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1、27.227.2相似三角形相似三角形相似三角形相似三角形复习课复习课复习课复习课一、复习：一、复习：1、相似三角形的定义是什么？、相似三角形的定义是什么？答：答：对应角对应角相等，相等， 对应边对应边成比例成比例的两个三角形叫做的两个三角形叫做相似三角形相似三角形.2、判定两个三角形相似有哪些方法？、判定两个三角形相似有哪些方法？答：答： A、用定义用定义；B、用预备定理；用预备定理；C、用判定定理用判定定理1、2、3.D、直角三角形相似的判定定理直角三角形相似的判定定理3、相似三角形有哪些性质、相似三角形有哪些性质1、对应角相等，对应边成比例、对应角相等，对应边成比例2、对应角平分线、对应中
2、线、对、对应角平分线、对应中线、对应高线、对应周长的比都等于相似应高线、对应周长的比都等于相似比。比。3、相似三角形面积的比等于相似、相似三角形面积的比等于相似比的平方。比的平方。一一.填空选择题填空选择题:1.(1) ABC中，中，D、E分别是分别是AB、AC上的点，且上的点，且AED= B，那么，那么 AED ABC，从而，从而 (2) ABC中，中，AB的中点为的中点为E，AC的中点为的中点为D，连结，连结ED， 则则 AED与与 ABC的相似比为的相似比为_.2.如图，如图，DEBC, AD:DB=2:3, 则则 AED和和 ABC 的相似比为的相似比为.3. 已知三角形甲各边的比为已
3、知三角形甲各边的比为3:4:6， 和它相似的三角形乙和它相似的三角形乙 的最大边为的最大边为10cm， 则三角形乙的最短边为则三角形乙的最短边为_cm.4.等腰三角形等腰三角形ABC的腰长为的腰长为18cm，底边长为，底边长为6cm,在腰在腰AC上取点上取点D, 使使ABC BDC, 则则DC=_.AC2:552cm1:25. 如图，如图，ADE ACB, 则则DE:BC=_ 。6. 如图，如图，D是是ABC一边一边BC 上一点，连接上一点，连接AD,使使 ABC DBA的条件是（的条件是（ ）. A. AC:BC=AD:BD B. AC:BC=AB:AD C. AB2=CDBC D. AB2
4、=BDBC7. D、E分别为分别为ABC 的的AB、AC上上的点，且的点，且DEBC，DCB= A，把每两个相似的三角形称为一组，那把每两个相似的三角形称为一组，那么图中共有相似三角形么图中共有相似三角形_组。组。1:3D4二、证明题：二、证明题：1. D为为ABC中中AB边上一点，边上一点， ACD= ABC. 求证：求证：AC2=ADAB.2. ABC中中, BAC是直角，过斜是直角，过斜 边中点边中点M而垂直于斜边而垂直于斜边BC的直线的直线 交交CA的延长线于的延长线于E，交，交AB于于D， 连连AM. 求证：求证： MAD MEA AM2=MD ME3. 如图，如图，ABCD，AO=
5、OB， DF=FB，DF交交AC于于E， 求证：求证：ED2=EO EC.4. 过过ABCD的一个顶点的一个顶点A作一直作一直 线分别交对角线线分别交对角线BD、边、边BC、边、边 DC的延长线于的延长线于E、F、G . 求证：求证：EA2 = EF EG .5. ABC为锐角三角形，为锐角三角形，BD、CE 为高为高 . 求证：求证： ADE ABC （用两种方法证明）（用两种方法证明）.6. 已知在已知在ABC中，中，BAC=90， ADBC,E是是AC的中点，的中点，ED交交 AB的延长线于的延长线于F. 求证求证: AB:AC=DF:AF.4. 过过ABCD的一个顶点的一个顶点A作一直
6、线分别交对角线作一直线分别交对角线BD、边边BC、边、边DC的延长线于的延长线于E、F、G . 求证：求证：EA2 = EF EG . 分析：分析：要证明要证明 EA2 = EF EG ，即即 证明证明 成成立，而立，而EA、EG、EF三三条线段在同一直线上，条线段在同一直线上，无法构成两个三角形，无法构成两个三角形，此时应采用换线段、换此时应采用换线段、换比例的方法。可证明：比例的方法。可证明：AEDFEB， AEB GED.证明：证明： ADBF ， ABBC AED FEB AEB GED5. ABC为锐角三角形，为锐角三角形，BD、CE为高为高 . 求证：求证： ADE ABC（用两种
