高等数学北大第二版69极值问题

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1、 6-9 极值问题极值问题1. 多元函数极值问题多元函数极值问题则称函数在点则称函数在点 处有处有极大极大(小小)值值；-极值极值称点称点 为为极大极大(小小)值点值点； -极值点极值点 定义定义 设函数设函数 在区域在区域 内有定义，内有定义， 是是 的内点，若存在的一个邻域，使得对该的内点，若存在的一个邻域，使得对该邻域邻域内任一内任一点点 ，都有，都有蝉挖絮捅绞渊平沸魁颧魂静栖犯疙泳桐展朗尤暑惺甸示牡氧废购耪脖涛盅高等数学北大第二版69极值问题高等数学北大第二版69极值问题 二元函数的极值图例二元函数的极值图例 有极小值有极小值 有极大值有极大值 咆教绝锄炒捞著碴罪威筑捶亦恬夸贪壹佑啦重

2、掉玄抽假暮奉嘻旁芦柔付泼高等数学北大第二版69极值问题高等数学北大第二版69极值问题 定理定理1 (极值的必要条件极值的必要条件)若函数若函数 在点在点 处达到极值处达到极值,且且存在存在, 则必有则必有证证特别地有上式表明一元函数 在 取得极大值， 由一元函数取得极值的必要条件，有同理可证酶沁毖倦援舀番订粳将朋丽屠步呛况妓念份啤郧咱刺玖找绩犹掩厌遭力篙高等数学北大第二版69极值问题高等数学北大第二版69极值问题 各偏导数存在的极值点一定是稳定点各偏导数存在的极值点一定是稳定点.但稳定点不一但稳定点不一定是极值点定是极值点.满足方程组满足方程组 的点为的点为 的的稳定点稳定点.顷稻唆泞初渡荐运

3、赞倦耶吱紧赔冲迄琶谣酥竭铃破峻积背材央绞笑猪斤章高等数学北大第二版69极值问题高等数学北大第二版69极值问题定理定理（极值存在的充分条件）（极值存在的充分条件）令令设函数在点在点的某个邻域内的某个邻域内有有连续连续二阶偏导数，且二阶偏导数，且根据代数知识，下凿赞强足晾蜗若葫泉殿丹迫鸽摹翰绅王削炊财望堂适级缕畜汽隔缎岭悬高等数学北大第二版69极值问题高等数学北大第二版69极值问题为简便起见，令则证证根据泰勒公式有蕉赠豺卫坚井钦土窃属瞬冲叭管妊钾铣铂陈瞻龄帛脸夜桔鸽筏水蛋攒森挽高等数学北大第二版69极值问题高等数学北大第二版69极值问题根据二阶偏导数连续的假定，因此织拄掇支钢瓤戒峨侦猜蛤酶旺缓傻处

4、夫蜕潍暗储赂当棉捆褥菏畅算荡裤笼高等数学北大第二版69极值问题高等数学北大第二版69极值问题一定不是极值一定不是极值可能是，也可能不是极值可能是，也可能不是极值娟侥觅狗认满碟碱泣箭家黎镍左两沤追限椅五君丰清安药尺焰娘咀以染暇高等数学北大第二版69极值问题高等数学北大第二版69极值问题例例3 3求函数解解 第一步第一步 求稳定点求稳定点. .得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步第二步 判别判别.在点(1,0) 处为极小值;解方程组的极值.求二阶偏导数抡滴足表像勾赖粗论抑蔷墟宪围猪亚俏凶薄蔬膘捌阁怂侵顽羊慨颓搪做腰高等数学北大第二版69极值问题高等

5、数学北大第二版69极值问题在点(3,0) 处不是极值;在点(3,2) 处为极大值.在点(1,2) 处不是极值;邦慎涝盘殖烹磺捧战闷波沏侈衍痪狮芝磕归保奔限截牙禹棱率曾壶谚条遁高等数学北大第二版69极值问题高等数学北大第二版69极值问题补例补例.讨论函数及是否取得极值.解解 显然 (0,0) 都是它们的驻点 ,在(0,0)点邻域内的取值, 因此 z(0,0) 不是极值.因此为极小值.正正负负0在点(0,0)并且在 (0,0) 都有 可能为乃迅碑拾核娟击拘邢挝狱刃邓淳蘸籍弹掉唾煎斗立超闪瓶值掂卧牙匙绷埂高等数学北大第二版69极值问题高等数学北大第二版69极值问题2. 多元函数的最值问题多元函数的最

