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1、实验十二实验十二 探究单摆周期与摆长的探究单摆周期与摆长的 关系关系要点归纳要点归纳【实验目的实验目的】1.1.用单摆测定当地的重力加速度用单摆测定当地的重力加速度. .2.2.加深对单摆周期公式的理解加深对单摆周期公式的理解. .【实验原理实验原理】 单摆在摆角很小单摆在摆角很小( (小于小于5 5) )时时, ,其摆动可以看作其摆动可以看作 简谐运动简谐运动, ,其振动周期其振动周期T T=2 ,=2 ,其中其中l l为摆长为摆长, ,g gEvaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.
2、0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 为当地重力加速度为当地重力加速度, ,由此可得由此可得g g= ,= ,据此据此, ,只只 要测出摆长要测出摆长l l和周期和周期T T, ,就可计算出当地重力加速就可计算出当地重力加速 度度g g的数值的数值. .【实验器材实验器材】 铁架台、中心有小孔的金属小球、长约铁架台、中心有小孔的金属小球、长约1 m1 m的细的细 线、秒表、刻度尺、游标卡尺线、秒表、刻度尺、游标卡尺. .Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Prof
3、ile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.【实验步骤实验步骤】1.1.让线的一端穿过小球的小孔让线的一端穿过小球的小孔, ,然然 后打一个线结后打一个线结, ,做成单摆做成单摆. .2.2.把线的上端用铁夹固定在铁架台把线的上端用铁夹固定在铁架台 上上, ,把铁架台放在实验桌边把铁架台放在实验桌边, ,使铁使铁 夹伸到桌面以外夹伸到桌面以外, ,让摆球自然让摆球自然 下垂下垂, ,在单摆平衡位置处作上标记在单摆平衡位置处作上标记, ,如图如图1 1所示所示. .3.3.用刻度尺量出摆线长度用刻度尺量出摆线长度l l,精确到毫米精确到毫米, ,
4、用游标用游标 卡尺测出摆球的直径卡尺测出摆球的直径d d, ,即得出小球的半径为即得出小球的半径为 , , 计算出摆长计算出摆长l l= =l l+ .+ .4.4.把单摆从平衡位置处拉开一个很小的角度把单摆从平衡位置处拉开一个很小的角度( (不超不超 过过5 5),),然后放开小球然后放开小球, ,让小球摆动让小球摆动, ,待摆动平稳待摆动平稳 后测出单摆完成后测出单摆完成N N( (一般为一般为303050)50)次全振动所用次全振动所用图图1 1Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5
5、.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 的时间的时间t t, ,计算出小球完成计算出小球完成1 1次全振动所用的时间次全振动所用的时间, , 这个时间就是单摆的振动周期这个时间就是单摆的振动周期, ,即即T T= (N= (N为全为全 振动的次数振动的次数),),反复测反复测3 3次次, ,再算出周期再算出周期T T的平均值的平均值. .5.5.根据单摆振动周期公式根据单摆振动周期公式T T=2 ,=2 ,计算出当地的计算出当地的 重力加速度重力加速度g g= .= .6.6.改变摆长改变摆长, ,重做几次实验重做几次实验, ,计算出每次实验的重计
6、算出每次实验的重 力加速度值力加速度值, ,求出它们的平均值求出它们的平均值, ,即为当地的重即为当地的重 力加速度值力加速度值. .Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.【误差分析误差分析】1.1.系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要 求求, ,即悬点是否固定即悬点是否固定, ,球、线是否符合要求球、线是否符合要求, ,振动振动 是圆锥摆还是在同一竖直平面内的振
7、动等是圆锥摆还是在同一竖直平面内的振动等. .2.2.偶然误差主要来自时间上的测量偶然误差主要来自时间上的测量, ,因此因此, ,要从摆要从摆 球通过平衡位置开始计时球通过平衡位置开始计时, ,不能多计或漏计振动不能多计或漏计振动 次数次数. .3.3.为了减小偶然误差为了减小偶然误差, ,通常采用多次测量求平均值通常采用多次测量求平均值 及用图象处理数据的方法及用图象处理数据的方法. .Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspos
8、e Pty Ltd.【注意事项注意事项】1.1.细线的质量要小细线的质量要小, ,弹性要小弹性要小, ,选用体积小、密度选用体积小、密度 大的小球大的小球, ,摆角不超过摆角不超过5 5. .2.2.要使摆球在同一竖直面内摆动要使摆球在同一竖直面内摆动, ,不能形成圆锥摆不能形成圆锥摆, , 方法是将摆球拉到一定位置后由静止释放方法是将摆球拉到一定位置后由静止释放. .3.3.测周期的方法：测周期的方法： (1) (1)要从摆球过平衡位置时开始计时要从摆球过平衡位置时开始计时, ,因为此处速因为此处速 度大度大、计时误差小计时误差小, ,而最高点速度小而最高点速度小、计时误差大计时误差大. .
