杆件中哪个横截面）是杆件中哪个横截面）是杆件中哪个横截面上的应力上的应力上的应力 ？（？（？（2 2 2）是该横截面上哪个点的应力）是该横截面上哪个点的应力）是该横截面上哪个点的应力 ？（？（？（3 3 3）是该点）是该点）是该点处哪个方位上的应力？处哪

43、个方位上的应力？处哪个方位上的应力？ 第三个层面上的极值问题的实质就是主应力和主方向。第三个层面上的极值问题的实质就是主应力和主方向。第三个层面上的极值问题的实质就是主应力和主方向。O OO 图解法求张量极值图解法求张量极值图解法求张量极值图解法求张量极值图解法求张量极值图解法求张量极值 应力圆应力圆应力圆应力圆应力圆应力圆1. 1. 1. 应力圆的概念应力圆的概念应力圆的概念应力圆的概念应力圆的概念应力圆的概念圆心圆心圆心半径半径半径R RR这是一个关于动点（这是一个关于动点（这是一个关于动点（ ， ）的圆方程。）的圆方程。）的圆方程。 O OO以以以 为横轴、为横轴、为横轴、 为纵轴建立坐

44、标系。为纵轴建立坐标系。为纵轴建立坐标系。应力圆应力圆Mohr 圆圆Mohr 圆圆O OO R RR O OO切应力的符号规定切应力的符号规定切应力的符号规定切应力的符号规定切应力的符号规定切应力的符号规定 对单元体中任意对单元体中任意对单元体中任意点有顺时针方向矩的切应力为正。这点有顺时针方向矩的切应力为正。这点有顺时针方向矩的切应力为正。这一规定无论是对单元体本身所有的四一规定无论是对单元体本身所有的四一规定无论是对单元体本身所有的四个面，还是对斜截面都是一样的。个面，还是对斜截面都是一样的。个面，还是对斜截面都是一样的。 x x x y y y x x x y y y注意注意注意注意注意

45、注意 在应力圆的应用中，在应力圆的应用中，在应力圆的应用中， x x x 与与与 y y y 是区别开的。是区别开的。是区别开的。 O OO O OOA AA O OOA AAA AA O OOA AAA AA O OO O OOA AAA AA O OO 2. 2. 2. 根据单元体应力作应力圆根据单元体应力作应力圆根据单元体应力作应力圆根据单元体应力作应力圆根据单元体应力作应力圆根据单元体应力作应力圆1) 1) 1) 建立建立建立建立建立建立 坐标系；坐标系；坐标系；坐标系；坐标系；坐标系；4) 4) 4) 连接连接连接连接连接连接 A A A 和和和和和和 A A A ，该线段，该线段，

46、该线段，该线段，该线段，该线段与横轴交点即为圆心与横轴交点即为圆心与横轴交点即为圆心与横轴交点即为圆心与横轴交点即为圆心与横轴交点即为圆心 O OO ， O OO A A A 即为半径；即为半径；即为半径；即为半径；即为半径；即为半径；2) 2) 2) 在在在在在在 平面中确定点平面中确定点平面中确定点平面中确定点平面中确定点平面中确定点 ；3) 3) 3) 确定点确定点确定点确定点确定点确定点 ；5) 5) 5) 作圆。作圆。作圆。作圆。作圆。作圆。 x x x y y y x x x y y y x x x y y y y y y x x x y y y x x x x x x y y y

47、n nn O OOO OO A AAA AA x x x y y y x x x y y y O OOO OO A AAA AA 2 22 0 0 02 22 Q QQK KK x x x y y y x x x y y y用应力圆上的点表用应力圆上的点表用应力圆上的点表用应力圆上的点表用应力圆上的点表用应力圆上的点表示斜截面上的应力示斜截面上的应力示斜截面上的应力示斜截面上的应力示斜截面上的应力示斜截面上的应力 在应力圆上，从在应力圆上，从在应力圆上，从 A A A 开始，开始，开始，与与与 保持相同的转向，转保持相同的转向，转保持相同的转向，转 2 2 2 的角度的角度的角度至至至 K K

48、 K 点，点，点，K K K 点所对应点所对应点所对应的横坐标即为斜截面上的正应的横坐标即为斜截面上的正应的横坐标即为斜截面上的正应力，纵坐标即切应力。力，纵坐标即切应力。力，纵坐标即切应力。 在应力圆上，在应力圆上，在应力圆上，A A A 点所对应点所对应点所对应的横坐标即为单元体左侧面上的横坐标即为单元体左侧面上的横坐标即为单元体左侧面上的正应力，纵坐标即切应力。的正应力，纵坐标即切应力。的正应力，纵坐标即切应力。 O OOA AAO OO O OOA AAO OO K KK2 22 O OOA AAO OO K KK 2 22 O OOA AAO OO K KK 2 22 3. 3. 3

49、. 应力圆的应用应力圆的应用应力圆的应用应力圆的应用应力圆的应用应力圆的应用斜截面上的应力：斜截面上的应力：斜截面上的应力：斜截面上的应力：斜截面上的应力：斜截面上的应力： 在应力圆上，从在应力圆上，从在应力圆上，从 A A A 开始，开始，开始，与与与 保持相同的转向，转保持相同的转向，转保持相同的转向，转 2 2 2 的角度的角度的角度至至至 K K K 点，点，点，K K K 点所对应点所对应点所对应的横坐标即为斜截面上的正应的横坐标即为斜截面上的正应的横坐标即为斜截面上的正应力，纵坐标即切应力。力，纵坐标即切应力。力，纵坐标即切应力。点面对应点面对应 转向相同转向相同 角度加倍角度加倍

50、 x x x y y y x x x y y y x y y y x y y y x y y y x y y y x y y y x y y y 如果如果如果 A A A 点沿点沿点沿顺时针顺时针顺时针顺时针顺时针顺时针方向方向方向转动转动转动 2 2 2 到到到 P P P，则对应于，则对应于，则对应于 i i i 的的的主方向与主方向与主方向与 x x x 轴正向夹角轴正向夹角轴正向夹角为为为顺时针顺时针顺时针顺时针顺时针顺时针方向的方向的方向的 。 如果如果如果 A A A 点沿点沿点沿逆时针逆时针逆时针逆时针逆时针逆时针方向方向方向转动转动转动 2 2 2 到到到 P P P，则对应于

51、，则对应于，则对应于 i i i 的的的主方向与主方向与主方向与 x x x 轴正向夹角轴正向夹角轴正向夹角为为为逆时针逆时针逆时针逆时针逆时针逆时针方向的方向的方向的 。 O OOA AAO OO 2 22 O OOA AAO OO maxmaxmax2 22 x x x y y y x x x x x x y y y i i i j j j x y x y x y xy x y xy i i i j j j O OOA AAO OO O OOA AAO OO i i i j j j2 22 P PPQ QQ O OOA AAO OO i i i j j j2 22 P PPQ QQ主应力和

52、主方向：主应力和主方向：主应力和主方向：主应力和主方向：主应力和主方向：主应力和主方向：最大切应力：最大切应力：最大切应力：最大切应力：最大切应力：最大切应力： O OO 606060 50 50 50A AAO OO404040 505050A AAA AA O OO A AAA AA O OO O OO A AAA AA O OO O OO 606060 K KKA AAA AA O OOO OO K KKA AAA AA O OOO OO K KKA AAA AA O OOO OO K KKA AAA AA O OOO OO O OOA AAA AA O OO O OOA AAA AA

53、O OO O OOA AAA AA O OO 40404060606050505030406050308.38.38.368.368.368.3例例例例例例 对如图的应力状态，求对如图的应力状态，求对如图的应力状态，求 = = = 303030 截面上的正应力和切截面上的正应力和切截面上的正应力和切应力。并求主应力大小。应力。并求主应力大小。应力。并求主应力大小。应力状态应力状态应力状态作应力圆作应力圆作应力圆从从从 A A A 点开始，逆时针转点开始，逆时针转点开始，逆时针转 60 60 60 到到到 K K K 点点点分析和讨论分析和讨论分析和讨论分析和讨论应力圆退化成一个点对应于什么应力

54、状态？应力圆退化成一个点对应于什么应力状态？应力圆退化成一个点对应于什么应力状态？应力圆通过原点时是什么应力状态？应力圆通过原点时是什么应力状态？应力圆通过原点时是什么应力状态？应力圆的圆心在原点时是什么应力状态？应力圆的圆心在原点时是什么应力状态？应力圆的圆心在原点时是什么应力状态？ O OOA AAA AA O OO O OOA AAA AA O OO 505050606060115115115606060 A AAB BB O OO O OO O OO O OO A AA(50,60)(50,60)(50,60) O OO B BB115115115O OO A AA(50,60)(50

55、,60)(50,60) O OO 120120120 B BB115115115O OO A AA(50,60)(50,60)(50,60) O OOA AA B BB 120120120 B BBO OO O OOA AA B BB 120120120 606060 B BBO OO O OOA AA 303030 B BB 120120120 606060 B BBO OO 例例例例例例 求如图斜面上的切应力求如图斜面上的切应力求如图斜面上的切应力 。分析分析分析分析分析分析已知信息：已知信息：已知信息：A A A 点位置点位置点位置B B B 点所在的竖直线点所在的竖直线点所在的竖直线

56、BOBOBO A A A 的大小的大小的大小目标：目标：目标：确定圆心确定圆心确定圆心 O OO 位置位置位置注意注意注意 BBBBBB A A A = 60 = 60 = 60 ！ O OO O OOA AA 505050606060 O OOA AA 115115115 O OOA AA 115115115 O OOA AA 303030 115115115 O OOA AA 303030 B BB 606060 115115115 O OOA AA 303030 B BB 606060 O OO O OOA AA 303030 B BB O OO O OOA AA 303030 B BB

57、 O OO O OOA AA 303030 B BB B BBO OO O OOA AA 353535B BBO OO 例例例例例例 求如图斜面上的切应力求如图斜面上的切应力求如图斜面上的切应力 。505050606060115115115606060 A AAB BB应力圆作法应力圆作法应力圆作法应力圆作法应力圆作法应力圆作法过过过 A A A 点作竖线垂线。点作竖线垂线。点作竖线垂线。过过过 A A A 点作点作点作 30 30 30斜线交竖线于斜线交竖线于斜线交竖线于 B B B 。作作作 ABABAB 的垂直平分线交横轴于的垂直平分线交横轴于的垂直平分线交横轴于 O OO 。以以以 O

58、 OO 为圆心，以为圆心，以为圆心，以 O OO A A A 为半径作圆为半径作圆为半径作圆。 O OO O OO A AA(50,60)(50,60)(50,60)353535 O OOA AA O OOA AA B BB 606060 O OOA AA B BB O OO 606060 O OOA AA 606060 B BB O OO O OOA AA 606060 B BB B BBO OO O OOA AA 606060 B BB B BBO OO 115115115分析和讨论分析和讨论分析和讨论分析和讨论 如何作应力状态如何作应力状态如何作应力状态的应力圆？的应力圆？的应力圆？50

59、5050606060 606060 353535A AAB BB4. 4. 4. 关于应变圆关于应变圆关于应变圆关于应变圆关于应变圆关于应变圆应变圆的原理与应力圆相同。应变圆的原理与应力圆相同。应变圆的原理与应力圆相同。 应变圆的横轴为线应变应变圆的横轴为线应变应变圆的横轴为线应变 ，纵轴为切应变之半纵轴为切应变之半纵轴为切应变之半 / 2 / 2 / 2 。切应变以直角的增加量为正。切应变以直角的增加量为正。切应变以直角的增加量为正。 O OO / / 2 22例例例例例例 根据直角应变花的测量值画出应变圆。根据直角应变花的测量值画出应变圆。根据直角应变花的测量值画出应变圆。 a aa b

60、bb c cc B BB / / 2 22A AA a aa b bb c ccC CCO OO分析分析分析分析分析分析已知信息：已知信息：已知信息：三个应变值；三个应变值；三个应变值； a a a 与与与 c c c 幅角相差幅角相差幅角相差 90 90 90 ； a a a 与与与 b b b 幅角相差幅角相差幅角相差 45 45 45 ； B BB / / 2 22A AA a aa b bb c ccC CCO OO B BB / / 2 22O OO A AA a aa b bb c ccC CCO OO圆心必定在圆心必定在圆心必定在 ACACAC 中点。中点。中点。 / / 2 2

61、2O OO K KK a aa b bb c ccB BBA AAC CCO OOOOO AK AK AK OOO PB PB PB 。 / / 2 22O OO K KK a aa b bb c ccB BBA AAC CCO OOP PP例例例例例例 根据直角应变花的测量值画出应变圆。根据直角应变花的测量值画出应变圆。根据直角应变花的测量值画出应变圆。 a aa b bb c cc应变圆作法应变圆作法应变圆作法应变圆作法应变圆作法应变圆作法 O OO / / 2 22 B BB / / 2 22A AA a aa b bb c ccC CCO OO确定确定确定 ACACAC 的中点的中点的

