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第七章第七章 电磁波与物质波的衍射理论电磁波与物质波的衍射理论 17.1 衍射的概念与原理衍射的概念与原理 l 入射的电磁波（X射线） 或物质波（电子波）与周期性的晶体物质发生作用，在空间某些方向上发生相干增强，而在其他方向上发生相干抵消，这种现象称为衍射（散射波干涉现象）l 衍射是入射波受晶体内周期性排列的原子的作用，产生相干散射的结果l 衍射理论是一切物相分析的理论基础27.1.1 X射线衍射产生的物理原因射线衍射产生的物理原因 lX射线与物质作用时发生散射作用，主要是电子与X射线相互作用的结果.lX射线光子与外层弱束缚电子作用后，这些电子将被撞离原来运行方向，入射X光子损失部分能量，造成其散射X射线波长不同，位相也不存在确定的关系，是一种非相干散射lX射线与内层电子相互作用后却可以产生相干增强的衍射射线与内层电子相互作用后却可以产生相干增强的衍射可分三个层次来理解可分三个层次来理解：： 3机制：机制：电子受X射线电磁波的交变电场作用将在其平衡位置附近产生受迫振动，而且振动频率与入射射线相同；此受迫振动的电子本身成为一个新的电磁波源，发射出的散射电磁波频率与入射波相同，即散射是一种弹性散射，没有能量损失。

1) 电子对电子对X射线的弹性散射射线的弹性散射  4      由于每个原子含有数个电子，所以每个原子对X 射线的散射是多个电子共同作用的结果      理论的推导表明，一个原子对入射波的散射相当于f(sin/λ)个独立电子处在原子中心的散射即，将原子中的电子简化为集中在原子中心，只是其电子数不在是Z，而是f(sin/λ) 2) 原子对原子对X射线的弹性散射射线的弹性散射 5　　当电磁波照射到晶体中时被晶体内的原子散射，即从每一个原子中心发出一个圆球面波由于原子在晶体中是周期排列的，使得在某些方向的散射波的位相差等于波长的整数倍，散射波之间干涉加强，形成相干散射，从而出现衍射现象3) 晶体对晶体对X射线的相干衍射射线的相干衍射　　67.1.2 电子衍射产生的物理原因电子衍射产生的物理原因  1) 卢瑟福散射理论 忽略了核外电子对核的屏蔽效应，它可近似地描述电子的弹性散射和非弹性散射与原子核作用—弹性散射与核外电子作用-非弹性散射7       入射电子在物质中的弹性散射弹性散射大于大于非弹性散射非弹性散射Z倍，原子序数Z越大弹性散射部分就越重要，反之，非弹性散射就越重要。

8l当电子与晶体作用时，电子受到原子集合体的散射在弹性散射的情况下，某些方向的散射波的位相差等于波长的整数倍，散射波之间干涉加强，形成相干散射，从而出现衍射现象l电子受到试样的弹性散射是电子衍射图和电子显微像的物理依据，它可以提供试样晶体结构及原子排列的信息2) 晶体对电子的衍射作用晶体对电子的衍射作用 9      与X射线相比，电子受试样强烈散射这一特点（即，电子衍射强度比X射线高106-108倍），使得在TEM可以在原子尺度上看到结构的细节10发生衍射发生衍射 样品结构信息样品结构信息  衍射方向衍射方向  衍射强度衍射强度  11            1. 1.布拉格方程式布拉格方程式            2. 2.厄瓦尔德图解厄瓦尔德图解l1912年英国物理学家布拉格父子导出了一个决定衍射线方向的形式简单、使用方便的公式，常称为布拉格公式l布拉格公式给出了衍射角2 、晶面间距d和X射线波长之间的关系7.2 衍射方向衍射方向 12A: 晶体是由许多平行等距的原子面层层叠合而成的     例如：可以认为晶体是由晶面指数（hkl)的晶面堆垛而成的，晶面之间的距离为dhkl（简写为d)。

B: 假定入射线的方向为I，其中某一束衍射线的方向I，为了处理问题方便，找一组与入射线和衍射线夹角相等的晶面（hkl), 把衍射线看成是这组晶面的反射线, 然后推出布拉格公式两个前提条件：两个前提条件：   布拉格方程是弹性散射，入射方向，散射方向比较对称，所以可以用“反射”来处理13    同一层晶面相邻原子反射线之间的光程差同一层晶面相邻原子反射线之间的光程差，如晶面A 上 P 原子和 K 原子散射线光程差：      =AC – AD = AAcos – AAcos = 0若同一层晶面相邻原子光程差为零---散射线相互加强   PK14晶面A上P原子和晶面B上K原子散射线的光程差为：                               = SA + AT = 2dsin                              所以,      = 2dsin 相邻两层平行晶面上相邻两层平行晶面上原子反射线之间的光程差原子反射线之间的光程差 pk如果如果    = 2dsin  = n   ，散射波互相加强，散射波互相加强, 产生衍射。

产生衍射 15                布拉格公式：布拉格公式： 2d sin  = n         为布拉格角,   n 为衍射级数， 2 为衍射角l 在满足布拉格公式的所有晶面上的所有原子散射波的位相完全相同，振幅互相加强在与入射线成2角的方向上就会出现衍射线而在其它方向的散射线的振幅互相抵消，x射线的强度减弱或者等于零l 把强度相互加强的波之间的作用称为相长干涉，而强度互相抵消的波之间的作用称为相消干涉161）衍射是一种选择反射    一束可见光以任意角度投射到镜面上时都可以产生反射，不受条件限制 但是，一束X射线投射到原子面上，只有当、、d三者之间满足布拉格方程时才能发生衍射布拉格方程包含的意义：布拉格方程包含的意义：2）衍射花样和晶体结构具有确定的关系     衍射花样可以反映出晶胞大小及形状变化不同晶系的晶体，或者同一晶系而晶胞大小不同的晶体，其各晶面对应衍射线的方向不同物相鉴定物相鉴定  17布拉格方程讨论布拉格方程讨论                                 2d sin  = n  1）当X射线的波长和衍射面选定以后，可能有的衍射级数n也就确定了，因此它不是无限的选择反射不是无限的选择反射。

