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1、& 1. 泰勒展开定理泰勒展开定理& 2. 展开式的唯一性展开式的唯一性& 3. 简单初等函数的泰勒展开简单初等函数的泰勒展开式式3 泰勒泰勒(Taylor)级数级数1精编课件1. 泰勒泰勒(Taylor)展开定理展开定理现在研究与此相反的问题：现在研究与此相反的问题：一个解析函数能否用幂级数表达一个解析函数能否用幂级数表达?(或者说或者说,一个解析函数能否展开成幂级数一个解析函数能否展开成幂级数? 解析函解析函数在解析点能否用幂级数表示？）数在解析点能否用幂级数表示？）由由2 2幂级数的性质知幂级数的性质知:一个幂级数的和函数在一个幂级数的和函数在它的收敛圆内部是一个解析函数它的收敛圆内部是
2、一个解析函数.以下定理给出了肯定回答：以下定理给出了肯定回答：任何任何解析函数解析函数都一定都一定能用幂级数表示能用幂级数表示.2精编课件定理（泰勒展开定理）定理（泰勒展开定理）Dk分析：分析：代入代入(1)得得3精编课件Dkz4精编课件-(*)得证！得证！5精编课件证明证明(不讲不讲)6精编课件(不讲不讲)7精编课件证明证明(不讲不讲)8精编课件A 9精编课件2. 展开式的唯一性展开式的唯一性结论结论 解析函数展开成幂级数是唯一的，就是它解析函数展开成幂级数是唯一的，就是它的的Taylor级数级数.利用泰勒级数可把解析函数展开成幂级数，这样利用泰勒级数可把解析函数展开成幂级数，这样的展开式是
3、否唯一？的展开式是否唯一？事实上事实上，设，设f (z)用另外的方法展开为幂级数用另外的方法展开为幂级数:10精编课件由此可见，任何解析函数展开成幂级数就是由此可见，任何解析函数展开成幂级数就是Talor级数，因而是唯一的级数，因而是唯一的.-直接法直接法-间接法间接法代公式代公式由展开式的唯一性，运用级数的代数运算、分由展开式的唯一性，运用级数的代数运算、分 析运算和析运算和 已知函数的展开式来展开已知函数的展开式来展开函数展开成函数展开成Taylor级数的方法：级数的方法：11精编课件3. 简单初等函数的泰勒展开式简单初等函数的泰勒展开式例例1 解解(P120)12精编课件13精编课件A
4、上述求上述求sinz, cosz展开式的方法即为间接法展开式的方法即为间接法.例例2 把下列函数展开成把下列函数展开成 z 的幂级数的幂级数:解解14精编课件(2)由幂级数逐项求导性质得：由幂级数逐项求导性质得：15精编课件A(1)另一方面，因另一方面，因ln(1+z)在从在从z=-1向左沿负向左沿负实轴剪开的平面内解析，实轴剪开的平面内解析， ln(1+z)离原点最近的一离原点最近的一个奇点是个奇点是-1,它的展开式的收敛范围为它的展开式的收敛范围为z1.16精编课件定理定理17精编课件18精编课件第十次课11月26日19精编课件?20精编课件& 1. 预备知识预备知识& 2. 双边幂级数双
5、边幂级数& 3. 函数展开成双边幂级数函数展开成双边幂级数& 4. 展开式的唯一性展开式的唯一性4 罗朗罗朗(Laurent)级数级数21精编课件 由由3 3 知知, f (z) 在在 z0 解析解析，则，则 f (z)总可以总可以在在z0 的某一个圆域的某一个圆域 z - z0 R 内内展开成展开成 z - z0 的幂级数的幂级数.若若 f (z) 在在 z0 点不解析点不解析，在在 z0的邻域中就不可能展开成的邻域中就不可能展开成 z - z0 的幂级数，但如果在圆环域的幂级数，但如果在圆环域 R1 z - z0R2 内解析，内解析，那么，那么，f (z)能否用能否用级数表示呢？级数表示呢
6、？例如，例如，P12722精编课件由此推想，若由此推想，若f (z) 在在R 1 z - z0 R2 内解析内解析, , f (z) 可以展开成级数，只是这个级数含有可以展开成级数，只是这个级数含有负幂次项负幂次项,即即23精编课件 本节将讨论在以本节将讨论在以z 0为中心的圆环域内解析为中心的圆环域内解析的函数的级数表示法的函数的级数表示法.它是后面将要研究的解它是后面将要研究的解析函数在析函数在孤立奇点孤立奇点邻域内的性质以及定义邻域内的性质以及定义留数留数和计算留数的基础和计算留数的基础.24精编课件1. 预备知识预备知识Cauchy 积分公式的推广到复连通域积分公式的推广到复连通域-见
