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1、核电子学与核辐射仪器核电子学与核辐射仪器覃国秀覃国秀Tel: 13807947408 核工系核工系2011/02/282021/6/161上次课关键点上次课关键点n时域分析与频域分析时域分析与频域分析tf(t)0时域时域0F()傅立叶变换傅立叶变换傅立叶逆变换傅立叶逆变换频域频域2021/6/162本堂课主要内容：本堂课主要内容：n信号与系统基础信号与系统基础-拉普拉斯变换拉普拉斯变换 1、概述、概述 2、拉普拉斯变换、拉普拉斯变换 3、常用函数的拉普拉斯变换、常用函数的拉普拉斯变换 4、拉普拉斯反变换、拉普拉斯反变换 5、拉普拉斯变换性质、拉普拉斯变换性质2021/6/163 1、概述、概述
2、 拉拉普普拉拉斯斯方方法法在在电电学学、力力学学等等许许多多科科学学领领域域中中具具有有广广泛泛的的应应用用。尤尤其其在在电电路路理理论论的的研研究究中中，在在相相当当长长时时间间内内，电电路路理理论论和和工工程程方方面面，几几乎乎无无例例外外的的使使用用拉拉普普拉拉斯斯变变换换方方法法。从从数数学学的的角角度度看看，拉拉氏氏变变换换方方法法是是求求解解线性微分方程的工具，它的优点有：线性微分方程的工具，它的优点有： 1、使求解步骤简化，可同时得到特解和齐次解；、使求解步骤简化，可同时得到特解和齐次解； 2、拉拉氏氏变变换换将将“微微积积分分”运运算算转转化化为为“乘乘除除法法”运运算；算；
3、3、有些不能用傅里叶变换的函数，可用拉氏变换；、有些不能用傅里叶变换的函数，可用拉氏变换； 4、拉拉氏氏变变换换可可以以把把时时域域中中的的“卷卷积积”运运算算变变换换为为转转换域中的乘法运算。换域中的乘法运算。2021/6/164 2、拉普拉斯变换、拉普拉斯变换 有有些些函函数数f(t)不不满满足足绝绝对对可可积积的的条条件件，那那是是由由于于在在时时间间t趋趋于于无无穷穷的的时时候候，f(t)衰衰减减的的太太慢慢。为为了了满满足足绝绝对对可可积积的的条条件件，可可以以用用指指数数函函数数e-t去去乘乘f(t)。如如果果取取足足够够大大的的正正值值，则则当当t时时，f(t)e-t将将衰衰减减
4、较较快快，但但这这时时若若t-，e-t将将起起增增幅幅的的作作用用。因因此此，有有必必要要在在t=0的的两两侧侧取取不不同同的的衰衰减减因因子子e-1t和和e-2t，以以使使f(t)e-1t 和和f(t)e-2t分分别别在在t和和t-的的过过程程中中都都减减幅幅。其其一一般般表表达式为达式为2021/6/165傅里叶变换傅里叶变换乘衰减因子乘衰减因子例：例：tf(t)e-ttf(t)112021/6/166 2、拉普拉斯变换、拉普拉斯变换 上式如果令上式如果令s=+j，则可得到，则可得到其反变换为其反变换为以上就是拉普拉斯变换及其逆变换。以上就是拉普拉斯变换及其逆变换。2021/6/167 2
5、、拉普拉斯变换、拉普拉斯变换 在在电电子子技技术术中中，所所遇遇到到的的信信号号大大多多为为有有始始函函数数，在在t0的的范范围围内内其其函函数数值值为为0，此此时时拉拉普普拉拉斯斯变变换换及其逆变换为及其逆变换为单单边边拉拉普普拉拉斯斯变变换换2021/6/168 2、拉普拉斯变换、拉普拉斯变换n拉普拉斯变换的收敛域拉普拉斯变换的收敛域 对对某某一一函函数数，并并不不是是所所有有的的值值，都都能能使使f(t)e-t为为有有限限值值。即即并并不不是是在在所所有有的的值值上上，函函数数f(t)的的拉拉普普拉拉斯斯变变换换都都存存在在，而而是是只只有有在在值值的的一一定定范范围围内内，f(t)e-
6、t是是收收敛敛的的。通通常常把把使使f(t)e-t满满足足绝绝对对可可积积条条件件的的值值的的范范围围称称为为拉拉氏氏变变换换的的收收敛域敛域。例：例：2021/6/169求下列脉冲信号的收敛域。求下列脉冲信号的收敛域。j0s平面平面（1）单位阶跃信号）单位阶跃信号（2）指数函数）指数函数答案：答案： 2021/6/1610 3、常用拉普拉斯变换、常用拉普拉斯变换n阶跃函数阶跃函数2021/6/16113、常用拉普拉斯变换、常用拉普拉斯变换n指数函数指数函数2021/6/16123、常用拉普拉斯变换、常用拉普拉斯变换n幂函数幂函数使用分部积分法，得使用分部积分法，得则则2021/6/16133
