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1、第三章 力偶系3-1 3-1 平面力对点之矩的概念和计算平面力对点之矩的概念和计算一、平面力对点之矩（力矩）力矩作用面，力矩作用面，O称为称为矩心矩心，O到到力的作用线的垂直距力的作用线的垂直距离离h称为称为力臂力臂1.1.大小：力大小：力F F与力臂的乘积与力臂的乘积2.2.方向：转动方向方向：转动方向两个要素：两个要素： 力对点之矩是一个代数量，它的绝对值等于力的 大小与力臂的乘积，它的正负：力使物体绕矩心逆时 针转向时为正，反之为负.常用单位Nm或kNm 定理定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于所有各分力对同一点的矩的代数和即：二、合力矩定理二、合力矩定理由合力投影定理有：
2、证明证明od=ob+oc又三、力矩与合力矩的解析表达式3-2 平面力偶理论一.力偶和力偶矩1.力偶 由两个等值、反向、不共线的（平行）力组由两个等值、反向、不共线的（平行）力组成的力系称为成的力系称为力偶，记作，记作两个要素两个要素a.a.大小：力与力偶臂乘积大小：力与力偶臂乘积b.b.方向：转动方向方向：转动方向力偶矩力偶矩力偶中两力所在平面称为力偶作用面力偶中两力所在平面称为力偶作用面力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂2.力偶矩二. 力偶与力偶矩的性质1.1.力偶在任意坐标轴上的投影等于零力偶在任意坐标轴上的投影等于零.2.2.力偶对任意点取矩都等于力偶矩，力
3、偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的不因矩心的 改变而改变改变而改变.力偶矩的符号力偶矩的符号 M 3.3.只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与内任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力臂的长短，对刚体的作用效果不变力臂的长短，对刚体的作用效果不变. .=4.4.力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡. .= =已知：任选一段距离任选一段距离d d三.平面力偶系的合成和平衡条件= =平面力偶系平衡的充要条件 M = 0= 0，有如下平衡方程 平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力
4、偶矩的代数和等于零.例求:解:直接按定义按合力矩定理已知: F=1400N, 例求：解：由合力矩定理得已知：q,l；合力及合力作用线位置.取微元如图例求： 光滑螺柱AB所受水平力.已知：解得解：由力偶只能由力偶平衡的性质，其受力图为 例例例例 在一钻床上水平放置工件在一钻床上水平放置工件, ,在工件上同时钻四个等直径在工件上同时钻四个等直径的孔的孔, ,每个钻头的力偶矩为每个钻头的力偶矩为求工件的总切削力偶矩和求工件的总切削力偶矩和A A 、B B端约束反力端约束反力? ? 解解: 合力偶矩平面力偶系平衡 例例 图示结构，求图示结构，求A A、B B处反力。处反力。解：解：1、取研究对象、取研
5、究对象整体整体整体整体2、受力分析、受力分析特点：力偶系特点：力偶系特点：力偶系特点：力偶系3、平衡条件、平衡条件mi=P 2aYA l=0思考思考思考思考m i= 0P 2aRB cos l=0 求图示简支梁的支座反力。解：以梁为研究对象，受力如图。解之得：例题.在梁AB上作用一个力偶,其矩为m,梁长为l.自重不计.试求支座A和B的约束反力.45oABlm解:取梁AB为研究对象45oABlmRARB45o45oRA = RB = Rm(RA , RB) = Rlcos 45o mi = 0Rlcos 45o- m = 0R = RA = RB = 例题.图示铰链四连杆机构OABO1处于平衡位
6、置.已知OA=40cm, O1B=60cm, m1=1Nm,各杆自重不计.试求力偶矩m2的大小及杆AB所受的力.OABO1m2m130o解: AB为二力杆OABO1m2m130oSA = SB = SSSSS 取OA杆为研究对象. mi = 0m2 0.6 S = 0(1)取O1B杆为研究对象. mi = 00.4sin30o S - m1 = 0(2)联立(1)(2)两式得:S = 5Nm2 = 3Nm例求：平衡时的 及铰链O，B处的约束力.解：取轮,由力偶只能由力偶平衡的性质,画受力图.取杆BC，画受力图.解得 已知解得 1 1、力对点的矩以矢量表示、力对点的矩以矢量表示 力矩矢力矩矢33