7、第三章第见第三章第18题题P101Dz0R1R2rRk1k2D1z25精编课件2. 双边幂级数双边幂级数-含有正负幂项的级数含有正负幂项的级数定义定义 形如形如-双边幂级数双边幂级数正幂项正幂项(包括常数项包括常数项)部分部分：负幂项部分负幂项部分：26精编课件级数级数(2)是一幂级数，设收敛半径为是一幂级数，设收敛半径为R2 ， 则级数则级数在在z - z0= =R2 内收敛，且和为内收敛，且和为s(z)+; 在在 z - z0 =R 2外发散外发散. 27精编课件z0R1R2z0R2R128精编课件A (2)(2)在圆环域的边界在圆环域的边界 z - z0 =R1, z - z0=R2上上
8、, ,29精编课件3. 函数展开成双边幂级数函数展开成双边幂级数定理定理30精编课件证明证明 由复连通域上的由复连通域上的Cauchy 积分公式：积分公式：Dz0R1R2rRk1k2D1z记为记为I1记为记为I231精编课件32精编课件式式(*1),(*2)中系数中系数cn的积分分别是在的积分分别是在k2， k1上进上进行的，在行的，在D内取绕内取绕z0的简单闭曲线的简单闭曲线c，由复合闭路，由复合闭路定理可将定理可将cn写成统一式子：写成统一式子：证毕！证毕！级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为洛朗级数的解析部分和主要部分洛朗级数的解析部分和主要部
9、分.33精编课件A (2) (2)在许多实际应用中，经常遇到在许多实际应用中，经常遇到f (z)在奇点在奇点 z0的邻域内解析，需要把的邻域内解析，需要把f (z)展成级数，那么展成级数，那么 就利用洛朗（就利用洛朗（ Laurent ）级数来展开）级数来展开.34精编课件4. 展开式的唯一性展开式的唯一性结论结论 一个在某一一个在某一圆环域内解析圆环域内解析的函数展开为含的函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是有正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是f (z)的洛朗级数的洛朗级数.事实上事实上，Dz0R1R2c35精编课件Dz0R1R2c36精编课件A 由唯一性，将函数展开成由
10、唯一性，将函数展开成Laurent级数，可级数，可用间接法用间接法.在大多数情况，均采用这一简便的方在大多数情况，均采用这一简便的方法求函数在指定圆环域内的法求函数在指定圆环域内的Laurent展开式，只有展开式，只有在个别情况下，才直接采用公式在个别情况下，才直接采用公式(5)求求Laurent系系数的方法数的方法. .例例1解解37精编课件例例2解解例例3解解38精编课件例例4xyo12xyo12xyo12P13239精编课件解解:没没有有奇奇点点40精编课件41精编课件注意首项注意首项42精编课件(2)(2)对于对于有理函数有理函数的的洛朗展开式，首先把有理洛朗展开式，首先把有理 函数分
11、解成多项式与若干个最简分式之和，函数分解成多项式与若干个最简分式之和，然后利用已知的几何级数，经计算展成需要的然后利用已知的几何级数，经计算展成需要的形式形式.小结：把小结：把f (z)展成洛朗展成洛朗( Laurent )级数的方法：级数的方法：43精编课件解解 (1) 在在(最大的最大的)去心邻域去心邻域例例5yxo1244精编课件 (2) 在在(最大的最大的)去心邻域去心邻域xo12练习：练习：45精编课件A (2)(2)根据区域判别级数方式：根据区域判别级数方式：在圆域内需要把在圆域内需要把 f (z) 展成泰勒展成泰勒(Taylor)级数，级数，在环域内需要把在环域内需要把f (z)