                                        1 < n < 2d / 2）由于晶体中原子所能散射的能量，仅占入射能量中很小的一部分，因此与入射光束相比，衍射光束的强度极其微弱3）衍射是原子散射波相互干涉加强的结果，与反射有着本质的区别，但习惯上仍旧把它说成反射光束、反射面、反射级数184）产生衍射的条件）产生衍射的条件                        由布拉格方程 2dsin = n 得  n / 2d = sin  1 d  n/2    (n最小值为1)d  /2     即，即，只有晶面间距大于等于只有晶面间距大于等于 /2的晶面才能的晶面才能产生衍射生衍射；晶面间距小于等于晶面间距小于等于/2的晶面，即使衍射角增大到90，相邻两晶面的光程差仍不到一个波长，始终处于干涉减弱    但，若d 》/2 ， 会造成角太小不容易被观察到（与入射线重叠），故衍射分析用入射波长应与晶体的晶格常数接近195 ）对于晶体衍射来说，我们关心的是）对于晶体衍射来说，我们关心的是衍射斑点位置衍射斑点位置而不是级数。

而不是级数布拉格公式可以改写为2(d / n) sin =                设 d = d/n，则：2dsin  =               20       可以将任何级的衍射看作是晶面间距相当于前者1/n的虚构点阵面上的一级衍射来处理这个晶面叫干涉面，其面指数为干涉指数（HKL）,习惯上HKL与hkl混用                    dHKL= d'hkl / n; H = nh, K = nk, L = nl       把n隐函在dHKL之中，布拉格方程变成为永远是一级反射的形式, 这样对处理问题带来很大方便2dsin   =   2d' sin  = n  (100)(200)虚构点阵面虚构点阵面（干涉面）（干涉面） 216) 布拉格公式与晶面间距公式联系起来，就可以得到该晶系的衍射方向上式表明， 衍射方向决定于晶胞的大小与形状 2dsin   =   正方、斜方、六方的情况参见正方、斜方、六方的情况参见 P52227.2 .2厄瓦尔德图解厄瓦尔德图解    另一种解决另一种解决X射线衍射方向的方法射线衍射方向的方法1. 厄瓦尔德图解的含义    取AO = 2/，以AO的中点O1为球心作一球面，该球称为厄瓦尔德球或衍射球。

在球面上任取一点G，OG可以用来描述参加衍射的晶面组原因一：原因一：23      根据倒易矢量的定义，可以确定OG就是参与衍射的晶面组的倒易矢量，表示为:原因二：原因二：    矢量矢量OG平行于衍射晶面的法线平行于衍射晶面的法线衍射矢量方程衍射矢量方程 24    衍射矢量方程表明入射线方向、衍射线方向和倒易矢量之间的几何关系这种关系说明：要使(hkl)晶面发生反射，入射线必须沿一定方向入射，以保证反射线方向的矢量  端点恰好落在倒易矢量Hhkl的端点上，即    的端点应落在HKL倒易点上252. 厄瓦尔德图解的应用 (可帮助确定哪些晶面参与衍射可帮助确定哪些晶面参与衍射)  1) 对于单晶体，先画出倒易点阵确定原点位置O2) 以倒易点阵原点为起点，沿入射线的反方向前进距离1/λ，找到厄瓦尔德球的球心O1（晶体的位置）3) 以1/λ为半径作球，得到厄瓦尔德球即在球面上的倒易阵点可以反射，不在球面上的倒易阵点一定不可反射，从球心O指向倒易点的方向是相应晶面反射线的方向单晶体衍射的厄单晶体衍射的厄瓦尔德图解瓦尔德图解26粉末多晶衍射原理粉末多晶衍射原理        粉末试样是由数目极多的微小晶粒组成，这些晶粒的取向完全是无规则的．各晶粒中的指数相同的晶面取向分布于空间的任意方向。

       如果采用倒易空间的概念，则这些晶面的倒易矢量分布于整个倒易空间的各个方向，各等同晶面族的倒易点阵分别分布在以倒易点阵原点为中心的同心倒易球面上多晶体衍射的厄瓦尔德图解27       在满足衍射条件时，根据厄瓦尔德图解原理，反射球与倒易球相交，其交线为一系列垂直于入射线的圆，从反射球中心向这些圆周连线组成数个以入射线为公共轴的共顶圆锥圆锥的母线就是衍射线的方向，锥顶角等于4  2829硅的粉晶衍射图谱30 在在了了解解倒倒易易点点阵的的基基础上上，，便便可可以以通通过爱瓦瓦尔尔德德球球图解解法法将将布布拉拉格格定定律律用用几几何何图形形直直观的的表表达达出出来来，，即即爱瓦瓦尔尔德球德球图解法是布拉格定律的几何表达形式解法是布拉格定律的几何表达形式31衍射方向衍射方向 衍射强度衍射强度     布拉格方程布拉格方程（尔瓦尔德图）（尔瓦尔德图） +晶体结构分析晶体结构分析   晶胞参数确定，晶胞参数确定，衍射方向确定衍射方向确定 物相鉴定物相鉴定衍射强度的确定相对复杂衍射强度的确定相对复杂 晶体中原子的种类晶体中原子的种类和它们在晶胞中的和它们在晶胞中的相对位置相对位置 327.3 衍射强度衍射强度  l X射线的强度射线的强度：单位时间内通过与X射线传播方向相垂直的单位面积上的光子数目与光子能量的乘积。

