《高中数学 11.6几何概型课件 理 新人教A版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 11.6几何概型课件 理 新人教A版（49页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第六节第六节 几何概型几何概型内内 容容 知识要求知识要求了解了解(A)(A)理解理解(B)(B)掌握掌握(C)(C)几何概型几何概型 三年三年6 6考考 高考指数高考指数:1.1.对几何概型的考查是高考的重点；对几何概型的考查是高考的重点；2.2.题型以选择题和填空题为主，经常与线性规划、不等式的解题型以选择题和填空题为主，经常与线性规划、不等式的解集、方程的根所在的区间等问题相结合集、方程的根所在的区间等问题相结合. .1.1.几何概型几何概型(1)(1)定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的_成比例成比例, ,则称这样的概率模型为
2、几何概率模型则称这样的概率模型为几何概率模型, ,简称几何概型简称几何概型. .(2)(2)特点特点无限性：试验中所有可能出现的结果无限性：试验中所有可能出现的结果( (基本事件基本事件) )有有_个个. .等可能性：每个基本事件出现的可能性等可能性：每个基本事件出现的可能性_._.长度长度( (面积或体积面积或体积) )相等相等无限多无限多【即时应用【即时应用】(1)(1)思考：古典概型与几何概型有何区别？思考：古典概型与几何概型有何区别？提示：提示：古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型的基本事件有有限个，几何概型的基
3、本事件有的，但古典概型的基本事件有有限个，几何概型的基本事件有无限个无限个. .(2)(2)判断下列概率模型，是否是几何概型判断下列概率模型，是否是几何概型.(.(请在括号中填写请在括号中填写“是是”或或“否否”) )在区间在区间10,1010,10内任取一个数，求取到内任取一个数，求取到1 1的概率；的概率；( )( )在区间在区间10,1010,10内任取一个数，求取到绝对值不大于内任取一个数，求取到绝对值不大于1 1的数的数的概率；的概率； ( ) ( ) 在区间在区间10,1010,10内任取一个整数，求取到大于内任取一个整数，求取到大于1 1而小于而小于2 2的的数的概率；数的概率；
4、 ( )( )向一个边长为向一个边长为4 cm4 cm的正方形的正方形ABCDABCD内投一点内投一点P P，求点，求点P P离中心不超离中心不超过过1 cm1 cm的概率的概率. ( ). ( )【解析【解析】中概率模型不是几何概型，虽然区间中概率模型不是几何概型，虽然区间10,1010,10有有无限多个点，但取到无限多个点，但取到“1 1”只是一个数字，不能构成区域长度；只是一个数字，不能构成区域长度；中概率模型是几何概型，因为区间中概率模型是几何概型，因为区间10,1010,10和和1,11,1上上有无限多个数可取（满足无限性），且在这两个区间内每个数被有无限多个数可取（满足无限性），且
5、在这两个区间内每个数被取到的机会是相等的（满足等可能性）取到的机会是相等的（满足等可能性）. .中概率模型不是几何概型，因为在区间中概率模型不是几何概型，因为在区间10,1010,10内的整内的整数只有数只有2121个个( (是有限的是有限的) )，不满足无限性特征；，不满足无限性特征；中概率模型是几何概型，因为在边长为中概率模型是几何概型，因为在边长为4 cm4 cm的正方形和半径的正方形和半径为为1 cm1 cm的圆内均有无数多个点，且这两个区域内的任何一个点的圆内均有无数多个点，且这两个区域内的任何一个点都有可能被投到，故满足无限性和等可能性都有可能被投到，故满足无限性和等可能性. .答
6、案：答案：否否 是是 否否 是是2.2.几何概型的概率公式几何概型的概率公式P(A)=_P(A)=_【即时应用【即时应用】(1)(1)有一杯有一杯2 2升的水，其中含一个细菌，用一个小杯从水中取升的水，其中含一个细菌，用一个小杯从水中取0.10.1升水，则此小杯中含有这个细菌的概率是升水，则此小杯中含有这个细菌的概率是_._.(2)(2)在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中，设中，设F F是横坐标与纵坐标的绝对值是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于均不大于2 2的点构成的区域，的点构成的区域，E E是到原点的距离不大于是到原点的距离不大于1 1的点构的点构成的区域，向成的区域，向F F中
7、随机投一点，则所投的点落在中随机投一点，则所投的点落在E E中的概率是中的概率是_._.(3)(3)在集合在集合A Am|m|关于关于x x的方程的方程 无实根无实根 中随机中随机地取一元素地取一元素m m，恰使式子，恰使式子l lgmgm有意义的概率为有意义的概率为_._.【解析【解析】(1)P(1)P (2)(2)如图：区域如图：区域F F表示边长为表示边长为4 4的的正方形正方形ABCDABCD的内部的内部( (含边界含边界) )，区域区域E E表示单位圆及其内部，表示单位圆及其内部，因此因此P P (3)(3)由于由于 得得1m41m0.m0.在数轴上表示为在数轴上表示为 故所求概率为
