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1、 11.211.2全等三角形的判定（一）全等三角形的判定（一）11、 全等三角形的定义全等三角形的定义能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。2、 全等三角形有什么性质？全等三角形有什么性质？问题问题1：其中相等的边有：其中相等的边有：问题问题2：其中相等的角有：其中相等的角有：AB=DE, BC=EF, AC=DF A= D, B= E, C= F如图如图,已知已知ABCDEFABCDEF(全等三角形的对应边相等）全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应角相等（全等三角形的对应角相等)2 3.在在ABC 与与ABC中中,若若AB=AB,BC=BC,AC=
2、AC, A= A, B= B, C= C,那么那么ABC 与与ABC全等吗全等吗?具备三条边对应相等具备三条边对应相等,三个角对应相等的两个三角形全等三个角对应相等的两个三角形全等ABCABC思考思考:要使两个三角形全等要使两个三角形全等,是否一定要满足六个条件呢是否一定要满足六个条件呢?想一想想一想3满足下列条件的两个三角形是否一定全等满足下列条件的两个三角形是否一定全等:(1)一个条件一个条件(2)两个条件两个条件(3)三个条件三个条件一边一边一角一角两边两边一边一角一边一角两角两角三角三角三边三边两边一角两边一角两角一边两角一边4 8cm 8cm5满足下列条件的两个三角形是否一定全等满足
3、下列条件的两个三角形是否一定全等:一边一边一角一角两边两边一边一角一边一角两角两角三角三角三边三边两边一角两边一角两角一边两角一边(1)一个条件一个条件(2)两个条件两个条件(3)三个条件三个条件64004007满足下列条件的两个三角形是一定否全等满足下列条件的两个三角形是一定否全等:一边一边一角一角两边两边一边一角一边一角两角两角三角三角三边三边两边一角两边一角两角一边两角一边只有一个条件对应相等的两个三角形不只有一个条件对应相等的两个三角形不一定全等。一定全等。(1)一个条件一个条件(2)两个条件两个条件(3)三个条件三个条件83009cm3009cm3009cm3009cm3009cm9
4、满足下列条件的两个三角形是一定否全等满足下列条件的两个三角形是一定否全等:一边一边一角一角两边两边一边一角一边一角两角两角三角三角三边三边两边一角两边一角两角一边两角一边只有一个条件对应相等的两个三角形不只有一个条件对应相等的两个三角形不一定全等。一定全等。(1)一个条件一个条件(2)两个条件两个条件(3)三个条件三个条件1030050030050011满足下列条件的两个三角形是一定否全等满足下列条件的两个三角形是一定否全等:一边一边一角一角两边两边一边一角一边一角两角两角三角三角三边三边两边一角两边一角两角一边两角一边只有一个条件对应相等的两个三角形不只有一个条件对应相等的两个三角形不一定全
5、等。一定全等。(1)一个条件一个条件(2)两个条件两个条件(3)三个条件三个条件12 8cm 9cm 8cm 9cm13满足下列条件的两个三角形是一定否全等满足下列条件的两个三角形是一定否全等:一边一边一角一角两边两边一边一角一边一角两角两角三角三角三边三边两边一角两边一角两角一边两角一边只有一个条件对应相等的两个三角形不只有一个条件对应相等的两个三角形不一定全等。一定全等。只有两个条件对应相等的两个三只有两个条件对应相等的两个三角形不一定全等。角形不一定全等。(1)一个条件一个条件(2)两个条件两个条件(3)三个条件三个条件14 65度度35度度80度度65度度35度度80度度15满足下列条
6、件的两个三角形是一定否全等满足下列条件的两个三角形是一定否全等:一边一边一角一角两边两边一边一角一边一角两角两角三角三角三边三边两边一角两边一角两角一边两角一边只有一个条件对应相等的两个三角形不只有一个条件对应相等的两个三角形不一定全等。一定全等。只有两个条件对应相等的两个三只有两个条件对应相等的两个三角形不一定全等。角形不一定全等。(1)一个条件一个条件(2)两个条件两个条件(3)三个条件三个条件16 8cm 6cm 9cm 8cm 6cm 9cm17满足下列条件的两个三角形是否一定全等满足下列条件的两个三角形是否一定全等:一个条件一个条件两个条件两个条件三个条件三个条件一边一边一角一角两边
7、两边一边一角一边一角两角两角三角三角三边三边两边一角两边一角两角一边两角一边只有一个条件对应相等的两个三角形不只有一个条件对应相等的两个三角形不一定全等。一定全等。只有两个条件对应相等的两个三只有两个条件对应相等的两个三角形不一定全等。角形不一定全等。18 2 2、已知三角形三条边分别是、已知三角形三条边分别是 4cm4cm，5cm5cm，7cm7cm，画出这个三角形，把，画出这个三角形，把所画的三角形分别剪下来，并与同伴比一比，发现什么？所画的三角形分别剪下来，并与同伴比一比，发现什么？三边对应相等的两个三角形全等，三边对应相等的两个三角形全等，或或边边边边边边SSSSSS简写为简写为192