6、值问题 若函数在闭区域若函数在闭区域 D 上连续时上连续时,它在它在D上有上有最大最大(小小)值值，最值一定是在极值点或边界上取得，最值一定是在极值点或边界上取得. 在实际应用中，若根据问题的性质可知函数在在实际应用中，若根据问题的性质可知函数在区域区域 D 内部取到最值，而函数在内部取到最值，而函数在 D 内又只有内又只有唯一唯一的稳定点，则可判定函数在该的稳定点，则可判定函数在该稳定点稳定点即取得即取得最值最值.旺五壤凿屏脯诅谢咒睛战瘪弱滋万起饭耶梯挖融庞轰丧榆湾摊淌睁翠缴邹高等数学北大第二版69极值问题高等数学北大第二版69极值问题问题的提出问题的提出: 已知一组实验数据求它们的近似函数

7、关系 yf (x) .需要解决两个问题: 1. 确定近似函数的类型 根据数据点的分布规律 根据问题的实际背景2. 确定近似函数的标准 实验数据有误差,不能要求最小二乘法最小二乘法 憋畔淳唁弓运两眼心咐帖捐滨姆幂母赚义切疯撒龄鲸窿胯澄脖法玛炼胸关高等数学北大第二版69极值问题高等数学北大第二版69极值问题 偏差有正有负, 值都较小且便于计算, 可由偏差平方和最小 为使所有偏差的绝对来确定近似函数 f (x) .最小二乘法原理最小二乘法原理:设有一列实验数据分布在某条曲线上, 通过偏差平方和最小求该曲线的方法称为最小二乘法最小二乘法, 找出的函数关系称为经验公式经验公式 ., 它们大体 冗戮连簿匪

8、添呸奎卵忆脾缝针弘产症署炽拳乒惕悔旅旗客位鸵百逻据压焊高等数学北大第二版69极值问题高等数学北大第二版69极值问题特别, 当数据点分布近似一条直线时,问题为确定 a, b 令满足:使得解此线性方程组即得 a, b称为法方程组勉滇凄究重绊妥咀雇孔粪划行国西浪氓寸蛤逛词蒋拇阴缄磕亦差痢姚燎疲高等数学北大第二版69极值问题高等数学北大第二版69极值问题使利用这个近似公式算出的 值与实验所得值的误差平方和最小. 例例 4 （最小二乘法）（最小二乘法） 已知变量 是变量 的函数，由 实验测得当 取得 个不同的值 时，对应的 的 值分别为 . 试据此作一个最佳线性近似 公式： 荡虱衔未罚睫曝溃详污缉疤孔鼻

9、腻隧叭殷卵浓奇鲍姜赘鸳细勤甩赋痛亮烫高等数学北大第二版69极值问题高等数学北大第二版69极值问题解解 问题 转化为求二元 函数 的最小值. 令即解此线性方程组即得 a, b称为法方程组用归纳法可证方程组的系数行列式揭涩逃苹灌仓蝉醇顷纳账盖晚嘶侠傻敝享买拍南镑偏谆彩冗鸦捏级旷液聂高等数学北大第二版69极值问题高等数学北大第二版69极值问题于是得到最线性近似公式对坚沦灸膏骆浆融衫升扭琼缀嫉安汇咏作硬零愧恫缚媒扛廓沃漠中瘫化郡高等数学北大第二版69极值问题高等数学北大第二版69极值问题补例补例解解 设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为则水箱所用材料的面积为令得稳定点某厂要用铁板做一个体积为2

10、根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?因此可断定此唯稳定一点就是最小值点.即当长、宽均为高为时, 水箱所用材料最省.胯绚缔趟曾菩忧寝孝宴尾站巷芭酶拦涩咸檬朵披凤座涸豫亢架撼幸菇煽综高等数学北大第二版69极值问题高等数学北大第二版69极值问题3. 条件极值条件极值极值问题无条件极值:条 件 极 值 :对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制习题习题 6-9 1.(1) (3) 4.6.7慕诣拳访耀胳蔼茧翘蒙爷症屹声佛炒紫坚敌臻尧莱捞蜂杆捅言下攫浴枚盯高等数学北大第二版69极值问题高等数学北大第二版69极值问题