l 把X射线看成是电磁波时，和普通波的传播相同，单位时间通过单位面积的波的能量（能流密度），单位J/m2·s与波的振幅平方成正比33l 衍射强度理论包括运动学理论和动力学理论，前者只考虑入射波的一次散射，后者考虑入射波的多次散射；此处仅介绍有关衍射强度运动学理论的内容l X射线与电子波在与原子作用时的相干散射的机制略有不同，二者衍射强度的理论却大致相同34       衍射强度涉及因素较多，问题比较复杂一般从基元散射，即单电子对入射波的（相干）散射强度开始，逐步进行处理Ø 计算一个电子对入射波的散射强度（涉及偏振因子） ；Ø 一个原子对入射波的散射强度（涉及原子散射因子）；Ø 晶胞的衍射强度（涉及结构因子）；Ø 晶粒的衍射强度（涉及干涉函数）；Ø 将材料内所有晶粒的散射波合成，得到多晶体材料的衍射强度衍射强度的确定：衍射强度的确定：确定衍射线强度与原子位置之间关系的表达式35     在实际测试条件下材料的衍射强度还涉及温度、吸收、等同晶面数因素对衍射强度的影响，相应地，在衍射强度公式中引入温度因子、吸收因子和多重性因子，获得完整的衍射强度公式367.3.1 电子电子对对X射线的散射射线的散射  （只使用于（只使用于X射线）射线）          原子对X射线的散射主要由其核外电子而不是原子核引起的。

        在各种入射波中，只有X射线的衍射是由核外电子相干散射引起的         当一束X射线碰到一个电子时，这个电子就成为一个新的X射线源向四周幅射振动频率（波长）与原X射线频率相同的X射线37I Ie e：一个电子散射的：一个电子散射的X X射线在射线在P P点的强度点的强度I I0 0 ：入射：入射X X射线的强度射线的强度      e  e ：电子电荷：电子电荷     mm：电子质量：电子质量c  c ：：光速光速R R：电场中任一点：电场中任一点P P到发生散射电子的距离到发生散射电子的距离2 2 ：散射角（散射线方向与入射：散射角（散射线方向与入射X X射线方向的夹角）射线方向的夹角） 汤姆逊公式汤姆逊公式（推理过程省略，着重分析结论）（推理过程省略，着重分析结论）一个电子的衍射一个电子的衍射X射线射线R    一束非偏振入射波沿OY方向照射在电子上，设在空间上有任意一点P，OP距离为R，OP与OY夹角为2θ，则电子所散射的X射线在P点的强度由汤姆逊方程给出：381、散射、散射X射线的强度很弱射线的强度很弱      假定R = 1 cm，2 = 0 处，Ie/I0 = 7.94 × 10-262、散射、散射X射线的强度与电子到观测点之间的距离的平方成反比射线的强度与电子到观测点之间的距离的平方成反比 3、不同方向上，散射强度不同、不同方向上，散射强度不同      平行   2 = 0 或180°  散射线强度最大      垂直    2 = 90或270°散射的强度最弱4、一个电子对一个电子对x射线散射强度是射线散射强度是x射线散射强度的自然单位射线散射强度的自然单位l 偏振因子或极化因子偏振因子或极化因子:   l 电子对电子对X射线散射的特点射线散射的特点     散射波的强度值取决于(1+cos2 2)/2，即非偏振入射波收到电子散射，产生的散射波被偏振化了(大小与角度有关)，故称 (1+cos2 2)/2为偏振因子或极化因子。

397.3.2 原子原子对对 X 射线的散射射线的散射  （只使用于（只使用于X射线）射线）      一束X射线照射一个原子，使原子中所有电子和原子核产生受迫振动，因原子核质量远远大于电子质量，因此原子核振动不可察觉，忽略不计所以原子散射波是原子中各个电子散射波相互干涉合成的结果1. “理想理想”情况：情况：所有电子都集中在一点上Ea: 原子散射波振幅原子散射波振幅Ee: 单个电子散射波振幅单个电子散射波振幅 Ia：原子散射强度：原子散射强度Ie：单个电子散射强度：单个电子散射强度40f  f 是以一个电子散射波的振幅为度量单位的一个原子散射波的振幅是以一个电子散射波的振幅为度量单位的一个原子散射波的振幅是以一个电子散射波的振幅为度量单位的一个原子散射波的振幅是以一个电子散射波的振幅为度量单位的一个原子散射波的振幅   2. 2. 实际情况：实际情况：实际情况：实际情况：l l   原子散射因子原子散射因子   l l   散射强度：散射强度：散射强度：散射强度：   1. ＝0：如果一个电子散射波振幅为Ee，则原子散射波振幅为ZEe2. ≠0：原子散射波振幅为f Ee, f < Z，原子散射因子原子散射因子。

“理想理想”情况情况实际情况实际情况f   Z存在位相差存在位相差, ,且位相差别随且位相差别随增大而增大而增大增大P56.P56.411) 当＝0时，f = Z随着的增大，原子中各电子的位相差增大，f 减小，< Z;2）当一定时，越小，位相差加大，f也越小;2) Z越大，f 越大因此，重原子对X射线散射的能力比轻原子要强原子散射因子原子散射因子 f 的大小与的大小与2 、、 和原子序数有关和原子序数有关 它们之间的关系一般用f-sinθ/图（右图）来表示，特点是： 427.3.3 一个一个晶胞晶胞对对X射线的散射射线的散射     晶胞对入射X射线的散射波是晶胞中所有原子的散射波叠加的结果    研究晶胞对入射波的相干散射，应具体到晶胞内不同晶面的衍射无论晶面的指数和取向如何，每一种晶面都包含了晶胞内所有的原子；即，晶胞内所有原子对由该晶面决定的衍射都有贡献，只是随晶面取向的不同，各原子的散射波的叠加效果不同43 补充知识：补充知识：  l波长相同而振幅和位相不同的散射波的合成复数方法l在复平面上，用一个向量的长度A代表波的振幅，用向量与实轴的夹角φ表示波的位相。

