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1、1.2.3 1.2.3 特征函数与矩函数的关系特征函数与矩函数的关系数学期望或数学期望或数学期望或数学期望或一阶原点矩一阶原点矩一阶原点矩一阶原点矩1青苗辅导1n n n n阶原点矩阶原点矩阶原点矩阶原点矩说明矩函数可由特征函数唯一地确定说明矩函数可由特征函数唯一地确定说明矩函数可由特征函数唯一地确定说明矩函数可由特征函数唯一地确定2青苗辅导1泰勒级数泰勒级数泰勒级数泰勒级数麦克劳林级数麦克劳林级数麦克劳林级数麦克劳林级数3青苗辅导1特征函数由各阶矩函数唯一地确定特征函数由各阶矩函数唯一地确定特征函数由各阶矩函数唯一地确定特征函数由各阶矩函数唯一地确定矩生成函数矩生成函数矩生成函数矩生成函数第
2、二特征函数也称为累积量生成函数第二特征函数也称为累积量生成函数第二特征函数也称为累积量生成函数第二特征函数也称为累积量生成函数4青苗辅导15青苗辅导1数学期望为零的高斯变量的前数学期望为零的高斯变量的前数学期望为零的高斯变量的前数学期望为零的高斯变量的前三阶矩与相应阶的累积量相同三阶矩与相应阶的累积量相同三阶矩与相应阶的累积量相同三阶矩与相应阶的累积量相同6青苗辅导11.3 1.3 随机信号实用分布律随机信号实用分布律一、均匀分布一、均匀分布一、均匀分布一、均匀分布概率密度概率密度概率密度概率密度7青苗辅导1概率分布函数概率分布函数概率分布函数概率分布函数概率密度概率密度概率密度概率密度8青苗
3、辅导1二、高斯分布（正态分布）二、高斯分布（正态分布）1 1 1 1、一维高斯分布、一维高斯分布、一维高斯分布、一维高斯分布高斯变量的一维概率分布律唯一地由数学期高斯变量的一维概率分布律唯一地由数学期高斯变量的一维概率分布律唯一地由数学期高斯变量的一维概率分布律唯一地由数学期望和方差决定。望和方差决定。望和方差决定。望和方差决定。高斯变量的概率密度高斯变量的概率密度高斯变量的概率密度高斯变量的概率密度9青苗辅导1归一化后的高归一化后的高归一化后的高归一化后的高斯变量的数学斯变量的数学斯变量的数学斯变量的数学期望为零、方期望为零、方期望为零、方期望为零、方差为差为差为差为1 1 1 1。归一化高
4、斯变量或标准高斯变量归一化高斯变量或标准高斯变量归一化高斯变量或标准高斯变量归一化高斯变量或标准高斯变量10青苗辅导1高斯变量的特点高斯变量的特点高斯变量的线性组合仍为高斯变量高斯变量的线性组合仍为高斯变量高斯变量的线性组合仍为高斯变量高斯变量的线性组合仍为高斯变量11青苗辅导1如果如果如果如果n n n n个独立随机变量的分布是相同的，并且具有有个独立随机变量的分布是相同的，并且具有有个独立随机变量的分布是相同的，并且具有有个独立随机变量的分布是相同的，并且具有有限的数学期望和方差，当限的数学期望和方差，当限的数学期望和方差，当限的数学期望和方差，当n n n n无穷大时，它们之和的分无穷大
5、时，它们之和的分无穷大时，它们之和的分无穷大时，它们之和的分布趋近于高斯分布。即使布趋近于高斯分布。即使布趋近于高斯分布。即使布趋近于高斯分布。即使n n n n个独立随机变量不是相同个独立随机变量不是相同个独立随机变量不是相同个独立随机变量不是相同分布的，当分布的，当分布的，当分布的，当n n n n无穷大时，如果满足任意一个随机变量无穷大时，如果满足任意一个随机变量无穷大时，如果满足任意一个随机变量无穷大时，如果满足任意一个随机变量都不占优势或对和的影响足够小，那么它们之和的都不占优势或对和的影响足够小，那么它们之和的都不占优势或对和的影响足够小，那么它们之和的都不占优势或对和的影响足够小