7、方法证明）（用两种方法证明）.证明一：证明一： BDAC，CEAB ABD+A=90， ACE+A= 90 ABD= ACE 又又 A= A ABD ACE A= A ADE ABC 证明二：证明二： BEO= CDO BOE=COD BOE COD 即即 又又 BOC= EOD BOC EOD 1= 2 1+ BCD=90， 2+ 3= 90 BCD= 3 又又 A= A ADE ABC6. 已知在已知在ABC中，中，BAC=90，ADBC，E是是AC的中点，的中点，ED交交AB的延长线于的延长线于F. 求证求证: AB:AC=DF:AF.分析：分析：因因ABCABD，所以，所以 ， 要证要
8、证 即证即证 ， 需证需证BDFDAF.证明：证明： BAC=90 ADBC ABC+C= 90 ABC+BAD= 90 BAD= C ADC= 90 E是是AC的中点，的中点，ED=EC EDC= C EDC = BDF BDF= C= BAD又又 F =F BDFDAF. BAC=90， ADBC ABCABD 解:AED=B, A=A AED ABC（两角对 应相等，两三角形相似） 1.(1) ABC中，中，D、E分别是分别是AB、AC上的点，上的点， 且且AED= B，那么，那么 AED ABC， 从而从而 AC 解解 :D、E分别为分别为AB、AC的中点的中点 DEBC，且，且 AD
9、EABC 即即ADE与与ABC的相似比为的相似比为1:2 (2) ABC中，中，AB的中点为的中点为D，AC的中点为的中点为E，连结，连结DE， 则则 ADE与与 ABC的相似比为的相似比为_1:22. 解解: DEBC ADEABC AD:DB=2:3 DB:AD=3:2 (DB+AD):AD=(2+3):3 即即 AB:AD=5:2 AD:AB=2:5 即即ADE与与ABC的相似比为的相似比为2:5 如图，如图，DEBC, AD:DB=2:3, 则则 AED和和 ABC 的相似比为的相似比为.2:53.已知三角形甲各边的比为已知三角形甲各边的比为3:4:6， 和它相似的三角形和它相似的三角
10、形乙的最大边为乙的最大边为10cm， 则三角形乙的最短边为则三角形乙的最短边为_cm.解解: 设三角形甲为设三角形甲为ABC ，三角，三角形乙为形乙为 DEF，且，且DEF的最大的最大边为边为DE，最短边为，最短边为EF DEFABC DE:EF=6:3即即 10:EF=6:3 EF=5cm5cm4.等腰三角形等腰三角形ABC的腰长为的腰长为18cm，底边长为，底边长为6cm,在在 腰腰AC上取点上取点D, 使使ABC BDC, 则则DC=_.解解: ABC BDC 即即 DC=2cm2cm5.解解: ADEACB 且且 如图，如图，ADE ACB, 则则DE:BC=_ 。1:37. D、E分
11、别为分别为ABC 的的AB、AC上的点，上的点，DEBC， DCB= A，把每两个相似的三角形称为一组，把每两个相似的三角形称为一组， 那么图中共有相似三角形那么图中共有相似三角形_组。组。解解: DEBC ADE= B, EDC=DCB=A DEBC ADE ABC A= DCB, ADE= B ADE CBD ADE ABC ADE CBD ABC CBD DCA= DCE, A= EDC ADC DEC41. D为为ABC中中AB边上一点，边上一点，ACD= ABC. 求证：求证：AC2=ADAB分析分析:要证明要证明AC2=ADAB，需，需要先将乘积式改写为比例要先将乘积式改写为比例式
12、式 ，再证明，再证明AC、AD、AB所在的两个三角形相所在的两个三角形相似。由已知两个三角形有二个似。由已知两个三角形有二个角对应相等，所以两三角形相角对应相等，所以两三角形相似，本题可证。似，本题可证。证明证明: ACD= ABC A = A ABC ACD AC2=ADAB2. ABC中，中， BAC是直角，过斜边中点是直角，过斜边中点M而垂直于而垂直于 斜边斜边BC的直线交的直线交CA的延长线于的延长线于E， 交交AB于于D，连，连AM. 求证：求证： MAD MEA AM2=MD ME分析：分析：已知中与线段有关的条件仅有已知中与线段有关的条件仅有AM=BC/2=BM=MC,所以首先考
13、虑用所以首先考虑用两个角对应相等去判定两个三角形相两个角对应相等去判定两个三角形相似。似。AM是是 MAD 与与 MEA 的公共的公共边，故是对应边边，故是对应边MD、ME的比例中项。的比例中项。证明：证明：BAC=90 M为斜边为斜边BC中点中点 AM=BM=BC/2 B= MAD又又 B+ BDM=90 E+ ADE= 90 BDM= ADEB=EMAD= E又又 DMA=AMEMAD MEA MAD MEA 即即AM2=MDME3. 如图，如图，ABCD，AO=OB，DF=FB，DF交交AC于于E， 求证：求证：ED2=EO EC.分析：分析：欲证欲证 ED2=EOEC，即证：，即证：