于是这个波向量可用三角函数形式表示为           E = Acosφ + i Asinφ根据欧拉公式，用更简单的指数函数形式写为           E = Aeiφ于是多个向量合成的新向量就可很容易地写成各个向量的和441. 一个晶胞对一个晶胞对X射线的散射强度推导射线的散射强度推导  l l 则该晶胞的散射振幅为这则该晶胞的散射振幅为这n n种原子叠加种原子叠加l 假设该晶胞由n种原子组成，    每个原子的原子散射因子分别为f1、f2、f3…… fn；它们的散       射波振幅为：f1 Ee 、f2 Ee 、f3 Ee ...fn Ee （单个电子的散射波振幅为Ee）；    各原子散射波的位相为：Φ1 、Φ2 、Φ3 ... Φn ；45一个晶胞内所有原子散射的相干散射波振幅 一个电子散射的相干散射波振幅     F =EbEe=定量表征原子排布以及原子种类对衍射强度影响规律的参数或或2. 结构因子结构因子 （（F）） 46晶面结构因子晶面结构因子       一般我们测定的是晶体中某个晶面的衍射，因此我们需要确定某个晶面的的结构因子。

可以证明：可以证明：    hkl晶晶面面上上的的原原子子，，坐坐标标(xj, yj, zj)与与原原点点处处的的原原子子经经晶晶面面反反射射后位相差后位相差 为：为：  = 2 (hxj+kyj+lzj)47证明过程（证明过程（P58）：）：     (Rj在在S方向上的分量与在方向上的分量与在S0方向上的分量之差方向上的分量之差) 48于是(hkl)晶面的结构因子为：    该式反映了晶体结构中原子的种类，fj、个数，n和位置(xj,yj,zj) 对晶面(hkl)衍射强度的影响正是由于这个原因我们把F称为结构因子，即晶体结构对衍射的影响因子 X射线晶体结构分析中射线晶体结构分析中一个十分重要的公式一个十分重要的公式或或49l如果已知晶体中所有原子的种类和个数以及它们在晶胞中的相对位置，就可以通过上式计算出某晶面结构因子，从而计算出的它衍射线的强度l实际工作的程序恰好相反一般我们通过实验测得某一晶面的衍射线的强度，得到Fhkl然后经过各种计算方法，得到晶体中各原子的种类及其相对位置，从而确定晶体的结构50体心点阵体心点阵 底心点阵底心点阵 底心点阵和体心点阵（001）面衍射系统消光：系统消光：由于原子在晶体中位置不同或原子种类不同而引起的某些方向的衍射线消失。

体心晶胞无体心晶胞无 (001) 反射反射3. 系统消光与消光规律系统消光与消光规律 51      布拉格方程（没有考虑原子位置的影响）是晶体产生衍射的一般条件，即满足布拉格方程只是可能产生衍射现象，并非一定有衍射发生因此，它只是衍射的必要条件．而非充分条件布拉格方程的缺陷布拉格方程的缺陷      研究结果表明，晶体产生衍射的研究结果表明，晶体产生衍射的充分条件是结构充分条件是结构因子不为零因子不为零，即：，即：52        对结构因子进行计算可以得出各种晶体结构类型x射线衍射时的点阵消光法则       如果计算得到Fhkl ＝ 0，说明虽然可能满足布拉格方程，但衍射强度为零，此时，未能观测到衍射现象；l 消光规律消光规律 布拉格方程布拉格方程   Fhkl   0衍射衍射充要条件充要条件53l我们可以通过结构因子的计算得到这些系统消光的规律l 补充知识：  常用的几个复数运算的关系式：                          当n = 偶数，eni =   1                                  当n = 奇数，eni = 1 结构因子的计算结构因子的计算54(1) 同种原子同种原子的简单点阵的简单点阵的消光规律的消光规律     每个晶胞中只有一个原子。

其位置在原点上，坐标为(000)，fa为其原子散射因数    |F|2与晶面指数无关，说明简单点阵的情况下，结构因子不受晶面指数hkl的影响，即任意指数的晶面都能产生衍射F = fae2i(hxj + kyj + lzj) = fae2(0) = fa  | F |2 = fa255(2) 同种原子的体心点阵同种原子的体心点阵的消光规律的消光规律      单位晶胞中有两个同种原子，坐标分别为(000), (1/2,1/2,1/2) 即：当 h + k + l 为奇数时，相应的晶面都会发生结构消光，即这些晶面不产生衍射现象56    因此，晶面指数 h + k + l 为奇数时对应的晶面，如(100)，(111)，(210)，(221）…都会发生结构消光，不产生衍射现象； 而， h + k + l 为偶数时对应的晶面，如(110)，(200)，(211)，(220)，(310)．(222) …均有反射，与这些反射面对应的倒易点组成了一个面心的倒易点阵57(3) 不同原子的体心点阵不同原子的体心点阵的消光规律的消光规律    可见，与同类原子的体心晶胞不同，由于两原子的种类不同，原子散射因 f 子不同，当h+k+l为奇数时，结构因子不等于0，但减小了。