9、 (2) (2)要测多次全振动的时间来计算周期要测多次全振动的时间来计算周期. .如在摆如在摆 球过平衡位置开始计时球过平衡位置开始计时, ,且在数且在数“零零”的同时按的同时按 下秒表下秒表, ,以后摆球从同一方向通过最低位置时计以后摆球从同一方向通过最低位置时计 数数1 1次次. .Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.4.4.由公式由公式g g= ,= ,分别测出一系列摆长分别测出一系列摆长l l对应
10、的周对应的周 期期T T. .作出作出l-Tl-T2 2的图象的图象, ,如图如图2 2所示所示, ,图象应是一条图象应是一条 通过原点的直线通过原点的直线, ,求出图线的斜率求出图线的斜率k k, ,即可求得即可求得 g g值值. . 根据图线斜率求根据图线斜率求g g值可以减小误差值可以减小误差. .图图2 2Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.典例剖析典例剖析【例例1 1】某同学在家里做用单摆测定重
11、力加速度的】某同学在家里做用单摆测定重力加速度的 实验实验, ,由于没有螺旋测微器测摆球的直径由于没有螺旋测微器测摆球的直径, ,采用采用 了如下方法了如下方法: :先用秒表测得单摆周期为先用秒表测得单摆周期为T T1 1, ,然后然后 让悬线缩短让悬线缩短L L, ,再次测得单摆周期为再次测得单摆周期为T T2 2, ,那么该那么该 同学测得的重力加速度为多少同学测得的重力加速度为多少? ? 答案答案Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-201
12、1 Aspose Pty Ltd.【例例2 2】有两个同学利用假期分别去参观北大和南】有两个同学利用假期分别去参观北大和南 大的物理实验室大的物理实验室, ,各自在那里利用先进的各自在那里利用先进的DISDIS系系 统较准确地探究了统较准确地探究了“单摆的周期单摆的周期T T与摆长与摆长L L的关的关 系系”, ,他们通过校园网交换实验数据他们通过校园网交换实验数据, ,并由计算并由计算 机绘制了机绘制了T T2 2L L图象图象, ,如图如图3 3甲所示甲所示, ,去北大的同去北大的同 学所测实验结果对应的图线是学所测实验结果对应的图线是 ( (选填选填“A A” 或或“B B”).).另外
13、另外, ,在南大做探究的同学还利用计在南大做探究的同学还利用计 算机绘制了两种单摆的振动图象算机绘制了两种单摆的振动图象( (如图乙所示如图乙所示),), 由图可知由图可知, ,两单摆摆长之比两单摆摆长之比L La a/ /L Lb b= = . .Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 答案答案 B BEvaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET
14、3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.创新实验创新实验【例例3 3】( (探究创新探究创新) )将一单摆装置竖直悬挂于某一将一单摆装置竖直悬挂于某一 深度为深度为h h( (未知未知) )且开口向下的小筒中且开口向下的小筒中( (单摆的下单摆的下 部分露于筒外部分露于筒外),),如图如图4 4甲所示甲所示, ,将悬线拉离平衡将悬线拉离平衡 位置一个小角度后由静止释放位置一个小角度后由静止释放, ,设单摆摆动过程设单摆摆动过程 中悬线不会碰到筒壁中悬线不会碰到筒壁, ,如果本实验的长度测量工如果本实验的长度测量
