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1、1.3 1.3 二项式定理二项式定理1.3.1 1.3.1 二项式定理二项式定理问题提出问题提出 1.(1.(ab) )2 2和和( (ab) )3 3展开后分别等于展开后分别等于什么？什么？ (ab)2 2a2 22 2abb2 2，(ab)3 3a3 33 3a2 2b3 3ab2 2b3 3. 2.2.对于对于ab，( (ab b) )2 2，( (ab b) )3 3，( (ab b) )4 4，( (ab b) )5 5等代数式，数学上统等代数式，数学上统称为称为二项式二项式，其一般形式为，其一般形式为( (ab b) )n n（nNnN*）. .由于在许多代数问题中需要由于在许多代
2、数问题中需要将它展开，因此，研究将它展开，因此，研究( (ab b) )n n展开后的展开后的表达式的一般结构，就是一个具有重要表达式的一般结构，就是一个具有重要意义的课题意义的课题. .探究（一）：探究（一）：二项式定理二项式定理 思考思考1 1：将将( (ab b) )2 2( (ab b)()(ab b) )按多按多项式乘法法则展开，每个括号内各取一项式乘法法则展开，每个括号内各取一个数相乘得到展开式中的一项，根据分个数相乘得到展开式中的一项，根据分步计数原理，在合并同类项之前共有多步计数原理，在合并同类项之前共有多少项？其中不取少项？其中不取b b，取一个，取一个b b和一个和一个a，
3、取，取二个二个b b的项数用组合数分别怎样表示？由的项数用组合数分别怎样表示？由此可得此可得( (ab b) )2 2的展开式是什么？的展开式是什么？思考思考2 2：类似地，将类似地，将( (ab b) )3 3( (ab b) ) ( (ab b)()(ab b) )按多项式乘法法则展开，按多项式乘法法则展开，在合并同类项之前共有多少项？其中不在合并同类项之前共有多少项？其中不取取b b，取一个，取一个b b和二个和二个a，取二个，取二个b b和一个和一个a，取三个，取三个b b的项数用组合数分别怎样表示的项数用组合数分别怎样表示？由此可得？由此可得( (ab b) )3 3的展开式是什么？
4、的展开式是什么？思考思考3 3：在在( (ab b) )4 4( (ab b)()(ab b)()(ab b) )( (ab b) )的展开式中，有哪几种形式的项的展开式中，有哪几种形式的项？合并同类项之后各项的系数分别是什？合并同类项之后各项的系数分别是什么组合数？由此可得么组合数？由此可得( (ab b) )4 4的展开式是的展开式是什么？什么？思考思考4 4：根据归纳推理，你能猜测出根据归纳推理，你能猜测出 ( (ab b) )n n(nN(nN*) )的展开式是什么吗？的展开式是什么吗？ 思考思考5 5：如何证明这个猜想？如何证明这个猜想？ 思考思考6 6：公式公式叫做叫做二项式定理二
5、项式定理，等式右边叫做二项展，等式右边叫做二项展开式，其中各项的系数开式，其中各项的系数 (k(k0 0，1 1，2 2，n)n)叫做叫做二项式系数二项式系数，那么二项展，那么二项展开式在结构上有哪些基本特征？开式在结构上有哪些基本特征？ 共有共有n n1 1项；字母项；字母a的最高次数为的最高次数为n n且按降幂且按降幂排列；字母排列；字母b b的最高次数为的最高次数为n n且按升幂排列；且按升幂排列；各项中各项中a与与b b的指数幂之和都是的指数幂之和都是n n；各项的二项；各项的二项式系数依次为式系数依次为 ，且与，且与a，b b无关无关. .思考思考7 7：根据二项式定理，根据二项式定
6、理，(1(1x)x)n n ( (nNnN*) )等于什么？等于什么？思考思考8 8：( (ab b) )n n(nN(nN*) )的展开式是什么的展开式是什么？探究（二）：探究（二）：二项展开式的通项二项展开式的通项思考思考1 1：在二项展开式中，用在二项展开式中，用T Tk k表示从左表示从左到右第到右第k k项，那么项，那么T Tk k和和T Tk k1 1分别等于什么分别等于什么？ 思考思考2 2：在在( (ab b) )n n的二项展开式中，的二项展开式中， 叫做叫做二项展开式的通二项展开式的通项项，那么，那么( (ab b) )n n的二项展开式的通项是的二项展开式的通项是什么？什