62、中点 O OO ， B BB / / 2 22O OO A AA a aa b bb c ccC CCO OO截取截取截取 O OO B B B = = = AKAKAK 。 B BB / / 2 22O OO A AA a aa b bb c ccC CCO OOK KK以以以 O OO 为圆心，以为圆心，以为圆心，以 O OO K K K 为半径，即可作应变圆为半径，即可作应变圆为半径，即可作应变圆 。 / / 2 22O OO K KK a aa b bb c ccB BBA AAC CCO OO作作作 a a a 、 b b b 和和和 c c c 三条竖线三条竖线三条竖线 ；五、极值

63、和优化问题五、极值和优化问题五、极值和优化问题五、极值和优化问题五、极值和优化问题五、极值和优化问题利用函数导数求极值利用函数导数求极值利用函数导数求极值利用函数导数求极值结构的优化结构的优化结构的优化结构的优化张量的极值就是其主值张量的极值就是其主值张量的极值就是其主值张量的极值就是其主值利用极值出现处的性质和特点求极值利用极值出现处的性质和特点求极值利用极值出现处的性质和特点求极值利用极值出现处的性质和特点求极值提示提示提示提示提示提示 应力、应变、惯性矩和惯性积这三类量都是张量。应力、应变、惯性矩和惯性积这三类量都是张量。应力、应变、惯性矩和惯性积这三类量都是张量。 应力的极值问题有三个

64、层面：（应力的极值问题有三个层面：（应力的极值问题有三个层面：（1 1 1）是杆件中哪个横截面）是杆件中哪个横截面）是杆件中哪个横截面上的应力上的应力上的应力 ？（？（？（2 2 2）是该横截面上哪个点的应力）是该横截面上哪个点的应力）是该横截面上哪个点的应力 ？（？（？（3 3 3）是该点）是该点）是该点处哪个方位上的应力？处哪个方位上的应力？处哪个方位上的应力？ 第三个层面上的极值问题的实质就是主应力和主方向。第三个层面上的极值问题的实质就是主应力和主方向。第三个层面上的极值问题的实质就是主应力和主方向。六、非线性问题六、非线性问题六、非线性问题六、非线性问题六、非线性问题六、非线性问题物

65、理非线性物理非线性物理非线性物理非线性物理非线性物理非线性应力与应变关系非线性，荷载与变形关系非线性应力与应变关系非线性，荷载与变形关系非线性应力与应变关系非线性，荷载与变形关系非线性提示提示提示提示提示提示 注意物理非线性不影响静定结构的内力，仅影响注意物理非线性不影响静定结构的内力，仅影响注意物理非线性不影响静定结构的内力，仅影响其变形。其变形。其变形。物理非线性必定影响超静定结构的内力。物理非线性必定影响超静定结构的内力。物理非线性必定影响超静定结构的内力。 在拉压、扭转和弯曲等横截面应力公式中，只有拉在拉压、扭转和弯曲等横截面应力公式中，只有拉在拉压、扭转和弯曲等横截面应力公式中，只有

66、拉压应力公式可以直接用于物理非线性问题之中。压应力公式可以直接用于物理非线性问题之中。压应力公式可以直接用于物理非线性问题之中。L LL454545 A AAB BBC CCF FF例例例例例例 图示结构中，图示结构中，图示结构中，AB AB AB 材料应力应变关系材料应力应变关系材料应力应变关系为为为 ，AC AC AC 为为为 ， 两杆横两杆横两杆横截面积相同，试求截面积相同，试求截面积相同，试求 A A A 点铅垂位移。点铅垂位移。点铅垂位移。 F FF 2 2 2 F FF 根据平衡求出各杆内力。根据平衡求出各杆内力。根据平衡求出各杆内力。各杆线应变各杆线应变各杆线应变各杆变形量各杆变

67、形量各杆变形量A AAA AA P PPQ QQR RRS SS六、非线性问题六、非线性问题六、非线性问题六、非线性问题六、非线性问题六、非线性问题物理非线性物理非线性物理非线性物理非线性物理非线性物理非线性分段线性问题分段线性问题分段线性问题 当构件某些部位或某些区段进入了塑性，有可能使当构件某些部位或某些区段进入了塑性，有可能使当构件某些部位或某些区段进入了塑性，有可能使外荷载与变形量之间呈现出分段线性的形态。外荷载与变形量之间呈现出分段线性的形态。外荷载与变形量之间呈现出分段线性的形态。应力与应变关系非线性，荷载与变形关系非线性应力与应变关系非线性，荷载与变形关系非线性应力与应变关系非线

68、性，荷载与变形关系非线性例例例例例例 在两端固定的杆件截面在两端固定的杆件截面在两端固定的杆件截面 C C C 上上上，沿轴线作用的沿轴线作用的沿轴线作用的 F F F 力由力由力由零缓慢地增长至杆件完全进零缓慢地增长至杆件完全进零缓慢地增长至杆件完全进入塑性。入塑性。入塑性。b b b a a a ，杆件的横截，杆件的横截，杆件的横截面积为面积为面积为 A A A ，材料的弹性模量材料的弹性模量材料的弹性模量为为为E E E，屈服极限为，屈服极限为，屈服极限为 S S S 。根据。根据。根据理想弹塑性模型，画出截面理想弹塑性模型，画出截面理想弹塑性模型，画出截面 C C C 的位移的位移的位

69、移 u u uC CC 随随随 F F F 力变化的力变化的力变化的图像。图像。图像。b bba aaA AAC CCB BBF 先考虑左右两段均处于弹先考虑左右两段均处于弹先考虑左右两段均处于弹性阶段的情况。性阶段的情况。性阶段的情况。 设两段的轴力分别为拉力设两段的轴力分别为拉力设两段的轴力分别为拉力 F F FN NNA AA 和压力和压力和压力 F F FN NNB BB ，则有，则有，则有b bba aaA AAC CCB BBFN NNA AAN NNB BB 可得可得可得例例例例例例 在两端固定的杆件截面在两端固定的杆件截面在两端固定的杆件截面 C C C 上上上，沿轴线作用的沿

70、轴线作用的沿轴线作用的 F F F 力由力由力由零缓慢地增长至杆件完全进零缓慢地增长至杆件完全进零缓慢地增长至杆件完全进入塑性。入塑性。入塑性。b b b a a a ，杆件的横截，杆件的横截，杆件的横截面积为面积为面积为 A A A ，材料的弹性模量材料的弹性模量材料的弹性模量为为为E E E，屈服极限为，屈服极限为，屈服极限为 S S S 。根据。根据。根据理想弹塑性模型，画出截面理想弹塑性模型，画出截面理想弹塑性模型，画出截面 C C C 的位移的位移的位移 u u uC CC 随随随 F F F 力变化的力变化的力变化的图像。图像。图像。 先考虑左右两段均处于弹先考虑左右两段均处于弹先

71、考虑左右两段均处于弹性阶段的情况。性阶段的情况。性阶段的情况。 设两段的轴力分别为拉力设两段的轴力分别为拉力设两段的轴力分别为拉力 F F FN NNA AA 和压力和压力和压力 F F FN NNB BB ，则有，则有，则有 可得可得可得b bba aaA AAC CCB BBFN NNA AAN NNB BBb bba aaA AAC CCB BBFN NNA AAN NNB BB由于由于由于 b ab ab a ，故左段先进入塑性。，故左段先进入塑性。，故左段先进入塑性。左段刚进入塑性时，左段刚进入塑性时，左段刚进入塑性时， F FFu uuC CCF FFu uuC CCF FFu u

72、uC CCF FF u uuC CC 荷载继续增加时，荷载继续增加时，荷载继续增加时， 右段的轴力右段的轴力右段的轴力 左段的轴力左段的轴力左段的轴力 b bba aaA AAC CCB BBF S S S A AAN NNB BBF FFu uuC CCF FF u uuC CC C C C 截面的位移截面的位移截面的位移取决于右段取决于右段取决于右段F FFu uuC CCF FF u uuC CC 由于由于由于 b ab ab a ，故左段先进入塑性。，故左段先进入塑性。，故左段先进入塑性。左段刚进入塑性时，左段刚进入塑性时，左段刚进入塑性时， 荷载继续增加时，荷载继续增加时，荷载继续增

73、加时， 右段的轴力右段的轴力右段的轴力 左段的轴力左段的轴力左段的轴力 C C C 截面的位移截面的位移截面的位移取决于右段取决于右段取决于右段b bba aaA AAC CCB BBFN NNA AAN NNB BBN NNB BBb bba aaA AAC CCB BBF S S S A AAF FFu uuC CCF FF u uuC CC b bba aaA AAC CCB BBF S S S A AAN NNB BB当当当 时，时，时， F FFu uuC CCF FF u uuC CC u uuC CC F FF 分析和讨论分析和讨论分析和讨论分析和讨论 如果不卸载，加载曲线将如如

74、果不卸载，加载曲线将如如果不卸载，加载曲线将如何进一步发展？何进一步发展？何进一步发展？ b bba aaA AAC CCB BB S S S A AA S S S A AAF F FFu uuC CCF FF u uuC CC u uuC CC F FF 提示提示提示提示提示提示 在某些超静定结构中，即使本构关系是线性的，荷载在某些超静定结构中，即使本构关系是线性的，荷载在某些超静定结构中，即使本构关系是线性的，荷载位移关系也会呈现出分段线性的情况。位移关系也会呈现出分段线性的情况。位移关系也会呈现出分段线性的情况。分析和讨论分析和讨论分析和讨论分析和讨论 图示结构中，荷载图示结构中，荷载图

75、示结构中，荷载 F F F 和和和 C C C 点位移的关系会是点位移的关系会是点位移的关系会是分段线性分段线性分段线性的吗？的吗？的吗？F FF EIEIEIEIEIEIC CC 荷载荷载荷载 F F F 和和和 C C C 点位移的关系点位移的关系点位移的关系图线具有什么趋势图线具有什么趋势图线具有什么趋势？F FFu uuC CC例例例例例例 如果在右段刚进入塑性时即如果在右段刚进入塑性时即如果在右段刚进入塑性时即开始卸载，直到外荷载为零。求开始卸载，直到外荷载为零。求开始卸载，直到外荷载为零。求残余应力和残余应力和残余应力和 C C C 截面残余位移。截面残余位移。截面残余位移。 卸载

76、可认为是附加上卸载可认为是附加上卸载可认为是附加上反向荷载反向荷载反向荷载 F F F 。弹性阶段弹性阶段弹性阶段F FFu uuC CCF FF u uuC CC u uuC CC F FF 右梁刚进入塑性右梁刚进入塑性右梁刚进入塑性F FFu uuC CCF FF u uuC CC u uuC CC F FF 反向荷载反向荷载反向荷载 F F F 相应相应相应的变形满足的变形满足的变形满足 Hooke Hooke Hooke 定律。定律。定律。b bba aaA AAC CCB BB S S S A AA S S S A AAF b bba aaA AAC CCB BBFN NNA AAN

77、 NNB BBb bba aaA AAC CCB BB S S S A AA S S S A AAF b bba aaA AAC CCB BBF N NNA AAN NNB BBF F FFu uuC CCF FF u uuC CC u uuC CC F FF 卸载可认为是附加上卸载可认为是附加上卸载可认为是附加上反向荷载反向荷载反向荷载 F F F 。弹性阶段弹性阶段弹性阶段 反向荷载反向荷载反向荷载 F F F 相应相应相应的变形满足的变形满足的变形满足 Hooke Hooke Hooke 定律。定律。定律。例例例例例例 如果在右段刚进入塑性时即如果在右段刚进入塑性时即如果在右段刚进入塑性

78、时即开始卸载，直到外荷载为零。求开始卸载，直到外荷载为零。求开始卸载，直到外荷载为零。求残余应力和残余应力和残余应力和 C C C 截面残余位移。截面残余位移。截面残余位移。右梁刚进入塑性右梁刚进入塑性右梁刚进入塑性b bba aaA AAC CCB BBF N NNA AAN NNB BBF b bba aaA AAC CCB BBF N NNA AAN NNB BBF 左段附加压力左段附加压力左段附加压力右段附加拉力右段附加拉力右段附加拉力C C C 截面的附加位移截面的附加位移截面的附加位移左段残余应力左段残余应力左段残余应力右段残余应力右段残余应力右段残余应力C C C 截面的截面的截

79、面的残余残余残余位移位移位移例例例例例例 半径为半径为半径为 R R R 的刚性圆盘在圆周上由六的刚性圆盘在圆周上由六的刚性圆盘在圆周上由六根根根等距排列且完全一样的立柱支撑。等距排列且完全一样的立柱支撑。等距排列且完全一样的立柱支撑。竖向集竖向集竖向集中力中力中力F F F 可在圆盘上自由平行移动。立柱柔可在圆盘上自由平行移动。立柱柔可在圆盘上自由平行移动。立柱柔度很小，但其屈服极限度很小，但其屈服极限度很小，但其屈服极限 S S S 为为为 F F F / / / 4 4 4 。如果如果如果要使每一根立柱都不进入塑性，要使每一根立柱都不进入塑性，要使每一根立柱都不进入塑性， F F F 应