15、工 具只能测量出筒的下端口到摆球球心的距离具只能测量出筒的下端口到摆球球心的距离L L, , 并通并通、过改变过改变L L而测出对应的摆动周期而测出对应的摆动周期T T, ,再以再以T T2 2 为纵轴为纵轴L L为横轴作出函数关系图象为横轴作出函数关系图象, ,那么就可以通那么就可以通 过此图象得出小筒的深度过此图象得出小筒的深度h h和当地的重力加速度和当地的重力加速度g g. .Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose
16、Pty Ltd. (1) (1)现有如下测量工具现有如下测量工具:A.:A.时针时针;B.;B.秒表秒表;C.;C.天平天平; ; D. D.毫米刻度尺毫米刻度尺. .本实验所需的测量工具有本实验所需的测量工具有 . . (2) (2)如果实验中所得到的如果实验中所得到的T T2 2- -L L关系图象如图乙所关系图象如图乙所 示示, ,那么真正的图象应该是那么真正的图象应该是a a、b b、c c中的中的 . . (3) (3)由图象可知由图象可知, ,小筒的深度小筒的深度h h= = m;m;当地的当地的 重力加速度重力加速度g g= = m/sm/s2 2. .图图4 4Evaluati
17、on only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 解析解析 本实验主要考查用单摆测重力加速度的本实验主要考查用单摆测重力加速度的 实验步骤、实验方法和数据处理方法实验步骤、实验方法和数据处理方法. . (1) (1)测量筒的下端口到摆球球心之间的距离测量筒的下端口到摆球球心之间的距离L L用用 到毫米刻度尺到毫米刻度尺, ,测单摆的周期用秒表测单摆的周期用秒表, ,所以测量所以测量 工具选工具选B B、D.D. (2) (2)设摆线
18、在筒内部分的长度为设摆线在筒内部分的长度为h h, ,由由T T=2 =2 得得, ,T T2 2= ,= ,可知可知T T2 2- -L L关系图象为关系图象为a a. . (3) (3)将将T T2 2=0=0, ,L L=-30 cm=-30 cm代入上式可得代入上式可得 h h=30 cm=0.3 m=30 cm=0.3 m 将将T T2 2=1.20 s=1.20 s2 2, ,L L=0=0代入上式可求得代入上式可求得 g g=2 2=9.86 m/s=9.86 m/s2 2 答案答案 (1)B(1)B、D (2)D (2)a a (3)0.3 9.86 (3)0.3 9.86Ev
19、aluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.素能提升素能提升1.1.在做在做“用单摆测定重力加速度用单摆测定重力加速度”的实验中的实验中, ,有人有人 提出以下几点建议提出以下几点建议: : A. A.适当加长摆线适当加长摆线 B. B.质量相同、体积不同的摆球质量相同、体积不同的摆球, ,应选用体积较应选用体积较 大的大的 C. C.单摆偏离平衡位置的角度不能太大单摆偏离平衡位置的角度不能太大 D. D.当单摆经过
20、平衡位置时开始计时当单摆经过平衡位置时开始计时, ,经过一次全经过一次全 振动后停止计时振动后停止计时, ,用此时间间隔作为单摆振动用此时间间隔作为单摆振动 的周期的周期 其中对提高测量结果精确度有利的是其中对提高测量结果精确度有利的是 . .Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 解析解析 在用单摆测重力加速度时在用单摆测重力加速度时, ,摆线应适当长摆线应适当长 一些一些, ,以增大周期以增大周期, ,