8、、画画出出一一个个三三角角形形，使使它它的的三三边边长长分分别别为为4cm、 5cm、7cm ,把把你你画画的的三三角角形形与与小组内画的进行比较，它们一定全等吗？小组内画的进行比较，它们一定全等吗？画法画法: 1.画线段画线段AB=5;2.分别以分别以A、B为圆心为圆心,4和和7长为半径画弧长为半径画弧,两弧交于点两弧交于点C;3. 连接线段连接线段AC、BC.画图步骤画图步骤画图步骤画图步骤: :想一想：这个结果反映了什么规律？想一想：这个结果反映了什么规律？三边对应相等的两个三角形全等（三边对应相等的两个三角形全等（ 可以简写为可以简写为“边边边边边边”或或“SSS”）。）。20 三边对
9、应相等的两个三角形全等（可以简写为三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边边边边边”或或“SSS”）。）。用用 数学语言表述：数学语言表述： BACEDF用上面的结论可以判定两个三角形全等用上面的结论可以判定两个三角形全等判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等在在ABC和和 DEF中中AB=DEBC=EFCA=FD ABC DEF（SSS ）21边边边公理边边边公理 有三边对应相等的两个三角形全等有三边对应相等的两个三角形全等. .可以简写成可以简写成 “边边边边边边” 或或“ SSS ” S S 边边边边思考：你能用思考：你能用
10、“边边边边边边”解释三角形具有解释三角形具有稳定性吗？稳定性吗？22四边形不具有稳定性四边形不具有稳定性三角形具有稳定性。三角形具有稳定性。说说木条钉成的三角形框架与四边形框架有什么说说木条钉成的三角形框架与四边形框架有什么不同？不同？想一想：想一想：2324用钉子把木条分别钉成三角形和四边形，用钉子把木条分别钉成三角形和四边形，三角形的大小和形状是固定不变的三角形的大小和形状是固定不变的,而四边而四边形的形状会改变。形的形状会改变。只要三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就确定只要三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就确定，三角形的稳定三角形的稳定性就是依据三边对应相等的
11、两个三角形全等性就是依据三边对应相等的两个三角形全等.应用应用25观察下图，这些图形的设计原理是什么？观察下图，这些图形的设计原理是什么？26三角形的稳定性在生活中的应用：三角形的稳定性在生活中的应用：三角形的稳定性在生活中的应用：三角形的稳定性在生活中的应用：27282930三角形的稳定性：三角形的稳定性：1. 1. 当三角形的三条边长确定时，三角形的形状、大小完全被确定，这个性质叫三角当三角形的三条边长确定时，三角形的形状、大小完全被确定，这个性质叫三角形的稳定性。形的稳定性。2.2.四边形不具有稳定性四边形不具有稳定性31ABCD填一填：填一填：解：解： ABC DCB理由如下：理由如下
12、：AB = CDAC = BD=ABC （1 1）如图，）如图，AB=CDAB=CD，AC=BDAC=BD，ABCABC和和DCBDCB是否全等？试说明理由。是否全等？试说明理由。 （2 2）如图，）如图，D D、F F是线段是线段BCBC上的两点，上的两点，AB=CEAB=CE，AF=DEAF=DE，要使，要使ABFECD ABFECD ，还需要条件还需要条件 AE B D F C BCCB DCB（ S S S ）BF=CD或或 BD=CF32议一议：议一议：已知已知: 如图如图,AC=AD ,BC=BD 请说明请说明ACB ADB的理由的理由.ABCD说明说明:ACB ADB这两个条件够
13、吗这两个条件够吗?33已知已知: 如图如图,AC=AD ,BC=BD. 求证求证: ACB ADB.ABCD说明说明:ACB ADB.这两个条件够吗这两个条件够吗?还要什么条件呢还要什么条件呢?议一议：议一议：34已知已知: 如图如图,AC=AD ,BC=BD. 求证求证: ACB ADB.ABCD说明说明:ACB ADB.这两个条件够吗这两个条件够吗?还要什么条件呢还要什么条件呢?还要一条边还要一条边议一议：议一议：35已知已知: 如图如图,AC=AD ,BC=BD. 求证求证: ACB ADB.ABCD它既是ACB的一条边的一条边,看看线段看看线段ABAB又是ADBADB的一条的一条边边A
