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1、了解离散型随机变量期望值、方差的意义了解离散型随机变量期望值、方差的意义/会根据离散型会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差随机变量的分布列求出期望值、方差第第6161课时课时 离散型随机变量的期望和方差离散型随机变量的期望和方差1数学期望：数学期望：一一般地，若离散型随机般地，若离散型随机变量量的概率分布的概率分布为 则称称Ex1p1x2p2xnpn为的数学期望，的数学期望，简称期望称期望2方差方差： 对对于离散型随机于离散型随机变量量，如果它所有可能取的，如果它所有可能取的值是是x1，x2， xn，且取，且取这些些值的概率分的概率分别是是p1，p2，pn，那么，那么，D(x1 E)2
2、p1(x2E)2p2(xnE)2pn称称为随机随机变量量的均方的均方 差，差，简称称为方差，式中的方差，式中的E是随机是随机变量量的期望的期望x1x2xnPp1p2pn3期望的性质期望的性质：E(ab)aEb.4方差的性质方差的性质：(1)D(ab)a2D；(2)DE2(E)2.5二二项分布的期望、方差若分布的期望、方差若B(n，p)，则Enp，Dnp(1p)1设设随机随机变量量的取的取值为1,2,3,4.P(k)akb(k1,2,3,4)，又又的数学期望的数学期望E3，则ab_.答案：答案：2某某公司有公司有5万元万元资金用于投金用于投资开开发项目，如果成功，一年后可目，如果成功，一年后可获
3、利利12%；一一旦旦失失败，一一年年后后将将丧失失全全部部资金金的的50%.下下表表是是过去去200例例类似似项目目开开发的的实施施结果：果： 则该公司一年后估公司一年后估计可可获收益的期望是收益的期望是_元元 答案：答案：4 760投投资成功成功投投资失失败192次次8次次3已知已知 服从二服从二项分布，即分布，即B(100， )， 则E(23)_. 解析：解析：由已知由已知E100 50， E(23)2E3103. 答案：答案：1034(长沙市一中高三月考长沙市一中高三月考)某某计算机程序每运行一次都随机出现一个二进制的计算机程序每运行一次都随机出现一个二进制的6位位数数N，其中其中N的各
4、位数字中的各位数字中，n1n61，nk(k2,3,4,5)出出现0的概率的概率为 ，出出现1的概率的概率为 ，记n1n2n6，问4时的概率的概率为_，的数学期望是的数学期望是_解析解析：P(4) ，的数学期望是的数学期望是2P(2)3P(3)4P(4)5P(5)6P(6) 答案答案：1. 求离散型随机求离散型随机变量的期望关量的期望关键是写出离散型随机是写出离散型随机变量的分布列量的分布列 然后利用公式然后利用公式计算算2由由的期望方差求的期望方差求ab的期望方差是常考的期望方差是常考题之一，常之一，常见根据根据 期望和方差的性期望和方差的性质求解求解【例例1】 A、B两两个代表个代表队进行行
5、乒乓球球对抗抗赛，每，每队三名三名队员，A队队员是是A1、A2、A3，B队队员是是B1、B2、B3，按以往多次比，按以往多次比赛的的统计，对阵队员之之间的的胜负概率如下：概率如下：对阵队员A队队员胜的概率的概率A队队员负的概率的概率A1和和B1A2和和B2A3和和B3现按表中按表中对阵方式出方式出场胜队得得1分，分，负队得得0分，分，设A队，B队最后所得最后所得总分分分分别为，(1)求求，的概率分布；的概率分布；(2)求求E，E.解答：解答：(1)，的的可能取可能取值分分别为3,2,1,0.P(3) ，P(2) P(1) ，P(0) 根据根据题意意3，所以，所以P(0)P(3) ，P(1)P(
6、2) ，P(2)P(1) ，P(3)P(0) .(2)E ；因因为3，所以，所以E3E 变式变式1.甲甲、乙两、乙两队进行一行一场排球比排球比赛，根据以往，根据以往经验，单局比局比赛甲甲队胜乙乙队的概的概率率为0.6.本本场比比赛采用五局三采用五局三胜制，即先制，即先胜三局的三局的队获胜，比，比赛结束束设各局各局比比赛相互相互间没有影响令没有影响令为本本场比比赛的局数，求的局数，求的概率分布和数学期望的概率分布和数学期望(精确到精确到0.000 1)解答：解答：由由已知随机已知随机变量量的取的取值为3,4,5，P(3)0.630.430.28；P(4) 0.620.40.6 0.420.60.
