《复变函数ppt课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复变函数ppt课件（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、注注: : (1)(1)两个复数相等，是指二者实部、虚部分别相同；两个复数相等，是指二者实部、虚部分别相同； (2)(2)两个复数之间无法比较大小，除非都是实数两个复数之间无法比较大小，除非都是实数. .1.1 复数复数1 1、复数的概念、复数的概念其中其中实部实部虚部虚部共轭共轭其中其中x,y为实数为实数.一、复数及其四则运算一、复数及其四则运算1例例1 1解解令令实数实数m取何值时，复数取何值时，复数是（是（1）实数；（）实数；（2）纯虚数）纯虚数.(1) 如果复数是实数，则如果复数是实数，则y=02加、减加、减：乘乘 法法： 注注: :2 2、复数的四则运算、复数的四则运算除法：除法：
2、3容易证明容易证明: :复数的运算满足分配律、交换律、结合律复数的运算满足分配律、交换律、结合律. . 另外，还经常用到以下性质：另外，还经常用到以下性质：以上各式证明略以上各式证明略. .4例例1 1设设证证例例2 25例例3 3解解67有序实数对有序实数对(x,y)平面上一点平面上一点P实轴、实轴、 虚轴、复平面虚轴、复平面Z Z 平面平面、 w w 平面平面1.1.复平面复平面二、复数的几种常见表示法二、复数的几种常见表示法 xyO代数代数表示表示复数复数 8OxyXYqPr2.2.复数的向量表示复数的向量表示模模 ： 辐角：辐角：几何表示几何表示 9显然显然为整数为整数. .10o x
3、 y (z) z1 z2 z1+z2z2-z111根据根据上式称为复数的上式称为复数的三角表示三角表示. .Oxy可以得到可以得到例例2 2 求求 的三角表达式的三角表达式. .例例1.1.3.3.复数的三角表示复数的三角表示124 4、复数的指数表示、复数的指数表示由欧拉公式由欧拉公式可以得到复数的指数表示式可以得到复数的指数表示式: : 求例求例2 2中的指数表达式中的指数表达式. .13(1)南极、北极的定义南极、北极的定义xyONSz5 5、复数的球面表示、复数的球面表示14xxONSzP(z)z球面上的点球面上的点, , 除去北极除去北极N外外, , 与复平面内与复平面内的点之间存在
4、着一一对应的关系的点之间存在着一一对应的关系. . 我们可以用我们可以用球面上的点来表示复数球面上的点来表示复数. .(2)复球面的定义复球面的定义用来表示复用来表示复数的这个球面称数的这个球面称为为复球面复球面.全体复数与全体复数与复球面复球面-N成一成一一对应关系一对应关系.15因而球面上的北极因而球面上的北极N就是复数就是复数 的几何表示的几何表示. .xxONSzP(z)z(3)扩充复平面的定义扩充复平面的定义我们规定我们规定: :北极北极N N与一个模为与一个模为无穷大无穷大的假想的点对应的假想的点对应这个假想的点称这个假想的点称为为“复数无穷远复数无穷远点点”记作记作 . .复平面
5、加上复平面加上 后称为扩充复平面，记作后称为扩充复平面，记作C C 16注：注：(1)(1)如不声明，我们讨论的都是有限复平面。如不声明，我们讨论的都是有限复平面。关于关于的运算，规定如下：的运算，规定如下：仍然不确定。仍然不确定。17例例3.3. 下列方程各表示什么曲线？下列方程各表示什么曲线？ 3）写出直线的复数形式方程写出直线的复数形式方程. .1）解：解：1)的关键是知道复数模的几何意义，的关键是知道复数模的几何意义，所以：所以：1）表示圆周表示圆周. . 2） (2)(2)复数的各种表达式可以互相转换，在讨论具体问复数的各种表达式可以互相转换，在讨论具体问题时应灵活选用题时应灵活选用
6、. . 182 2）化为实方程，为此代入化为实方程，为此代入 ，得得化简，得化简，得，表示一条直线表示一条直线. .3 3）由由得得 代入直线方程代入直线方程 因而直线的方程为因而直线的方程为 ，其中其中 为实数为实数. . 19例例4 4解解( (三角式三角式) )( (指数式指数式) )把复数把复数化为三角表示式与指数表示式，并求化为三角表示式与指数表示式，并求z的辐角主值的辐角主值.20例例5 5证证21两边同时平方两边同时平方,22小结小结学习的主要内容有复数的四则运算、共轭学习的主要内容有复数的四则运算、共轭运算和模、辐角运算和模、辐角; ;复数的各种表示法复数的各种表示法. . 并
7、且介绍并且介绍了复平面、复球面和扩充复平面了复平面、复球面和扩充复平面. . 注意：注意：为了用球面上的点来表示复数，引入了为了用球面上的点来表示复数，引入了无穷远点无穷远点与无穷大无穷远点无穷远点与无穷大这个复数相对应这个复数相对应, , 所谓所谓无穷大无穷大是指模为正无穷大（辐角无意义）是指模为正无穷大（辐角无意义）的唯一的一个复数，不要与实数中的的唯一的一个复数，不要与实数中的无穷大无穷大或或正、负正、负无穷大无穷大混为一谈混为一谈23作业：作业：P251.1.1(b)1.1.31.1.7(d)1.1.111.1.14(a)1.1.17(b)1.1.18(b)1.1.19(a)1.1.2324
