《轮换对称式与多项式和应用(初中数学竞赛)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《轮换对称式与多项式和应用(初中数学竞赛)（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、初中数学竞赛系列讲座初中数学竞赛系列讲座合肥市第三十八中学合肥市第三十八中学赵月和赵月和一一.定义定义在含有多个变量的代数式在含有多个变量的代数式f(x,y,z)中，如果变量中，如果变量x,y,z任意交换两个后，代数式的值不变，任意交换两个后，代数式的值不变，则称这个代数式为则称这个代数式为绝对对称式绝对对称式，简称，简称对称式对称式.例如：代数式例如：代数式x+y，xy，x3+y3+z33xyz,x5+y5+xy,都是对称式都是对称式.其中其中x+y和和xy叫做含两个变量的基本对称式叫做含两个变量的基本对称式.如果把一个多项式的每两个字母依次互换后，多项式如果把一个多项式的每两个字母依次互换
2、后，多项式不变，这种多项式叫对称多项式。不变，这种多项式叫对称多项式。如是一个二元对称式如是一个二元对称式(x-1)(y-1)=xy-(x+y)+1(x+1)(y+1)=xy+(x+y)+1例题例题求方程求方程x+y=xy的整数解。的整数解。解：解：x+y=xy (x-1)(y-1)=1.解之，得解之，得x-1=1,y-1=1;或或x-1=-1,y-1=-1. x=2y=2或或x=0y=0分析分析这是一道求不定方程解的题目，当然这是一道求不定方程解的题目，当然x与与y交换位置后，原等式不变，可考虑移项分交换位置后，原等式不变，可考虑移项分解因式。解因式。关于关于x、y、z三个变量的多项式，如果
3、对式子三个变量的多项式，如果对式子中变量按某种次序轮换后（例如把中变量按某种次序轮换后（例如把x换成换成y,把把y换成换成z,把把z换成换成x），所得的式子仍和原式），所得的式子仍和原式相同，则称这个多项式是关于相同，则称这个多项式是关于x、y、z的的轮换对称式轮换对称式.简称简称轮换式轮换式.例如：代数式例如：代数式a2(bc)+b2(ca)+c2(ab),2x2y+2y2z+2z2x,（xy+yz+zx），.都是轮换式都是轮换式.很显然，对称式一定是轮换式很显然，对称式一定是轮换式,而轮换式不一定是对称而轮换式不一定是对称式式.二二.性质性质1、含两个变量、含两个变量x和和y的对称式，一定
4、可用相同变的对称式，一定可用相同变量的基本对称式来表示量的基本对称式来表示.、对称式中，如果含有某种形式的一式，则必、对称式中，如果含有某种形式的一式，则必含有该式由两个变量交换后的一切同型式，且含有该式由两个变量交换后的一切同型式，且系数相等系数相等.例如：在含例如：在含x,y,z的二次对称多项式中，的二次对称多项式中，如果含有如果含有x2项，则必同时有项，则必同时有y2,z2两项；如含有两项；如含有xy项，则必同时有项，则必同时有yz,zx两项，且它们的系数，两项，且它们的系数，都分别相等都分别相等.故可以表示为：故可以表示为：m(x2+y2+z2)+n(xy+yz+zx)其中其中m,n是
5、常数是常数.、轮换式中，如果含有某种形式的一式，则一定含、轮换式中，如果含有某种形式的一式，则一定含有该式由变量字母循环变换后所得的一切同型式，有该式由变量字母循环变换后所得的一切同型式，且系数相等且系数相等.例如：轮换式例如：轮换式a(bc)+b(ca)+c(ab)中，有中，有因式因式ab这一项这一项,必有同型式必有同型式bc和和ca两项两项.例如：轮换式例如：轮换式a3(bc)+b3(ca)+c3(ab)中，有中，有因式因式ab这一项这一项,必有同型式必有同型式bc和和ca两项两项.例如：轮换式分解因式：例如：轮换式分解因式：a(bc)+b(ca)+c(ab)(ab)(bc)(ca)xy+
6、yz+zx和都是轮换式，xy+yz+z，（）（xy+yz+z）. 也都是轮换式。、两个对称式（轮换式）的和，差，积，商（除式不、两个对称式（轮换式）的和，差，积，商（除式不为零），仍然是对称式（轮换式）为零），仍然是对称式（轮换式）.比如：比如：x+y,xy都是对称式都是对称式x+yxy，（，（x+y）xy，等也都是对称式等也都是对称式.又：例题：已知：例题：已知：a+b+c=0,abc0.求代数式的值求代数式的值分析：这是含分析：这是含a,b,c的轮换式，化简第一个分式后，的轮换式，化简第一个分式后，其余的两个分式，可直接写出它的同型式其余的两个分式，可直接写出它的同型式.解：解：0.三：例