7、么？思考思考3 3：(2(2x x3 3y y) )2020的二项展开式的通项的二项展开式的通项是什么？是什么？思考思考4 4：(1(12x)2x)7 7的展开式中第的展开式中第4 4项的二项的二项式系数和系数分别是什么？项式系数和系数分别是什么？ 二项式系数：二项式系数： ，系数：系数： . . 理论迁移理论迁移 例例1 1 求求 的展开式的展开式. . 例例2 2 求求 的展开式中的展开式中x x3 3的的系数系数. .84 84 例例3 3 已知已知 的展开式中的展开式中第第5 5项与第项与第3 3项的二项式系数之比为项的二项式系数之比为14143 3，求展开式中所有的有理项，求展开式中
8、所有的有理项. .小结作业小结作业 1.1.二项式定理是以公式的形式给出的二项式定理是以公式的形式给出的一个恒等式，其中一个恒等式，其中n n是正整数，是正整数，a，b b可以可以任意取值，也可以是代数式任意取值，也可以是代数式. . 2.(2.(ab b) )n n的展开式统一规定按的展开式统一规定按a的的 降幂排列，各项的系数与降幂排列，各项的系数与a，b b的取值有的取值有关，各项的二项式系数与关，各项的二项式系数与a，b b的取值无的取值无关关. . 3.3.二项展开式的通项二项展开式的通项是研究二项展开式问题的重要工具，但是研究二项展开式问题的重要工具，但需注意通项是表示二项展开式中
9、的第需注意通项是表示二项展开式中的第 k k1 1项项. .对于求展开式中某些特定的项，对于求展开式中某些特定的项，一般要分析通项中字母的幂指数来解决一般要分析通项中字母的幂指数来解决. .作业：作业：P37P37习题习题1.3A1.3A组：组：2 2，3 3，4 4，5. 5. 1.3 1.3 二项式定理二项式定理1.3.2 1.3.2 “杨辉三角杨辉三角”与二项与二项式式 系数的性质系数的性质 问题提出问题提出 1.1.二项式定理是什么？二项展开式有二项式定理是什么？二项展开式有哪些基本特征？哪些基本特征？ 共有共有n n1 1项；字母项；字母a的最高次数为的最高次数为n n且按且按降幂排
10、列；字母降幂排列；字母b b的最高次数为的最高次数为n n且按升且按升幂排列；各项中幂排列；各项中a与与b b的指数幂之和都是的指数幂之和都是n n；各项的二项式系数依次为；各项的二项式系数依次为 且与且与a，b b无关无关. . 2.2.二项展开式的通项是什么？二项展开式的通项是什么？ 3.3.组合数有哪两个基本性质？组合数有哪两个基本性质？ 4.4.二项式系数是二项展开式中的基本二项式系数是二项展开式中的基本数据，它有许多变化规律，探究、了解数据，它有许多变化规律，探究、了解二项式系数的基本性质，对提升思维素二项式系数的基本性质，对提升思维素养，进一步理解二项式定理和运用二项养，进一步理解
11、二项式定理和运用二项式定理解决某些实际问题，都有重要的式定理解决某些实际问题，都有重要的作用作用. .探究（一）：探究（一）：杨辉三角杨辉三角 思考思考1 1：( (ab b) )1 1，( (ab b) )2 2，( (ab b) )3 3， ( (ab b) )4 4，( (ab b) )5 5，( (ab b) )6 6的展开式中的展开式中的二项式系数分别是哪些组合数？并将的二项式系数分别是哪些组合数？并将它们的计算结果填入下表：它们的计算结果填入下表：6 65 54 43 32 21 1二二项式系数式系数n n1 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 12
12、23 33 34 46 64 45 5101010105 56 61515151520206 6思考思考2 2：观察上表中每一行的数据，你发观察上表中每一行的数据，你发现了什么规律吗？现了什么规律吗？6 65 54 43 32 21 1二二项式系数式系数n n1 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 12 23 33 34 46 64 45 5101010105 56 61515151520206 6具有对称性具有对称性 思考思考3 3：将上表写成如下形式，你又能发将上表写成如下形式，你又能发现这些数据有什么新的规律吗？现这些数据有什么新的规律吗？( (ab b)
