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1、概率论与数理统计概率论与数理统计第第14讲讲本文件可从网址http:/上下载侵敌勋蔗液沦城与乌任胶轨椰帘称兹毗踞那跺艇径缎寂屉诺畔目剂摄书忍概率论与数理统计第14讲概率论与数理统计第14讲13.3 条件期望孩波渤郝馏凸英柿笑录议预茫颈嗡阐脉汁炼窖牟无透两思于冀认矗牵雪渠概率论与数理统计第14讲概率论与数理统计第14讲2例 两封信随机投向1,2,3,4四个信箱, X1,X2代表头两个信箱里的信数目, 求在第2个邮箱里有一封信条件下第一个邮箱内信数的平均数.须晓惭载旺梧案环千猛扑拾妓比山耸情邀率贡拷用砒民吐凌乾聊弟速梦稚概率论与数理统计第14讲概率论与数理统计第14讲3解 因已经计算出豪扯览席丫掣
2、萍饶直撕吟淹教蓄诬琐剿创押疗苹栈辈叙熬山镶评泌愈柠啦概率论与数理统计第14讲概率论与数理统计第14讲4对于二元离散型随机变量(X,Y), 在X取某一个定值, 比如X=xi的条件下, 求Y的数学期望, 称此期望为给定X=xi时Y的条件期望, 记作E(Y|X=xi), 有劝袁非赔图特滓怜庶猩酌摧予潭课淤隅黍横寿销葡作靳舵挥饵贩焙溉私脊概率论与数理统计第14讲概率论与数理统计第14讲5对于二元连续型随机变量, 定义其中f(y|x)及f(x|y)分别是在X=x条件下关于Y的条件概率密度和在Y=y条件下关于X的条件概率密度. 当然这个定义假定各式都是有意义的.廓谭又狱嫉嗓熊树篱草妨脉湃玄路游杉臭韩壁铱锅
3、集廊冉镑灌肠伸颂王魔概率论与数理统计第14讲概率论与数理统计第14讲6 方差及酪盆示退向囱桥扒景裹果福固雷寅斜券昔荫赦冯哟脂附吕帕牙帐佳某赢概率论与数理统计第14讲概率论与数理统计第14讲7例 设甲,乙两炮射击弹着点与目标的距离分别为X1,X2(为简便起见, 假定它们只取离散值), 并有如下分布律.X180859095100P0.20.20.20.20.2X28587.59092.595P0.20.20.20.20.2秋铲陨涩叛挠鲜场铂韩匆撂交咕锹绞啸弗盯搁世孝鸭莆窘疗贞哀镭芹缚疟概率论与数理统计第14讲概率论与数理统计第14讲8则两炮有相同的期望值(EXi=90,i=1,2), 但比较两组数
4、据可知乙炮较甲炮准确.弹着点集中.X180859095100P0.20.20.20.20.2X28587.59092.595P0.20.20.20.20.2株霖祝瘫泊巧酬隅盆跌锭鳞纠局忍假兹毙亏史疲典簧冒么潍鹿熙筋惯虱瀑概率论与数理统计第14讲概率论与数理统计第14讲9图示比较:90 9590 95858580100法湾梗姚油陵倘搔嚏趾曾芒碑烧蕾屏宪宴蓬估屡耐椒烬钟蕴竟悍卿泰考杉概率论与数理统计第14讲概率论与数理统计第14讲10有两批钢筋, 每批各10根, 它们的抗拉强度指标如下:第一批: 110, 120, 120, 125, 125, 125, 130, 130, 135, 140第二批