 58(4) 同种原子的面心点阵的消光规律同种原子的面心点阵的消光规律(5) 同种原子的底心点阵的消光规律同种原子的底心点阵的消光规律59四种基本类型点阵的系统消光规律四种基本类型点阵的系统消光规律     计算中并没有涉及晶胞的大小与形状，因此这些规律与晶胞的大小与对称性（晶系）无关，只与点阵类型有关，只与点阵类型有关!607.3.4 晶粒衍射强度晶粒衍射强度       一个晶粒对入射波的散射是晶粒中各晶胞散射波相互干涉合成的结果晶粒的合成波也是对各晶胞的衍射波求和61晶粒内两个晶胞，设一个位于原点(0,0,0), 另一任意晶胞为(m,n,p)  整个晶粒发出的散射波的振幅等于每个晶胞散射波的累加：散射波光程差：（（7-23）） 将将7-23式带入式带入 F：晶胞结构因子：晶胞结构因子  将将7-23式带入式带入 整个晶粒整个晶粒发出的散发出的散射波的振射波的振幅幅 ，，Ec：：62 |G|2 ：：干涉函数 = IcIb晶粒散射波强度晶胞散射波强度=l 干涉函数描述晶粒尺寸对散射波强度的影响l 三个因子分别描述在空间三个不同的方向上衍射强度的变化整个晶体衍整个晶体衍射的强度射的强度Ic：： G1G2G3 G 2 =  G1 2  G2 2  G3 2 63     当N1 > 100时，几乎全部强度都集中在主峰，副峰的强度可忽略不计。

     函数的主极大值等于沿a方向的晶胞数N1的平方，晶体沿a轴方向越厚，衍射强度越大     主峰的底宽为2/N1, 晶体沿a 轴方向越薄，衍射极大值的峰宽越大主峰越强、越窄，晶粒越大N1 = 564谢乐谢乐(Sherrer)公式公式 B：积分半高宽度：积分半高宽度k:  谢乐常数谢乐常数 = 0.89t =  晶粒尺寸，单位晶粒尺寸，单位nm = 入射入射X射线波长射线波长  ：衍射角：衍射角XRD分析晶粒分析晶粒尺寸的著名公式尺寸的著名公式B = t cos  k t = B cos  k l 晶粒变小时，衍射峰产生宽化一般当晶粒小于10-4 cm 时，它的衍射峰就开始宽化因此，此式适合于测定晶粒<10-5cm ，即100纳米以下晶粒的粒径 l当晶粒大小一定时，衍射峰的宽化是随θ角而变化的即B随的增大而增大 657.3.5 多晶体衍射强度多晶体衍射强度     多晶体样品由数目极多的任意取向晶粒组成各晶粒的取向是任意分布的，众多晶粒中的 (hkl) 面相应的各个倒易点将构成一倒易球，此球以倒易矢量长度为半径（|r*hkl| = 1/dhkl），称为(hkl)面的倒易球。

  66       由晶粒的衍射积分强度分析可知，衍射线都存在一个有强度的空间范围，即当（hkl ）晶面反射时，衍射角有一定的波动范围，因此，倒易球与反射球的交线圆扩展成为有一定宽度的圆环带实际情况 多晶体的（多晶体的（hkl）衍射积分强度：）衍射积分强度：P62  677.3.6 影响衍射强度的其他因素影响衍射强度的其他因素 （1） 多重性因子   （2） 吸收因子（3） 温度因子（4） 角因子（包括极化因子和罗仑兹因子）    实际衍射强度分析中，还存在等同镜面组数目、温度、物质吸收等因素影响，因此需要在衍射强度公式中引入相应的修正因子681. 多重性因子（多重性因子（P）） l 等同晶面：晶面间距、晶面上的原子排列规律相同的晶面l 多重性因子（P）：等同晶面个数对衍射强度的影响因子      在粉末或多晶条件下，等同晶面中所有成员都有相同机会参与衍射，在其它条件相同的情况下，等同晶面越多，对衍射强度的贡献就越大，多重性因数越大{100}  P = 6{111}  P = 8{110}  P = 12立方立方晶系晶系如：如：69  晶系晶系指数H000K000LHHHHH0HK00KLH0LHHLHKLP  立方立方6812242448菱方、六方菱方、六方6261224  正方正方4248816  斜方斜方248  单斜单斜2424  三斜三斜222各晶面族的多重因子列表各晶面族的多重因子列表各晶面族的多重因子列表各晶面族的多重因子列表702. 吸收因子吸收因子 A( )    l 修正样品因对X射线的吸收造成的衍射强度的衰减。

 l 由于试样的形状和衍射方向不同，衍射线在晶体中的穿行的路径不同，试样对X射线的吸收不同，对衍射线的影响当然也不同因此，必需考虑这个因素l吸收因子的大小依实验的方法和样品的形状不同而异71l 吸吸收收因因子子与与衍衍射射角角有有关关 角角越越大大，，吸吸收收越越严严重重对于吸收系数大的材料，只有从试样上端或下端衍射的衍射线才能被接收l 行进路程不同，强度减弱的程度也不相同圆柱状试样：圆柱状试样：吸收系数较小的材料吸收系数较小的材料吸收系数较大的材料吸收系数较大的材料72平板状试样：平板状试样：平板状的试样主要在衍射仪中采用 入射线与反射线均在同一侧，入射角与反射角均相等 l 当入射角较小时，X射线照射试样的面积较大，而深度较浅反之当入射角较大时，照射试样的面积较小而深度较深l 总体而言，试样中受照试样的体积大体相当（参与衍射的体积大致相同）l 吸收因子与吸收因子与   角无关角无关733. 温度因子温度因子 (e–2M)     修正原子热振动给X射线的衍射强度带来的影响；与晶体所处温度及衍射角有关的函数l 温度升高引起晶胞膨胀温度升高引起晶胞膨胀 ，，d的改变改变导致的改变改变导致2  变化变化    可用以测定晶体的热膨胀系数 l 衍射线强度减小衍射线强度减小    使晶体的周期性受到一定的破坏，先前符合布拉格条件的相长干涉变得不完全。