13、)1 11 11 1( (ab b) )2 21 2 11 2 1( (ab b) )3 31 3 3 11 3 3 1( (ab b) )4 41 4 6 4 11 4 6 4 1( (ab b) )5 51 5 10 1 5 10 1010 5 1 5 1( (ab b) )6 6 1 6 15 20 15 6 11 6 15 20 15 6 1（1 1）每行两端的数都是）每行两端的数都是1 1；（；（2 2）与两端等距）与两端等距离的项的系数相等；（离的项的系数相等；（3 3）在相邻的两行中，）在相邻的两行中，除除1 1以外的每一个数都等于它以外的每一个数都等于它“肩上肩上”两个数两个数
14、的和，等等的和，等等. .思考思考4 4：上述数表是我国南宋数学家上述数表是我国南宋数学家杨辉杨辉在在12611261年所著的年所著的详解九章算法详解九章算法一书中最先一书中最先提出的，是我国古代数学的一个重要成果，提出的，是我国古代数学的一个重要成果，比欧洲早五百年左右，我们把这个数表称为比欧洲早五百年左右，我们把这个数表称为杨辉三角杨辉三角，杨辉三角的上述基本性质如何用，杨辉三角的上述基本性质如何用组合数性质解释？组合数性质解释？( (ab b) )1 11 11 1( (ab b) )2 21 2 11 2 1( (ab b) )3 31 3 3 11 3 3 1( (ab b) )4
15、41 4 6 4 11 4 6 4 1( (ab b) )5 51 5 10 1 5 10 1010 5 1 5 1( (ab b) )6 6 1 6 15 20 15 6 11 6 15 20 15 6 1思考思考5 5：利用杨辉三角，利用杨辉三角，( (ab b) )7 7的展开的展开式中各项的二项式系数分别是什么？式中各项的二项式系数分别是什么？( (ab b) )1 11 11 1( (ab b) )2 21 2 11 2 1( (ab b) )3 31 3 3 11 3 3 1( (ab b) )4 41 4 6 4 11 4 6 4 1( (ab b) )5 51 5 10 1 5
16、 10 1010 5 1 5 1( (ab b) )6 6 1 6 15 20 15 6 11 6 15 20 15 6 11 135353535212121217 77 71 1探究（二）：探究（二）：二项式系数的性质二项式系数的性质 思考思考1 1：对给定的正整数对给定的正整数n n，设函数，设函数 ，r0r0，1 1，2 2，nn，当当n n6 6时，函数时，函数f( (r r) )的图象是什么？的图象是什么？rf(r)O O1 12 23 34 45 56 65 5101015152020思考思考2 2：一般地，函数一般地，函数 ，rr00，1 1，2 2，nn的图象是什么？的图象是什
17、么？ 它具它具有怎样的对称性？有怎样的对称性？n n1 1个孤立的点，关于直线个孤立的点，关于直线 对称对称 思考思考3 3：在二项式系数在二项式系数中，哪些二项式系数是相等的？中，哪些二项式系数是相等的？ 与首末两端与首末两端“等距离等距离”的两个二项式系的两个二项式系数相等数相等. . 思考思考4 4：相邻两个二项式系数的大小关系相邻两个二项式系数的大小关系如何？从理论上如何确定如何？从理论上如何确定 与与 的的大小？大小？思考思考5 5：通过上述分析，二项式系数的增通过上述分析，二项式系数的增减性与最大值分别是什么？减性与最大值分别是什么？二项式系数的前半部分是递增的，后半二项式系数的前
18、半部分是递增的，后半部分是递减的，且在中间取得最大值部分是递减的，且在中间取得最大值. . 思考思考6 6：当当n n分别为偶数和奇数时，第几分别为偶数和奇数时，第几项的二项式系数最大？项的二项式系数最大？当当n n为偶数时，第为偶数时，第 项的二项式系数项的二项式系数 为最大；为最大；当当n n为奇数时，第为奇数时，第 的二项式系数的二项式系数 和第和第 项的二项式系数项的二项式系数 相等，且相等，且同时为最大同时为最大. .思考思考7 7：在二项式定理中，在二项式定理中，a，b b可以任意可以任意取值，特别地，当取值，特别地，当ab b1 1时，可得什么时，可得什么结论？当结论？当a1 1
