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1、5.1 5.1 5.1 5.1 量纲分析量纲分析量纲分析量纲分析1. 1. 量纲分析基础量纲分析基础 量纲量纲用以度量物理量单位的种类，用用以度量物理量单位的种类，用dim表示表示 。代表被测。代表被测物理量单位种类的一种符号，从符号可以看出它们的属性。物理量单位种类的一种符号，从符号可以看出它们的属性。基本量纲基本量纲国际单位制中国际单位制中7个基本物理量的量纲。个基本物理量的量纲。 L、M、t、T、E、C、N量纲公式量纲公式。a, b, c为量纲指数，量纲指数全为零时，为量纲指数，量纲指数全为零时，B为无量纲量。无量纲量的值不随单位制改变为无量纲量。无量纲量的值不随单位制改变量纲分析和相似
2、原理是指导实验设计和理论基础量纲分析和相似原理是指导实验设计和理论基础流体力学的常用基本量纲为流体力学的常用基本量纲为L、M、t，其它任意物理，其它任意物理量量B的量纲可以用三个基本量纲的指数乘积的形式表示出来的量纲可以用三个基本量纲的指数乘积的形式表示出来5-11流体力学常用物理量的量纲流体力学常用物理量的量纲5.1 5.1 5.1 5.1 量纲分析量纲分析量纲分析量纲分析25.1 5.1 5.1 5.1 量纲分析量纲分析量纲分析量纲分析量纲齐次性原理量纲齐次性原理：完整物理方程中各项的量纲必须相同。：完整物理方程中各项的量纲必须相同。以单位重量的流体沿流线能量守恒形式的伯努利方程为例以单位
3、重量的流体沿流线能量守恒形式的伯努利方程为例方程左边各项的量纲依次为方程左边各项的量纲依次为对于量纲齐次的方程用方程中的任一项去除其它项，可以使方对于量纲齐次的方程用方程中的任一项去除其它项，可以使方程无量纲化，从而减少方程的变量个数。程无量纲化，从而减少方程的变量个数。32. 2. 定理（白金汉定理）定理（白金汉定理） 对于某个物理现象或过程，如果可以用对于某个物理现象或过程，如果可以用n个变量来描述，写个变量来描述，写成数学表达式为：成数学表达式为：f(x1,x2,x3,xn)=0, 而这些变量含有而这些变量含有m个基个基本量纲，则该现象可以用本量纲，则该现象可以用(n-m)个无量纲量数组
4、个无量纲量数组的表达式来描述，的表达式来描述，即即 F( 1, 2, n-m)=0无量纲量数组的组成方式：在无量纲量数组的组成方式：在n个变量中取个变量中取m个量纲不同的量作个量纲不同的量作为基本变量，并把基本变量与其它变量中的为基本变量，并把基本变量与其它变量中的一个一个组成数组，共组组成数组，共组成（成（n-m）个）个无量纲数组无量纲数组，例取，例取x1,x2,x3 为基本变量，则数组为：为基本变量，则数组为：.5.1 5.1 5.1 5.1 量纲分析量纲分析量纲分析量纲分析4应用白金汉定理求某现象的无量纲数组的方法步骤：应用白金汉定理求某现象的无量纲数组的方法步骤：（1）列与该物理现象相
5、关的全部）列与该物理现象相关的全部n个变量个变量（2）找出基本量纲，设为）找出基本量纲，设为m个个（3）从）从n个变量中选出包含全部基本量刚的个变量中选出包含全部基本量刚的m个基本变量个基本变量（4）用基本变量与其它的任一个变量组成无量纲方程，并解出）用基本变量与其它的任一个变量组成无量纲方程，并解出 n-m 个无量纲数组个无量纲数组（5）利用无量纲数组建立描述该现象的方程）利用无量纲数组建立描述该现象的方程【例例5-1】 不可压粘性流体在圆管道内流体流动的压降不可压粘性流体在圆管道内流体流动的压降 p与与下列因素有关：管径下列因素有关：管径d、管长、管长l、管壁粗糙度、管壁粗糙度 、管内流体