 l 使背底信号增强使背底信号增强    产生向各个方向散射的非相干散射，把这种散射称之为热漫散射，强度随2角而增大温度的影响体现在：温度的影响体现在： 74  有热振动影响时的衍射强度有热振动影响时的衍射强度  无热振动理想情况下的衍射强度无热振动理想情况下的衍射强度   温度因子温度因子= =  温度因子的物理意义：一个在温度T下的热振动原子的散射因子（散射振幅）是该原子在绝对零度时原子散射因子的e–M倍f 和 f0分别是T K和0 K时的原子散射因子；M：与原子偏离其平衡位置的均方位移有关的常数l 一定时，温度 T越高，M越大，e–2M 越小，衍射强度减小；l T一定时，衍射角θ越大，M越大，e–2M 越小，衍射强度减小754.罗仑兹因子罗仑兹因子 (  ( ) )     罗仑兹因子是由粉末法的特点所决定的粉末法样品是由许多细小的晶粒组成的罗仑兹因子反映了样品中参与衍射的晶粒大小，晶粒的数目和衍射线位置对衍射强度的影响767.3.6  完整的多晶体试样衍射强度公式完整的多晶体试样衍射强度公式入射波强度入射波强度 单电子散射单电子散射 晶胞结构因子晶胞结构因子 晶粒的干涉函数晶粒的干涉函数 多晶体作用项多晶体作用项 多重性因子多重性因子 吸收因子吸收因子 温度因子温度因子 77      实际应用中考虑的是衍射线的相对强度，即同一实验条件下同一物相中各衍射线之间的强度比，通常是与最强衍射线的比值，因此有些项可以约掉。

德拜谢乐法相对强度德拜谢乐法相对强度Ir：：衍射仪法相对强度：衍射仪法相对强度：  结构因子结构因子多重性因子多重性因子角因子角因子吸收因子吸收因子温度因子温度因子78应用强度公式的几点说明：应用强度公式的几点说明： 1) 样品中晶粒必须随机取向，避免择优取向样品中晶粒必须随机取向，避免择优取向    如果试样中的晶粒存在择优取向，上述强度公式便失效因为，某些方向上晶粒特别多，相应的强度便比正常的强度要大大增加对片状或针状晶体的制样过程更要注意避免样品扰优取向的产生2) 避免衰减作用避免衰减作用（晶体越接近完整，反射线积分强度减小的（晶体越接近完整，反射线积分强度减小的现象叫衰减作用）现象叫衰减作用）    公式推导的条件是晶体具有理想的不完整结构，即，亚结构很小，随机取向，这种样品具有最大的反射能力但若晶体结晶完整，亚结构会很大，其反射能力就很低，存在衰减作用如果这种作用存在，强度公式便失效为此，实实验验时时粉粉末末样样品品要要尽量磨细尽量磨细 798. 衍射谱的指标化衍射谱的指标化l衍射线的指标化也称衍射谱标定，就是要从衍射谱判断出试样所属的晶系、点阵胞类型、各衍射面指数并计算出点阵参数l步骤Ø判断试样的晶系Ø判断试样的晶胞类型80指数标定方法l按θ角从小到大的顺序，写出sin2θ的比值数列l根据数列特点来判断l判断顺序：–先假定试样属于简单的晶系，若不是，则假定为更复杂的晶系，即–立方晶系——四方晶系——六方晶系——棱形晶系——正交晶系…81立方晶系的衍射谱标定立方晶系的衍射谱标定l根据布拉格方程和立方晶系面间距表达式，可得：根据布拉格方程和立方晶系面间距表达式，可得：l去掉常数项，可写出数列为：去掉常数项，可写出数列为：l式中式中sin2θ的角下标的角下标1，，2等，就是实验数据中衍射峰从左到等，就是实验数据中衍射峰从左到右的顺序编号右的顺序编号82粉末衍射图谱示例粉末衍射图谱示例 衍射角衍射角 衍衍射射强强度度 83l由由于于h、、k、、l均均为为整整数数，，它它们们的的平平方方和和也也必必定定为为整整数数，， sin2θ数数值列必定是整数列值列必定是整数列—判断是否为立方晶系的判断是否为立方晶系的充分和必要条件。

充分和必要条件l实验操作实验操作Ø测量衍射谱，计算测量衍射谱，计算sin2θ，，写成比例数列写成比例数列Ø找找到到一一个个公公因因数数，，乘乘以以数数列列中中各各项项，，使使之之成成为为整整数数列列，，则则为为立立方方晶晶系系，，反反之之，，非非立立方方晶晶系系（（注注意意：：在在所所得得的的整整数数中中，，若若出出现现7，，15，，23等等数数时时，，应应将将所所有有线线×2以以消消除除这这些些数数，，因因为为h2+k2+l2 ≠7，，15，，23）立方晶系的衍射谱标定立方晶系的衍射谱标定84l进一步判断Ø根据整数列的比值不同，可判断其是简单、面心或体心结构——结构因子不同Ø根据sin2θ ，可知h2+k2+l2，进一步可计算出各衍射峰对应的干涉面指数立方晶系的衍射谱标定立方晶系的衍射谱标定85简单立方简单立方l简单立方由于不存在结构因子的消光，因此，全部衍射面的衍射峰都出现—sin2θ比值数列应可化成：l从左到右，各衍射峰对应的衍射面指数依次为（100）、（110）、（111）、（200）、（210）、(211)、（220）、 （300）、（310）、（311）86体心立方体心立方Ø体心立方中，h+k+l为奇数的衍射面不出现，因此，比值数列应可化成：Ø对应的衍射面指数分别为（110）、（200）、（211）、（220）、（310）、（222）、（321）87面心立方面心立方lFCC结构因为不出现h、k、l奇偶混杂的衍射，因此，数值列应为：l相应的衍射面指数依次为（111）、（200）、（220）、（311）、（222）、（400）、（331）88课堂练习课堂练习•某次实验测得数据如下，请标出是什么晶体结构，并计算出对应的晶面指数答案：FCC 89立方晶系标定的问题立方晶系标定的问题p体心立方和简单立方的区别是数列中是否可能出现7，体心立方可能出现7（但必须要2处理），而简单点阵不会出现。