6、，那么它们之和的分布仍然趋于高斯分布。（分布仍然趋于高斯分布。（分布仍然趋于高斯分布。（分布仍然趋于高斯分布。（中心极限定理中心极限定理中心极限定理中心极限定理）对于高斯变量来说，不相关和统计独立是等阶的。对于高斯变量来说，不相关和统计独立是等阶的。对于高斯变量来说，不相关和统计独立是等阶的。对于高斯变量来说，不相关和统计独立是等阶的。12青苗辅导12 2、二维高斯分布、二维高斯分布13青苗辅导13 3、多维高斯分布、多维高斯分布14青苗辅导1三、 分布Y Y Y Y的概率密度为的概率密度为的概率密度为的概率密度为: : : :15青苗辅导1Y的数学期望和方差为:16青苗辅导1Y Y Y Y的
7、概率密度为：的概率密度为：的概率密度为：的概率密度为：Y Y的数学期望和方差为：的数学期望和方差为：17青苗辅导1 分布的一条重要的性质18青苗辅导1四、瑞利分布和莱斯分布四、瑞利分布和莱斯分布1 1 1 1、瑞利分布、瑞利分布、瑞利分布、瑞利分布19青苗辅导12 2、莱斯分布、莱斯分布R R R R的概率密度为：的概率密度为：的概率密度为：的概率密度为：20青苗辅导121青苗辅导1基于基于基于基于MATLABMATLAB的随机变量的产生和运算的随机变量的产生和运算的随机变量的产生和运算的随机变量的产生和运算 0-10-1分布的随机变量可以通过掷硬币实验产分布的随机变量可以通过掷硬币实验产分布
8、的随机变量可以通过掷硬币实验产分布的随机变量可以通过掷硬币实验产生，正态分布的随机变量可以通过噪声二生，正态分布的随机变量可以通过噪声二生，正态分布的随机变量可以通过噪声二生，正态分布的随机变量可以通过噪声二极管实验电路产生。极管实验电路产生。极管实验电路产生。极管实验电路产生。 通过物理实验装置获得随机变量通过物理实验装置获得随机变量通过物理实验装置获得随机变量通过物理实验装置获得随机变量 利用计算机模拟产生某种分布的随机数非常方便与准利用计算机模拟产生某种分布的随机数非常方便与准利用计算机模拟产生某种分布的随机数非常方便与准利用计算机模拟产生某种分布的随机数非常方便与准确，几乎所有的计算机
9、程序语言与仿真都配备有产生确，几乎所有的计算机程序语言与仿真都配备有产生确，几乎所有的计算机程序语言与仿真都配备有产生确，几乎所有的计算机程序语言与仿真都配备有产生随机数的措施。随机数的措施。随机数的措施。随机数的措施。 计算机计算出来的随机数为伪随机数计算机计算出来的随机数为伪随机数计算机计算出来的随机数为伪随机数计算机计算出来的随机数为伪随机数 可作随机数使用可作随机数使用可作随机数使用可作随机数使用 22青苗辅导1chi2statchi2cdfchi2pdfchi2rnd 分布分布raylstatraylcdfraylpdfraylrnd瑞利分布瑞利分布normstatnormcdfno
10、rmpdfnormrnd正正态分布分布expstatexpcdfexppdfexprnd指数分布指数分布unifstatunifcdfunifpdfunifrnd均匀分布均匀分布unidstatunidcdfunidpdfunidrnd离散均匀分布离散均匀分布poissstatpoisscdfpoisspdfpoissrnd泊松分布泊松分布binostatbinocdfbinopdfbinornd二二项分布分布均均值与方差与方差概率分布函数概率分布函数值概率密度函数概率密度函数值产生随机数生随机数分布名称分布名称产生随机数及其统计特性的产生随机数及其统计特性的产生随机数及其统计特性的产生随机数