7、题精讲三：例题精讲已知：已知：S（a+b+c）.求证：求证：3S（Sa）(Sb)(Sc).练习练习1:例例 若若abc=1abc=1，试证: :证明：明：abc=1abc=1=+=+= =1于是命于是命题得得证。评注：注：“1”的代的代换是恒等是恒等变形中常用的技巧。形中常用的技巧。例例 已知已知x=by+czx=by+cz，y=cz+axy=cz+ax，z=ax+byz=ax+by，且，且x+y+z0.x+y+z0.证明：明：证明：解方程明：解方程组(2)+(3)-(1) (2)+(3)-(1) 得得y+z-x=2axy+z-x=2ax，所以，所以 所以所以 同理可得，同理可得， 所以所以
8、本题具有轮换对称式的特征，所以只需对其中一个式本题具有轮换对称式的特征，所以只需对其中一个式子化简，就可以得出相同规律子化简，就可以得出相同规律.例例设(1)a、b、c三数中必有两个数之和三数中必有两个数之和为零；零；(2)对任何奇数任何奇数n，有，有要求要求a a、b b、c c三数中必有两个数之和为零，即要证三数中必有两个数之和为零，即要证(a+b)(b+c)(c+a)=0(a+b)(b+c)(c+a)=0，故可对已知条件进行变形，使它出现，故可对已知条件进行变形，使它出现(a+b)(a+b)、(b+c)(b+c)、(c+a)(c+a)这些因式。这些因式。，证明，证明证明：明：(1)由由得
9、得 从已知知从已知知a、b、c0，所以，所以abc0，且，且a+b+c0，则则 (bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=0(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=0 (bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=a(bc+ca+ab)+(b+c)(bc+ca+ab)abc=(b+c)(bc+ca+ab)+abc+a2c+a2babc例例设(1)a、b、c三数中必有两个数之和三数中必有两个数之和为零；零；，证明，证明证明：明：(1)由由得得 从已知知从已知知a、b、c0，所以，所以abc0，且，且a+b+c0，则则 (bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=0(bc+ca+ab)(a+b
10、+c)-abc=0 (bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=a(bc+ca+ab)+(b+c)(bc+ca+ab)abc=(b+c)(bc+ca+ab)+abc+a2c+a2babc=(b+c)(bc+ca+ab)+a2(b+c)=(b+c)(a2+bc+ca+ab)(a+b)(b+c)(c+a)=0(a+b)(b+c)(c+a)=0，这就是说，在，这就是说，在a+ba+b、b+cb+c、c+a c+a 中中至至少有一个为零少有一个为零，即即a a、b b、c c三数中必有两个数之和为零三数中必有两个数之和为零。=(a+b)(b+c)(c+a)证明证明(2) :由由(1)得，不妨得，不妨设
11、a+b=0，即，即b= -a，因，因为n为奇数奇数 又又实质实质(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc是关于是关于a a、b b、c c的一个轮换对的一个轮换对称式。令称式。令a= -ba= -b，代入得，代入得(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=(bc-bc-b(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=(bc-bc-b2 2)(-)(-b+b+c)-(-b)bc= -bb+b+c)-(-b)bc= -b2 2c+ bc+ b2 2c=0c=0，这就是说，这就是说a+ba+b是是(bc+ca+ab)(a+b+c)-(bc+ca+ab)(a
