用2.1.1椭圆及其标准方程

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1、如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？物件呢？生生活活中中的的椭椭圆圆太太 阳阳 系系思思考考数学实验数学实验(1)取一条细绳，取一条细绳，(2)把它的两端固定在板把它的两端固定在板上的两个定点上的两个定点F1、F2(3)用铅笔尖（用铅笔尖（M）把细把细绳拉紧，在板上慢慢移绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的动看看画出的 图形图形1.1.在椭圆形成的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动在椭圆形成的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？的？2.2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？在画椭圆的过程中，绳子的

2、长度变了没有？说明了什么？3.3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？系？请你归纳出椭圆的定义请你归纳出椭圆的定义, ,它应该包含几个要素它应该包含几个要素? ?F2F1M(1)(1)由于绳长固定，所以点由于绳长固定，所以点M M到两到两个定点的距离和是个定值个定点的距离和是个定值（2 2）点）点M M到两个定点的距离和要大到两个定点的距离和要大 于两个定点之间的距离于两个定点之间的距离（一）椭圆的定义（一）椭圆的定义平面内到两个定点平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数的距离之和等于常数 （2a） （大于（大于|F

3、1F2 |）的点的轨迹叫椭圆。的点的轨迹叫椭圆。定点定点F1、F2叫做椭圆的焦点。叫做椭圆的焦点。两焦点之间的距离叫做焦距（两焦点之间的距离叫做焦距（2C）。）。椭圆定义的文字表述：椭圆定义的文字表述：椭圆定义的符号表述：椭圆定义的符号表述：(2a2c)MF2F1小结：椭圆的定义需要注意以下几点小结：椭圆的定义需要注意以下几点1.1.平面上平面上-这是大前提这是大前提2.2.动点动点M M到两定点到两定点F F1 1，F F2 2的距离之和是常数的距离之和是常数2a 2a 3.3.常数常数2a2a要大于焦距要大于焦距2C2C思考：思考：1.当当2a2c时时,轨迹是（轨迹是（ ）椭圆椭圆2.当当

4、2a=2c时时,轨迹是一条线段轨迹是一条线段, 是以是以F1、F2为端为端 点的线段点的线段 3.当当2a0)，M与与F1和和F2的距离的和等于正的距离的和等于正常数常数2a (2a2c) ，则，则F1、F2的的坐标分别是坐标分别是( c,0)、(c,0) .xF1F2M0y（问题：下面怎样（问题：下面怎样化化简？）简？）由椭圆的定义得，由椭圆的定义得，限限制条件制条件：代代入坐标入坐标( (二二) )椭圆的标准方程的推导椭圆的标准方程的推导两边除以两边除以 得得由椭圆定义可知由椭圆定义可知整理得整理得两边再平方，得两边再平方，得移项，再平方移项，再平方总体印象：对称、简洁，总体印象：对称、简

5、洁，“像像”直线方程的截距直线方程的截距式式焦点在焦点在y轴：轴：焦点在焦点在x轴：轴：椭圆的标准方程1oFyx2FM12yoFFMx F1（-c，0）、F2（c，0） F1（0，-c ）、F2（0，c） OXYF1F2M(-c,0)(c,0)YXOF1F2M(0,-c)(0 , c)椭圆的标准方程的再认识：（1）椭圆标准方程的形式：）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是左边是两个分式的平方和，右边是1 1（3）椭圆的标准方程中三个参数）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足满足a2=b2+c2（4）由椭圆的标准方程）由椭圆的标准方程可以求出三个参数可以求出三个参数a a、b b

6、、c c的值的值（2）椭圆的标准方程中，）椭圆的标准方程中，x x2 2与与y y2 2的分母哪一个大，则焦点在的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上哪一个轴上1.口答：下列方程哪些表示椭圆？口答：下列方程哪些表示椭圆？ 若是若是,则判定其焦点在何轴？则判定其焦点在何轴？并指明并指明 ，写出焦点坐标，写出焦点坐标.?判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则： 焦点在分母大的那个轴上。焦点在分母大的那个轴上。（三）尝试应用（三）尝试应用2、求出适合下列条件的椭圆的标准方程、求出适合下列条件的椭圆的标准方程 已知两个焦点的坐标分别是已知两个焦点的坐标分别是(-4,