因此，在标定这两种结构时，衍射线条数目不能少于8条（实际测量时受设备限制可能测不到8条衍射线）p在实际测量时，某一条或几条衍射强度特别低的线条可能不会出现，可能导致判断错误如数列为3:8:11:16:19，肯定不是简单立方，也不属于体心立方（数列中有奇有偶），因此，应为面心立方结构，但在实际测量时，没有出现4（200）、12（222）(因为结构因子太小)90p对于衍射线条数目少于8条的情况，还可以从多重因子来考虑，简单立方衍射花样的前两条线的干涉指数为（100）和（110），体心立方为（110）、（200）110）和（200）的P=6，（110）的P=12在简单立方中，第二条线比第一条线强，在体心立方中，第二条线比第一条线弱p简单立方的衍射线条数目最多，比面心和体心要多几倍p面心立方的衍射线成对线条和单线交替出现立方晶系标定的问题立方晶系标定的问题91点阵常数的计算点阵常数的计算l标定的第三步是计算晶体的点阵常数a92p习题习题1      使用CuKα射线（＝1.5418 Å)，对等轴晶系的氯化钠粉末进行X射线衍射，得到的衍射峰的位置分别是：2＝27.45,  31.80,  45.60,  54.05,  56.70,  66.50,73.30,  75.60,  84.30，试将上述衍射峰进行指标化，并判定其空间格子类型。

p习题习题2       用CuKα射线，对于下列结构的物质进行粉末衍射，试预测随着衍射角度的增加次序，衍射图上开始出现的三个衍射峰的2 值和对应的hkl值： (1)简单立方 a = 3.00Å；  (2)面心立方 a=5.628Å （写出推测过程）补充习题补充习题 93发生衍射发生衍射 样品结构信息样品结构信息  衍射方向衍射方向  衍射强度衍射强度  物相鉴定物相鉴定  94End95R:  试样到照相底片(或探测器窗口)观察点处的距离V:  试样被入射x射线照射的体积VC:单位晶胞体积F:  结构因子P:  多重性因数(): 角因子A(): 吸收因数e-2M: 温度因子粉末试样粉末试样X射线衍射线束的强度射线衍射线束的强度 961) 晶粒大小对衍射线强度的影响晶粒大小对衍射线强度的影响     在实际X射线衍射实验中，通过衍射仪得到的衍射图表现为一个有一定宽度的峰 ，而不是一条理想的细小直线，在德拜图中看到的往往是一个有一定宽度的带除X射线的单色性和平行性等因素会导致峰的宽化外，晶粒的大小是衍射峰宽化的重要因素之一 97l 推推导导布布拉拉格格方方程程时时，，默默认认晶晶体体是是无无穷穷大大，，它它由由无无限限个个晶晶面面组组成，以致于任何不满足布拉格方程的成，以致于任何不满足布拉格方程的X射线都不产生衍射线射线都不产生衍射线。

     对任何一个入射角不满足布拉格方程的X射线来说，晶体中的任何一个晶面的反射总可以找到一个与它的光程差为λ/2的晶面反射，使二者产生相消干涉 l 实实际际中中，，倘倘若若晶晶体体很很小小，，即即晶晶面面数数目目有有限限时时情情况况则则不不同同，，会会出现本来不应该出现的衍射线出现本来不应该出现的衍射线    如，若相邻层的光程差为λ/8，但晶面体只有6层时，第2、3层的反射就不能抵消于是就会出现本来不应该出现的衍射线由于晶体很小，晶面的层数太少，不由于晶体很小，晶面的层数太少，不足以使所有晶面的反射全部抵消，产足以使所有晶面的反射全部抵消，产生不完全的相消干涉生不完全的相消干涉 （（1）晶体很薄时的衍射）晶体很薄时的衍射98Ø 若若该该晶晶体体是是一一个个理理想想晶晶体体，， 1角角不不满满足足布布拉格方程，它是不能产生衍射的拉格方程，它是不能产生衍射的Ø 但但由由于于晶晶体体很很小小，，其其晶晶面面的的层层数数太太少少，，不不足足以以使使所所有有的的晶晶面面的的反反射射全全部部抵抵消消，，产产生生不不完完全全的的相相消消干干涉涉在在稍稍微微偏偏离离主主衍衍射射线线的的方方向向上上仍仍有有一一定定的的衍衍射射强强度度。