8、故所求概率为答案：答案：(1)0.05 (2) (3)(1)0.05 (2) (3) 与长度与长度( (角度角度) )有关的几何概型有关的几何概型【方法点睛【方法点睛】 1.1.与长度有关的几何概型与长度有关的几何概型如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为率的计算公式为P(A)=P(A)=2.2.与角度有关的几何概型与角度有关的几何概型当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段代替，这是两种不小作为区域度量来
9、计算概率，且不可用线段代替，这是两种不同的度量手段同的度量手段. .【提醒【提醒】有时与长度或角度有关的几何概型有时与长度或角度有关的几何概型, ,题干并不直接给题干并不直接给出出, ,而是将条件隐藏而是将条件隐藏, ,与其他知识综合考查与其他知识综合考查. .【例【例1 1】(1)(1)在半径为在半径为1 1的圆内的一条直径上任取一点，过这个的圆内的一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率为率为_._.(2)(2)在等腰在等腰RtABCRtABC中，过直角顶点中，过直角顶点C C在在ACBACB内
10、作一条射线内作一条射线CDCD与与线段线段ABAB交于点交于点D D，则，则ADACADAC的概率为的概率为_._.【解题指南【解题指南】(1)(1)问题可转化为：直径上到圆心问题可转化为：直径上到圆心O O的距离小于的距离小于的点构成的线段长与直径长之比的点构成的线段长与直径长之比.(2).(2)要使要使ADACADAC，可先找到，可先找到AD=ACAD=AC时时ACDACD的度数，再求出相应区域的角，利用几何概型的概率公的度数，再求出相应区域的角，利用几何概型的概率公式求解即可式求解即可. .【规范解答【规范解答】(1)(1)记事件记事件A A为为“弦长超弦长超过圆内接等边三角形的边长过圆
11、内接等边三角形的边长”，如图，如图，不妨在过等边三角形不妨在过等边三角形BCDBCD的顶点的顶点B B的直的直径径BEBE上任取一点上任取一点F F作垂直于直径的弦，作垂直于直径的弦，当弦为当弦为CDCD时，就是等边三角形的边长，时，就是等边三角形的边长，弦长大于弦长大于CDCD的充要条件是圆心的充要条件是圆心O O到弦的距离小于到弦的距离小于OF(OF(此时此时F F为为OEOE的中点的中点) )，由几何概型概率公式得：，由几何概型概率公式得：P(A)=P(A)=答案答案: :(2)(2)射线射线CDCD在在ACBACB内是均匀分布的，故内是均匀分布的，故ACBACB9090可看成试可看成试
12、验的所有结果构成的区域，在线段验的所有结果构成的区域，在线段ABAB上取一点上取一点E E，使，使AEAEACAC，则则ACEACE 67.567.5，可看成事件构成的区域，所以，可看成事件构成的区域，所以满足条件的概率为满足条件的概率为答案答案: :【反思【反思感悟感悟】将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以
13、用几何概型来求解域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解. . 与面积与面积( (体积体积) )有关的几何概型有关的几何概型【方法点睛【方法点睛】 1.1.与面积有关的几何概型问题与面积有关的几何概型问题如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公式为：概率的计算公式为：P(A)=P(A)=2.2.与体积有关的几何概型问题与体积有关的几何概型问题如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为：概率的计算公式为：P(A)=P(A)=【例【
14、例2 2】(1)(1)设有一个等边三角形网格，其中各个最小等边三角设有一个等边三角形网格，其中各个最小等边三角形的边长都是形的边长都是4 cm.4 cm.现用直径为现用直径为2 cm2 cm的硬币投掷到此网格的硬币投掷到此网格上，则硬币落下后与格线没有公共点的概率为上，则硬币落下后与格线没有公共点的概率为_._.(2)(2)正方体正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为1 1，在正方体内随机取点，在正方体内随机取点M M，则使四棱锥，则使四棱锥M MABCDABCD的体积小于的体积小于 的概率为的概率为_._.【解题指南【解题指南】(1)(1)硬币