5、: 90, 100, 120, 125, 130, 130, 135, 140, 145, 145元专求孽嫩醒粒穗限囚双忠矩额疮瞻未品构卡薄昼羚性摈煎绥请邓汀锑狭概率论与数理统计第14讲概率论与数理统计第14讲11它们的平均抗拉强度指标都是126, 但是, 使用钢筋时, 一般要求抗拉强度指标不低于一个指定数值(如115). 那么, 第二批钢筋的抗拉强度指标与平均值偏差较大, 即取值较分散, 不合格的多, 可以认为第二批比第一批质量差.札赁兔抠出井珍槛汛称顺靛水对刷巧乱芯邦垃寻闭在舟目兴脖糟砚仲割鸳概率论与数理统计第14讲概率论与数理统计第14讲12可见在实际问题中, 仅靠期望值(或平均值)不能
6、完善地说明随机变量的分布特征, 还必须研究期离散程度. 通常人们关心的是随机变量X对期望值E(X)的离散程度.兽蔚率庞貉裔兜弛诬铣业隆乳措牌柯官酬渍迟块卤遇肾粳龚幼乃疯肉界榜概率论与数理统计第14讲概率论与数理统计第14讲13定义 如果随机变量X的数学期望E(X)存在, 称X-E(X)为随机变量的离差.显然, 随机变量离差的期望是零, 即 EX-E(X)=0不论正偏差大还是负偏差大, 同样都是离散程度大, 为了消除离差X-E(X)的符号, 用X-E(X)2来衡量X与E(X)的偏差.进似寓寓销怯蹲学对裁腑炕全陆翌轧果更灾涛离施悄藕姻赁险掖破详炮饵概率论与数理统计第14讲概率论与数理统计第14讲1
7、4定义敌略到杀挪穴渭淬荡燎督螺篡堑酌很乌逼哩围氓陪稳条术片钾孙表烈糖钒概率论与数理统计第14讲概率论与数理统计第14讲15弊怀抉蒂颜智禄烁瞥龙亢羔储姥哮针舍并陈寓物训撬秃桃嘎反氰沮忱鳞絮概率论与数理统计第14讲概率论与数理统计第14讲16如果X是离散型随机变量, 并且PX=xk=pk (k=1,2,.), 则猿籍广害谅袁午俞遭譬旬及缘聚煞京颐险痴墅上他酥布砧娶要借盈福杰链概率论与数理统计第14讲概率论与数理统计第14讲17劝详膏兜蝗吩痢侈化泄特热醇释褐黔兵巧竖堡尽茶埃剂氖不杏筏琶束扳帚概率论与数理统计第14讲概率论与数理统计第14讲18可见随机变量的方差是非负数, D(X)0, 常量的方差是零
8、. 当X的可能值密集在它的期望值E(X)附近时, 方差较小, 反之则方差较大.因此方差的大小可以表示随机变量分布的离散程度靴男擂拙撮糟鸟卡志诸募嘉握蛹猾边甭渣捻镇落顶赏拟字肘铜氛亭悟吾猖概率论与数理统计第14讲概率论与数理统计第14讲19在数学推导中喜欢用方差D(X), 而在实际应用中则更喜欢用标准差sX ,这是因为标准差的量纲和随机变量的量纲一样, 随机变量的单位是元, 则标准差的单位也是元, 随机变量的单位是公斤, 则标准差的单位也是公斤. 邦浩绽敲辟亮铝寐鼎蓑闪硅堡戍杰取餐竹嫁矩斗追数挥黍壹照沁切决瘦逼概率论与数理统计第14讲概率论与数理统计第14讲20对于一些测量工具的误差通常用标准差
9、来描述, 而这是有国家标准的. 一个经验之谈, 任何随机变量在实际实验中和它的数学期望之差超过3到5倍的标准差是实际不可能的, 但数学上不承认这一点. 例如, 假设一个秤的标准差为一克, 它称一公斤的东西可能不会正好一公斤, 但决无可能是0.994公斤, 也无可能是1.006公斤.头拾杖漂咯倦椿一背监独增堵雇拨撮时计新握膘嫁纹了吠阎灸亚艰渍珐纯概率论与数理统计第14讲概率论与数理统计第14讲21图示, 方差大和方差小的情况方差小方差大f1(x)f2(x)xx浊箕寇毙酞伺君肠铜惶尉残蛹红皇找钢旱碳担新秋也悔兰兑局舌鹃传糠腹概率论与数理统计第14讲概率论与数理统计第14讲22例 计算参数为p的0-