80、该限应该限应该限制在什么区域内？如果要使圆盘不致于倾制在什么区域内？如果要使圆盘不致于倾制在什么区域内？如果要使圆盘不致于倾翻，翻，翻，F F F 应该限制在什么区域内？应该限制在什么区域内？应该限制在什么区域内？A AAB BBC CCD DDE EEF FFO 与失稳分析类似，若要与失稳分析类似，若要与失稳分析类似，若要每一根立柱都每一根立柱都每一根立柱都不进入塑性，不进入塑性，不进入塑性， F F F 应该限制在图示蓝色区域应该限制在图示蓝色区域应该限制在图示蓝色区域内。要使圆盘不致于倾翻，内。要使圆盘不致于倾翻，内。要使圆盘不致于倾翻，F F F 应该限制在应该限制在应该限制在橙色区域

81、内。橙色区域内。橙色区域内。L LLF FFRC CCD DDE EEx xxy yyO OOF FFA AAB BBC CCD DDE EEO OOF FFA AAB BBL LLF FFRC CCD DDE EEx xxy yyO OOF FFA AAB BBC CCD DDE EEO OOF FFA AAB BB分析和讨论分析和讨论分析和讨论分析和讨论 如果荷载进入如图如果荷载进入如图如果荷载进入如图的橙色区域后再返回蓝色区域，已进入的橙色区域后再返回蓝色区域，已进入的橙色区域后再返回蓝色区域，已进入塑性的杆件能完全回复到弹性状态吗？塑性的杆件能完全回复到弹性状态吗？塑性的杆件能完全回复

82、到弹性状态吗？ 荷载从原点出发，沿不同路径进入荷载从原点出发，沿不同路径进入荷载从原点出发，沿不同路径进入橙色区域再返回原点，刚性板的竖向位橙色区域再返回原点，刚性板的竖向位橙色区域再返回原点，刚性板的竖向位移相同吗？移相同吗？移相同吗？L LLF FFRC CCD DDE EEx xxy yyO OOF FFA AAB BBC CCD DDE EEO OOF FFA AAB BB例例例例例例 各杆抗拉刚度均为各杆抗拉刚度均为各杆抗拉刚度均为 EAEAEA，屈服极限均，屈服极限均，屈服极限均为为为 S S S = = = F F F / / / 4 4 4 。现荷载由。现荷载由。现荷载由 O

83、O O 点缓慢移动点缓慢移动点缓慢移动到到到 K K K 点后再返回到点后再返回到点后再返回到 O OO 点，点，点，A A A 杆处的竖杆处的竖杆处的竖向位移是如何变化的？向位移是如何变化的？向位移是如何变化的？C CCD DDE EEx xxy yyO OOF FFA AAB BBC CCD DDE EEO OOF FFA AAB BBK 显见，刚在显见，刚在显见，刚在 O OO 点加上荷载时点加上荷载时点加上荷载时 A A A 点的点的点的竖向位移为竖向位移为竖向位移为荷载在荷载在荷载在荷载在荷载在荷载在 K K K 点时点时点时点时点时点时 A A A 杆处的位移杆处的位移杆处的位移杆

84、处的位移杆处的位移杆处的位移 此时此时此时 A A A、B B B、F F F 杆杆杆进入塑性，它们对进入塑性，它们对进入塑性，它们对圆盘的支承力将保持为圆盘的支承力将保持为圆盘的支承力将保持为 F F F / / / 4 4 4 ，但不会对但不会对但不会对圆盘的位移形成约束。圆盘的位移形成约束。圆盘的位移形成约束。L LLF FFRL LLF FFR例例例例例例 各杆抗拉刚度均为各杆抗拉刚度均为各杆抗拉刚度均为 EAEAEA，屈服极限均，屈服极限均，屈服极限均为为为 S S S = = = F F F / / / 4 4 4 。现荷载由。现荷载由。现荷载由 O O O 点缓慢移动点缓慢移动点

85、缓慢移动到到到 K K K 点后再返回到点后再返回到点后再返回到 O OO 点，点，点，A A A 杆处的竖杆处的竖杆处的竖向位移是如何变化的？向位移是如何变化的？向位移是如何变化的？ 显见，刚在显见，刚在显见，刚在 O OO 点加上荷载时点加上荷载时点加上荷载时 A A A 点的点的点的竖向位移为竖向位移为竖向位移为荷载在荷载在荷载在荷载在荷载在荷载在 K K K 点时点时点时点时点时点时 A A A 杆处的位移杆处的位移杆处的位移杆处的位移杆处的位移杆处的位移 此时此时此时 A A A、B B B、F F F 杆杆杆进入塑性，它们对进入塑性，它们对进入塑性，它们对圆盘的支承力将保持为圆盘的

86、支承力将保持为圆盘的支承力将保持为 F F F / / / 4 4 4 ，但不会对但不会对但不会对圆盘的位移形成约束。圆盘的位移形成约束。圆盘的位移形成约束。L LLF FFRC CCD DDE EEx xxy yyO OOF FFA AAB BBC CCD DDE EEO OOF FFA AAB BBKC CCD DDE EEx xxy yyO OOF FFA AAB BBC CCD DDE EEO OOF FFA AAB BBKC C C、D DD、E E E 杆的轴力分别为：杆的轴力分别为：杆的轴力分别为：（压）（压）（压）（拉）（拉）（拉）L LLF FFRC C C 、D DD 处的

87、竖向位移为：处的竖向位移为：处的竖向位移为：A A A 处的竖向位移为：处的竖向位移为：处的竖向位移为：即即即R RR / / 2 22R RR / / 2 22R RRC CCD DDE EEx xxy yyO OOF FFA AAB BBC CCD DDE EEO OOF FFA AAB BBKL LLF FFRC C C、D DD、E E E 杆的轴力分别为：杆的轴力分别为：杆的轴力分别为：（压）（压）（压）（拉）（拉）（拉）C C C 、D DD 处的竖向位移为：处的竖向位移为：处的竖向位移为：A A A 处的竖向位移为：处的竖向位移为：处的竖向位移为：即即即C CCD DDE EEx

88、 xxy yyO OOF FFA AAB BBC CCD DDE EEO OOF FFA AAB BBKL LLF FFR 荷载由荷载由荷载由 K K K 点返回到点返回到点返回到 O OO 点，相当于原点，相当于原点，相当于原有荷载叠加上如图的反方向荷载。有荷载叠加上如图的反方向荷载。有荷载叠加上如图的反方向荷载。L LLF FFRF FF反方向加载各杆相应的轴力反方向加载各杆相应的轴力反方向加载各杆相应的轴力反方向加载各杆相应的轴力反方向加载各杆相应的轴力反方向加载各杆相应的轴力L LLF FFRF FFC CCD DDE EEx xxy yyO OOF FFA AAB BBC CCD D

89、DE EEO OOF FFA AAB BBK反方向加载各杆相应的轴力反方向加载各杆相应的轴力反方向加载各杆相应的轴力反方向加载各杆相应的轴力反方向加载各杆相应的轴力反方向加载各杆相应的轴力 荷载由荷载由荷载由 K K K 点返回到点返回到点返回到 O OO 点，相当于原点，相当于原点，相当于原有荷载叠加上如图的反方向荷载。有荷载叠加上如图的反方向荷载。有荷载叠加上如图的反方向荷载。L LLF FFRF FFC CCD DDE EEx xxy yyO OOF FFA AAB BBC CCD DDE EEO OOF FFA AAB BBK 反方向加载时反方向加载时反方向加载时 A A A 处的附加

90、位移为：处的附加位移为：处的附加位移为：荷载回到荷载回到荷载回到荷载回到荷载回到荷载回到 O OO 点时点时点时点时点时点时 A A A 杆处的位移杆处的位移杆处的位移杆处的位移杆处的位移杆处的位移L LLRF FF六、非线性问题六、非线性问题六、非线性问题六、非线性问题六、非线性问题六、非线性问题物理非线性物理非线性物理非线性物理非线性物理非线性物理非线性几何非线性几何非线性几何非线性几何非线性几何非线性几何非线性分段线性问题分段线性问题分段线性问题 在未变形构形中不能实现力平衡，或特殊的变形形在未变形构形中不能实现力平衡，或特殊的变形形在未变形构形中不能实现力平衡，或特殊的变形形式导致外荷

91、载与变形量不呈线性关系，都是几何非线性式导致外荷载与变形量不呈线性关系，都是几何非线性式导致外荷载与变形量不呈线性关系，都是几何非线性的例子。的例子。的例子。应力与应变关系非线性，荷载与变形关系非线性应力与应变关系非线性，荷载与变形关系非线性应力与应变关系非线性，荷载与变形关系非线性L LLL LL例例例例例例 重量为重量为重量为 P P P 的杂技演员在表演的杂技演员在表演的杂技演员在表演走钢丝。钢丝的总长庋为走钢丝。钢丝的总长庋为走钢丝。钢丝的总长庋为 2 2 2L L L ，抗，抗，抗拉刚度为拉刚度为拉刚度为 EAEAEA ，求演员行至中央处，求演员行至中央处，求演员行至中央处时钢丝的最

92、大挠度。时钢丝的最大挠度。时钢丝的最大挠度。P PPL LL 设中点的竖向位移为设中点的竖向位移为设中点的竖向位移为 ，则半长钢丝的伸长量，则半长钢丝的伸长量，则半长钢丝的伸长量该伸长量由其轴力该伸长量由其轴力该伸长量由其轴力 F F F 引起：引起：引起：故有故有故有根据力平衡根据力平衡根据力平衡P PPL LL F FF例例例例例例 重量为重量为重量为 P P P 的杂技演员在表演的杂技演员在表演的杂技演员在表演走钢丝。钢丝的总长庋为走钢丝。钢丝的总长庋为走钢丝。钢丝的总长庋为 2 2 2L L L ，抗，抗，抗拉刚度为拉刚度为拉刚度为 EAEAEA ，求演员行至中央处，求演员行至中央处，

93、求演员行至中央处时钢丝的最大挠度。时钢丝的最大挠度。时钢丝的最大挠度。 设中点的竖向位移为设中点的竖向位移为设中点的竖向位移为 ，则半长钢丝的伸长量，则半长钢丝的伸长量，则半长钢丝的伸长量该伸长量由其轴力该伸长量由其轴力该伸长量由其轴力 F F F 引起：引起：引起：故有故有故有根据力平衡根据力平衡根据力平衡P PPL LL F FFP PPL LL F FF故有故有故有将将将 F F F 表达式代入即可得表达式代入即可得表达式代入即可得分析和讨论分析和讨论分析和讨论分析和讨论 图示结构中，可以图示结构中，可以图示结构中，可以在未变形的构形中讨论在未变形的构形中讨论在未变形的构形中讨论力平衡力

94、平衡力平衡吗？吗？吗？提示提示提示提示提示提示 几何非线性问题几何非线性问题几何非线性问题的处理应同时考虑变形的处理应同时考虑变形的处理应同时考虑变形前后的构形。前后的构形。前后的构形。 几何非线性问题中几何非线性问题中几何非线性问题中的荷载与变形量不呈线的荷载与变形量不呈线的荷载与变形量不呈线性关系。性关系。性关系。 记容器倾斜的角度为记容器倾斜的角度为记容器倾斜的角度为 ，h hh/2 /2/2P PPa aah hhh hha aa h hh2 22h hh1 11c cch hha aaP PP例例例例例例 如图的长方体容器中盛了一半的如图的长方体容器中盛了一半的如图的长方体容器中盛了

95、一半的水。钢绳的抗拉刚度为水。钢绳的抗拉刚度为水。钢绳的抗拉刚度为 EA EA EA ，初始时容，初始时容，初始时容器左右下方均由铰支承，钢绳伸直但无器左右下方均由铰支承，钢绳伸直但无器左右下方均由铰支承，钢绳伸直但无应力。现将容器右部下方的支座缓慢移应力。现将容器右部下方的支座缓慢移应力。现将容器右部下方的支座缓慢移开。不考虑容器的重量和绳的自重，在开。不考虑容器的重量和绳的自重，在开。不考虑容器的重量和绳的自重，在水未溢出的前提下求钢绳的伸长量水未溢出的前提下求钢绳的伸长量水未溢出的前提下求钢绳的伸长量 。 考虑由于水的倾斜而引起的重心位考虑由于水的倾斜而引起的重心位考虑由于水的倾斜而引起

96、的重心位置变化：置变化：置变化：L LLa aab bbh hhh hh2 22h hh1 11c cch hha aaP PP 记容器倾斜的角度为记容器倾斜的角度为记容器倾斜的角度为 ，例例例例例例 如图的长方体容器中盛了一半的如图的长方体容器中盛了一半的如图的长方体容器中盛了一半的水。钢绳的抗拉刚度为水。钢绳的抗拉刚度为水。钢绳的抗拉刚度为 EA EA EA ，初始时容，初始时容，初始时容器左右下方均由铰支承，钢绳伸直但无器左右下方均由铰支承，钢绳伸直但无器左右下方均由铰支承，钢绳伸直但无应力。现将容器右部下方的支座缓慢移应力。现将容器右部下方的支座缓慢移应力。现将容器右部下方的支座缓慢移