7、0)、(4,0)，椭圆上，椭圆上一点一点P到两焦点距离的和等于到两焦点距离的和等于10；变式一变式一:将将上题上题焦点改为焦点改为(0，-4)、(0，4)， 结果如何？结果如何？变式二变式二变式二变式二: : : :将将上题上题改为改为两个焦点的距离为两个焦点的距离为8 8，椭圆上一点椭圆上一点P P到两到两焦点的距离和等于焦点的距离和等于1010，结果如何？，结果如何？当焦点在当焦点在X X轴时，方程为：轴时，方程为：当焦点在当焦点在Y Y轴时，方程为：轴时，方程为：3、填空：、填空：已知椭圆的方程为：已知椭圆的方程为： ，则，则a=_，b=_，c=_，焦点坐标，焦点坐标为：为：_焦距等于焦

8、距等于_;若若CD为为过左焦点过左焦点F1的弦，则的弦，则 F2CD的周长为的周长为_例题例题543(3,0)、(-3,0)60F1F2CD判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：准则： 焦点在分母大的那个轴上。焦点在分母大的那个轴上。|CF1|+|CF2|=2a例例1、求适合下列条件的椭圆的标准方程：求适合下列条件的椭圆的标准方程：法一:c=2法二:c=2设椭圆标准方程为:2a=P+P两个焦点分别是(-2，0)，(2，0)，且过点P（四）典例分析（四）典例分析例例2、如图，在圆、如图，在圆 上任取一点上任取一点P，过点过点P作作x轴的垂线段轴的垂线段PD，D

9、为垂足。当点为垂足。当点P在圆上运动时，线段在圆上运动时，线段PD的中点的中点M的轨迹的轨迹是什么？为什么？是什么？为什么？分析：点分析：点P在圆在圆 上运动，点上运动，点P的运动引的运动引 起点起点M运动。运动。解：设点解：设点M的坐标为的坐标为(x,y)，点，点P的坐标为的坐标为(x0,y0)，则，则 x=x0,y=y0/2.因为点因为点P (x0,y0)在圆在圆 上，所以上，所以把把x0=x,y0=2y代入方程代入方程(1)，得，得即即 所以点所以点M的轨迹是一个椭圆。的轨迹是一个椭圆。解：解：变式变式 ：将圆将圆x x2 2+y+y2 2 = 4 = 4上的点的横坐标保持不变，上的点的

10、横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所的曲线的方程，纵坐标变为原来的一半，求所的曲线的方程，并说明它是什么曲线？并说明它是什么曲线？yxo设所的曲线上任一点的坐标为（x，y）,圆 上的对应点的坐标为（x，y），由题意可得：因为所以即1 1）将圆按照某个方向均匀地压缩）将圆按照某个方向均匀地压缩（拉长），可以得到椭圆（拉长），可以得到椭圆。2 2）利用中间变量求点的轨迹方程）利用中间变量求点的轨迹方程的方法是解析几何中常用的方法；的方法是解析几何中常用的方法；同例同例2 2例例3、如图，设点、如图，设点A，B的坐标分别为的坐标分别为(-5,0),(5,0)。直线直线AM，BM相交于点相交于点

11、M，且它们的斜率之积是，且它们的斜率之积是 ，求点，求点M的轨迹方程。的轨迹方程。解：设点解：设点M的坐标为的坐标为(x,y)，因为点，因为点A的坐标是，所以直线的坐标是，所以直线 AM的斜率的斜率同理，直线同理，直线BM的斜率的斜率由已知有由已知有化简，得点化简，得点M的轨迹方程为的轨迹方程为小结：小结：求椭圆标准方程的方法求椭圆标准方程的方法一种方法：一种方法：二类方程二类方程:三个意识：三个意识：求美意识，求美意识， 求简意识，前瞻意识求简意识，前瞻意识分母哪个大，焦点就在哪个轴上分母哪个大，焦点就在哪个轴上平面内到两个定点平面内到两个定点F1，F2的距离的和等的距离的和等于常数（大于于