14、CB ACB 和和和和ADBADB的的的的公共边公共边公共边公共边议一议：议一议：36例例1 已知：如图，已知：如图，AB=AD，BC=CD， 求证求证：ABC ADCABCDACAC ( ) AB=AD ( )BC=CD ( ) ABC ADC（SSS）证明：在证明：在ABC和和ADC中中=已知已知已知已知 公共边公共边四、例题赏析已知：已知：AC、BD相交于点相交于点O，且，且AB=DC，AC=DB，那么那么A=D吗？为什么？吗？为什么？答：答： 我认为：我认为：A=D证明：证明：在在ABCABC和和DCBDCB中中ABCDCB （SSS）A=D（全等三角形的对应角相等）（全等三角形的对应
15、角相等）C连接连接连接连接BC BC 在在ABC和和DCB中中37变式：已知：如图，变式：已知：如图，AB=DE, BC=EF, AF=CD. (1) ABC与与DEF是否全等？并说明理由。是否全等？并说明理由。 (2) 求证：求证：A=D证明证明:( SSS) A=D(全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等)答：我认为：答：我认为：ABCDEFAF = DC（已知）（已知）AF+FC= DC+FC（等式的性质）（等式的性质）在在ABC和和DEF中中AB = DE（已知）（已知）BC = EF（已知）（已知）AC = DF（已证）（已证）ABCDEF即即AC=DF38准备条件：证全等时要
16、用的间接条件要先证好；准备条件：证全等时要用的间接条件要先证好；三角形全等书写三步骤：三角形全等书写三步骤：写出在哪两个三角形中写出在哪两个三角形中摆出三个条件用大括号括起来摆出三个条件用大括号括起来写出全等结论写出全等结论证明的书写步骤：证明的书写步骤：1.两个三角形中，只要具备三边对应相等就可以判定它们全等；两个三角形中，只要具备三边对应相等就可以判定它们全等；2.找条件时要充分利用已知（包括图形中隐含的条件，如公共边等）；找条件时要充分利用已知（包括图形中隐含的条件，如公共边等）；3.书写格式：书写格式：准备条件；准备条件； 三角形全等书写的三步骤。三角形全等书写的三步骤。用结论说明两个
17、三角形全等需注意用结论说明两个三角形全等需注意1. 1. 说明两个三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写说明两个三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写. .2. 2. 结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中. . 39例例2 如图，当如图，当 AB=CD，BC=DA时，图中的时，图中的ABC与与CDA是否全等？是否全等？则则则则A= C并说明理由？并说明理由？答答:ABC与与CDA是全等三角形。是全等三角形。证明：证明：在在ABC与与CDA中中ABCCDA（SSS）AB=CDAD=CBAC=CA(已知已知)(已知已知)(公共边公共边)四、例题赏
18、析四、例题赏析 A= CA= C( (全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等) )403= 4， 1= 2 (全等三角形对应角相等）全等三角形对应角相等）答：能判定答：能判定AB CD.ABCD， ADBC （内错角相等，两直线平行）（内错角相等，两直线平行）变式变式 如图，当如图，当 AB=CD，BC=DA时，时，你能说明你能说明AB与与CD、AD与与BC的位置关系的位置关系吗？为什么？吗？为什么？证明：证明：在在ABC与与CDA中中ABCCDA（SSS）AB=CDAD=CBAC=CA(已知已知)(已知已知)(公共边公共边)1234举一反三4
19、1例例3 如下图，如下图，ABC是一个钢架，是一个钢架，AB=AC，AD是连接是连接A与与BC中点中点D的支架。的支架。 求证：求证： ABD ACD分析：要证明分析：要证明 ABD ACD，首先看，首先看这两个三角形的三条边是否对应相等。这两个三角形的三条边是否对应相等。结论：从这题的证明中可以看出，证明是由题设（已知）出发，经过结论：从这题的证明中可以看出，证明是由题设（已知）出发，经过一步步的推理，最后推出结论正确的过程。一步步的推理，最后推出结论正确的过程。42例例3:如图如图: ABC是一个钢架是一个钢架,AB=AC,AD是连接点是连接点A与与BC中点中点D的支架的支架.求证求证:
20、ABDACDABCD证明证明:分析分析:要证明要证明ABDACD,就要看这就要看这两个三角形的三边是否对应相等两个三角形的三边是否对应相等.AB=ACBD=CDAD=ADD是是 BC中点中点 D是是 BC中点中点 BD=CD（中点的定义）（中点的定义）在在ABD和和ACD中中AB=ACAD=ADBD=CDABDACD（SSS）（已知）（已知）（公共边）（公共边）（已证）（已证）求证：求证：AD平分平分BAC求证：求证：AD BCBC BAD= C CAD (全等三全等三角形对应角相等）角形对应角相等） BDA= C CDA (全等三角形对应角全等三角形对应角相等）相等） BDA+ C CDA=