97、开。不考虑容器的重量和绳的自重，在开。不考虑容器的重量和绳的自重，在开。不考虑容器的重量和绳的自重，在水未溢出的前提下求钢绳的伸长量水未溢出的前提下求钢绳的伸长量水未溢出的前提下求钢绳的伸长量 。 考虑由于水的倾斜而引起的重心位考虑由于水的倾斜而引起的重心位考虑由于水的倾斜而引起的重心位置变化：置变化：置变化：L LLa aab bbh hhh hh2 22h hh1 11c cch hha aaP PPh hh2 22h hh1 11c cch hha aaP PPc cc a aa 钢绳拉伸点到支座的水平距离：钢绳拉伸点到支座的水平距离：钢绳拉伸点到支座的水平距离：重心到容器左侧面的距离：

98、重心到容器左侧面的距离：重心到容器左侧面的距离：L LLa aab bbh hhh hh2 22h hh1 11c cch hha aaP PPc cc a aa 钢绳拉伸点到支座的水平距离：钢绳拉伸点到支座的水平距离：钢绳拉伸点到支座的水平距离：重心到容器左侧面的距离：重心到容器左侧面的距离：重心到容器左侧面的距离：L LLa aab bbh hhh hh2 22h hh1 11c cch hha aaP PPc cc a aa 记水的重量为记水的重量为记水的重量为 P P P，钢绳拉力为，钢绳拉力为，钢绳拉力为 F F F，重心到支座的水平距离：重心到支座的水平距离：重心到支座的水平距离：

99、可以认为可以认为可以认为 比比比 a a a 小很多，则有：小很多，则有：小很多，则有：h hh2 22h hh1 11c cch hha aaP PPc cc a aa F FFL LLa aab bbh hh记水的重量为记水的重量为记水的重量为 P P P，钢绳拉力为，钢绳拉力为，钢绳拉力为 F F F，重心到支座的水平距离：重心到支座的水平距离：重心到支座的水平距离：可以认为可以认为可以认为 比比比 a a a 小很多，则有：小很多，则有：小很多，则有：h hh2 22h hh1 11c cch hha aaP PPc cc a aa F FFL LLa aab bbh hh记记记故钢绳

100、的伸长量故钢绳的伸长量故钢绳的伸长量 h hh2 22h hh1 11c cch hha aaP PPc cc a aa F FFL LLa aab bbh hh分析和讨论分析和讨论分析和讨论分析和讨论 本题何处用到有关小量的本题何处用到有关小量的本题何处用到有关小量的假定并将其二阶量忽略？假定并将其二阶量忽略？假定并将其二阶量忽略？六、非线性问题六、非线性问题六、非线性问题六、非线性问题六、非线性问题六、非线性问题物理非线性物理非线性物理非线性物理非线性物理非线性物理非线性几何非线性几何非线性几何非线性几何非线性几何非线性几何非线性稳定问题稳定问题稳定问题稳定问题稳定问题稳定问题分段线性问题

101、分段线性问题分段线性问题应力与应变关系非线性，荷载与变形关系非线性应力与应变关系非线性，荷载与变形关系非线性应力与应变关系非线性，荷载与变形关系非线性稳定问题的一般性概念稳定问题的一般性概念稳定问题的一般性概念稳定问题的一般性概念稳定问题的一般性概念稳定问题的一般性概念稳定问题的一般性概念稳定问题的一般性概念稳定问题的一般性概念构件是否存在失稳问题构件是否存在失稳问题构件是否存在失稳问题 考察柔度考察柔度考察柔度考察柔度考察柔度考察柔度 p pp s ss s ss稳定问题的一般性概念稳定问题的一般性概念稳定问题的一般性概念稳定问题的一般性概念稳定问题的一般性概念稳定问题的一般性概念构件是否存

102、在失稳问题构件是否存在失稳问题构件是否存在失稳问题 考察柔度考察柔度考察柔度考察柔度考察柔度考察柔度构件往什么方向失稳构件往什么方向失稳构件往什么方向失稳两个主惯性矩方向上约束不同两个主惯性矩方向上约束不同两个主惯性矩方向上约束不同两个主惯性矩方向上约束不同两个主惯性矩方向上约束不同两个主惯性矩方向上约束不同 考察柔度考察柔度考察柔度考察柔度考察柔度考察柔度稳定问题的一般性概念稳定问题的一般性概念稳定问题的一般性概念稳定问题的一般性概念稳定问题的一般性概念稳定问题的一般性概念构件是否存在失稳问题构件是否存在失稳问题构件是否存在失稳问题 考察柔度考察柔度考察柔度考察柔度考察柔度考察柔度构件往什么

103、方向失稳构件往什么方向失稳构件往什么方向失稳两个主惯性矩方向上约束不同两个主惯性矩方向上约束不同两个主惯性矩方向上约束不同两个主惯性矩方向上约束不同两个主惯性矩方向上约束不同两个主惯性矩方向上约束不同 考察柔度考察柔度考察柔度考察柔度考察柔度考察柔度两个主惯性矩方向上约束相同两个主惯性矩方向上约束相同两个主惯性矩方向上约束相同两个主惯性矩方向上约束相同两个主惯性矩方向上约束相同两个主惯性矩方向上约束相同 考察主惯性矩大小考察主惯性矩大小考察主惯性矩大小考察主惯性矩大小考察主惯性矩大小考察主惯性矩大小稳定问题的一般性概念稳定问题的一般性概念稳定问题的一般性概念稳定问题的一般性概念稳定问题的一般性

104、概念稳定问题的一般性概念构件是否存在失稳问题构件是否存在失稳问题构件是否存在失稳问题 考察柔度考察柔度考察柔度考察柔度考察柔度考察柔度构件往什么方向失稳构件往什么方向失稳构件往什么方向失稳两个主惯性矩方向上约束不同两个主惯性矩方向上约束不同两个主惯性矩方向上约束不同两个主惯性矩方向上约束不同两个主惯性矩方向上约束不同两个主惯性矩方向上约束不同 考察柔度考察柔度考察柔度考察柔度考察柔度考察柔度两个主惯性矩方向上约束相同两个主惯性矩方向上约束相同两个主惯性矩方向上约束相同两个主惯性矩方向上约束相同两个主惯性矩方向上约束相同两个主惯性矩方向上约束相同 考察主惯性矩大小考察主惯性矩大小考察主惯性矩大小

105、考察主惯性矩大小考察主惯性矩大小考察主惯性矩大小在多大压力下构件会失稳在多大压力下构件会失稳在多大压力下构件会失稳 特征方程特征方程特征方程特征方程特征方程特征方程临界荷载临界荷载临界荷载临界荷载临界荷载临界荷载如何失稳如何失稳如何失稳 理想压杆：理想压杆：理想压杆：理想压杆：理想压杆：理想压杆： 分岔失稳分岔失稳分岔失稳分岔失稳分岔失稳分岔失稳 非理想压杆：极值失稳非理想压杆：极值失稳非理想压杆：极值失稳非理想压杆：极值失稳非理想压杆：极值失稳非理想压杆：极值失稳临界应力临界应力临界应力临界应力临界应力临界应力u uuF FFu uuF FF分析和讨论分析和讨论分析和讨论分析和讨论 如果压杆

106、的下端四周固定，上如果压杆的下端四周固定，上如果压杆的下端四周固定，上端自由并承受轴向压力，其横截面端自由并承受轴向压力，其横截面端自由并承受轴向压力，其横截面如下图所示。试判断失稳的方向。如下图所示。试判断失稳的方向。如下图所示。试判断失稳的方向。六、非线性问题六、非线性问题六、非线性问题六、非线性问题六、非线性问题六、非线性问题物理非线性物理非线性物理非线性物理非线性物理非线性物理非线性几何非线性几何非线性几何非线性几何非线性几何非线性几何非线性稳定问题稳定问题稳定问题稳定问题稳定问题稳定问题分段线性问题分段线性问题分段线性问题刚性杆稳定的临界荷载刚性杆稳定的临界荷载刚性杆稳定的临界荷载应

107、力与应变关系非线性，荷载与变形关系非线性应力与应变关系非线性，荷载与变形关系非线性应力与应变关系非线性，荷载与变形关系非线性稳定问题的一般性概念稳定问题的一般性概念稳定问题的一般性概念L LLF FFL LLF FF L LLF FF m mmP PP 螺旋弹簧的旋转刚度为螺旋弹簧的旋转刚度为螺旋弹簧的旋转刚度为螺旋弹簧的旋转刚度为螺旋弹簧的旋转刚度为螺旋弹簧的旋转刚度为 ，杆是刚性的。，杆是刚性的。，杆是刚性的。，杆是刚性的。，杆是刚性的。，杆是刚性的。刚性杆的稳定问题刚性杆的稳定问题刚性杆的稳定问题刚性杆的稳定问题刚性杆的稳定问题刚性杆的稳定问题 在什么条件下刚性杆能在什么条件下刚性杆能在

108、什么条件下刚性杆能在什么条件下刚性杆能在什么条件下刚性杆能在什么条件下刚性杆能够返回初始的平衡位置？够返回初始的平衡位置？够返回初始的平衡位置？够返回初始的平衡位置？够返回初始的平衡位置？够返回初始的平衡位置？弹簧提供的阻止刚性杆倾斜的力偶矩弹簧提供的阻止刚性杆倾斜的力偶矩弹簧提供的阻止刚性杆倾斜的力偶矩力力力 F F F 在此位置上对左端的力偶矩在此位置上对左端的力偶矩在此位置上对左端的力偶矩能够返回初始平衡位置能够返回初始平衡位置能够返回初始平衡位置不能返回初始平衡位置不能返回初始平衡位置不能返回初始平衡位置临界荷载临界荷载临界荷载临界荷载临界荷载临界荷载L/L/L/ 2 22F FFL/

109、L/L/ 2 22L/L/L/ 2 22F FFL/L/L/ 2 22 F FFL/L/L/ 2 22 F FFL/L/L/ 2 22m mmR RRR RRm mm L/L/L/ 2 22F FF F FFm mmR RRL/L/L/ 2 22 m mm R RRF FF 考虑右段的平衡考虑右段的平衡考虑右段的平衡 中间铰处的相对转中间铰处的相对转中间铰处的相对转角为角为角为 2 2 2 再考虑左段的平衡再考虑左段的平衡再考虑左段的平衡例例例例例例 若螺旋弹簧的旋转刚度若螺旋弹簧的旋转刚度若螺旋弹簧的旋转刚度为为为 ，杆是刚性的，求临界，杆是刚性的，求临界，杆是刚性的，求临界荷载荷载荷载 F

110、 F Fcr crcr。提示提示提示提示提示提示 稳定问题的分析中，应先稳定问题的分析中，应先稳定问题的分析中，应先设想结构一个失稳状态，然后在已设想结构一个失稳状态，然后在已设想结构一个失稳状态，然后在已变形的构形中考虑力和矩的平衡。变形的构形中考虑力和矩的平衡。变形的构形中考虑力和矩的平衡。 H HHh hhP PP H HHh hhP PP H HHh hhP PP N NN H HHh hhP PP N NN例例例例例例 铅垂立柱为刚性的，设铅垂立柱为刚性的，设铅垂立柱为刚性的，设钢丝绳抗拉刚度为钢丝绳抗拉刚度为钢丝绳抗拉刚度为 EA EA EA ，初，初，初始拉力为零，求临界荷载。始

111、拉力为零，求临界荷载。始拉力为零，求临界荷载。 设失稳时立柱偏转角设失稳时立柱偏转角设失稳时立柱偏转角为为为 ，考虑立柱的平衡：，考虑立柱的平衡：，考虑立柱的平衡： 钢绳的伸长量钢绳的伸长量钢绳的伸长量 钢绳伸长量与偏转角之间钢绳伸长量与偏转角之间钢绳伸长量与偏转角之间的关系为的关系为的关系为六、非线性问题六、非线性问题六、非线性问题六、非线性问题六、非线性问题六、非线性问题物理非线性物理非线性物理非线性物理非线性物理非线性物理非线性几何非线性几何非线性几何非线性几何非线性几何非线性几何非线性稳定问题稳定问题稳定问题稳定问题稳定问题稳定问题分段线性问题分段线性问题分段线性问题刚性杆稳定的临界荷

112、载刚性杆稳定的临界荷载刚性杆稳定的临界荷载弹性稳定的微分方程弹性稳定的微分方程弹性稳定的微分方程应力与应变关系非线性，荷载与变形关系非线性应力与应变关系非线性，荷载与变形关系非线性应力与应变关系非线性，荷载与变形关系非线性稳定问题的一般性概念稳定问题的一般性概念稳定问题的一般性概念F FFL LLEIEIEIF FFL LLEIEIEIF FFL LLEIEIEIx xxF FFL LLEIEIEIx xxR RRw wwF FFL LLEIEIEIx xxR RRR RRMMMw ww考虑右半部的平衡考虑右半部的平衡考虑右半部的平衡A A A、B B B 、R R R 不全为零。不全为零。不

113、全为零。弹性稳定的二阶微分方程弹性稳定的二阶微分方程弹性稳定的二阶微分方程弹性稳定的二阶微分方程弹性稳定的二阶微分方程弹性稳定的二阶微分方程F FFL LLEIEIEIx xxR RRR RRMMMw wwF FFL LLEIEIEIkLkLkLy yykLkLkLy yykLkLkLy yy4.4934.4934.493kLkLkLy yy特征方程特征方程特征方程特征方程特征方程特征方程A A A、B B B、R R R 有非零解的必要条件有非零解的必要条件有非零解的必要条件临界荷载临界荷载临界荷载临界荷载临界荷载临界荷载 弹性稳定的二阶微分方程弹性稳定的二阶微分方程弹性稳定的二阶微分方程弹