21、便于测量便于测量; ;对质量相同的摆球对质量相同的摆球, , 应选择体积小的应选择体积小的, ,以减小阻力以减小阻力; ;单摆偏角不能太单摆偏角不能太 大大, ,以保证做简谐运动以保证做简谐运动; ;应测多次全振动的时间应测多次全振动的时间 去求周期去求周期, ,以减小测量误差以减小测量误差. . 答案答案 ACEvaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.2.2.在用单摆测重力加速度的实验中在用单摆测重力加速度的
22、实验中: : (1) (1)某同学实验时改变摆长，测出某同学实验时改变摆长，测出 几组摆长几组摆长L L和对应的周期和对应的周期T T的数据的数据, , 作出作出T T2 2L L图线，如图图线，如图5 5所示所示. .利用利用 图线上任两点图线上任两点A A、B B的坐标的坐标( (x x1 1, ,y y1 1) )、( (x x2 2, ,y y2 2),),便便 可求得重力加速度可求得重力加速度g g= = . . (2) (2)作作T T2 2L L图线解决物理问题图线解决物理问题, ,可以提示我们可以提示我们: : 若摆球的质量分布不均匀若摆球的质量分布不均匀, ,对测量结果将对测
23、量结果将 ( (填填“有影响有影响”或或“没有影响没有影响”).). 答案答案 (1)4(1)42 2( (y y2 2- -y y1 1)/()/(x x2 2- -x x1 1) (2) (2)没有影响没有影响图图5 5Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.3.3.在在“用单摆测定重力加速度用单摆测定重力加速度”的实验中的实验中, ,测得单测得单 摆摆角小于摆摆角小于5 5, ,完成完成n n次全振动的
24、时间为次全振动的时间为t t, ,用毫用毫 米刻度尺测得摆线长为米刻度尺测得摆线长为L L, ,用螺旋测微器测得摆用螺旋测微器测得摆 球直径为球直径为d d. . (1) (1)用上述物理量的符号写出重力加速度的一般用上述物理量的符号写出重力加速度的一般 表达式表达式g g= = . . (2) (2)从图从图6 6可知可知, ,摆球直径摆球直径d d的读数为的读数为 mm.mm. (3) (3)实验中有个同学发现他测得重力加速度的值实验中有个同学发现他测得重力加速度的值 偏大偏大, ,其原因可能是其原因可能是 ( ) ( )图图6 6Evaluation only.Created with
25、Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. A. A.悬点未固定紧悬点未固定紧, ,振动中出现松动振动中出现松动, ,使摆线增使摆线增 长了长了 B. B.单摆所用摆球质量太大单摆所用摆球质量太大 C. C.把把n n次全振动时间误当成次全振动时间误当成( (n n+1)+1)次全振动时间次全振动时间 D. D.以摆线长作为摆长来计算以摆线长作为摆长来计算 解析解析 单摆的摆长为单摆的摆长为l l= =L L+ +d d/2,/2,完成完成n n次振动的时次振动的时
26、间为间为t t, ,振动的周期振动的周期T=t/nT=t/n, ,代入单摆的周期公式代入单摆的周期公式T T= = 2 2 中中, ,整理可得整理可得g g= ,= ,读出螺旋测微读出螺旋测微 器的示数为器的示数为5.980(5.980(0.0020.002均可均可) )；由推导出的；由推导出的 公式公式g g= = 可知可知, ,只有只有C C答案正确答案正确. . 答案答案 (1) (2)5.980 (3)C(1) (2)5.980 (3)CEvaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.