12、常数（大于F1F2）的点的轨迹）的点的轨迹标准方程标准方程不不 同同 点点相相 同同 点点图图 形形焦点坐标焦点坐标定定 义义a、b、c 的关系的关系焦点位置的判断焦点位置的判断xyF1 1F2 2POxyF1 1F2 2PO作作 业业第2题自主学习丛书 P30P32则a ，b ；则a ，b ；5346口答：则a ，b ；则a ，b 30b3a3表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是 . .(1,2)变式：已知方程 3.椭圆mx2+ny2=-mn(mn0)的焦点是 .若方程表示椭圆呢若方程表示椭圆呢? ?5 5：求适合下列条件的椭圆的标准方程：求适合下列条件的椭圆的标准方程：(2)焦点为焦点

13、为F1(0,3),F2(0,3),且且a=5.答案：(1)a= ,b=1,焦点在焦点在x x轴上轴上; ;(3)两个焦点分别是两个焦点分别是F1(2,0)、F2(2,0),且过且过P(2,3)点；点；(4)经过点经过点P(2,0)和和Q(0,3).小结：求椭圆标准方程的步骤：小结：求椭圆标准方程的步骤：定位：定位：确定焦点所在的坐标轴；确定焦点所在的坐标轴；定量：定量：求求a, b的值的值.6 6、若动点若动点P到两定点到两定点F1(4,0)， F2(4,0)的距离之和为的距离之和为8，则动点，则动点 P P的轨迹为（的轨迹为（ ） A. A. 椭圆椭圆 B. B. 线段线段F1F2 C. C

14、. 直线直线F1F2 D. D. 不存在不存在B B7：已知B，C是两个定点，|BC|=6，且三角形ABC的周长为16，求顶点A的轨迹方程解：1)建立直角坐标系：使x轴经过点B、C，使原点O与B、C重合B（-3，0），C（3，0）2)设A点的坐标为（x，y）由|AB|+|AC|+|BC|=16，|BC|=6，即|AB|+|AC|=10BC（用轨迹法）（用轨迹法）O化简可得方程：A当点当点A在直线在直线BC上，即上，即y=0时，时，A、B、C三点不能构成三角形三点不能构成三角形所以所以A 点的轨迹方程为：点的轨迹方程为：（y0）xy7：已知B，C是两个定点，|BC|=6，且三角形ABC的周长为1

15、6，求顶点A的轨迹方程分析：1，由三角形ABC的周长是16，可得：|AB|+|AC|+|BC|=16，即|AB|+|AC|=102，必须建立适当的坐标系，确定椭圆的形式BCA7：已知B，C是两个定点，|BC|=6，且三角形ABC的周长为16，求顶点A的轨迹方程解：建立直角坐标系，使x轴经过点B，C，使原点O与BC的中点重合，B（-3，0），C（3，0）由|AB|+|AC|+|BC|=16，|BC|=6，即|AB|+|AC|=10所以点A的轨迹是椭圆设方程为：椭圆方程为：当点当点A在直线在直线BC上，即上，即y=0时，时，A、B、C三点不能构成三角形三点不能构成三角形所以所以A 点的轨迹方程为：

16、点的轨迹方程为：（y0）BCAxy 8、 已知圆已知圆A：(x3)2y2100，圆，圆A内一内一定点定点B(3，0)，圆，圆P过过B点且与圆点且与圆A内切，求圆心内切，求圆心P的轨迹方程的轨迹方程解解：设：设PBr圆圆P与圆与圆A内切，圆内切，圆A的半径为的半径为10两圆的圆心距两圆的圆心距PA10r，即即PAPB10(大于大于AB)点点P的轨迹是以的轨迹是以A、B两点为焦点的椭圆两点为焦点的椭圆2a10，2cAB6，a5，c3b2a2c225916即点即点P的轨迹方程为的轨迹方程为 1例：例： 椭圆椭圆 的左焦点为左焦点为F，直线x=m与椭圆椭圆相交于点A、B，当FAB的周长最大时，FAB的面积是.解：设椭圆椭圆的右焦点为E如图：由椭圆椭圆的定义得：FAB的周长：AB+AF+BF=AB+（2a-AE）+（2a-BE）=4a+AB-AE-BE；AE+BEAB；AB-AE-BE0，当AB过点E时取等号；AB+AF+BF=4a+AB-AE-BE4a；即直线x=m过椭圆椭圆的右焦点E时FAB的周长最大；此时FAB的高为：EF=2c此时直线x=m=c=1；把x=1代入椭圆椭圆的方程得：AB=3所以：FAB的面积等于：SFAB=3考点：本题主要考查椭圆椭圆的定义及几何性质，三角形面积计算。