114、性稳定的二阶微分方程弹性稳定的二阶微分方程弹性稳定的二阶微分方程提示提示提示提示提示提示 特征方程包含了稳定问题的全面信息。根据特征特征方程包含了稳定问题的全面信息。根据特征特征方程包含了稳定问题的全面信息。根据特征方程，可以用数值方法寻求临界荷载。方程，可以用数值方法寻求临界荷载。方程，可以用数值方法寻求临界荷载。 特征量特征量特征量 kLkLkL 是无量纲量。特征方程是关于是无量纲量。特征方程是关于是无量纲量。特征方程是关于 kLkLkL 的方程。的方程。的方程。推导特征方程时，要将推导特征方程时，要将推导特征方程时，要将 kL kL kL 作为一个整体处理。作为一个整体处理。作为一个整体

115、处理。 特征方程的推导方法：特征方程的推导方法：特征方程的推导方法：特征方程的推导方法：特征方程的推导方法：特征方程的推导方法： 利用齐次边界条件（位移为利用齐次边界条件（位移为利用齐次边界条件（位移为零、转角为零等）建立关于待定系数的齐次线性方程组，零、转角为零等）建立关于待定系数的齐次线性方程组，零、转角为零等）建立关于待定系数的齐次线性方程组，再从系数行列式为零的条件引出特征方程。再从系数行列式为零的条件引出特征方程。再从系数行列式为零的条件引出特征方程。 在推导特征方程时，如果事先将挠度、弯矩等按正方在推导特征方程时，如果事先将挠度、弯矩等按正方在推导特征方程时，如果事先将挠度、弯矩等

116、按正方向设定，可以有效地减少出错的可能性。向设定，可以有效地减少出错的可能性。向设定，可以有效地减少出错的可能性。例例例例例例 图示结构中，图示结构中，图示结构中，AB AB AB 段为刚体，段为刚体，段为刚体，BC BC BC 段抗弯刚度为段抗弯刚度为段抗弯刚度为 EIEIEI，A A A处有一螺处有一螺处有一螺旋弹簧，其刚度旋弹簧，其刚度旋弹簧，其刚度 ，求，求，求这个结构的稳定特征方程。这个结构的稳定特征方程。这个结构的稳定特征方程。 结构失稳形态如图。结构失稳形态如图。结构失稳形态如图。a aaF FFa aaEIEIEIA AAB BBC CC a aaF FF a aa建立如图的坐

117、标系。建立如图的坐标系。建立如图的坐标系。 考虑整体平衡。考虑整体平衡。考虑整体平衡。a aaF FF a aay yy x xxa aaF FF a aay yy m mm x xx在弹性区段取右段考虑其弯矩在弹性区段取右段考虑其弯矩在弹性区段取右段考虑其弯矩aF FFay yyx xx w wwm MMMx xx其通解其通解其通解例例例例例例 图示结构中，图示结构中，图示结构中，AB AB AB 段为刚体，段为刚体，段为刚体，BC BC BC 段抗弯刚度为段抗弯刚度为段抗弯刚度为 EIEIEI，A A A处有一螺处有一螺处有一螺旋弹簧，其刚度旋弹簧，其刚度旋弹簧，其刚度 ，求，求，求这个结

118、构的稳定特征方程。这个结构的稳定特征方程。这个结构的稳定特征方程。 结构失稳形态如图。结构失稳形态如图。结构失稳形态如图。 建立如图的坐标系。建立如图的坐标系。建立如图的坐标系。 考虑整体平衡。考虑整体平衡。考虑整体平衡。在弹性区段取右段考虑其弯矩在弹性区段取右段考虑其弯矩在弹性区段取右段考虑其弯矩其通解其通解其通解aF FFay yyx xx w wwm MMMx xxaF FFay yyx xx w wwm MMMx xxa aaF FF a aay yy m mm x xxA A A、B B B、 有非零解的必要条件有非零解的必要条件有非零解的必要条件特征方程特征方程特征方程特征方程特征

119、方程特征方程考虑弹性区的边界条件考虑弹性区的边界条件考虑弹性区的边界条件六、非线性问题六、非线性问题六、非线性问题六、非线性问题六、非线性问题六、非线性问题物理非线性物理非线性物理非线性物理非线性物理非线性物理非线性几何非线性几何非线性几何非线性几何非线性几何非线性几何非线性稳定问题稳定问题稳定问题稳定问题稳定问题稳定问题分段线性问题分段线性问题分段线性问题刚性杆稳定的临界荷载刚性杆稳定的临界荷载刚性杆稳定的临界荷载弹性稳定的微分方程弹性稳定的微分方程弹性稳定的微分方程非理想压杆非理想压杆非理想压杆应力与应变关系非线性，荷载与变形关系非线性应力与应变关系非线性，荷载与变形关系非线性应力与应变关

120、系非线性，荷载与变形关系非线性稳定问题的一般性概念稳定问题的一般性概念稳定问题的一般性概念提示提示提示提示提示提示 非理想压杆的处理非理想压杆的处理非理想压杆的处理方式是利用微分方程的非齐方式是利用微分方程的非齐方式是利用微分方程的非齐次项或次项或次项或 和非齐次边界条件和非齐次边界条件和非齐次边界条件寻求微分方程的解答，通过寻求微分方程的解答，通过寻求微分方程的解答，通过解答的分析寻求临界荷载。解答的分析寻求临界荷载。解答的分析寻求临界荷载。例例例例例例 分析有横向均布荷载的受分析有横向均布荷载的受分析有横向均布荷载的受压杆的临界荷载。压杆的临界荷载。压杆的临界荷载。F FFL LLEIEI

121、EIq qq建立坐标系，建立坐标系，建立坐标系，F FFL LLEIEIEIx xxy yyq qqF FFqLqLqL / / 2 22x xxy yyF FFqLqLqL / / 2 22q qq建立弯矩方程：建立弯矩方程：建立弯矩方程：FqLqLqL / / 2 22x xxy yyF FFq qqqL / 2x xxMMMw ww这是一个非齐次线性微分方程。这是一个非齐次线性微分方程。这是一个非齐次线性微分方程。数学工具箱数学工具箱数学工具箱数学工具箱 线性非齐次微分方程的通解等于对应的齐次方程的线性非齐次微分方程的通解等于对应的齐次方程的线性非齐次微分方程的通解等于对应的齐次方程的通

122、解再加上一个满足非齐次方程的特解。通解再加上一个满足非齐次方程的特解。通解再加上一个满足非齐次方程的特解。 由于非齐次项为多项式，所以特解可选取同阶多项由于非齐次项为多项式，所以特解可选取同阶多项由于非齐次项为多项式，所以特解可选取同阶多项式，其系数可由待定系数法确定。式，其系数可由待定系数法确定。式，其系数可由待定系数法确定。FqLqLqL / / 2 22x xxy yyF FFq qqqL / 2x xxMMMw ww由边界条件确定由边界条件确定由边界条件确定 A A A 和和和 B B B例例例例例例 分析有横向均布荷载的受分析有横向均布荷载的受分析有横向均布荷载的受压杆的临界荷载。压

123、杆的临界荷载。压杆的临界荷载。建立坐标系，建立坐标系，建立坐标系， 建立弯矩方程：建立弯矩方程：建立弯矩方程：这是一个非齐次线性微分方程。这是一个非齐次线性微分方程。这是一个非齐次线性微分方程。由边界条件确定由边界条件确定由边界条件确定 A A A 和和和 B B B例例例例例例 分析有横向均布荷载的受分析有横向均布荷载的受分析有横向均布荷载的受压杆的临界荷载。压杆的临界荷载。压杆的临界荷载。建立坐标系，建立坐标系，建立坐标系， 建立弯矩方程：建立弯矩方程：建立弯矩方程：这是一个非齐次线性微分方程。这是一个非齐次线性微分方程。这是一个非齐次线性微分方程。FqLqLqL / / 2 22x xx

124、y yyF FFq qqqL / 2x xxMMMw wwFqLqLqL / / 2 22x xxy yyF FFq qqqL / 2x xxMMMw ww当当当 时上式趋于无穷大时上式趋于无穷大时上式趋于无穷大, , ,故可认为故可认为故可认为 L LL L LL L LLF FF例例例例例例 图示空心圆柱图示空心圆柱图示空心圆柱 E E E 为已为已为已知，如果柱顶位移最多只知，如果柱顶位移最多只知，如果柱顶位移最多只允许为允许为允许为 ， 钢索的拉紧力钢索的拉紧力钢索的拉紧力最大为多少？最大为多少？最大为多少？建立弯矩方程：建立弯矩方程：建立弯矩方程：由边界条件确定由边界条件确定由边界条

125、件确定 A A A 、B B B 和和和 L LLe eeF FFL LLF FFFeFeFeF FFFeFeFey yyx xx F FFFeFeFey yyx xx w wwMMMx xxF FFFeFeFey yyx xx d ddD DDe ee例例例例例例 图示空心圆柱图示空心圆柱图示空心圆柱 E E E 为已为已为已知，如果柱顶位移最多只知，如果柱顶位移最多只知，如果柱顶位移最多只允许为允许为允许为 ， 钢索的拉紧力钢索的拉紧力钢索的拉紧力最大为多少？最大为多少？最大为多少？建立弯矩方程：建立弯矩方程：建立弯矩方程：由边界条件确定由边界条件确定由边界条件确定 A A A 、B B

126、B 和和和 F FFFeFeFey yyx xx d ddD DDe eeF FFFeFeFey yyx xx 式中式中式中 L LL L LLN NNN NNF FFd ddD DDe ee顶端挠度最大允许值为顶端挠度最大允许值为顶端挠度最大允许值为 柱顶端压力与钢索拉紧力之间有柱顶端压力与钢索拉紧力之间有柱顶端压力与钢索拉紧力之间有六、非线性问题六、非线性问题六、非线性问题六、非线性问题六、非线性问题六、非线性问题物理非线性物理非线性物理非线性物理非线性物理非线性物理非线性几何非线性几何非线性几何非线性几何非线性几何非线性几何非线性稳定问题稳定问题稳定问题稳定问题稳定问题稳定问题分段线性问

127、题分段线性问题分段线性问题刚性杆稳定的临界荷载刚性杆稳定的临界荷载刚性杆稳定的临界荷载弹性稳定的微分方程弹性稳定的微分方程弹性稳定的微分方程非理想压杆非理想压杆非理想压杆应力与应变关系非线性，荷载与变形关系非线性应力与应变关系非线性，荷载与变形关系非线性应力与应变关系非线性，荷载与变形关系非线性稳定问题的一般性概念稳定问题的一般性概念稳定问题的一般性概念七、能量方法七、能量方法七、能量方法七、能量方法七、能量方法七、能量方法基础性概念和基本方法基础性概念和基本方法基础性概念和基本方法基础性概念和基本方法基础性概念和基本方法基础性概念和基本方法应变能和外力的功应变能和外力的功应变能和外力的功应变

128、能和外力的功应变能和外力的功应变能和外力的功应变比能应变比能应变比能应变比能应变比能应变比能 应变能应变能应变能应变能应变能应变能 外力的功外力的功外力的功外力的功外力的功外力的功 W W W杆件的拉压杆件的拉压杆件的拉压圆轴的扭转圆轴的扭转圆轴的扭转梁的弯曲梁的弯曲梁的弯曲应变能和外力的功应变能和外力的功应变能和外力的功应变能和外力的功应变能和外力的功应变能和外力的功应变比能应变比能应变比能应变比能应变比能应变比能 应变能应变能应变能应变能应变能应变能 外力的功外力的功外力的功外力的功外力的功外力的功 W W W杆件的拉压杆件的拉压杆件的拉压圆轴的扭转圆轴的扭转圆轴的扭转梁的弯曲梁的弯曲梁的

129、弯曲 W = W = W = R RR0 00 1 11 2 22例例例例例例 横截面如图的变厚度圆环的中心线半横截面如图的变厚度圆环的中心线半横截面如图的变厚度圆环的中心线半径为径为径为 R R R ，壁厚，壁厚，壁厚 随随随 呈线性变化呈线性变化呈线性变化 （上下（上下（上下对称），圆环长度为对称），圆环长度为对称），圆环长度为 L L L ，两端转矩为，两端转矩为，两端转矩为 T T T ，求横截面上方位角为求横截面上方位角为求横截面上方位角为 处的切应力，以及处的切应力，以及处的切应力，以及两端面的相对转角两端面的相对转角两端面的相对转角 。薄壁杆件扭转切应力公式薄壁杆件扭转切应力公式