6、密度、管内流体密度 、流体的动力粘度流体的动力粘度 ，以及断面平均流速，以及断面平均流速v有关。试用有关。试用 定理推出定理推出压降压降 p的表达形式。的表达形式。5.1 5.1 5.1 5.1 量纲分析量纲分析量纲分析量纲分析55.1 5.1 5.1 5.1 量纲分析量纲分析量纲分析量纲分析【解解】（1）该流动现象共有）该流动现象共有7个变量个变量 p, d, l, , , , v（2）基本量刚为）基本量刚为L， M，t，所以，所以m=3（3）选出）选出m=3个基本变量：个基本变量： 、v 、d（4）组成）组成n-m=4个无量纲数组，求解个无量纲数组，求解将上述表达式写成量纲形式将上述表达式
7、写成量纲形式解得解得a1=-1, b1=-2,c1=0, 故故6解得解得a2=-1, b2=-1,c2=-1, 故故解得解得a3=0, b3=0,c3=-1, 故故解得解得a4=0, b4=0,c4=-1, 故故5.1 5.1 5.1 5.1 量纲分析量纲分析量纲分析量纲分析7（5）所解问题用无量纲数表示的方程为）所解问题用无量纲数表示的方程为5.1 5.1 5.1 5.1 量纲分析量纲分析量纲分析量纲分析上述公式还可以写成上述公式还可以写成对于给定长度和直径的管道对于给定长度和直径的管道进行适当的变换后有进行适当的变换后有令令则则达西公式。达西公式。 为沿程阻力系数。为沿程阻力系数。85.1
8、 5.1 5.1 5.1 量纲分析量纲分析量纲分析量纲分析3. 3. 定理的几点说明定理的几点说明（1）无量纲数组的特性）无量纲数组的特性 对于确定的物理现象，无量纲数组个数是固定的对于确定的物理现象，无量纲数组个数是固定的 但是形式上不是唯一的但是形式上不是唯一的 无量纲数的算术运算的结果无量纲数的算术运算的结果仍仍是无量纲数是无量纲数（2）作用在流体上的力）作用在流体上的力压力压力 惯性力惯性力黏性力黏性力重力重力 表面张力表面张力 弹性力弹性力 95.1 5.1 5.1 5.1 量纲分析量纲分析量纲分析量纲分析（3）流体力学中常见的无量纲数组）流体力学中常见的无量纲数组 雷诺数雷诺数 欧
9、拉欧拉数数 弗劳德弗劳德数数 韦伯韦伯数数105.1 5.1 5.1 5.1 量纲分析量纲分析量纲分析量纲分析 马赫马赫数数 毛细毛细数数（4）量纲分析的物理意义）量纲分析的物理意义u简化试验方案简化试验方案u物理量量纲的推导物理量量纲的推导u校验方程校验方程u确定相似试验条件确定相似试验条件115.2 5.2 5.2 5.2 相似原理与模型实验相似原理与模型实验相似原理与模型实验相似原理与模型实验 为使模型流动能表现出实型流动的主要现象和特性，并从为使模型流动能表现出实型流动的主要现象和特性，并从模型流动上预测出实型流动的结果，就必须使两者在流动上相模型流动上预测出实型流动的结果，就必须使两
10、者在流动上相似，即两个互为相似流动的对应部位上对应物理量都有一定的似，即两个互为相似流动的对应部位上对应物理量都有一定的比例关系。比例关系。（1）几何相似（空间相似）几何相似（空间相似）1. 1. 相似的概念相似的概念两流动的对应边长成同一比例，对应角相等。两流动的对应边长成同一比例，对应角相等。线性比例系数线性比例系数面积比例系数面积比例系数体积比例系数体积比例系数基本比例常数基本比例常数 12（2）时间相似）时间相似对应的时间间隔成比例对应的时间间隔成比例对图示的两种管内流动其平均速度变化的时间间隔成比例对图示的两种管内流动其平均速度变化的时间间隔成比例5.2 5.2 5.2 5.2 相似
11、原理与模型实验相似原理与模型实验相似原理与模型实验相似原理与模型实验13（3）运动相似）运动相似速度（加速度）场相似速度（加速度）场相似 在不同的流动空间中，对应点、对应时刻上的速度（加在不同的流动空间中，对应点、对应时刻上的速度（加速度）方向一致，大小成比例速度）方向一致，大小成比例速度比例常数速度比例常数加速度比例常数加速度比例常数流量比例常数流量比例常数基本比例常数基本比例常数 5.2 5.2 5.2 5.2 相似原理与模型实验相似原理与模型实验相似原理与模型实验相似原理与模型实验14（4）力相似）力相似力场的几何相似，作用在流体上的各种力的方向对应力场的几何相似，作用在流体上的各种力的