11、及其统计特性的MATLABMATLAB函数函数函数函数 23青苗辅导1clearx=randn(1,6); y=normrnd(2,sqrt(0.5),1,6); mx=mean(x); my=mean(y); vx=cov(x); vy=cov(y); sdx=std(x); sdy=std(y); r=corrcoef(x,y); disp(N(0,1)随机数随机数x,均值均值,方差方差,标准差标准差)disp(x),disp(mx),disp(vx),disp(sdx)disp(N(2,0.5)随机数随机数y,均值均值,方差方差,标准差标准差)disp(y),disp(my),disp(
12、vy),disp(sdy)disp(两随机变量两随机变量x与与y的相关系数的相关系数)disp(r) 分别用不同的命令分别用不同的命令分别用不同的命令分别用不同的命令产生两个正态随机产生两个正态随机产生两个正态随机产生两个正态随机变量变量变量变量 和和和和 是是是是 每个变每个变每个变每个变量由量由量由量由1 1 1 16 6 6 6的随机数的随机数的随机数的随机数构成。试用构成。试用构成。试用构成。试用MATLABMATLABMATLABMATLAB程序实现获得每个程序实现获得每个程序实现获得每个程序实现获得每个随机变量的均值、随机变量的均值、随机变量的均值、随机变量的均值、方差、标准差和这
13、方差、标准差和这方差、标准差和这方差、标准差和这两个随机变量的相两个随机变量的相两个随机变量的相两个随机变量的相关系数，并分析这关系数，并分析这关系数，并分析这关系数，并分析这两个随机变量的相两个随机变量的相两个随机变量的相两个随机变量的相关性。关性。关性。关性。 24青苗辅导1N(0,1)N(0,1)的随机数的随机数的随机数的随机数x, x,均值均值均值均值, ,方差方差方差方差, ,标准差标准差标准差标准差 -2.1707 -0.0592 -1.0106 0.6145 0.5077 1.6924-2.1707 -0.0592 -1.0106 0.6145 0.5077 1.6924 -0.
14、0710 -0.0710 1.8412 1.8412 1.3569 1.3569N(2,0.5)N(2,0.5)的随机数的随机数的随机数的随机数y, y,均值均值均值均值, ,方差方差方差方差, ,标准差标准差标准差标准差 2.4181 1.5449 2.2689 1.2864 1.9862 1.96592.4181 1.5449 2.2689 1.2864 1.9862 1.9659 1.9118 1.9118 0.1836 0.1836 0.4285 0.4285两随机变量两随机变量两随机变量两随机变量x x与与与与y y的相关系数的相关系数的相关系数的相关系数 1.0000 -0.582
15、41.0000 -0.5824 -0.5824 1.0000 -0.5824 1.0000 25青苗辅导1clear, clear, close allclose allx=-1:0.1:7;x=-1:0.1:7;m=3; sd=sqrt(0.5);m=3; sd=sqrt(0.5);f=normpdf(x,m,sd);f=normpdf(x,m,sd);y=normcdf(x,m,sd);y=normcdf(x,m,sd);plot(x,f,-,x,y,-k), gridplot(x,f,-,x,y,-k), gridaxis(-2 8 -0.1 1.1)axis(-2 8 -0.1 1.1)title(title(正态分布统计特性曲线正态分布统计特性曲线) )legend(legend(概率密度曲线概率密度曲线, ,概率分布曲线概率分布曲线,2) ,2) 编写编写编写编写MATLABMATLAB程序程序程序程序, ,绘出绘出绘出绘出 的概率密度和分布函数图形的概率密度和分布函数图形的概率密度和分布函数图形的概率密度和分布函数图形26青苗辅导1