130、薄壁杆件扭转切应力公式中线所包围的面积中线所包围的面积中线所包围的面积壁厚壁厚壁厚扭转切应力扭转切应力扭转切应力例例例例例例 横截面如图的变厚度圆环的中心线半横截面如图的变厚度圆环的中心线半横截面如图的变厚度圆环的中心线半径为径为径为 R R R ，壁厚，壁厚，壁厚 随随随 呈线性变化呈线性变化呈线性变化 （上下（上下（上下对称），圆环长度为对称），圆环长度为对称），圆环长度为 L L L ，两端转矩为，两端转矩为，两端转矩为 T T T ，求横截面上方位角为求横截面上方位角为求横截面上方位角为 处的切应力，以及处的切应力，以及处的切应力，以及两端面的相对转角两端面的相对转角两端面的相对转角

131、。薄壁杆件扭转切应力公式薄壁杆件扭转切应力公式薄壁杆件扭转切应力公式中线所包围的面积中线所包围的面积中线所包围的面积壁厚壁厚壁厚扭转切应力扭转切应力扭转切应力R RR0 00 1 11 2 22应变比能应变比能应变比能取微元体积取微元体积取微元体积应变能应变能应变能R RR0 00 1 11 2 22应变比能应变比能应变比能取微元体积取微元体积取微元体积应变能应变能应变能R RR0 00 1 11 2 22外力的功外力的功外力的功由功能关系由功能关系由功能关系R RR0 00 1 11 2 22主要的计算方法主要的计算方法主要的计算方法主要的计算方法主要的计算方法主要的计算方法卡氏第二定理卡氏

132、第二定理卡氏第二定理卡氏第二定理卡氏第二定理卡氏第二定理 F FF 卡氏第二定理仅限于线弹性系统。卡氏第二定理仅限于线弹性系统。卡氏第二定理仅限于线弹性系统。 单位荷载法单位荷载法单位荷载法单位荷载法单位荷载法单位荷载法 1 11A AAq qqA AAw ww 单位荷载法可广泛地应用于单位荷载法可广泛地应用于单位荷载法可广泛地应用于各类弹性系统，包括曲杆、变截各类弹性系统，包括曲杆、变截各类弹性系统，包括曲杆、变截面杆、非线弹性杆，以及温度变面杆、非线弹性杆，以及温度变面杆、非线弹性杆，以及温度变形等情况。形等情况。形等情况。 主要的计算方法主要的计算方法主要的计算方法主要的计算方法主要的计

133、算方法主要的计算方法图乘法图乘法图乘法图乘法图乘法图乘法 A AAq qqA AA1 11 图乘法仅限于线弹性等截面图乘法仅限于线弹性等截面图乘法仅限于线弹性等截面直杆（梁、轴）及其组合结构。直杆（梁、轴）及其组合结构。直杆（梁、轴）及其组合结构。 图乘法还可用于计算轴力图图乘法还可用于计算轴力图图乘法还可用于计算轴力图和扭矩图。同时存在轴力、扭矩和扭矩图。同时存在轴力、扭矩和扭矩图。同时存在轴力、扭矩和弯矩的区段必须分别计算各种和弯矩的区段必须分别计算各种和弯矩的区段必须分别计算各种内力图乘。内力图乘。内力图乘。F FF ( ( a a a x xx ) )F FF x xx1 11例例例例

134、例例 如图的刚度各段的抗弯刚度均为如图的刚度各段的抗弯刚度均为如图的刚度各段的抗弯刚度均为 EIEIEI ，球形重，球形重，球形重物置于最下方横梁的何处，才不致于沿梁滚动？物置于最下方横梁的何处，才不致于沿梁滚动？物置于最下方横梁的何处，才不致于沿梁滚动？a aaa aaa aaF FF 只有球所在的位置梁的转角为零，才能使球只有球所在的位置梁的转角为零，才能使球只有球所在的位置梁的转角为零，才能使球不会滚动。不会滚动。不会滚动。作相应弯矩图。作相应弯矩图。作相应弯矩图。在球所在位置作用一单位力偶矩，并作相应弯矩图。在球所在位置作用一单位力偶矩，并作相应弯矩图。在球所在位置作用一单位力偶矩，并

135、作相应弯矩图。设球与左端的距离为设球与左端的距离为设球与左端的距离为 x x x 。a aaa aax xxa aaF FFa aaa aax xxa aa1 11用能量法求解超静定问题用能量法求解超静定问题用能量法求解超静定问题用能量法求解超静定问题用能量法求解超静定问题用能量法求解超静定问题用能量法求解简单超静定问题的要点：用能量法求解简单超静定问题的要点：用能量法求解简单超静定问题的要点：用能量法求解简单超静定问题的要点：用能量法求解简单超静定问题的要点：用能量法求解简单超静定问题的要点：1)1)1) 用多余支反力代替结构中某点的约束以形成静定基。用多余支反力代替结构中某点的约束以形成静

136、定基。用多余支反力代替结构中某点的约束以形成静定基。2)2)2) 在静定基上用能量法计算解除约束点处由原有荷载和在静定基上用能量法计算解除约束点处由原有荷载和在静定基上用能量法计算解除约束点处由原有荷载和多余支反力所引起的位移。多余支反力所引起的位移。多余支反力所引起的位移。3)3)3) 利用协调条件建立关于多余约束力的方程并求解。利用协调条件建立关于多余约束力的方程并求解。利用协调条件建立关于多余约束力的方程并求解。例例例例例例 如图结构中，如图结构中，如图结构中， ，求求求 CD CD CD 杆的轴力与杆的轴力与杆的轴力与 A A A 截面的内力。截面的内力。截面的内力。结构是对称的，荷载

137、是反对称的。结构是对称的，荷载是反对称的。结构是对称的，荷载是反对称的。设想在中部将横杆切开。设想在中部将横杆切开。设想在中部将横杆切开。截面处对称内力为零，故轴力为零。截面处对称内力为零，故轴力为零。截面处对称内力为零，故轴力为零。设想在设想在设想在 A A A 截面将圆环切开。截面将圆环切开。截面将圆环切开。截面处对称内力为零，故轴力为零，弯矩为零，仅有剪力。截面处对称内力为零，故轴力为零，弯矩为零，仅有剪力。截面处对称内力为零，故轴力为零，弯矩为零，仅有剪力。圆环弯矩圆环弯矩圆环弯矩R RREAEAEAm mmB BBA AAC CCD DDq qqEIEIEIR RREAEAEAm m

138、mB BBA AAq qqEIEIEIC CCD DDR RREAEAEAm mmB BBA AAq qqEIEIEIA AA F FFS SSA AAFFSSAAC CCD DDR RRm mmB BBA AAq qqEIEIEIA AA F FFS SSA AAFFSSAA C CCD DDR RRmBAq qqEIA AA F FFS SSA AAFSA MMMCD例例例例例例 如图结构中，如图结构中，如图结构中， ，求求求 CD CD CD 杆的轴力与杆的轴力与杆的轴力与 A A A 截面的内力。截面的内力。截面的内力。结构是对称的，荷载是反对称的。结构是对称的，荷载是反对称的。结构是

139、对称的，荷载是反对称的。设想在中部将横杆切开。设想在中部将横杆切开。设想在中部将横杆切开。截面处对称内力为零，故轴力为零。截面处对称内力为零，故轴力为零。截面处对称内力为零，故轴力为零。设想在设想在设想在 A A A 截面将圆环切开。截面将圆环切开。截面将圆环切开。截面处对称内力为零，故轴力为零，弯矩为零，仅有剪力。截面处对称内力为零，故轴力为零，弯矩为零，仅有剪力。截面处对称内力为零，故轴力为零，弯矩为零，仅有剪力。圆环弯矩圆环弯矩圆环弯矩R RRmBAq qqEIA AA F FFS SSA AAFSA MMMCD单位力引起的弯矩单位力引起的弯矩单位力引起的弯矩由协调条件由协调条件由协调条

140、件R RRmBAq qqEIA AA F FFS SSA AAFSA MMMCDD DDR RRB BBA AAEIEIEIA AA 1 1111 C CCDR RRAEIA AA 1 111 CBMMM R RREAEAEAm mmB BBA AAq qqEIEIEIA AA F FFS SSA AAFFSSAAC CCD DD七、能量方法七、能量方法七、能量方法七、能量方法七、能量方法七、能量方法互等定理互等定理互等定理互等定理互等定理互等定理基础性概念和基本方法基础性概念和基本方法基础性概念和基本方法基础性概念和基本方法基础性概念和基本方法基础性概念和基本方法m mmm mmF FFw

141、wwFmFmFmF FFF FFm mm mFmFmFF FFm mm功的互等定理功的互等定理功的互等定理功的互等定理功的互等定理功的互等定理 互等定理中的力和位移都互等定理中的力和位移都互等定理中的力和位移都是广义的。是广义的。是广义的。 P P P1 1 1 在在在在在在 P P P2 2 2 所引起的位移上所做的功，等于所引起的位移上所做的功，等于所引起的位移上所做的功，等于所引起的位移上所做的功，等于所引起的位移上所做的功，等于所引起的位移上所做的功，等于 P P P2 2 2 在在在在在在 P P P1 1 1 所引所引所引所引所引所引起的位移上所做的功起的位移上所做的功起的位移上所

142、做的功起的位移上所做的功起的位移上所做的功起的位移上所做的功。 互等定理中的两个力不一互等定理中的两个力不一互等定理中的两个力不一定是同时存在于结构之中的。定是同时存在于结构之中的。定是同时存在于结构之中的。L LL/ / 2 22b bbL LL/ / 2 22F FFF FF例例例例例例 矩形板轴向抗拉刚度为矩形板轴向抗拉刚度为矩形板轴向抗拉刚度为 EA EA EA ，泊，泊，泊松比为松比为松比为 ，求板在图示的一对力，求板在图示的一对力，求板在图示的一对力 F F F 的的的作用下的轴向变形。作用下的轴向变形。作用下的轴向变形。P PPP PP设想板的另一受力状态如图。设想板的另一受力状

143、态如图。设想板的另一受力状态如图。易得第二种状态下的横向变形为易得第二种状态下的横向变形为易得第二种状态下的横向变形为设第一种状态下所求的轴向变形为设第一种状态下所求的轴向变形为设第一种状态下所求的轴向变形为 L L L ，由功的互等定理：由功的互等定理：由功的互等定理：力学量和几何量的功共轭力学量和几何量的功共轭力学量和几何量的功共轭力学量和几何量的功共轭力学量和几何量的功共轭力学量和几何量的功共轭集中力集中力集中力集中力集中力集中力 P P P 线位移线位移线位移线位移线位移线位移 a a a集中力偶矩集中力偶矩集中力偶矩集中力偶矩集中力偶矩集中力偶矩 m mm 角位移角位移角位移角位移角

144、位移角位移 均布荷载均布荷载均布荷载均布荷载均布荷载均布荷载 q q q 面积面积面积面积面积面积 A A A压力压力压力压力压力压力 p p p 体积体积体积体积体积体积 V V V功的量纲功的量纲功的量纲功的量纲功的量纲功的量纲提示提示提示提示提示提示 在应用互等定理时，一般应构造同一个结构的另在应用互等定理时，一般应构造同一个结构的另在应用互等定理时，一般应构造同一个结构的另一种状态，这种状态应包含所求的变形，以及产生这种变一种状态，这种状态应包含所求的变形，以及产生这种变一种状态，这种状态应包含所求的变形，以及产生这种变形所需的荷载。形所需的荷载。形所需的荷载。F FFF FFp pp

145、例例例例例例 圆形板的弹性模量为圆形板的弹性模量为圆形板的弹性模量为 E E E ，泊松比为，泊松比为，泊松比为 ，直径为，直径为，直径为 d d d ，厚度为，厚度为，厚度为 t t t 。求板在图示的。求板在图示的。求板在图示的一对力一对力一对力 F F F 的作用下的面积改变量。的作用下的面积改变量。的作用下的面积改变量。 设想板的另一受力状态如图。设想板的另一受力状态如图。设想板的另一受力状态如图。 易得第二种状态下的径向应力和周向易得第二种状态下的径向应力和周向易得第二种状态下的径向应力和周向应力均为应力均为应力均为 p p p ， 故径向应变为故径向应变为故径向应变为故直径变化量为

146、故直径变化量为故直径变化量为设第一种状态下所求的面积改变量为设第一种状态下所求的面积改变量为设第一种状态下所求的面积改变量为 A A A ，由功的互等定理：由功的互等定理：由功的互等定理：F FFF FFp pp七、能量方法七、能量方法七、能量方法七、能量方法七、能量方法七、能量方法互等定理互等定理互等定理互等定理互等定理互等定理温度荷载问题温度荷载问题温度荷载问题温度荷载问题温度荷载问题温度荷载问题基础性概念和基本方法基础性概念和基本方法基础性概念和基本方法基础性概念和基本方法基础性概念和基本方法基础性概念和基本方法单位荷载法在热应力问题中的应用单位荷载法在热应力问题中的应用单位荷载法在热应

147、力问题中的应用单位荷载法在热应力问题中的应用单位荷载法在热应力问题中的应用单位荷载法在热应力问题中的应用单位荷载法单位荷载法单位荷载法其中其中其中故有故有故有真实荷载下的微元变形量真实荷载下的微元变形量真实荷载下的微元变形量真实荷载下的微元变形量真实荷载下的微元变形量真实荷载下的微元变形量d ddx xxd(d(d( L LL) )F FFN NNd ddx xxT TTd MMMd dd d ddx xx单位荷载法在热应力问题中的应用单位荷载法在热应力问题中的应用单位荷载法在热应力问题中的应用单位荷载法在热应力问题中的应用单位荷载法在热应力问题中的应用单位荷载法在热应力问题中的应用T T T