15、落下后与格线没有公共点即表示硬币中心硬币落下后与格线没有公共点即表示硬币中心到三角形各边到三角形各边( (格线格线) )的距离都大于的距离都大于1 1，在等边三角形内作三条与，在等边三角形内作三条与等边三角形三边距离均为等边三角形三边距离均为1 1的直线构成小等边三角形，当硬币的的直线构成小等边三角形，当硬币的中心在小三角形内时，硬币与三边都无交点，所以硬币与格线没中心在小三角形内时，硬币与三边都无交点，所以硬币与格线没有公共点就转化为硬币中心落在小等边三角形内的问题有公共点就转化为硬币中心落在小等边三角形内的问题. .(2)(2)先根据四棱锥先根据四棱锥M MABCDABCD体积等于体积等于
16、 时时M M的位置，再找出体积小的位置，再找出体积小于于 时时M M的位置的位置. .【规范解答【规范解答】(1)(1)记记E E“硬币落下后硬币落下后与格线没有公共点与格线没有公共点”，如图所示，如图所示. .小小三角形的边长为三角形的边长为P(E)P(E)答案答案: :(2)(2)正方体正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，设中，设M MABCDABCD的高为的高为h h，则，则又又若体积小于若体积小于 则则h h 即点即点M M在正方体的下半部分，在正方体的下半部分，P=P=答案答案: :【反思【反思感悟感悟】对于几何图形中的几何概型问题，寻求事件构成
17、对于几何图形中的几何概型问题，寻求事件构成区域的关键是先找出符合题意的临界位置，如本例区域的关键是先找出符合题意的临界位置，如本例(1)(1)中中“在等边在等边三角形内作三条与等边三角形三边距离均为三角形内作三条与等边三角形三边距离均为1 1的直线构成小等边三的直线构成小等边三角形角形”；(2)(2)中先找出满足条件时临界值中先找出满足条件时临界值M M的位置，再寻求事件构成的区域的位置，再寻求事件构成的区域. . 生活中的几何概型问题生活中的几何概型问题【方法点睛【方法点睛】生活中的几何概型度量区域的构造生活中的几何概型度量区域的构造将实际问题转化为几何概型中的长度、角度、面积、体积等常见将
18、实际问题转化为几何概型中的长度、角度、面积、体积等常见几何概型的求解问题，构造出随机事件几何概型的求解问题，构造出随机事件A A对应的几何图形，利用对应的几何图形，利用几何图形的度量来求随机事件的概率，根据实际问题的具体情况，几何图形的度量来求随机事件的概率，根据实际问题的具体情况，合理设置参数，建立适当的坐标系，在此基础上将试验的每一个合理设置参数，建立适当的坐标系，在此基础上将试验的每一个结果一一对应于该坐标系的点，便可构造出度量区域结果一一对应于该坐标系的点，便可构造出度量区域. .【提醒【提醒】当基本事件受两个连续变量控制时，一般是把两个连当基本事件受两个连续变量控制时，一般是把两个连
19、续变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构续变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决. .【例】【例】(2012(2012鄂州模拟鄂州模拟) )甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的. .如果甲船停泊时间为如果甲船停泊时间为1 h1 h，乙船停泊时间为，乙船停泊时间为2 h2 h，求它们中的任，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率意一艘都不需要等待码头
20、空出的概率. .【解题指南【解题指南】要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达乙早到达1 h1 h以上或乙比甲早到达以上或乙比甲早到达2 h2 h以上以上. .【规范解答【规范解答】这是一个几何概型问题这是一个几何概型问题. .设甲、乙两艘船到达码设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为头的时刻分别为x x与与y y，A A为为“两船都不需要等待码头空出两船都不需要等待码头空出”，则则0x24,0y24,0x24,0y24,要使两船都不需要等待码头空出，当且要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达仅当甲比乙早到达1 h1 h以上或乙比甲早
21、到达以上或乙比甲早到达2 h2 h以上以上, ,即即y yx1x1或或x xy2.y2.故所求事件构成集合故所求事件构成集合A=(x,y)|yA=(x,y)|yx1x1或或x xy2,xy2,x0,240,24,y,y0,240,24.A A为图中阴影部分，全部结果构为图中阴影部分，全部结果构成集合成集合为边长是为边长是2424的正方形的正方形. .所求概率为所求概率为P(A)=P(A)=【反思【反思感悟感悟】解答本题的关键是把两个时间分别用解答本题的关键是把两个时间分别用x x，y y两个两个坐标表示，构成平面内的点坐标表示，构成平面内的点(x(x，y)y)，从而把时间是一段长度问，从而把时