14、，只需证，只需证DE、EO、EC所在的三角形相似。所在的三角形相似。证明：证明： ABCD C=A AO=OB，DF=FB A= B， B= FDB C= FDB 又又 DEO= DEC EDCEOD ，即，即 ED2=EO EC1.已知：如图，已知：如图，ABC中，中，P是是AB边上的一点，连边上的一点，连结结CP满足什么条件时满足什么条件时 ACPABC 解解:A= A，当当1= ACB （或（或2= B）时，时， ACPABC A= A，当当AC:APAB:AC时，时， ACPABC A= A，当当4ACB180时，时， ACPABC答：当答：当1= ACB 或或2= B 或或AC:AP
15、AB:AC或或4ACB180时时, ACPABC.APBC1241、条件探索型、条件探索型三、探索题三、探索题2.如图：已知如图：已知ABCCDB90，ACa，BC=b，当，当BD与与a、b之间满足怎样的关系式时，之间满足怎样的关系式时，两三角形相似两三角形相似DABCab解解: 1D90当当 时，即当时，即当 时，时，ABC CDB, 1D90当当 时，即当时，即当 时，时，ABC BDC， 答：略答：略. 这类题型结论是明确的，而需要完备使这类题型结论是明确的，而需要完备使结论成立的条件结论成立的条件解题思路是：从给定结论出发，通过逆向思解题思路是：从给定结论出发，通过逆向思考寻求使结论成
16、立的条件考寻求使结论成立的条件 1.将两块完全相同的等腰直角三角板摆成如图的样子，将两块完全相同的等腰直角三角板摆成如图的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面内，则图中有相假设图形中的所有点、线都在同一平面内，则图中有相似（不包括全等）三角形吗？如有，把它们一似（不包括全等）三角形吗？如有，把它们一 一写出来一写出来.C解：有相似三角形，它们是：解：有相似三角形，它们是：ADE BAE, BAE CDA ，ADE CDA（ ADE BAE CDA）2、结论探索型、结论探索型ABDEGF22.在在ABC中，中，ABAC，过，过AB上一点上一点D作直线作直线DE交另一边于交另一边于E，使所得三
17、角形与原三角形相似，使所得三角形与原三角形相似，画出满足条件的图形画出满足条件的图形.EDABCDABCDABCDABCEEE这类题型的特征是有条件而无结论，要确定这类题型的特征是有条件而无结论，要确定这些条件下可能出现的结论这些条件下可能出现的结论解题思路是：解题思路是：从所给条件出发，通过分析、比较、猜想、寻求从所给条件出发，通过分析、比较、猜想、寻求多种解法和结论，再进行证明多种解法和结论，再进行证明. . 3、存在探索型、存在探索型 如图如图, DE是是ABC的中位线，在射线的中位线，在射线AF上是否存上是否存在点在点M，使，使MEC与与ADE相似相似,若存在若存在,请先确定点请先确定
18、点 M,再证明这两个三角形相似，若不存在，请说明理由再证明这两个三角形相似，若不存在，请说明理由.ADBCEF证明：连结证明：连结MC，DE是是ABC的中位线，的中位线，DEBC，AEEC，又又MEAC, AMCM， 1= 2 ，B=90， 4 B= 90， AF BC，AM DE, 1= 2 ， 3= 2 , ADE MEC=90 ， ADE MECADBCEF123M解解:存在存在.过点过点E作作AC的垂线的垂线,与与AF交于一点交于一点,即即M点点(或作或作MCA= AED).4所谓存在性问题，一般是要求所谓存在性问题，一般是要求确定满足某些特定要求的元素有或确定满足某些特定要求的元素有
19、或没有的问题没有的问题解题思路是：先假定所需探索的对解题思路是：先假定所需探索的对象存在或结论成立，以此为依据进象存在或结论成立，以此为依据进行计算或推理，若由此推出矛盾，行计算或推理，若由此推出矛盾，则假定是错误的，从而给出否定的则假定是错误的，从而给出否定的结论，否则给出肯定的证明结论，否则给出肯定的证明 小结相相似似三三角角形形2定义定义3性质性质4判定判定5应用应用1.线段成比例线段成比例1.比例的基本性质比例的基本性质2.合比性质合比性质3.等比性质等比性质4.平行线分线段成比平行线分线段成比例定理及推论例定理及推论1.AA2.SAS3.SSS4.HL对应高对应高,中线中线,角平分线的比角平分线的比等于相似比等于相似比对应周长的比等于相似比对应周长的比等于相似比面积比等于相似比的平方面积比等于相似比的平方