148、 是温升是温升是温升提示提示提示提示提示提示 在热应力问题中，在热应力问题中，在热应力问题中，d(d(d( L L L) ) )、d d d 和和和 d d d 是温度所引起是温度所引起是温度所引起的微元变化量。的微元变化量。的微元变化量。d ddx xxd(d(d( L LL) )d ddx xxh hh T TT1 11d ddx xx T TT2 22d ddx xxd dd d ddx xxh/ h/h/ 2 22h/ h/h/ 2 22d ddx xxh/ h/h/ 2 22h/ h/h/ 2 22 T TT1 11d ddx xx T TT2 22d ddx xxd dd L LL

149、 T TT1 11 T TT2 22h hhL LL y y y x x xL LL1 11例例例例例例 一矩形截面悬臂梁底面温度升一矩形截面悬臂梁底面温度升一矩形截面悬臂梁底面温度升高了高了高了 T T T2 2 2 ，顶面温度升高了，顶面温度升高了，顶面温度升高了T T T1 1 1 ，且温，且温，且温度沿高度线性变化，度沿高度线性变化，度沿高度线性变化，T T T2 2 2 T T T1 1 1 ，计算，计算，计算自由端的竖向位移和横向位移。自由端的竖向位移和横向位移。自由端的竖向位移和横向位移。 取微元长度如图取微元长度如图取微元长度如图 在自由端作用向上的单位在自由端作用向上的单位在

150、自由端作用向上的单位 1 1 1 的的的力，相应的虚弯矩为力，相应的虚弯矩为力，相应的虚弯矩为 则微元两侧面由于温度升高而则微元两侧面由于温度升高而则微元两侧面由于温度升高而产生的夹角为产生的夹角为产生的夹角为d ddx xxh/ h/h/ 2 22h/ h/h/ 2 22 T TT1 11d ddx xx T TT2 22d ddx xxd dd L LL1 11例例例例例例 一矩形截面悬臂梁底面温度升一矩形截面悬臂梁底面温度升一矩形截面悬臂梁底面温度升高了高了高了 T T T2 2 2 ，顶面温度升高了，顶面温度升高了，顶面温度升高了T T T1 1 1 ，且温，且温，且温度沿高度线性变化

151、，度沿高度线性变化，度沿高度线性变化，T T T2 2 2 T T T1 1 1 ，计算，计算，计算自由端的竖向位移和横向位移。自由端的竖向位移和横向位移。自由端的竖向位移和横向位移。 取微元长度如图取微元长度如图取微元长度如图 在自由端作用向上的单位在自由端作用向上的单位在自由端作用向上的单位 1 1 1 的的的力，相应的虚弯矩为力，相应的虚弯矩为力，相应的虚弯矩为 则微元两侧面由于温度升高而则微元两侧面由于温度升高而则微元两侧面由于温度升高而产生的夹角为产生的夹角为产生的夹角为d ddx xxh/ h/h/ 2 22h/ h/h/ 2 22 T TT1 11d ddx xx T TT2 2

152、2d ddx xxd dd d ddx xxh/ h/h/ 2 22h/ h/h/ 2 22 T TT1 11d ddx xx T TT2 22d ddx xxd dd L LL1 11 根据单位荷载法：根据单位荷载法：根据单位荷载法： 又，微元长度由于温度升高而又，微元长度由于温度升高而又，微元长度由于温度升高而产生的增量为：产生的增量为：产生的增量为：d ddx xxh/ h/h/ 2 22h/ h/h/ 2 22 T TT1 11d ddx xx T TT2 22d ddx xxd dd L LL1 11 根据单位荷载法：根据单位荷载法：根据单位荷载法： 又，微元长度由于温度升高而又，微

153、元长度由于温度升高而又，微元长度由于温度升高而产生的增量为：产生的增量为：产生的增量为：d ddx xxh/ h/h/ 2 22h/ h/h/ 2 22 T TT1 11d ddx xx T TT2 22d ddx xxd dd L LL1 11L LL1 11 在自由端作用向左的单位在自由端作用向左的单位在自由端作用向左的单位 1 1 1 的力，相应的虚轴力为：的力，相应的虚轴力为：的力，相应的虚轴力为： 根据单位荷载法：根据单位荷载法：根据单位荷载法：L LLL LLEIEIEIEIEIEIA AAB BBC CC例例例例例例 两段抗弯刚度均为两段抗弯刚度均为两段抗弯刚度均为 EI EI

154、EI 的梁制成刚架的梁制成刚架的梁制成刚架安装于刚性壁和铰之间。安装时梁内无应安装于刚性壁和铰之间。安装时梁内无应安装于刚性壁和铰之间。安装时梁内无应力。安装后梁力。安装后梁力。安装后梁 BC BC BC 段的温度升高，底面温段的温度升高，底面温段的温度升高，底面温度升高了度升高了度升高了 T T T2 2 2 ，顶面温度升高了，顶面温度升高了，顶面温度升高了T T T1 1 1 ，且温度，且温度，且温度沿高度沿高度沿高度 h h h 线性变化，线性变化，线性变化， T T T2 2 2 T T T1 1 1 ，AB AB AB 段温度段温度段温度不变。材料的线热膨胀系数为不变。材料的线热膨胀

155、系数为不变。材料的线热膨胀系数为 。求。求。求 C C C 截截截面处的弯矩。面处的弯矩。面处的弯矩。 解除解除解除 A A A 处的水处的水处的水平约束和竖直约束平约束和竖直约束平约束和竖直约束F FF x x xF FF y y y 0 0 0 0 0 0 0 0 0温度温度温度温度温度温度横梁横梁横梁横梁横梁横梁竖梁竖梁竖梁竖梁竖梁竖梁 考虑温度、多余约束力以及单位荷载对弯曲的影响：考虑温度、多余约束力以及单位荷载对弯曲的影响：考虑温度、多余约束力以及单位荷载对弯曲的影响：F FF x x xx xxx xxF FF y y yx xxx xx1 11 x x x1 11 y y yx

156、xxx xx协调条件协调条件协调条件协调条件协调条件协调条件 0 0 0 0 0 0 0 0 0温度温度温度温度温度温度横梁横梁横梁横梁横梁横梁竖梁竖梁竖梁竖梁竖梁竖梁1 11 x x x1 11 y y yx xxx xx协调条件协调条件协调条件协调条件协调条件协调条件 0 0 0 0 0 0 0 0 0温度温度温度温度温度温度横梁横梁横梁横梁横梁横梁竖梁竖梁竖梁竖梁竖梁竖梁1 11 x x x1 11 y y yx xxx xx协调条件协调条件协调条件协调条件协调条件协调条件1 11 x x x1 11 y y yx xxx xxF FF x x xF FF y y y由此可得由此可得由此

157、可得 C C C 截面弯矩截面弯矩截面弯矩 0 0 0 0 0 0 0 0 0温度温度温度温度温度温度横梁横梁横梁横梁横梁横梁竖梁竖梁竖梁竖梁竖梁竖梁L LLL LLEIEIEIEIEIEIA AAB BBC CC七、能量方法七、能量方法七、能量方法七、能量方法七、能量方法七、能量方法互等定理互等定理互等定理互等定理互等定理互等定理温度荷载问题温度荷载问题温度荷载问题温度荷载问题温度荷载问题温度荷载问题非线性问题非线性问题非线性问题非线性问题非线性问题非线性问题基础性概念和基本方法基础性概念和基本方法基础性概念和基本方法基础性概念和基本方法基础性概念和基本方法基础性概念和基本方法单位荷载法在物

158、理非线性问题中的应用单位荷载法在物理非线性问题中的应用单位荷载法在物理非线性问题中的应用单位荷载法在物理非线性问题中的应用单位荷载法在物理非线性问题中的应用单位荷载法在物理非线性问题中的应用单位荷载法单位荷载法单位荷载法满足物理非线性关系满足物理非线性关系满足物理非线性关系满足物理非线性关系满足物理非线性关系满足物理非线性关系 的微元变形量的微元变形量的微元变形量的微元变形量的微元变形量的微元变形量d ddx xxd(d(d( L LL) )F FFN NNd ddx xxT TTd MMMd dd d ddx xx提示提示提示提示提示提示 在物理非线性问题中，需要导出新的微元变形量的在物理非

159、线性问题中，需要导出新的微元变形量的在物理非线性问题中，需要导出新的微元变形量的表达式，然后再将其代入单位荷载法计算式中。表达式，然后再将其代入单位荷载法计算式中。表达式，然后再将其代入单位荷载法计算式中。L LLq qqb bbh hh例例例例例例 悬臂梁承受均布荷载作用。若悬臂梁承受均布荷载作用。若悬臂梁承受均布荷载作用。若梁的材料的应力应变的绝对值间的梁的材料的应力应变的绝对值间的梁的材料的应力应变的绝对值间的关系满足关系满足关系满足 ，求自由端处的，求自由端处的，求自由端处的挠度。挠度。挠度。先求梁的微元段两端面间的相对转角先求梁的微元段两端面间的相对转角先求梁的微元段两端面间的相对转

160、角平截面假设依然成立平截面假设依然成立平截面假设依然成立 正应力正应力正应力 正应力关于中性轴的矩构成截面上的弯矩正应力关于中性轴的矩构成截面上的弯矩正应力关于中性轴的矩构成截面上的弯矩 记记记 L LLq qqb bbh hhy yyx例例例例例例 悬臂梁承受均布荷载作用。若悬臂梁承受均布荷载作用。若悬臂梁承受均布荷载作用。若梁的材料的应力应变的绝对值间的梁的材料的应力应变的绝对值间的梁的材料的应力应变的绝对值间的关系满足关系满足关系满足 ，求自由端处的，求自由端处的，求自由端处的挠度。挠度。挠度。先求梁的微元段两端面间的相对转角先求梁的微元段两端面间的相对转角先求梁的微元段两端面间的相对转

161、角平截面假设依然成立平截面假设依然成立平截面假设依然成立 正应力正应力正应力 正应力关于中性轴的矩构成截面上的弯矩正应力关于中性轴的矩构成截面上的弯矩正应力关于中性轴的矩构成截面上的弯矩 记记记 L LLq qqb bbh hhy yyx同样根据平截面假设同样根据平截面假设同样根据平截面假设 故有故有故有为求自由端处挠度，在该处加上单位荷载为求自由端处挠度，在该处加上单位荷载为求自由端处挠度，在该处加上单位荷载对于矩形截面对于矩形截面对于矩形截面L LLq qqb bbh hhy yyx七、能量方法七、能量方法七、能量方法七、能量方法七、能量方法七、能量方法互等定理互等定理互等定理互等定理互等

162、定理互等定理温度荷载问题温度荷载问题温度荷载问题温度荷载问题温度荷载问题温度荷载问题非线性问题非线性问题非线性问题非线性问题非线性问题非线性问题动荷载问题动荷载问题动荷载问题动荷载问题动荷载问题动荷载问题提示提示提示提示提示提示 在动荷载问题（尤其是冲击问题）中，多考虑在动荷载问题（尤其是冲击问题）中，多考虑在动荷载问题（尤其是冲击问题）中，多考虑直接采用能量守恒方法。直接采用能量守恒方法。直接采用能量守恒方法。基础性概念和基本方法基础性概念和基本方法基础性概念和基本方法基础性概念和基本方法基础性概念和基本方法基础性概念和基本方法H HH H HH H HH 2d 2d 2d 1d 1d 1d

163、H HH 例例例例例例 两根正方形截面梁在中央垂直交错，两根正方形截面梁在中央垂直交错，两根正方形截面梁在中央垂直交错，但之间有间隙但之间有间隙但之间有间隙 。一重物。一重物。一重物 F F F 从高度从高度从高度 h h h 处处处自由落下，求梁中最大应力。自由落下，求梁中最大应力。自由落下，求梁中最大应力。重物下落高度重物下落高度重物下落高度两梁中间挠度关系两梁中间挠度关系两梁中间挠度关系重物势能重物势能重物势能应变能应变能应变能机械能守恒机械能守恒机械能守恒H HHL L L 2 22L L L 2 22 F FFa aaa aaH HH 2d 2d 2d 1d 1d 1dH HH 例例

164、例例例例 两根正方形截面梁在中央垂直交错，两根正方形截面梁在中央垂直交错，两根正方形截面梁在中央垂直交错，但之间有间隙但之间有间隙但之间有间隙 。一重物。一重物。一重物 F F F 从高度从高度从高度 h h h 处处处自由落下，求梁中最大应力。自由落下，求梁中最大应力。自由落下，求梁中最大应力。重物下落高度重物下落高度重物下落高度两梁中间挠度关系两梁中间挠度关系两梁中间挠度关系重物势能重物势能重物势能应变能应变能应变能机械能守恒机械能守恒机械能守恒H HHL L L 2 22L L L 2 22 F FFa aaa aa荷载与变形成正比荷载与变形成正比荷载与变形成正比H HHL L L 2