7、40.374 4；P(5) 0.620.420.6 0.420.620.40.345 6.因此因此的概率分布列的概率分布列为：的期望的期望E30.2840.374 450.345 64.065 6.345P0.280.374 40.345 6二二项分布的期望和方差除了根据定分布的期望和方差除了根据定义去求，可利用公式求解去求，可利用公式求解若若B(n，p)，则Enp，Dnp(1p)【例例2】某某大大厦厦的的一一部部电梯梯从从底底层出出发后后只只能能在在第第18、19、20层停停靠靠若若该电梯梯在在底底层载有有5位乘客，且每位乘客在位乘客，且每位乘客在这三三层的每一的每一层下下电梯的概率均梯的概
8、率均为 ，用用表示表示这5位乘客在第位乘客在第20层下下电梯的人数，求：梯的人数，求：(1)随机随机变量量的分布列；的分布列；(2)随机随机变量量的期望的期望解答：解答：解法一解法一：(1)的的所有可能所有可能值为0,1,2,3,4,5.由等可能性事件的概率公式得由等可能性事件的概率公式得P(0) ，P(1) ，P(2) ，P(3) ，P(4)，P(5) .从而，从而，的分布列的分布列为：012345P(2)由由(1)得得的期望的期望为：E 解法二解法二：(1)考考察一位乘客是否在第察一位乘客是否在第20层下下电梯梯为一次一次试验，这是是5次独立重次独立重复复试验，故，故B(5， )，即有，即
9、有P(k) ，k0,1,2,3,4,5. 由此由此计算算的分布列如解法一的分布列如解法一(2)E .解法三解法三：(1)同同解法一或解法二解法一或解法二(2)由由对称性与等可能性，在三称性与等可能性，在三层的任一的任一层下下电梯的人数同分布，梯的人数同分布，故期望故期望值相等即相等即3E5，从而，从而E . 变式变式2. 2010年年广广州州亚运运组委委会会向向民民间招招募募防防暴暴犬犬，首首先先进行行入入围测试，计划划考考查三三类问题：体体能能；嗅嗅觉；反反应，这三三类问题中中只只要要有有两两类通通过测试，就就可可以以入入围某某驯犬犬基基地地有有4只只优质犬犬参参加加测试，已已知知这4只只优
10、质犬犬通通过类问题的的概概率率都是都是 ，通，通过类问题的概率都是的概率都是 ，通通过类问题的概率都是的概率都是 .(1)求每只求每只优质犬能犬能够入入围的概率；的概率；(2)若每入若每入围1只只优质犬犬给基地基地计10分，分，设基地得分基地得分为随机随机变量量，求，求E.(2)设优质犬入犬入围的只数的只数为，则10，且由，且由题知知B(4， )，则EnP4 ，E10E10 .解答：解答：(1)设设通通过类测试为事件事件A，通，通过类、类分分别为B、C，则由由题意知意知PP(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P( )P(A)P( )P(C)P( )P(B)P(C) .几何分布与二几何分布与二
11、项分布的期望和方差公式的推分布的期望和方差公式的推导都要利用都要利用组合数的性合数的性质以及数列求和的方法，而几何分布的期望和方差公式的推以及数列求和的方法，而几何分布的期望和方差公式的推导还需需用到极限的知用到极限的知识一般与几何分布有关的离散型随机一般与几何分布有关的离散型随机变量分布列的量分布列的期望和方差都会与数列求和有密切的关系期望和方差都会与数列求和有密切的关系【例例3】 箱箱中装有大小相同的黄、白两种中装有大小相同的黄、白两种颜色的色的乒乓球，黄、白球，黄、白乒乓球球的数量的数量 比比为s t.现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结
12、束，束， 若取出的是白球，若取出的是白球，则将其放回箱中，并将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，从箱中任意取出一个球， 但取球的次数最多不超但取球的次数最多不超过n次，以次，以表示取球表示取球结束束时已取到白球的次数已取到白球的次数 (1)求求的分布列；的分布列；(2)求求的数学期望的数学期望解答：解答：随随机机变量量的取的取值：0,1,2，n.(n表示表示n次取出的全是次取出的全是白球白球)，令，令Ai表示表示“第第i次取出的是白球次取出的是白球”(i1,2，n)， 表示表示“第第i次取出的是黄球次取出的是黄球”依依题意有：意有：P(Ai) p， 1pq(i1,2，n)(1)由于每次取