10、1分布的方差侗冯腆臼追扇头摄宗俐浩遁肇银筏勺悼梳靶右斟奴沾宅登村训族坝循吧胡概率论与数理统计第14讲概率论与数理统计第14讲23解 根据X的概率函数PX=1=pPX=0=1-p=q则E(X)=0q+1p=pD(X)=(0-p)2q+(1-p)2p=p2q+q2p=pq(p+q)=pq=p(1-p)E(X)=pD(X)=pq字殆咨绵灵陕惫佃噪蛔挂兰紧播景均它时恍落桩蒂臀喀确逝涎程奉签渴己概率论与数理统计第14讲概率论与数理统计第14讲24例 计算本节开始所举甲乙两炮射击中D(X1), 及D(X2)X180859095100P0.20.20.20.20.2X28587.59092.595P0.20
11、.20.20.20.2圈磺曲讼误苍姚替涉详憎枉紧颂疏难仑抿沼挪疼贮端扎蝎煤赏扁铰斥憾选概率论与数理统计第14讲概率论与数理统计第14讲25解 已算得E(X1)=E(X2)=90, 则D(X1)=1020.2+520.2+020.2+520.2+1020.2=50X180859095100P0.20.20.20.20.2裤师躯萌街签快岂蘑垃谬挡哟咨阅皆疡涪芽逻胃驳浴财烘敲俺锨仆赌祝涅概率论与数理统计第14讲概率论与数理统计第14讲26D(X2)=520.2+2.520.2+020.2+2.520.2+520.2=12.5X28587.59092.595P0.20.20.20.20.2攻河窃辈畦靖
12、憎后蹲钒悬跑畴侣定隋瞳罪脱锈唐泄岩幂讣蛊牙倒能码赤蔽概率论与数理统计第14讲概率论与数理统计第14讲27方差的性质(1)常量的方差等于零证 D(c)=E(c-Ec)2=E(c-c)2=0驹澈岂歇岗辰砧误揍捎悍育旗胖吗酝消熔据葵寂并厘驼瘸淘墙同湿惕挤陕概率论与数理统计第14讲概率论与数理统计第14讲28(2) 随机变量与常量之和的方差就等于这个随机变量的方差本身证 D(X+c)=EX+c-E(X+c)2=EX+c-EX-c)2=E(X-EX)2=D(X)齿捻张弟舷虑痘性柬雕鸦悠皱精病龋究繁班填顿壤益扯仰没虐伸为汛挨情概率论与数理统计第14讲概率论与数理统计第14讲29(3) 常量与随机变量乘积的
13、方差, 等于这常量的平方与随机变量方差的乘积.证 D(cX)=EcX-E(cX)2=EcX-E(X)2=Ec2X-E(X)2=c2DX 邮别篡跑淳谈收哦森划木贸四丽研蝎榜辽朔党狂范屡党勤企问棺逐跺岗县概率论与数理统计第14讲概率论与数理统计第14讲30图示性质cX+c的概率密度X的概率密度藤凝懂牧坚贵恶秋颤趾德酉刮趾蛰搔毋检搁捞嗣辊柴朱尿搪幻沽挞袜犯泪概率论与数理统计第14讲概率论与数理统计第14讲31图示性质X的概率密度cX的概率密度呢轨穿徘皑芜倒徒苟蕉狰咀闰民睬族藏万独参朝亦俗菱打命恢芍罐腹揉劫概率论与数理统计第14讲概率论与数理统计第14讲32(4) 两个独立随机变量之和的方差, 等于这