22、间是一段长度问题转化为平面图形的二维面积问题，进而转化成面积型几何概题转化为平面图形的二维面积问题，进而转化成面积型几何概型的问题型的问题. .【易错误区【易错误区】对几何图形认识不清致误对几何图形认识不清致误【典例】【典例】(2011(2011江西高考江西高考) )小波通过做游戏的方式来确定周末小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于于 则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于 则去打篮则去打篮球；否则，在家看书球；否则，在家看书. .则小波周末不在家看书的
23、概率为则小波周末不在家看书的概率为_._.【解题指南【解题指南】根据条件先求出小波周末去看电影的概率，再根据条件先求出小波周末去看电影的概率，再求出他去打篮球的概率，易得周末不在家看书的概率求出他去打篮球的概率，易得周末不在家看书的概率. .【规范解答【规范解答】记记“看电影看电影”为事件为事件A A，“打篮球打篮球”为事件为事件B B，“不在家看书不在家看书”为事件为事件C.C.P(A)= P(A)= P(B)=P(B)=P(C)=P(A)+P(B)= P(C)=P(A)+P(B)= 答案：答案：【阅卷人点拨【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以通过高考中的阅卷数据分析与总结
24、，我们可以得到以下误区警示和备考建议：得到以下误区警示和备考建议：误误区区警警示示在解答本题时易出现以下两个错误：在解答本题时易出现以下两个错误：(1)(1)错填错填 原因是不能将事件分解成两个事件的和；原因是不能将事件分解成两个事件的和；(2)(2)把事件对应的区域误认为是长度问题，导致错误把事件对应的区域误认为是长度问题，导致错误. .备备考考建建议议解决几何概型问题时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高解决几何概型问题时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：度关注：(1)(1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；(
25、2)(2)基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；(3)(3)利用几何概型的概率公式时，忽视验证事件是否等可能性导致利用几何概型的概率公式时，忽视验证事件是否等可能性导致错误错误. .1.(20111.(2011福建高考福建高考) )如图，矩形如图，矩形ABCDABCD中，中，点点E E为边为边CDCD的中点，若在矩形的中点，若在矩形ABCDABCD内部内部随机取一个点随机取一个点Q Q，则点，则点Q Q取自取自ABEABE内部内部的概率等于的概率等于( )( )(A) (B) (C) (D)(A) (B) (C) (D)【解析【解析】选选C.C.由题意
26、知，由题意知，2.(20122.(2012武汉模拟武汉模拟) )已知平面区域已知平面区域=(x,y=(x,y)| ,)| ,直线直线y=mx+2my=mx+2m和曲线和曲线y= y= 有两个不同的交点，它们围成的有两个不同的交点，它们围成的平面区域为平面区域为M M，向区域，向区域上随机投一点上随机投一点A A，点，点A A落在区域落在区域M M内的概内的概率为率为P(M)P(M)，若，若0m1,0m1,则则P(M)P(M)的取值范围为的取值范围为( )( )(A)(0(A)(0， (B)(0(B)(0， (C)(C) 1 1 (D)(D) 1 1【解析【解析】选选D.D.已知直线已知直线y=
27、mx+2my=mx+2m过半过半圆圆y= y= 上一点上一点(-2,0),(-2,0),当当m=0m=0时时直线与直线与x x轴重合轴重合, ,这时这时P(M)=1,P(M)=1,故可故可排除排除A,B,A,B,若若m=1,m=1,如图可求得如图可求得P(M)= P(M)= 故选故选D. D. 3.(20113.(2011湖南高考湖南高考) )如图，如图，EFGHEFGH是以是以O O为圆心、半径为为圆心、半径为1 1的圆的内的圆的内接正方形接正方形. .将一颗豆子随机地扔将一颗豆子随机地扔到该圆内，用到该圆内，用A A表示事件表示事件“豆子豆子落在正方形落在正方形EFGHEFGH内内”,B,
28、B表示事件表示事件“豆子落在扇形豆子落在扇形OHE(OHE(阴影部分阴影部分) )内内”，则，则(1)P(A)=_(1)P(A)=_；(2)P(B|A)=_.(2)P(B|A)=_.【解析【解析】关键是计算出正方形的面积和扇形的面积关键是计算出正方形的面积和扇形的面积. .答案：答案：(1) (2)(1) (2)4.(20124.(2012黄冈模拟黄冈模拟) )圆圆O O有一内接正三角形，向圆有一内接正三角形，向圆O O内随机投一点，内随机投一点，则该点落在内接正三角形内的概率是则该点落在内接正三角形内的概率是_._.【解析【解析】设圆设圆O O的半径为的半径为R R，则正三角形的边长为，则正三角形的边长为答案：答案：