12、展成洛朗展成洛朗( Laurent )级数级数.46精编课件A (3) Laurent级数与级数与Taylor 级数的不同点：级数的不同点： Taylor级数先展开求级数先展开求R, 找出收敛域找出收敛域. Laurent级数先求级数先求 f(z) 的奇点，然后以的奇点，然后以 z0 为中心，奇点为分隔点，找出为中心，奇点为分隔点，找出z0到无穷远到无穷远 点的所有使点的所有使 f(z) 解析的环，在环域上展成解析的环，在环域上展成 级数级数.47精编课件计算沿封闭路线积分中的应用P13548精编课件49精编课件50精编课件51精编课件作业P143 12(1)(3),16(2)(3)52精编课
13、件第五章 留数留数53精编课件第十一次课12月3日54精编课件& 1. 定义定义& 2. 分类分类& 3. 性质性质& 4. 零点与极点的关系零点与极点的关系1 孤立奇点孤立奇点55精编课件 1. 定义定义例如例如-z=0为孤立奇点为孤立奇点-z=0及及z=1/n (n = 1 , 2 ,)都是它的都是它的奇点奇点-z=1为孤立奇点为孤立奇点定义定义56精编课件57精编课件xyo这说明奇点未这说明奇点未必是孤立的必是孤立的.除此之外，其它奇点除此之外，其它奇点不是孤立的不是孤立的58精编课件2. 分类分类以下将以下将f (z)在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数，根在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数，根
14、据展开式的不同情况，将孤立点进行分类据展开式的不同情况，将孤立点进行分类.考察：考察：特点：特点：没有负幂次项没有负幂次项特点：特点：只有有限多个负幂次项只有有限多个负幂次项特点：特点：有无穷多个负幂次项有无穷多个负幂次项59精编课件定义定义 设设z0是是f (z)的一个孤立奇点，在的一个孤立奇点，在z0 的去心邻域内，的去心邻域内， 若若f (z)的洛朗级数的洛朗级数没有负幂次项，称没有负幂次项，称z=z0为可去奇点为可去奇点;只有有限多个负幂次项，称只有有限多个负幂次项，称z=z0为为m 级（阶）极点级（阶）极点;有无穷多个负幂次项，称有无穷多个负幂次项，称z=z0为本性奇点为本性奇点.6
15、0精编课件3. 性质性质q若若z0为为f (z)的可去奇点的可去奇点q若若z0为为f (z)的的m (m 1) 级极点级极点61精编课件例如：例如：z=1为为f (z)的一个三级极点，的一个三级极点， z= i为为f (z)的一级极点的一级极点.q若若z0为为f (z)的本性奇点的本性奇点62精编课件4. 零点与极点的关系零点与极点的关系定义定义 不恒等于不恒等于0的解析函数的解析函数f (z)如果能表示成如果能表示成则称则称z=z0为为f (z) 的的m 级零点级零点.例如：例如：63精编课件定理定理事实上事实上，必要性得证！必要性得证！充分性略！充分性略！64精编课件例如例如65精编课件定
16、理定理:证明证明“”若若z0为为f (z)的的m 级极点级极点66精编课件67精编课件例例解解显然，显然，z= i 是是(1+z2)的一级零点的一级零点68精编课件综合综合69精编课件70精编课件& 1. 留数的定义留数的定义& 2. 留数定理留数定理& 3. 留数的计算规则留数的计算规则2 留数留数(Residue)71精编课件1. 留数的定义留数的定义72精编课件定义定义设设 z0 为为 f (z) 的孤立奇点，的孤立奇点， f (z) 在在 z0 邻域内邻域内的洛朗级数中负幂次项的洛朗级数中负幂次项 (z- z0)1 的系数的系数 c1 称为称为f (z)在在 z0 的的留数留数，记作，