27、0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.4.4.在在“用单摆测定重力加速度用单摆测定重力加速度”的实验中的实验中: : (1) (1)甲同学分别选用三种材料不同而直径都为甲同学分别选用三种材料不同而直径都为 2 cm 2 cm的实心球、长度不同的细棉线组成单摆的实心球、长度不同的细棉线组成单摆, ,完完 成了四组实验成了四组实验. .各组实验的器材和部分测量数据各组实验的器材和部分测量数据 如下表如下表, ,其中最合理的实验是第其中最合理的实验是第 组组. .组别组别摆球摆球材料材料摆长摆长L/cmL/cm最大最大摆角摆角全振动次数全振动次数N/N/次次1
28、 1铜铜0.300.30303050502 2铜铜1.001.005 51 13 3铁铁1.001.005 550504 4铁铁1.001.005 51010Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. (2) (2)乙同学选择了合理的实验装置乙同学选择了合理的实验装置 后后, ,测出几组不同摆长测出几组不同摆长L L和周期和周期T T的的 数值数值, ,画出如图画出如图7 7的的T T2 2L L图象图象, ,
29、并算并算 出图线的斜率为出图线的斜率为k k, ,则当地的重力加则当地的重力加 速度速度g g= = ( (用符号表示用符号表示).). (3) (3)丙、丁两同学合作测量重力加速度丙、丁两同学合作测量重力加速度, ,也测出也测出 几组不同摆长几组不同摆长L L和周期和周期T T的数值的数值. .丙用丙用T T2 2L L图象图象 法处理求得重力加速度为法处理求得重力加速度为g g丙丙; ;丁用公式法丁用公式法T T= = 2 2 处理求得重力加速度为处理求得重力加速度为g g丁丁, ,实验后他们发实验后他们发 现测摆长时忘了加上摆球的半径现测摆长时忘了加上摆球的半径, ,则丙、丁两同则丙、丁
30、两同图图7 7Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 学计算出的重力加速度数值关系为学计算出的重力加速度数值关系为g g丙丙 g g丁丁 ( (填填“ ”“”“ (1)3 (2) (3)Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Lt
31、d.5 5. .在用单摆测定重力加速度在用单摆测定重力加速度的实验中的实验中, ,为防止摆球为防止摆球在摆动过程中形成在摆动过程中形成“圆锥摆圆锥摆”, ,实验中采用了如图实验中采用了如图8 8甲所示的双线摆甲所示的双线摆. .测出摆线长度为测出摆线长度为L L, ,线与水平横杆线与水平横杆夹角为夹角为, ,摆球半径为摆球半径为r r. .若测出摆动的周期为若测出摆动的周期为T T, ,则则此地重力加速度为此地重力加速度为 ；某同学用某同学用1010分度的游标卡尺分度的游标卡尺测量摆球的直径时主尺和游测量摆球的直径时主尺和游标如图乙所示标如图乙所示, ,则摆球的半径则摆球的半径r r为为 mm
32、.mm.图图8 8Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 解析解析 单摆的摆长为单摆的摆长为l l= =L Lsinsin+ +r r, ,由周期公式由周期公式T T= = 2 , 2 ,此地的重力加速度为此地的重力加速度为 ；由；由 图知小球的半径图知小球的半径r r= = 16.0 mm=8.0 mm.16.0 mm=8.0 mm. 答案答案 8.08.0Evaluation only.Created
33、with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.6.6.下表是用单摆测定重力加速度实验中获得的有下表是用单摆测定重力加速度实验中获得的有 关数据：关数据： (1) (1)利用上述数据利用上述数据, ,在坐标图在坐标图9 9描出描出l-Tl-T2 2的图象的图象. .摆长摆长l l（m m）0.50.60.81.1周期平方周期平方T T2 2（S S2 2）2.22.43.24.8图图9 9Evaluation only.Created with Aspose.Sl
34、ides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. (2) (2)利用图象利用图象, ,取取T T2 2=5.2 s=5.2 s2 2, ,l l= = m,m,重力加重力加 速度是速度是 m/sm/s2 2. . 解析解析 (1)(1)描点作图如下图描点作图如下图 (2) (2)由图可知当由图可知当T T2 2=5.2 s=5.2 s2 2时时, ,l l=1.3 m,=1.3 m,将它代入将它代入 g g= = 答案答案 (1)(1)见解析图见解析图 (2)1.3 9.86 (2)1.3 9.86返回返回 Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.