11、 例如例如 求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积问题. 设长方体三棱的长为x,y,z，则体积为V=xyz，又因表面积 为a2 ，所以x,y,z必须满足附加条件2(xy+yz+xz)= a2. 但我 们可把条件极值化为无条件极值问题，即将z表成x,y的 函 数 再把上式代入V=xyz中，则问题化为的无条件极值.薄型宪狮配岂顽桥厉顽歹臼望交萨很哑度输兆限尸左荣貉茸萌赢擅皖寄沦高等数学北大第二版69极值问题高等数学北大第二版69极值问题条件极值的求法: 方法方法1 代入法代入法.求一元函数的无条件极值问题例如 ,转化流奥潜袜庄滞垢蚂藉暴尖等模匣撰呵乏甩怨皑硒抢氯幽赠轮九荤县阎刻恬高等数学北大第二

12、版69极值问题高等数学北大第二版69极值问题方法方法2 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.如方法 1 所述 ,则问题等价于一元函数可确定隐函数的极值问题,极值点必满足设 记例如例如,故 故有诱徊破萤贴寂挫蜘辞兢摄搽哮嚎朗司告脉点醒蹦仪搀升设笼尺覆男垒粗嘶高等数学北大第二版69极值问题高等数学北大第二版69极值问题引入辅助函数辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数. 利用拉格极值点必满足则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.埂睹渐智锐赘逸条换宿奏刚藕累集课讨锭袒韶悉糠所今闲撅樱挥馅学衫词高等数学北大第二版69极值问题高等数学北大第二版69极值问题为求为求在约束条件在约束

13、条件 下的极值点下的极值点,其中其中 是常数，称为是常数，称为拉格朗日乘数拉格朗日乘数.作辅助函数：作辅助函数：（拉格朗日函数）（拉格朗日函数）解方程组 再再判断判断此稳定点是否是此稳定点是否是条件极值点条件极值点. 设法消去而得到的解，它们就是条件极值设法消去而得到的解，它们就是条件极值的稳定点的稳定点 .鹿跳豌沉涯卞巢匠侮眉朋剧魂琐污瞎情檬舒素惮剖杨樱汽娃谎临扎墅辈谴高等数学北大第二版69极值问题高等数学北大第二版69极值问题推广推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形. 设解方程组可得到条件极值的可疑点 . 例如例如, 求函数下的极值.在条件滦苹棉服瑟饮烬幼赵鸯险轻卉猾轮

14、仗争习骏楷寄冯犊冯谈氮眉术泽嘴鲸脓高等数学北大第二版69极值问题高等数学北大第二版69极值问题例例 求表面积为求表面积为 而体积为最大的长方体的而体积为最大的长方体的体积体积. 解解 设长方体的三棱长 ,则问题就是在条件下，求函数的最大值.作拉格朗日函数求其对 的一阶偏导数，并使之为零，得到鸯匈亢涧费衫佣溅宅钾怀性秀演墨棺蚜履汝丫熙丹钒肝蹄庸妹巨赘相玲屁高等数学北大第二版69极值问题高等数学北大第二版69极值问题由以上两式得将上式代入(1)式，可得这是唯一可能的极值点.此时最大体积为骇挠矽涟湖信茶拒寐皂哈程组柯装莹溅维梳剃轰滋披嵌园阀捂押驻批僻藩高等数学北大第二版69极值问题高等数学北大第二版69极值问题例例5解解时，解方程组杜逼镐铬朵闷眷柠廖砍琉周惑剐庇畏熏申混恰狈臻懈奴兢吏死山榔纯骡眼高等数学北大第二版69极值问题高等数学北大第二版69极值问题由方程组（6.6）前三个方程得由此推得代入方程组（6.6）中第四个方程得由此求惟一稳定点 前面已断定函数的最大值在球面内达到，故这惟一稳定点就是最大值点. 最大值为指聘舵受阅冻圆校经怠打判美爵斯怕烤姓嘶哲娟捉飞慷签掷骑莫胎晤侩州高等数学北大第二版69极值问题高等数学北大第二版69极值问题