17、记作 Res f (z), z0 或或 Res f (z0).由留数定义由留数定义, Res f (z), z0= c1 (1)73精编课件2. 留数定理留数定理定理定理证明证明74精编课件Dcznz1z3z2由复合闭路定理得：由复合闭路定理得：用用2 i 除上式两边得除上式两边得:得证！得证！75精编课件A 求沿闭曲线求沿闭曲线c的积分，归之为求在的积分，归之为求在c中各孤立中各孤立奇点的留数奇点的留数. 一般求一般求 Res f (z), z0 是采用将是采用将 f (z) 在在 z0 邻域内邻域内展开成洛朗级数求系数展开成洛朗级数求系数 c1 的方法的方法, 但如果能先知道但如果能先知道
18、奇点的类型，对求留数更为有利奇点的类型，对求留数更为有利.以下就三类孤立奇点进行讨论：以下就三类孤立奇点进行讨论：3. 留数的计算规则留数的计算规则76精编课件规则规则I规则规则II77精编课件事实上事实上，由条件，由条件（可以乘比（可以乘比m阶大的因式）阶大的因式）78精编课件A当当m=1时，式时，式(5)即为式即为式(4).规则规则III事实上事实上，79精编课件80精编课件例例1解解81精编课件例例2解解82精编课件例例3解解83精编课件例例4解解84精编课件故由留数定理得：故由留数定理得：A(1)要灵活运用规则及洛朗级数展开来求留要灵活运用规则及洛朗级数展开来求留数，不要死套规则数，不
19、要死套规则.如如是是f (z)的三级极点的三级极点.85精编课件-该方法较规则该方法较规则II更简单！更简单！86精编课件A(2) 由规则由规则II 的推导过程知，在使用规则的推导过程知，在使用规则II时，可将时，可将 m 取得比实际级数高，这可使计算更取得比实际级数高，这可使计算更简单简单.如如87精编课件第十二次课12月10日88精编课件89精编课件90精编课件91精编课件92精编课件93精编课件3.在无穷远点的留数在无穷远点的留数 设函数 f (z)在圆环域 R|z|内解析, C为圆环域内绕原点的任何一条简单闭曲线, 则积分的值与C无关, 称其为f (z)在点的留数, 记作f (z)在圆
20、环域 R|z|内解析： 理解为圆环域内绕 的任何一条简单闭曲线.94精编课件 这就是说, f (z)在点的留数等于它在点的去心邻域R|z|+内洛朗展开式中 z-1 的系数变号.95精编课件定理二定理二 如果 f (z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点,那末 f (z)在所有各奇点(包括点)的留数总和必等于零.证：除点外, 设f (z)的有限个奇点为zk(k=1,2,.,n). 且C为一条绕原点的并将zk(k=1,2,.,n)包含在它内部的正向简单闭曲线, 则根据留数定理与在无穷远点的留数定义, 有96精编课件97精编课件所以规则4 成立.98精编课件定理二与规则IV为我们提供了计算函数沿闭曲线
21、积分的又一种方法, 在很多情况下, 它比利用上一段中的方法更简便.例 699精编课件100精编课件101精编课件102精编课件103精编课件104精编课件105精编课件作作 业业P147 1（1）（）（4）（）（7） 8（2）（）（4）（）（6）（）（8） 9（1）（）（2）（）（5） 106精编课件 留数定理是复变函数的定理，若要在实变函数定积分中应用，必须将实变函数变为复变函数.这就要利用解析延拓的概念.留数定理又是应用到回路积分的，要应用到定积分，就必须将定积分变为回路积分中的一部分.3 留数在定积分计算上的应用如图，对于实积分 ，变量 x 定义在闭区间 a,b (线段 )，此区间应是回
22、路 的一部分.实积分 要变为回路积分，则实函数必须解析延拓到复平面上包含回路的一个区域中,而实积分 成为回路积分的一部分：107精编课件1. 形如 的积分, 其中R(cosq,sinq )为 cosq与sinq 的有理函数. 令 z = eiq , 则 dz = ieiq dq , 而108精编课件其中f (z)是z的有理函数, 且在单位圆周|z|=1上分母不为零, 根据留数定理有 其中zk (k=1,2,.,n)为单位圆 |z|=1内的 f (z)的孤立奇点.例1 计算 的值.解 由于0p1, 被积函数的分母在0q 2p内不为零, 因 而积分是有意义的. 由于cos2q = (e2iq +