165、22L L L 2 22 F FFa aaa aa荷载与变形成正比荷载与变形成正比荷载与变形成正比H HHL L L 2 22L L L 2 22 F FFa aaa aaH HHL L L 2 22L L L 2 22 F FFa aaa aaH HHL L L 2 22L L L 2 22 F FFa aaa aaH HHL L L 2 22L L L 2 22 F FFH HHL L L 2 22L L L 2 22F FF 若若若 = = = 0 0 0 ，a aaa aaH HHA AAB BBD DDL LLL LLEIEIEI例例例例例例 单位重量为单位重量为单位重量为 q q

166、q 的均质梁的均质梁的均质梁 ABABAB 从从从高度高度高度 H H H 处自由落在刚性支架处自由落在刚性支架处自由落在刚性支架 D D D 上，上，上，求梁中最大弯矩。求梁中最大弯矩。求梁中最大弯矩。H HHA AAB BBD DDL LLL LL分析分析分析分析分析分析 势能势能应变能应变能刚体位移刚体位移变形变形动挠度方程动挠度方程动弯矩方程动弯矩方程求动荷载求动荷载 qd机械能守恒机械能守恒D DDL LLL LLA AAB BBD DDL LLL LLA AAB BBq qqD DDL LLL LLA AAB BBq qqd ddD DDLL LLAB BBq qqd ddD DD

167、LL LLAB BBx xxx xxd ddx xx例例例例例例 单位重量为单位重量为单位重量为 q q q 的均质梁的均质梁的均质梁 ABABAB 从从从高度高度高度 H H H 处自由落在刚性支架处自由落在刚性支架处自由落在刚性支架 D D D 上，上，上，求梁中最大弯矩。求梁中最大弯矩。求梁中最大弯矩。由于对称性，可以只考虑其一半。由于对称性，可以只考虑其一半。由于对称性，可以只考虑其一半。建立如图坐标系。建立如图坐标系。建立如图坐标系。动挠度方程动挠度方程动挠度方程动弯矩方程动弯矩方程动弯矩方程变形的势能减小变形的势能减小变形的势能减小例例例例例例 单位重量为单位重量为单位重量为 q

168、q q 的均质梁的均质梁的均质梁 ABABAB 从从从高度高度高度 H H H 处自由落在刚性支架处自由落在刚性支架处自由落在刚性支架 D D D 上，上，上，求梁中最大弯矩。求梁中最大弯矩。求梁中最大弯矩。由于对称性，可以只考虑其一半。由于对称性，可以只考虑其一半。由于对称性，可以只考虑其一半。建立如图坐标系。建立如图坐标系。建立如图坐标系。动挠度方程动挠度方程动挠度方程动弯矩方程动弯矩方程动弯矩方程变形的势能减小变形的势能减小变形的势能减小D DDLL LLAB BBx xxx xxd ddx xxD DDLL LLAB BBx xxx xxd ddx xx应变能应变能应变能机械能守恒机械

169、能守恒机械能守恒刚体位移的势能减小刚体位移的势能减小刚体位移的势能减小最大动弯矩最大动弯矩最大动弯矩七、能量方法七、能量方法七、能量方法七、能量方法七、能量方法七、能量方法互等定理互等定理互等定理互等定理互等定理互等定理温度荷载问题温度荷载问题温度荷载问题温度荷载问题温度荷载问题温度荷载问题非线性问题非线性问题非线性问题非线性问题非线性问题非线性问题动荷载问题动荷载问题动荷载问题动荷载问题动荷载问题动荷载问题提示提示提示提示提示提示 在动荷载问题（尤其是冲击问题）中，多考虑在动荷载问题（尤其是冲击问题）中，多考虑在动荷载问题（尤其是冲击问题）中，多考虑直接采用能量守恒方法。直接采用能量守恒方法

170、。直接采用能量守恒方法。基础性概念和基本方法基础性概念和基本方法基础性概念和基本方法基础性概念和基本方法基础性概念和基本方法基础性概念和基本方法八、应变的测量八、应变的测量八、应变的测量八、应变的测量八、应变的测量八、应变的测量应变测试原理应变测试原理应变测试原理应变测试原理应变测试原理应变测试原理 k k k 灵敏度系数灵敏度系数灵敏度系数灵敏度系数灵敏度系数灵敏度系数原理：原理：原理：原理：原理：原理：电阻丝长度的变化可电阻丝长度的变化可电阻丝长度的变化可引起电阻的变化。在一定范引起电阻的变化。在一定范引起电阻的变化。在一定范围内，电阻变化率与正应变围内，电阻变化率与正应变围内，电阻变化率

171、与正应变成正比。成正比。成正比。引线引线敏感栅敏感栅片基片基应变测试原理应变测试原理应变测试原理应变测试原理应变测试原理应变测试原理1. 1. 1. 应变片和电阻应变仪应变片和电阻应变仪应变片和电阻应变仪应变片和电阻应变仪应变片和电阻应变仪应变片和电阻应变仪电电电电阻阻阻阻应应应应变变变变仪仪仪仪应变片应变片应变片应变片应变片应变片R RR1 11R RR2 22R RR3 33R RR4 44A AAB BBC CCD DD U UU放大器放大器放大器放大器放大器放大器解调器解调器解调器解调器解调器解调器A / D A / D A / D 转换器转换器转换器转换器转换器转换器显示器显示器显示

172、器显示器显示器显示器振荡器振荡器振荡器振荡器振荡器振荡器电桥电桥电桥电桥电桥电桥应变测试原理应变测试原理应变测试原理应变测试原理应变测试原理应变测试原理R RR1 11R RR2 22R RR3 33R RR4 44A AAB BBC CCD DD U UU2. 2. 2. 惠斯顿电桥惠斯顿电桥惠斯顿电桥惠斯顿电桥惠斯顿电桥惠斯顿电桥应变测试原理应变测试原理应变测试原理应变测试原理应变测试原理应变测试原理电桥平衡条件电桥平衡条件电桥平衡条件电阻改变电阻改变电阻改变R RR1 11R RR2 22R RR3 33R RR4 44A AAB BBC CCD DD U UU相邻桥臂异号，相对桥臂同号

173、。相邻桥臂异号，相对桥臂同号。相邻桥臂异号，相对桥臂同号。相邻桥臂异号，相对桥臂同号。相邻桥臂异号，相对桥臂同号。相邻桥臂异号，相对桥臂同号。R RR1 11R RR2 22R RR3 33R RR4 44A AAB BBC CCD DD U UU2. 2. 2. 惠斯顿电桥惠斯顿电桥惠斯顿电桥惠斯顿电桥惠斯顿电桥惠斯顿电桥应变测试原理应变测试原理应变测试原理应变测试原理应变测试原理应变测试原理四分之一桥连接四分之一桥连接四分之一桥连接桥臂接入方式桥臂接入方式桥臂接入方式桥臂接入方式桥臂接入方式桥臂接入方式半桥连接半桥连接半桥连接全桥连接全桥连接全桥连接 (1) (1) (1)R RR2 22

174、R RR3 33R RR4 44A AAB BBC CCD DD U UUR RR3 33R RR4 44A AAB BBC CCD DD U UU (1) (1) (1) (2) (2) (2)A AAB BBC CCD DD U UU (1) (1) (1) (2) (2) (2) (3) (3) (3) (4) (4) (4)F FFF FFR RR1 11R RR2 22R RR3 33R RR4 44A AAB BBC CCD DD U UU应变测试原理应变测试原理应变测试原理应变测试原理应变测试原理应变测试原理3. 3. 3. 温度补偿温度补偿温度补偿温度补偿温度补偿温度补偿 由于

175、不可避免的温度变化，由于不可避免的温度变化，由于不可避免的温度变化，将使应变片产生附加值。将使应变片产生附加值。将使应变片产生附加值。 (1) (1) (1)R RR2 22R RR3 33R RR4 44A AAB BBC CCD DD U UUR RR3 33R RR4 44A AAB BBC CCD DD U UU (1) (1) (1) t t t提示提示提示提示提示提示 温度补偿片必须接温度补偿片必须接温度补偿片必须接在测试片的相邻桥臂上。在测试片的相邻桥臂上。在测试片的相邻桥臂上。八、应变的测量八、应变的测量八、应变的测量八、应变的测量八、应变的测量八、应变的测量应变测试原理应变测

176、试原理应变测试原理应变测试原理应变测试原理应变测试原理常用测试方法常用测试方法常用测试方法常用测试方法常用测试方法常用测试方法R RR1 11R RR2 22R RR3 33R RR4 44A AAB BBC CCD DD U UUF FFF FFF FFF FFF FFF FF测拉伸正应力测拉伸正应力测拉伸正应力测拉伸正应力测拉伸正应力测拉伸正应力测试方法一测试方法一测试方法一测试方法一测试方法一测试方法一测试方法二测试方法二测试方法二测试方法二测试方法二测试方法二提示提示提示提示提示提示 如果荷载存在偏心，则上述测量不能反映拉应力如果荷载存在偏心，则上述测量不能反映拉应力如果荷载存在偏心，

177、则上述测量不能反映拉应力的真实状况。的真实状况。的真实状况。F FFF FFF FFF FF (1) (1) (1)R RR2 22R RR3 33R RR4 44A AAB BBC CCD DD U UUR RR3 33R RR4 44A AAB BBC CCD DD U UU (1) (1) (1) t t tA AAB BBC CCD DD U UU (1) (1) (1) t t t (4) (4) (4)R RR3 33A AAB BBC CCD DD U UU (1) (1) (1) t t t t t t (4) (4) (4)提示提示提示提示提示提示 如果同时存在如果同时存在如

178、果同时存在拉伸和弯曲荷载拉伸和弯曲荷载拉伸和弯曲荷载，则上则上则上述测量不能反映扭转切述测量不能反映扭转切述测量不能反映扭转切应力的真实状况。应力的真实状况。应力的真实状况。测扭转切应力测扭转切应力测扭转切应力测扭转切应力测扭转切应力测扭转切应力 45 45R RR3 33R RR4 44A AAB BBC CCD DD U UU (1) (1) (1) t t t测试方法一测试方法一测试方法一测试方法一测试方法一测试方法一 圆轴侧面各点处于纯剪状态，圆轴侧面各点处于纯剪状态，圆轴侧面各点处于纯剪状态，主方向与轴线成主方向与轴线成主方向与轴线成 45 45 45角。角。角。测试方法二测试方法二

179、测试方法二测试方法二测试方法二测试方法二4545(2)(1)4545(4)(3)(1)(1)(1)(2)(2)(2)(3)(3)(3)(4)(4)(4)4545R RR1 11R RR2 22R RR3 33R RR4 44A AAB BBC CCD DD U UU (1) (1) (1)A AAB BBC CCD DD U UU (2) (2) (2) (3) (3) (3) (4) (4) (4)测扭转切应力测扭转切应力测扭转切应力测扭转切应力测扭转切应力测扭转切应力4545(4)(3) MMM N NN(1)4545(2)(1) (1) (1) (1)A AAB BBC CCD DD U

180、 UU (2) (2) (2) (3) (3) (3) (4) (4) (4)(1)(1)(1)(2)(2)(2)(3)(3)(3)(4)(4)(4)4545测试方法二测试方法二测试方法二测试方法二测试方法二测试方法二测扭转切应力测扭转切应力测扭转切应力测扭转切应力测扭转切应力测扭转切应力4545(2)(1) (1) (1) (1)A AAB BBC CCD DD U UU (2) (2) (2) (3) (3) (3) (4) (4) (4)4545(4)(3)提示提示提示提示提示提示 按照这种方式布片，无须温度补偿。按照这种方式布片，无须温度补偿。按照这种方式布片，无须温度补偿。测试方法二

181、测试方法二测试方法二测试方法二测试方法二测试方法二(1)(1)(1)(2)(2)(2)(3)(3)(3)(4)(4)(4)4545测扭转切应力测扭转切应力测扭转切应力测扭转切应力测扭转切应力测扭转切应力F FF F FF测弯曲正应力测弯曲正应力测弯曲正应力测弯曲正应力测弯曲正应力测弯曲正应力R RR1 11R RR2 22R RR3 33R RR4 44A AAB BBC CCD DD U UUR RR2 22R RR3 33R RR4 44A AAB BBC CCD DD U UU (1) (1) (1) (1) (1) (1)R RR3 33R RR4 44A AAB BBC CCD DD

182、 U UU (2) (2) (2)提示提示提示提示提示提示 按照这按照这按照这种方式布片，无种方式布片，无种方式布片，无须温度补偿。须温度补偿。须温度补偿。直角应变花直角应变花直角应变花直角应变花直角应变花直角应变花 等角应变花等角应变花等角应变花等角应变花等角应变花等角应变花测一般双向应力状态测一般双向应力状态测一般双向应力状态测一般双向应力状态测一般双向应力状态测一般双向应力状态 y yy y yy x xx x xx训练内容结束训练内容结束训练内容结束训练内容结束祝祝祝祝 大大大大 家家家家 成成成成 功功功功 祝祝祝祝 大大大大 家家家家 成成成成 功功功功 为为为为 川川川川 大大大大 争争争争 光光光光 为为为为 川川川川 大大大大 争争争争 光光光光 为为为为 成成成成 才才才才 而而而而 拼拼拼拼 搏搏搏搏