7、 33 力对点的矩矢和力对轴的矩力对点的矩矢和力对轴的矩（3 3）转向：即使刚体绕转轴）转向：即使刚体绕转轴转动的方向转动的方向. .（2 2）转动轴方位）转动轴方位: :力的作用线与力的作用线与矩心所决定的平面的法线方位矩心所决定的平面的法线方位(1(1）大小）大小: :力力F F与力臂的乘积与力臂的乘积三要素：三要素：力对点力对点O O的矩在三个坐标轴上的投影为的矩在三个坐标轴上的投影为2.2.力对轴的矩力对轴的矩 力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴的矩为零力对该轴的矩为零. .力对轴的矩的解析式力对轴的矩的解析式由合力矩定理：
8、即同理可得其余两式，即有：力对轴的矩的解析式力对轴的矩的解析式3.力对点的矩与力对轴的矩的关系力对点的矩与力对轴的矩的关系即力对点的矩矢在通过该点之轴上的投影，等于力对即力对点的矩矢在通过该点之轴上的投影，等于力对即力对点的矩矢在通过该点之轴上的投影，等于力对即力对点的矩矢在通过该点之轴上的投影，等于力对该轴之矩该轴之矩该轴之矩该轴之矩例：求图示手柄上的力F 对三个坐标轴之矩F作用点: F在坐标轴上的投影：3 34 4 空间力偶空间力偶1 1、力偶矩以矢量表示力偶矩矢、力偶矩以矢量表示力偶矩矢空间力偶的三要素空间力偶的三要素（1 1） 大小：力与力偶臂的乘积；大小：力与力偶臂的乘积；（3 3）
9、 作用面：力偶作用面。作用面：力偶作用面。 （2 2） 方向：转动方向；方向：转动方向；2 2、力偶的性质、力偶的性质（2 2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改 变而改变。变而改变。 (1(1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 . .（3 3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内 任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小 与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变. .= = = =(
10、4)(4)只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面 移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体 的作用效果不变的作用效果不变. .= = = = =(5)(5)力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡. .定位矢量定位矢量力偶矩矢相等的力偶等效力偶矩矢相等的力偶等效力偶矩矢是自由矢量力偶矩矢是自由矢量自由矢量自由矢量滑移矢量滑移矢量3 3力偶系的合成力偶系的合成与平衡条件与平衡条件= = =为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和. .合力偶矩矢的大小和方向余弦
11、合力偶矩矢的大小和方向余弦称为空间力偶系的平衡称为空间力偶系的平衡方程方程. .空间力偶系平衡的充分必要条件是空间力偶系平衡的充分必要条件是 : :合力偶矩矢等合力偶矩矢等于零，即于零，即 例 已知：在工件四个面上同时钻5个孔，每个孔所受切削力偶矩均为80Nm.求：工件所受合力偶矩在 轴上的投影 解：把力偶用力偶矩矢表示，平行移到点A .求:轴承A,B处的约束力.例已知：两圆盘半径均为200mm，AB =800mm，圆盘面O1垂直于z轴，圆盘面O2垂直于x轴，两盘面上作用有力偶，F1=3N， F2=5N，构件自重不计.解：取整体，受力图如图所示.例求：正方体平衡时，力 的关系和两根杆受力.,不计正方体和直杆自重.已知：正方体上作用两个力偶解：两杆为二力杆，取正方体，画 受力图建坐标系如图b以矢量表示力偶，如图c设正方体边长为a ,有有杆 受拉， 受压。