21、1800 BDA= C CDA =900 AD BC BC 43 练习（第练习（第8页）页） 工人师傅常用角尺平分一个任意角，工人师傅常用角尺平分一个任意角， 做法如下：如图，做法如下：如图，AOB是一是一个任意角，在边个任意角，在边OA，OB上分别取上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与别与M、N重合，过角尺顶点重合，过角尺顶点C的射线的射线OC便是便是AOB的平分线。为什么？的平分线。为什么？ 即即 OC 是是AOB的平分线的平分线OM=OM= ON,ON,OC=OC,OC=OC,CM=CN,CM=CN, OMC ONC (SSS). O
22、MC ONC (SSS). MOC=NOCMOC=NOC ( (全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等) ) 证明：在证明：在 OMC和和 ONC中，中，分析：分析：移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合，重合， 则则 CM=CN.44FABCDE1.已知已知AC=FE，BC=DE，点，点A、D、B、F在一在一条直线上，条直线上，AD=FB，能证明，能证明ABCFDEABCFDE吗？吗？要证明要证明ABCFDEAC=FEBC=DE已知已知AB=FDAD=FB解：要证明解：要证明ABC FDE，还应该有，还应该有AB=DF这这个条件个条件 DB是
23、是AB与与DF的公共部分，且的公共部分，且AD=BF AD+DB=BF+DB 即即 AB=DF六、达标检测六、达标检测证明:AD=FB, ADDB=FB DB ， 即AB= FD.在在 ABCABC和和 FDEFDE中，中，AC=FE,AC=FE,AB=FD,AB=FD,BC=DE,BC=DE, ABC FDE (SSS). ABC FDE (SSS).45 已知已知AC=FE，BC=DE，点，点A，B，D，F在一条直线上，在一条直线上，AD=FB（如图），要用（如图），要用“边边边边边边”证明证明ABC FDE，除了已知中的，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？怎样才能
24、得到这个条件？以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？ACEFDB变式变式证明:AD=FB, AD-BD=FB-BD， 即AB=FD.在在 ABCABC和和 FDEFDE中，中，AC=FE,AC=FE,AB=FD,AB=FD,BC=DE,BC=DE, ABC FDE (SSS). ABC FDE (SSS).46课堂小结课堂小结1.1.边边边公理：有三边对应相等的两个三角形全等边边边公理：有三边对应相等的两个三角形全等 简写成简写成“边边边边边边”（SSSSSS）2.边边边公理的发现过程所用到的数学方法（包括画边边边公理的发现过程所用到的数学方法（包括画 图、猜想、分析、归纳等图、猜想、
25、分析、归纳等.)3.边边边公理的应用中所用到的数学方法边边边公理的应用中所用到的数学方法: 证明线段（或角相等）证明线段（或角相等） 证明线段（或角）所在的两个三角形全等证明线段（或角）所在的两个三角形全等.转化转化1. 说明两个三角形全等所需的条件应按说明两个三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写对应边的顺序书写. .2. 结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中. 用结论说明两个三角形全等需注意用结论说明两个三角形全等需注意47提高题提高题. .已知：如图，已知：如图，AB=ADAB=AD，BC=DEBC=DE，AC=AEAC=AE，BCBC交交DEDE于点于点M M、交、交ADAD于点于点N N。求证：。求证： 1 = 2 = 31 = 2 = 3. . 证明证明:在在ABCABC和和DCBDCB中中AB=ADAB=ADBC=DEBC=DEAC=AEAC=AE(已知已知)(已知已知)(已知已知)ABCADE(SSS)BAC=DAE， B=D(全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等)即即 1+ DAC= 2+ DAC1=2(等式的性质等式的性质) 3+ DNM+ D =180，1+ BNA+ B=180（三角形的三个内角和定理）（三角形的三个内角和定理）1=3（等量代换）（等量代换）即即1=2= 348