12、+b+c)-abcabc的一个因式，由轮换对称式的性质知，的一个因式，由轮换对称式的性质知，b+cb+c、a+ca+c也是也是(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc的一个因式，因此有的一个因式，因此有(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=k(a+b)(b+c)(c+a)(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=k(a+b)(b+c)(c+a)再令再令a=b=c=1a=b=c=1代入，求代入，求出出k=1k=1，所以，所以(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=(a+b)(b+c)(c+a)(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=(a
13、+b)(b+c)(c+a)例例，证明，证明(2)对任何奇数对任何奇数n，有，有例如：轮换式例如：轮换式a(bc)+b(ca)+c(ab)中，有中，有因式因式ab这一项这一项,必有同型式必有同型式bc和和ca两项两项.例例若若a+b+c=0，求，求的值的值本题是轮换对称式，所以不宜直接通分，只需对其中本题是轮换对称式，所以不宜直接通分，只需对其中一个分式化简，就可以得出相同规律一个分式化简，就可以得出相同规律. .解：解：a+b+c=0，abc，例例.已知已知x、y、z满足关系式满足关系式求证：求证：证明：将已知等式分明：将已知等式分别乘以乘以x、y、z得得 所以所以 即：即：由由+得得例 已知
14、a+b+c=a2+b2+c2=2，求证：a(1-a)2=b(1-b)2=c(1-c)2 本题的证明采用了构造法，它构造了三次式本题的证明采用了构造法，它构造了三次式(x-a)(x-b)(x-c)，然后建立它与，然后建立它与x(1-x)2之间的关系，再通之间的关系，再通过赋值来证明。过赋值来证明。分析：求证的等式中的各式，恰好是多项式分析：求证的等式中的各式，恰好是多项式x(1-x)x(1-x)2 2中的中的x x分别取分别取a a、b b、c c时的值。时的值。因此，本题可转化为证明当因此，本题可转化为证明当x x分别取分别取a a、b b、c c时，时，x(1-x)x(1-x)2 2的值不变
15、。由于的值不变。由于x(1-x)x(1-x)2 2是关于是关于x x的三次多项式，且注意到题设条件，所以我们构造三次式的三次多项式，且注意到题设条件，所以我们构造三次式(x-a)(x-b)(x-(x-a)(x-b)(x-c)c)，建立它与，建立它与x(1-x)x(1-x)2 2之间的某种关系。之间的某种关系。证明：证明：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca又又a+b+c=a2+b2+c2=2 4=2+2ab+2bc+2ca，ab+bc+ca=1 (x-a)(x-b)(x-c)=x3-(a+b+c)x2+(ab+bc+ca)x-abc=x3-2x2+x-abc即即x(1-x
16、)2=(x-a)(x-b)(x-c)+abc由此可见，当由此可见，当x分别取分别取a、b、c时，时，x(1-x)2的值都是的值都是abc a(1-a)2=b(1-b)2=c(1-c)2、已知a+b+c=10， ， ，则abc的值是( )A、24 B、30 C、36 D、42、已知abc0，a+b+c=0，则的值为 、设a、b、c都是正数，且，都是正数，且，求求证：a=b=ca=b=c2、若abc满足a2+b2+c2=9，则代数式(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2的最大值是( ) A、27 B、18 C、15 D、12、已知a、b、c、d满足a+b=c+d，a3+b3=c3+d3, 求证：a2005+b2005=c2005+d2005、已知a+b+c=abc，求证：a(1-b2) (1-c2)+b(1-a2) (1-c2)+c(1-a2) (1-b2)=4abc求证：ax+by+cz=(x+y+z) (a+b+c)、已知、已知求求证：=1 知识回顾知识回顾Knowledge Knowledge ReviewReview