12、方向对应 一致，大小成比例。如图所示一致，大小成比例。如图所示力比例常数力比例常数密度比例常数密度比例常数基本比例常数基本比例常数 5.2 5.2 5.2 5.2 相似原理与模型实验相似原理与模型实验相似原理与模型实验相似原理与模型实验15用基本比例常数表示的其他比例常数用基本比例常数表示的其他比例常数质量比例常数质量比例常数力比例常数力比例常数压强比例常数压强比例常数运动粘度比例常数运动粘度比例常数动力粘度比例常数动力粘度比例常数5.2 5.2 5.2 5.2 相似原理与模型实验相似原理与模型实验相似原理与模型实验相似原理与模型实验162. 2. 相似原理相似原理 描述流体运动和受力关系的是
13、流体运动微分方程，两流动描述流体运动和受力关系的是流体运动微分方程，两流动要满足相似条件就必须同时满足该方程，并且单值条件必须相要满足相似条件就必须同时满足该方程，并且单值条件必须相似，包括几何条件、物理条件、边界条件、初始条件等。似，包括几何条件、物理条件、边界条件、初始条件等。【例例5-2】以不可压缩流体定常流动的以不可压缩流体定常流动的N-S微分方程为例导出微分方程为例导出相似准则。相似准则。【解解】N-S微分方程在微分方程在x方向上的投影为方向上的投影为与其相似的流动中流体质点的方程为与其相似的流动中流体质点的方程为(a) (b) 5.2 5.2 5.2 5.2 相似原理与模型实验相似
14、原理与模型实验相似原理与模型实验相似原理与模型实验17由相似准则必然有由相似准则必然有将（将（c）代入（）代入（b）,并整理后有并整理后有(c) (d) 式式 （a）和（）和（d）相比较有）相比较有 (e) 说明各相似倍数不是任意选取的，而是受上式约束的。说明各相似倍数不是任意选取的，而是受上式约束的。 5.2 5.2 5.2 5.2 相似原理与模型实验相似原理与模型实验相似原理与模型实验相似原理与模型实验18将式（将式（e）后三项分别去除第一项，则有）后三项分别去除第一项，则有 ，即，即，即，即，即，即不可压定常流相似，他们的弗劳德数、欧拉数、雷诺数必相等不可压定常流相似，他们的弗劳德数、欧
15、拉数、雷诺数必相等相似原理相似原理可表述为：两种流动现象相似的充分必要条件是：能可表述为：两种流动现象相似的充分必要条件是：能够用同一微分方程描述同一种类的现象；并且满足单值条件相够用同一微分方程描述同一种类的现象；并且满足单值条件相似；有单值条件中的物理量组成似；有单值条件中的物理量组成相似准则相似准则相等相等5.2 5.2 5.2 5.2 相似原理与模型实验相似原理与模型实验相似原理与模型实验相似原理与模型实验这些无量纲数组称为这些无量纲数组称为相似准则相似准则或或相似判据相似判据193. 3. 相似原理的应用相似原理的应用应用相似原理进行试验研究的步骤：应用相似原理进行试验研究的步骤：（
16、1）分析导出的相似准则，判断决定性准则）分析导出的相似准则，判断决定性准则（2）根据选定的相似准则设计实验方案）根据选定的相似准则设计实验方案（3）确定实验中要测量的物理量，测定相似准则中的物理量）确定实验中要测量的物理量，测定相似准则中的物理量（4）将实验结果换算到实物系统中）将实验结果换算到实物系统中 4. 4. 相似原理和量纲分析的比较相似原理和量纲分析的比较相似理论：相似理论：从微分方程出发导出无量纲数组从微分方程出发导出无量纲数组 得到的相似准则具有确定的物理意义得到的相似准则具有确定的物理意义量纲分析：量纲分析：对试验涉及的物理现象进行分析得到无量纲判据对试验涉及的物理现象进行分析