从从而而使使衍衍射射峰峰宽宽化Ø 只只有有大大到到一一定定程程度度，，各各晶晶面面的的反反射射才才能能产产生生完完全全的的相相消消干干涉涉，，全全部部抵抵消消，，使使衍衍射射强强度度等零 （（2）稍偏离布拉格角时的衍射）稍偏离布拉格角时的衍射  当当入入射射X射射线线与与晶晶面面所所构构成成的的掠掠过过角角与与严严格格的的布布拉拉格格角角有有一一个个微微小小的的偏偏差差Δ ，，  1=   +Δ 时时（如图中的（如图中的B和和B’）99l 与晶体的厚度有关    如上所述，对m+1层的晶体来说，只有Δ 大到使相邻层的光程差等于λ/m时，或者说第0层反射与第m层反射的光程差为λ时，对入射线C或B，晶面的反射才能产生完全的相消干涉使衍射强度为0 Δ 大到什么程度才能产生完全的相消干涉呢？1002) 参加衍射晶粒数目的影响参加衍射晶粒数目的影响 101命题：命题：1、满足布拉格方程，是否衍射线强度一定不为零？、满足布拉格方程，是否衍射线强度一定不为零？2、不满足布拉格方程，是否衍射线强度一定为零？、不满足布拉格方程，是否衍射线强度一定为零？102A原子的坐标为(xj,yj,zj)     经O和A两个原子散射, 散射波在衍射方向光程差为 :    SS0103104劳埃方程组由衍射矢量方程推出，也表明劳埃方程组由衍射矢量方程推出，也表明了特定平面组能否反射的必要条件了特定平面组能否反射的必要条件——即即在晶体中如果有衍射现象发生，则上述三在晶体中如果有衍射现象发生，则上述三个方程必须同时满足，即三个方向的衍射个方程必须同时满足，即三个方向的衍射圆锥面必须同时交于一直线，该直线的方圆锥面必须同时交于一直线，该直线的方向即为衍射线束的方向。

向即为衍射线束的方向劳埃方程组典定了劳埃方程组典定了X-ray衍射的理论基础衍射的理论基础布拉格方程典定了晶体结构的基础布拉格方程典定了晶体结构的基础1054.罗仑兹因子罗仑兹因子 (  ( ) ) 罗仑兹因子罗仑兹因子 极化因子极化因子罗仑兹极化因子罗仑兹极化因子 （角因子）（角因子）     罗仑兹因子是由粉末法的特点所决定的粉末法样品是由许多细小的晶粒组成的罗仑兹因子反映了样品中参与衍射的晶粒大小，晶粒的数目和衍射线位置对衍射强度的影响106同名原子立方晶系的标定107四方、六方和棱形晶系的标定l不能证明衍射谱是立方晶系，即其比值数列不能化为简单整数数列，则假定为其它三种晶系                                 四方          六方         棱形108四方、六方晶系的标定l不能证明衍射谱是立方晶系，即其比值数列不能化为简单整数数列，则假定为其它三种晶系               l对于六方和四方，a=b两个变数——a,c109四方和六方晶系的标定l对于四方和六方晶系：l比值数列不可能得到全部为整数的数列，但在所有的衍射面中，那些L=0的衍射面的比值数列为整数列                                 110四方、六方晶系的标定l对于四方和六方晶系：l这些面包括（100），（110），（200），（210）……                  111四方、六方晶系的标定l对于四方和六方晶系：l从全部数据中选出一个数列为：l时，为四方晶系112四方、六方晶系的标定l对于四方和六方晶系：l从全部数据中选出一个数列为：l时，为六方晶系113四方、六方晶系的标定l四方和六方的判断：l四方晶系的比值数列中一定包括2，4，5l六方晶系的比值数列中一定包括3和7114六方晶系指数l对于六方来说，只有一种阵胞，即简单阵胞l衍射面指数依次为（100）、（110）、（210）、（300）……115四方晶系指数标定l四方包含两种阵胞：简单和体心l先假定为简单阵胞，则相应的指数应为（100）、（200）、（210）、（220）、（300）l如果不是简单点阵，则必为体心点阵，相应的指数为（100）、（200）、（220）、（310）、（400）、（330）116应用举例117点阵常数计算l四方l六方lc的计算118点阵常数计算lc的计算l取一条尚未标定的衍射线，根据其在衍射谱中的位置，假设它的H，K值，然后计算出一个中间数据l对其它尚未标定的衍射线也都假设出其相应的H，K，计算出中间值l如果所假设的H，K都正确，则这些中间值必然存在1,4,9…的比值关系l中间值最小的那条衍射线的L=1，其余依次为2，3，4l如果假设不正确，再回头重作假设，直到正确为止119棱形晶系的指标化l棱形晶系也有二个参数a和c,所以其指标化方法与四方晶系相似l在判断不是四方和六方晶系后，假设为棱形晶系，其比值数列的部分数列满足关系：1：4：9：16……l其衍射面指数依次为(001)、(002)、(003)120指标化的计算机程序l在MDI JADE中包含指标化程序l根据衍射花样，判断是哪一种晶系l寻峰或拟合l选择option——d-Spacing &HKL菜单命令作指标化处理演示121关于指标化与新物质的发现l在新材料开发过程中，如果发现了新的物质，为了了解新物相的性质，第一个工作就是要了解其结构。

这一工作的步骤一般是：l指标化——元素分析——分子结构式l所以，指标化是发现新材料结构的第一步，真正确定一种新的物相，需要用到其它一些化学公式的计算l目前，通过X射线衍射方法，确定新物相是非常热门的研究课题122指标化的其它方法l为了解决六方晶系的指标化问题，有人还绘出了图解法图表，利用该图表，可直接对六方晶系进行指标化l进行指标化的样品最好是纯物相，否则因为其它物相的存在干扰指标化的正常判断123课堂练习l实验所用辐射为CuKα= 0.15418nm，下表给出四个样品的sin2θ值，请标定出各组实验数据的衍射面指数、所属晶系，布拉菲点阵类型，并计算出点阵常数124。