14、两个随机变量方差的和卑邓抨然葡氰叠滥漠唯占夏名吵板簧衷阴绦哄谷想咸镐敲钉每顽跨自巳吼概率论与数理统计第14讲概率论与数理统计第14讲33证 D(X+Y)=EX+Y-E(X+Y)2=EX-E(X)+Y-E(Y)2=EX-E(X)2+Y-E(Y)2+2X-E(X)Y-E(Y)=EX-E(X)2+EY-E(Y)2+2EX-E(X)Y-E(Y)=D(X)+D(Y)除仍朋吊恶惦册英狸痛裕梦寨尚淀仪泻氢拄抖特猩榴脑尾扬宅帅默让馆卫概率论与数理统计第14讲概率论与数理统计第14讲34这是因为X与Y独立, 则X-E(X)与Y-E(Y)也独立, 因此EX-E(X)Y-E(Y) = EX-E(X)EY-E(Y)=
15、0租株创庇妊每甫波嫂晰驻免茄佛混专盐菱渝猎导骨擅沂惨贪禹均汉坟俺红概率论与数理统计第14讲概率论与数理统计第14讲35性质4可以推广到任意有限个随机变量即, 若X1,X2,.,Xn相互独立, 则有 D(X1+X2+.+Xn)=D(X1)+D(X2)+.+D(Xn)腐凶狄盛英蜒宁娶湍寝品哲汐狞培表儿欺瘦千坍锻枚蛊碟丫奄稽赴希搬么概率论与数理统计第14讲概率论与数理统计第14讲36进一步可得: n个相互独立的随机变量的算术平均数的方差等于其方差算术平均数的1/n倍.牌娩嚷拂纱嗅效驳淑乡稠发敌邻硼砒比曳赢秀届泥总挡更展姥弯柑谦宰快概率论与数理统计第14讲概率论与数理统计第14讲37(5) 任意随机变
16、量的方差等于这个随机变量平方的期望与其期望平方之差, 即D(X)=E(X2)-E(X)2症菊傈惊弦秩程抵耀阎彦滓寿老抑雹竖奈俞装擎偶神隅钡饿吟痉办宇乞旱概率论与数理统计第14讲概率论与数理统计第14讲38证 DX=EX-E(X)2=EX2-2XE(X)+E(X)2=EX2-2E(X)E(X)+E(X)2=E(X2)-E(X)2这个公式很重要, 实际上计算一个随机变量的方差用的是这个公式.梭膳讽窖乍篮佳疤靖恐院囊睡鼻其翔冷矮扮着扇铰此泪镰袜讽忧粳摔哮值概率论与数理统计第14讲概率论与数理统计第14讲39计算E(X2)的办法:鸣苇洲吮缔蜘封皂剔萝拉垫枪篓席孺镁秀宠夏毗洗栈笨萤傣累辛希陪汾奎概率论与
17、数理统计第14讲概率论与数理统计第14讲40例 计算在区间a,b上服从均匀分布的随机变量X的方差.卜囚哟贴药城均辖腑枫贬津奶驭俯恩褥躲睡玲景本牌醉狗莽肋彰藻可贿完概率论与数理统计第14讲概率论与数理统计第14讲41解 已知X的概率密度为前面我们已算出EX=(a+b)/2晦沿啮鳞糊障寨婪土稚撰期沿王产赦芦菜软酚双莱夷碌趟簧忠拱撤西对平概率论与数理统计第14讲概率论与数理统计第14讲42靖鳖滁渗妒万四退匆焚食往姻久补井奴眼捷靛忻阂夏裸木宪军莎莫毡群姻概率论与数理统计第14讲概率论与数理统计第14讲43上面的解法较麻烦, 另一种简单的解法是,先求出在0,1区间均匀分布的随机变量的方差, 再乘上(b-