17、得到无量纲判据 通常不考虑无量纲数的物理意义，应用范围比相通常不考虑无量纲数的物理意义，应用范围比相 似理论要广泛似理论要广泛5.2 5.2 5.2 5.2 相似原理与模型实验相似原理与模型实验相似原理与模型实验相似原理与模型实验201. 1. 全面力学相似试验全面力学相似试验所有的相似准则都分别相等的相似试验所有的相似准则都分别相等的相似试验实际的工程应用中很难保证所有的相似准则都相等，例如粘实际的工程应用中很难保证所有的相似准则都相等，例如粘性不可压定常流动，要求模型和原型中的性不可压定常流动，要求模型和原型中的Re和和Fr同时相等同时相等即即 若采用的流动介质若采用的流动介质 相同，则相
18、同，则 为了保证为了保证Fr数相等数相等与保证与保证Re相等的条件矛盾相等的条件矛盾5.2 5.2 5.2 5.2 相似原理与模型实验相似原理与模型实验相似原理与模型实验相似原理与模型实验212. 2. 近似模化法近似模化法 在在重力重力起主要作用的流动中，使实物和模型的起主要作用的流动中，使实物和模型的Fr数相等数相等（1）弗劳德模化法）弗劳德模化法 抓主要矛盾，简化相似条件抓主要矛盾，简化相似条件适合于管内适合于管内粘性粘性流动的阻力损失的研究，保证流动的阻力损失的研究，保证Re数相等数相等（2）雷诺模化法）雷诺模化法适合于雷诺数很小或很大的适合于雷诺数很小或很大的“自模化自模化”流动，流
19、动与雷诺流动，流动与雷诺数关系不大，此时可只考虑压强与惯性力的比值数关系不大，此时可只考虑压强与惯性力的比值欧拉数欧拉数相相等。等。 （3）欧拉模化法）欧拉模化法 5.2 5.2 5.2 5.2 相似原理与模型实验相似原理与模型实验相似原理与模型实验相似原理与模型实验22【例例5-3】管径管径d=50mm的输油管，装有弯头、开关等局部的输油管，装有弯头、开关等局部阻力装置，安装前需要测定压强损失，在实验室用空气进行阻力装置，安装前需要测定压强损失，在实验室用空气进行试验。已知试验。已知20时油的密度时油的密度油油= = 889.6kg/m3;油的粘度油的粘度油油= 10-6m2/s;空气的密度
20、空气的密度气气= 1.2kg/m3;空气空气的的的粘度的粘度气气= 15.7x10-6m2/s。试确定。试确定（1）当输油管中油的流速为）当输油管中油的流速为2m/s时，时，实验室中空气在管内的流速为多少？（实验室中空气在管内的流速为多少？（2）通过空气测得管）通过空气测得管道压强损失道压强损失p气气=7747N/m2，油液通过输油管时的压强损失，油液通过输油管时的压强损失p油油为多少为多少？5.2 5.2 5.2 5.2 相似原理与模型实验相似原理与模型实验相似原理与模型实验相似原理与模型实验【解解】（1）管内流动粘性力起主要因素，雷诺数必须相等）管内流动粘性力起主要因素，雷诺数必须相等23
21、5.2 5.2 5.2 5.2 相似原理与模型实验相似原理与模型实验相似原理与模型实验相似原理与模型实验由于管道直径相同由于管道直径相同（2）要对压力进行相似，必须满足欧拉数相等）要对压力进行相似，必须满足欧拉数相等243. 3. 方程分析法方程分析法 利用描述物理现象的微分方程组和全部单值条件导出相似准则。利用描述物理现象的微分方程组和全部单值条件导出相似准则。常用的方程分析法有：相似转换法和方程无量纲化法常用的方程分析法有：相似转换法和方程无量纲化法（1）相似转换法）相似转换法 写出描述现象的基本微分方程和单值条件写出描述现象的基本微分方程和单值条件 写出相似倍数的表达式写出相似倍数的表达式 将相似倍数的表达式代入微分方程组进行相似转换将相似倍数的表达式代入微分方程组进行相似转换 根据流动相似，方程相同导出相似准则根据流动相似，方程相同导出相似准则（2）方程无量纲化法）方程无量纲化法 写出描述现象的基本微分方程写出描述现象的基本微分方程 所有变量无量纲化所有变量无量纲化 方程组无量纲化，导出相似准则方程组无量纲化，导出相似准则5.2 5.2 5.2 5.2 相似原理与模型实验相似原理与模型实验相似原理与模型实验相似原理与模型实验25