23、e-2iq ) /2= (z2 + z-2) /2, 因此109精编课件110精编课件 在被积函数的三个极点z=0, p, 1/p中只有前两个在圆周|z|=1内, 其中z=0为二级极点, z=p为一级极点.111精编课件例2 计算 的值.解：令112精编课件例 3解：113精编课件取积分路线如图所示, 其中CR是以原点为中心, R为半径的在上半平面的半圆周. 取R适当大, 使R(z)所有的在上半平面内的极点zk都包在这积分路线内.z1z2z3yCR-RROx不失一般性, 设为一已约分式.114精编课件此等式不因CR的半径R不断增大而有所改变.115精编课件例 4116精编课件例 5 解：117
24、精编课件第十三次课12月17日118精编课件119精编课件120精编课件也可写为例6 计算 的值.解 这里m=2,n=1,m-n=1.R(z)在实轴上无孤立奇点,因而所求的积分是存在的. 在上半平面内有一级极点ai,121精编课件例4 计算积分 的值.解 因为 是偶函数, 所以122精编课件因此, 要算出所求积分的值, 只需求出极限下面将证明由于所以123精编课件j (z)在z=0处解析, 且j (0)=i, 当|z|充分小时可使|j (z)|2, 而由于在r充分小时,124精编课件125精编课件126精编课件127精编课件128精编课件129精编课件130精编课件第六章共形映射共形映射131
25、精编课件& 1. 曲线的切线曲线的切线& 2. 导数的几何意义导数的几何意义& 3. 共形映射的概念共形映射的概念1 共形映射的概念共形映射的概念132精编课件1. 曲线的切线曲线的切线设连续曲线设连续曲线(z)133精编课件(z)134精编课件A 定义定义切线随切点的移动而连续转动的有向曲线切线随切点的移动而连续转动的有向曲线称为有向光滑曲线称为有向光滑曲线.(z)135精编课件2. 解析函数解析函数导数的几何意义导数的几何意义(辐角和模辐角和模)则则136精编课件即即(1)即即(z)(w)137精编课件x138精编课件139精编课件(z)(w)保角性保角性140精编课件由上述讨论我们有由上
26、述讨论我们有141精编课件(z)(w)142精编课件3. 共形映射的概念共形映射的概念定义定义143精编课件定理定理A若上述共形映射定义中，仅保持角度绝对若上述共形映射定义中，仅保持角度绝对值不变，而旋转方向相反，此时称第二类共形映值不变，而旋转方向相反，此时称第二类共形映射。从而，定义中的共形映射称为第一类共形映射。从而，定义中的共形映射称为第一类共形映射。射。144精编课件A 145精编课件在D内作以z0为其一个顶点的小三角形, 在映射下, 得到一个以w0为其一个顶点的小曲边三角形, 这两个三角形对应边长之比近似为|f (z0)|, 有一个角相等, 则这两个三角形近似相似.OxyOuv(z
27、)(w)z0w0aaC1C2G1G2定理一的几何意义定理一的几何意义.146精编课件OxyOuv(z)(w)z0w0aaC1C2G1G2147精编课件x148精编课件149精编课件(z)(w)150精编课件3. 共形映射的概念共形映射的概念定义定义151精编课件定理定理A若上述共形映射定义中，仅保持角度绝对若上述共形映射定义中，仅保持角度绝对值不变，而旋转方向相反，此时称第二类共形映值不变，而旋转方向相反，此时称第二类共形映射。从而，定义中的共形映射称为第一类共形映射。从而，定义中的共形映射称为第一类共形映射。射。152精编课件& 1. 分式线性映射的定分式线性映射的定义义& 2. 分式线性映