13、球是独立的，所以有由于每次取球是独立的，所以有P(k)P(A1A2Ak k1)P(A1)P(A2)P(Ak)P( k1)qpk(k0,1,2，n1)，P(n)P(A1A2An)pn.的分布如下：的分布如下：012n1nPqqpqp2qpn1pn(2)的数学期望的数学期望E() P(k) qpknpn npn.记S(p) pk112p(n1)pn2，则pS(p) pkp2p2(n1)pn1.得：得：(1p)S(p)1ppn2(n1)pn1 (n1)pn1，S(p) (n1) (n1) E() 变式变式3. 某某地最近出台一地最近出台一项机机动车驾照考照考试规定：每位考定：每位考试者一年之内最多有
14、者一年之内最多有4次次参加考参加考试的机会，一旦某次考的机会，一旦某次考试通通过，便可，便可领取取驾照，不再参加以后的考照，不再参加以后的考试，否否则就一直考到第就一直考到第4次次为止如果李明决定参加止如果李明决定参加驾照考照考试，设他每次参加考他每次参加考试通通过的概率依次的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9.求在一年内李明参加求在一年内李明参加驾照考照考试次数次数的分的分布列和布列和的期望，并求李明在一年内的期望，并求李明在一年内领到到驾照的概率照的概率解答：解答：的的取取值分分别为1,2,3,4.1，表明李明第一次参加，表明李明第一次参加驾照考照考试就通就通过了，故了，故P(1)0
15、.6.2，表明李明在第一次考，表明李明在第一次考试未通未通过，第二次通，第二次通过了，了，故故P(2)(10.6)0.70.28.3表明李明在第一、二次考表明李明在第一、二次考试未通未通过，第三次通，第三次通过了，了，故故P(3)(10.6)(10.7)0.80.096.4，表明李明第一、二、三次考，表明李明第一、二、三次考试都未通都未通过，故故P(4)(10.6)(10.7)(10.8)0.024. 李李明明实际参加考参加考试次数次数的分布列的分布列为 的期望的期望E10.620.2830.09640.0241.544.李明在一年内李明在一年内领到到驾照的概率照的概率为1(10.6)(10.
16、7)(10.8)(10.9)0.997 6.1234P0.60.280.0960.0241一般的离散型随机变量可利用定义求随机变量的数学期望和方差一般的离散型随机变量可利用定义求随机变量的数学期望和方差2二项分布、几何分布等可利用公式计算随机变量的数学期望和方差，而二项分布、几何分布等可利用公式计算随机变量的数学期望和方差，而 公式的推导要利用数列求和，二项式系数性质和求无穷数列各项和公式的推导要利用数列求和，二项式系数性质和求无穷数列各项和(数列极数列极 限限)的知识和方法的知识和方法3可根据所计算的离散型随机变量的数学期望和方差，根据实际问题的具可根据所计算的离散型随机变量的数学期望和方差
17、，根据实际问题的具 体情况和相应的要求反映出评估和决策体情况和相应的要求反映出评估和决策. 【方法规律方法规律】(本题满分本题满分12分分)(2009安徽安徽)某某地有地有A、B、C、D四人先后感染了甲型四人先后感染了甲型H1N1流流感，其中只有感，其中只有A到到过疫区，疫区，B肯定是受肯定是受A感染，感染，对于于C因因为难以断定他是受以断定他是受A还是受是受B感染的，于是假定他受感染的，于是假定他受A和和B感染的概率都是感染的概率都是 ，同，同样也假定也假定D受受A、B和和C感染的概率都是感染的概率都是 .在在这样假定下，假定下，B、C、D中直接受中直接受A感染的人数感染的人数x就就是一个随
18、机是一个随机变量，写出量，写出x的分布列的分布列(不要求写出不要求写出计算算过程程)，并求，并求x的均的均值(即表即表示期望示期望).解答：解答：根根据已知条件随机据已知条件随机变量量x的取的取值分分别是是1,2,3.P(x1) ，P(x2) ，P(x3) .则随机随机变量量的分布列的分布列为 x123【答题模板答题模板】1 离散型随机变量的期望和方差是高考考查离散型随机变量分布列的重离散型随机变量的期望和方差是高考考查离散型随机变量分布列的重 点高考中也考查二项分布和几何分布相关的分布列及期望和方差点高考中也考查二项分布和几何分布相关的分布列及期望和方差2 本题考查了独立事件的概率，综合考查了学生的审题能力和分析解决问本题考查了独立事件的概率，综合考查了学生的审题能力和分析解决问 题的能力题的能力的取值及相互独立是突破本题的关键，该类型是高考常考的取值及相互独立是突破本题的关键，该类型是高考常考 题易错点是读不透题导致理解片面而误解题易错点是读不透题导致理解片面而误解. 【分析点评分析点评】点击此处进入点击此处进入 作业手册作业手册