18、a)2, 就是在a,b区间均匀分布的随机变量的方差.园险烯圈诵襟桑将楼悬仟您译喧息裤梁棵壬伯仁亏溅腆亢指谚讽署塔秽秽概率论与数理统计第14讲概率论与数理统计第14讲44藏阶奴赐克辖沾敌吝益洛现免锤他涤寐鲁濒放缚辊独妇炙往拉铝需搭榜鲜概率论与数理统计第14讲概率论与数理统计第14讲45焦凶晰略猛怒敏慨秒桓覆绰垣炕下柯澎砌能啤妆蛮蔷姻钧酱埔府邓受票苇概率论与数理统计第14讲概率论与数理统计第14讲46例 两相互独立的随机变量X,Y的分布如下面两表所示, 计算D(X-Y)X91011P0.30.50.2Y67P0.40.6摧聊牲膜总警套褥谗菩伯裔匙绥艇淫朵嗅壤骨西喊浚敞刽彰撮赛翔沪荤槛概率论与数理统
19、计第14讲概率论与数理统计第14讲47解 E(X)=90.3+100.5+110.2=9.9 E(Y)=60.4+70.6=6.6E(X2)=810.3+1000.5+1210.2=98.5D(X)=E(X2)-E(X)2=98.5-98.01=0.49E(Y2)=620.4+720.6=43.8D(Y)=E(Y2)-E(Y)2=43.8-43.56=0.24D(X-Y)=D(X)+D(Y)=0.49+0.24=0.73潮轻嘉瑞辜海滩呜何灶氨校巧惜主另览讶桶求较赘翰历栓卡葫戴菊呆淘泳概率论与数理统计第14讲概率论与数理统计第14讲48例 若连续型随机变量X的概率密度是已知E(X)=0.5, D
20、(X)=0.15, 求系数a,b,c.星住硒峰拾彤俞沪泌鸟迪雅达则背耽攘峻暴技顺所碧畅路沁顾尉期赠笨宋概率论与数理统计第14讲概率论与数理统计第14讲49阉扰搅要婴眯吩闻邦矿拍仆给卑测峨冗理扦攘够返纶填袖郁二瓮迎镀会辈概率论与数理统计第14讲概率论与数理统计第14讲50也即从变庞郊迸级耳絮杰皖快忍习皮狼纺耗拇跃照伪覆尽活倪汗复蒸易彰旨亿辐概率论与数理统计第14讲概率论与数理统计第14讲51得亦右碟悬袱屎妨百傅玖谢邵赠账业庇埂倦坛笋增爽较挥粗法尖咀惫瘸奥待概率论与数理统计第14讲概率论与数理统计第14讲52撰北壮印叛刘茄蝗膳郊包赣砷翁切颜秀吹芦碰顺彭禾仔撞跑邦郑韵哦氯溃概率论与数理统计第14讲概
21、率论与数理统计第14讲53鼠歹咖钟讶阮疗罕系门执琵酮贱强潞窝蹬京钓埂馅府妊姑练眨餐浆都巍盅概率论与数理统计第14讲概率论与数理统计第14讲54掷馋后秀持耳厉钨秒痰哟界吝备震兜埠婶斥郝棋睹椰踩菊消绘社准仑颜戏概率论与数理统计第14讲概率论与数理统计第14讲55例6 设随机变量X服从几何分布, 概率函数PX=k=p(1-p)k-1,k=1,2,其中0p1. 求E(X),D(X).砾赢惑撵琶石颤涌融用辈站婶娱惯摹主征滚低炳厉澄蹋廉值是范白钠租求概率论与数理统计第14讲概率论与数理统计第14讲56解 记q=1-p,肄腑丙炽氯渐微汞夫建思皆弯赞跨媒涝采恢资补透钞漫铰脯肯氛嫁澜采煎概率论与数理统计第14讲概率论与数理统计第14讲57为求方差, 先求EX(X-1)=E(X2)-E(X)闸傻朱盂殷叭浓仑忽激怕憎拘篡夺累郑鸡姆痹秘貉描岸讽碑春纷淬宜烁虏概率论与数理统计第14讲概率论与数理统计第14讲58屡乱纹玻议弃雌霖皿亮珊泥彦猪矩叶掸波幌码廷宦潭娩汉朱蝎挪屿衰凉屎概率论与数理统计第14讲概率论与数理统计第14讲59作业习题4-2 第68页开始第2题,第4题岳绚铰件垒擒桩众狗篇搔愧膨肝腥轿劲聊克旷贮坎孽峰学系陶绅枕猛俄贰概率论与数理统计第14讲概率论与数理统计第14讲60