28、射的性分式线性映射的性质质2 分式线性映射分式线性映射153精编课件1. 分式线性映射的定义分式线性映射的定义定义定义A 154精编课件分式线性映射分式线性映射(1)总可以分解成下述三种特殊总可以分解成下述三种特殊映射的复合：映射的复合：称为：称为：平移整线性反演平移整线性反演155精编课件事实上事实上，156精编课件157精编课件定义定义roxyPA 规定无穷远点的对称点为圆心规定无穷远点的对称点为圆心ooTP158精编课件1ox,uy,vzw159精编课件2. 分式线性映射的性质分式线性映射的性质160精编课件（详见（详见P195）161精编课件定理定理1162精编课件163精编课件164
29、精编课件定理定理2定理定理3A 在分式线性映射下，圆周或直线上没有点在分式线性映射下，圆周或直线上没有点趋于无穷点，则它映射成半径为有限的圆周；若趋于无穷点，则它映射成半径为有限的圆周；若有一点映射成无穷远点，它映射成直线有一点映射成无穷远点，它映射成直线。 165精编课件作业P245 1,7,8(1)(5)P246 15(1)(2),16(1)(2)166精编课件& 1. 分式线性映射的存在唯一性分式线性映射的存在唯一性& 2. 举例举例3 唯一决定分式线性映射的条件唯一决定分式线性映射的条件167精编课件定理定理1. 分式线性映射的存在唯一性分式线性映射的存在唯一性168精编课件证明证明1
30、69精编课件A 式式(1)是三对点所确定的唯一的一个映射。是三对点所确定的唯一的一个映射。 所求分式线性映射所求分式线性映射因此，式因此，式(1)说明分式线性映射具有保交比不变性。说明分式线性映射具有保交比不变性。170精编课件由分式线性映射的存在唯一性定理知：由分式线性映射的存在唯一性定理知：以下讨论这个映射以下讨论这个映射会把会把C的内部映射成什么？的内部映射成什么？(不可能把不可能把d1的部分映的部分映入入D1，d1的另一部分映入的另一部分映入D2).171精编课件事实上，事实上，172精编课件由以上讨论给出由以上讨论给出确定对应区域确定对应区域的两个方法：的两个方法：173精编课件事实
31、上事实上174精编课件由上一节和本节的讨论，还有以下由上一节和本节的讨论，还有以下结论结论：175精编课件A 176精编课件例例1解解2. 举例举例177精编课件uv(w)xy(z)178精编课件179精编课件第十五次课12月31日180精编课件例例2解解181精编课件uvo(w)xy(z)o182精编课件183精编课件A 184精编课件例例3解解uv(w)xy(z)11185精编课件186精编课件例例4解解uvo(w)xy(z)oR187精编课件188精编课件例例5解解189精编课件xy(z)1-1i-iouv(w)o190精编课件作业P246 15(1)(2),16(1)(2)191精编课
32、件& 1. 幂函数幂函数& 2. 指数函数指数函数4 几个初等函数所构成的映射几个初等函数所构成的映射192精编课件1.幂函数幂函数幂函数：幂函数：193精编课件xy(z)uv(w)194精编课件xy(z)上岸上岸下岸下岸uv(w)195精编课件幂函数所构成的映射特点：把以原点为顶点的角幂函数所构成的映射特点：把以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点的角形域，但张角变成形域映射成以原点为顶点的角形域，但张角变成了原来的了原来的n倍，因此，倍，因此，196精编课件xy(z)uv(w)i例例1解解:197精编课件-ixy(z)i11uv(w)例例2198精编课件2. 指数函数指数函数199精编课件
33、带形区域角形区域带形区域角形区域xy(z)iauv(w)200精编课件x y (z)上岸上岸下岸下岸uv(w)201精编课件xy(z)u v (w)i例例3解解202精编课件xy(z)ab1例例4解解uv(w)203精编课件xy(z)uv(w)EABDC例例5解解204精编课件答：答：xy(z)uv(w)205精编课件xy(z)-11例例6uv(w)206精编课件解解 见见P244例例7207精编课件208精编课件209精编课件210精编课件作业P246 19(1)(3)(8)(9)211精编课件复习提纲212精编课件213精编课件214精编课件215精编课件216精编课件217精编课件218精编课件219精编课件