19、，b b1 1时，又可得什么时，又可得什么结论？结论？思考思考8 8：上述结果表明，所有二项式系数上述结果表明，所有二项式系数之和等于之和等于2 2n n，所有奇数项的二项式系数，所有奇数项的二项式系数之和与所有偶数项的二项式系数之和相之和与所有偶数项的二项式系数之和相等，且都等于等，且都等于2 2n n1 1. .那么，如何求那么，如何求 (3(32x)2x)n n的展开式中各项的系数之和？的展开式中各项的系数之和？令令x x1 1，得各项的系数之和为，得各项的系数之和为5 5n n. . 例例1 1 填空：填空：（1 1）(x(xy)y)1111的展开式中系数最大的项的展开式中系数最大的项
20、第第 项，系数最小的项第项，系数最小的项第 项；项；（2 2） ， 理论迁移理论迁移5 56 610231023512512 例例2 2 已知已知(1(12x)2x)n n的展开式中第的展开式中第6 6项项与第与第7 7项的系数相等，求展开式中二项式项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项系数最大的项. . 例例3 3 求集合求集合A A a1 1，a2 2，an n 共有共有多少个子集？多少个子集？小结作业小结作业 1.1.杨辉三角反映了二项式系数的变化杨辉三角反映了二项式系数的变化规律，其理论依据是组合数的两个性质规律，其理论依据是组合数的两个性质. .杨辉三角中还有许多有趣性质，可作为
21、杨辉三角中还有许多有趣性质，可作为一个研究性课题进行探究一个研究性课题进行探究. . 2.2.二项式系数的性质实质是组合数的二项式系数的性质实质是组合数的一些性质，常作为解决组合数问题的理一些性质，常作为解决组合数问题的理论依据，但这些性质不能类推到二项展论依据，但这些性质不能类推到二项展开式的系数开式的系数. . 3.3.令令x x1 1，可求得，可求得( (ab bx x) )n n的展开式的展开式中各项的系数之和，当中各项的系数之和，当x x取其它值时，还取其它值时，还可以得出一些相关结论，这是一种赋值可以得出一些相关结论，这是一种赋值的方法的方法. .作业：作业：P35P35练习：练习
22、：1.1. P37P37习题习题1.3A1.3A组：组：6 6，7 7，8.8.二项式定理的应用习题课二项式定理的应用习题课知识回顾知识回顾1.1.二项式定理：二项式定理：2.2.二项展开式的通项：二项展开式的通项：3.3.二项式系数的性质：二项式系数的性质：（1 1）与首末两端）与首末两端“等距离等距离”的两个二项式系的两个二项式系数相等数相等. .（2 2）二项式系数的前半部分是递增的，后半）二项式系数的前半部分是递增的，后半部分是递减的，且在中间取得最大值部分是递减的，且在中间取得最大值. .当当n n为为偶数时，正中间一项的二项式系数最大；当偶数时，正中间一项的二项式系数最大；当n n
23、为奇数时，正中间两项的二项式系数相等且为奇数时，正中间两项的二项式系数相等且为最大为最大. .（3 3）所有二项式系数之和等于）所有二项式系数之和等于2 2n n，所有奇数，所有奇数项的二项式系数之和与所有偶数项的二项式项的二项式系数之和与所有偶数项的二项式系数之和相等，且都等于系数之和相等，且都等于2 2n n1 1. . 4.4.杨辉三角：杨辉三角： 1 11 1 1 2 1 1 2 1 1 3 3 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 4 6 4 1 1 5 10 1 5 10 1010 5 1 5 11 6 15 20 15 6 11 6 15 20 15 6 1（1 1）每行两
24、端的数都是）每行两端的数都是1 1；（2 2）每行与两端）每行与两端“等距离等距离”的两数相等；的两数相等；（3 3）在相邻的两行中，除）在相邻的两行中，除1 1以外的每一个数以外的每一个数 都等于它都等于它“肩上肩上”两个数的和，等等两个数的和，等等. .应用举例应用举例 例例1 1 用二项式定理证明：用二项式定理证明：（1 1） 2 251511 1能被能被7 7整除；整除； （2 2）5 5n n1 15(nN5(nN*) )能被能被2020整除整除. . 例例2 2 用二项式定理求用二项式定理求2 23333除以除以9 9的余数的余数. .余数为余数为8 8 例例3 3 求求1.021.028 8精确到精确到0.0010.001的近似值的近似值. .1.021.028 81.1711.171例例4 4 求证：求证： 例例5 5 设设nNnN* *，求证：，求证： （1 1） ； （2 2） . . 作业：作业：P37P37习题习题1.3B1.3B组：组：1 1，2.2.