7、、常用拉普拉斯变换、常用拉普拉斯变换n正弦函数正弦函数同理，可求得余弦函数的拉氏变换为同理，可求得余弦函数的拉氏变换为2021/6/16143、常用拉普拉斯变换、常用拉普拉斯变换n冲激函数冲激函数2021/6/1615 4、拉普拉斯反变换、拉普拉斯反变换n部分分式展开法部分分式展开法 设设F(s)为有理函数，由两个多项式之比表示，即为有理函数，由两个多项式之比表示，即当当F(s)为有理函数时，其逆变换的条件是为有理函数时，其逆变换的条件是mn。当当mn时时，先先要要将将上上式式化化为为真真分分式式，然然后后再再求求其其逆逆变换。变换。例：例：2021/6/16164、拉普拉斯反变换、拉普拉斯反
8、变换n部分分式展开法部分分式展开法D(s)=0的根为实根且无重根的根为实根且无重根 对对D(s)进行因式分解得进行因式分解得将上式展开为将上式展开为n个简单分式之和，即个简单分式之和，即Ki为为待待定定系系数数，为为了了确确定定它它，上上式式两两边边乘乘以以(s-pi)，再令，再令s=pi，则，则（1）（2）2021/6/1617将上式代入（将上式代入（1）式，得）式，得（3）2021/6/1618求以下函数的原函数。求以下函数的原函数。2021/6/16194、拉普拉斯反变换、拉普拉斯反变换n部分分式展开法部分分式展开法D(s)=0的根包含共轭复根的根包含共轭复根 设设f(s)有一对共轭复根
9、有一对共轭复根-j，则，则其拉氏逆变换为其拉氏逆变换为2021/6/1620求以下函数的原函数。求以下函数的原函数。2021/6/16214、拉普拉斯反变换、拉普拉斯反变换n部分分式展开法部分分式展开法D(s)=0的根包含有重根的根包含有重根 设设D(s)=0有一个有一个r次重根，则次重根，则为了确定为了确定K1r，将上式两边同乘以，将上式两边同乘以(s-p1)r，则，则（4）（5）2021/6/1622令令s=p1，得，得为了确定为了确定K1(r-1)，将（，将（5）式两边对）式两边对s求导，再令求导，再令s=p1 ，得，得依次类推，可分别求得系数依次类推，可分别求得系数K1r，K1(r-1
10、) ，其，其一般公式为一般公式为2021/6/1623求以下函数的原函数。求以下函数的原函数。2021/6/16244、拉普拉斯反变换、拉普拉斯反变换n围线积分法围线积分法 像函数像函数F(s)的拉氏反变换为的拉氏反变换为根根据据复复变变函函数数理理论论中中的的留留数数定定理理可可知知，若若函函数数f(z)在在区区域域D内内除除有有限限个个奇奇点点外外处处处处解解析析，C为为D内内包包围围诸奇点的一条正向简单闭曲线，则诸奇点的一条正向简单闭曲线，则（6）（7）2021/6/1625将（将（7）式中的）式中的f(z)换成像函数换成像函数F(s)，则，则式式中中，Respi是是被被积积函函数数在在
11、s=pi处处的的留留数数。如如果果s=pi为单极点，则为单极点，则如果如果s=pi为重极点，则为重极点，则2021/6/16265、拉普拉斯变换性质、拉普拉斯变换性质n线性线性n时间平移时间平移2021/6/16275、拉普拉斯变换性质、拉普拉斯变换性质ns域平移域平移n尺度变换尺度变换2021/6/1628如已知如已知Lf(t)=F(s)，求下列函数的拉氏变换。，求下列函数的拉氏变换。2021/6/16295、拉普拉斯变换性质、拉普拉斯变换性质n时域微分时域微分n时域积分时域积分2021/6/16305、拉普拉斯变换性质、拉普拉斯变换性质ns域微分域微分ns域积分域积分2021/6/1631
12、已知函数已知函数 ，试求，试求 的像函数。的像函数。解法解法1：根据定义：根据定义解法解法2：根据微分性质：根据微分性质2021/6/16325、拉普拉斯变换性质、拉普拉斯变换性质n卷积定理卷积定理时域卷积：时域卷积：s域卷积域卷积：2021/6/16331、求下列函数的拉氏变换。、求下列函数的拉氏变换。课后练习：课后练习：2、求下列函数的拉氏逆变换。、求下列函数的拉氏逆变换。2021/6/1634总结总结n拉普拉斯变换拉普拉斯变换 拉氏变换、拉氏逆变换拉氏变换、拉氏逆变换n常用函数的拉氏变换常用函数的拉氏变换 阶跃函数、指数函数、冲激函数阶跃函数、指数函数、冲激函数2021/6/1635 结束语结束语若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！
