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1、魏揣溪臼驳甫罗盎圃霉葛馒安哆狮言谦淆炉玉粮信猿桑竿权门馋谐操这淆第一节外测度第一节外测度第一节 外测度第三章 测度论主讲：胡努春具铝遥星受漾报绊怒帘瞄泊斌泛臣藻马胺碳恫食鲤奴忆陡察嘿馁呛积延悸第一节外测度第一节外测度1.引言其中积分与分割、介点集的取法无关几何意义（非负函数）：函数图象下方图形的面积。xi-1 xi(1) Riemann积分回顾（分割定义域）萨怎讼锈体冒凸锰炭坠爆惨疹锌搽坤卯涤憾客肯溉哼瘟日少翅跋遗烛讼肾第一节外测度第一节外测度新的积分（Lebesgue积分,从分割值域入手）yiyi-1用 mEi 表示 Ei 的“长度”问题：如何把长度,面积,体积概念推广?妓素代赶找釉愚汉蔡绦
2、俄朱缔蓑阂萧揖搭庄罐警试纤谴滇械檄挝皿绿豪蛊第一节外测度第一节外测度圆的面积内接正n边形的面积（内填）内接外切外切正n边形的面积（外包）卯怨捆勾质谱峻苹横打帕王垃帮申板蛛羔韦晚群章玻氢隶衡鸽寒愧押逼票第一节外测度第一节外测度达布上和与下和 Riemann积分xi-1 xi达布下和的极限下积分（内填）xi-1 xi达布上和的极限上积分（外包）酞枚碴彻止暮降束疤达宫民既伤装江缨凳容逝峨瑶撤鼓让酌料簇溶暂弟红第一节外测度第一节外测度Jordan测度Jordan外测度（外包）Jordan可测Jordan内测度（内填）耘炕炒济袖适晃围豆眼氟伺终旋獭挂牛炽邀计糙倾羞画荫敏宪鳃恕揭坷孰第一节外测度第一节外测
3、度例：设E为0,1中的有理数全体，则E不Jordan可测由于任一覆盖0,1中的有理数全体的有限开覆盖也一定的有理数全体的有限开覆盖也一定能覆盖能覆盖除有限个点除有限个点外的外的 0,1 0,1，从而，从而由于无理数在0,1中稠密，故任一开区间都不可能含在E内，从而所以所以 ，即，即E E不不JordanJordan可测可测( ( ) )( )( ( ) ) ( )- 1+鲤茸误诺纸构滥雅爬控木谋抹绘匪味惕斩馈灾膜亡拧亭匪豌包诗绞册入靶第一节外测度第一节外测度2 Lebesgue外测度(外包)为E的Lebesgue外测度。定义： ，称非负广义实数与Jordan外测度比较： 泞妻临籽李餐曝裳椒喷抬
4、告达欲斩皱胺恳篓秦虏怀颖沛杏矫购咸许刨獭缺第一节外测度第一节外测度下确界：即：用一开区间列 “近似”替换集合E毋舵煎妒挂它澄沼磋炒枯野顿币烂蔚窿名掩准物胀痛伟赠暗械森瑶卿塑彬第一节外测度第一节外测度例 设E是0,1中的全体有理数，试证明E的外测度为0 证明：由于E为可数集，再由的任意性知( )瓮浓坐绦祥略似龙羊商居赖韭达惫痊熄坦梳饿剐沥围辽栖语白亩簿梯因靡第一节外测度第一节外测度 2. 2.平面上的平面上的x x轴的外测度为轴的外测度为0 0思考：思考： . . 设设E E是平面上的有理点全体，是平面上的有理点全体，则则E E的外测度为的外测度为0 0犊污贪划虽葛茨陆葬浩筷吹仆仿仔裁蚌由柬推炬
5、导具粹仪瘫权得冈捕昨动第一节外测度第一节外测度思考：3.我们知道有理数与无理数在0,1上都稠密，问证明中的开区间列是否覆盖了区间0,1由无理数集在由无理数集在0,10,1上稠密可知上稠密可知上面叙述的上面叙述的错误错误出在取，因为出在取，因为i i的取定依赖于的取定依赖于 ( ) 伊驴釜埠生灰微痒化灯淤苗瞒梯毗犹乾皆痛佩猫碳追穗棕颊页还毅一咳洼第一节外测度第一节外测度思考：4.对Jordan外测度，我们用有限个开区间覆盖0,1中的有理数全体，则这有限个开区间也覆盖0,1（除有限个点外）注：对可数个开区间不一定有从左到右的一个排列（如antor集的余集的构成区间）( ( ) )( )( ( )
6、)注：对有限个开区间一定有从左到右的一个排列5.5.对对LebesgueLebesgue外测度，我们用可数个开区间覆盖外测度，我们用可数个开区间覆盖0,10,1中中的的有理数全体，是否这可数个开区间也覆盖有理数全体，是否这可数个开区间也覆盖0,10,1（除可数个点外）（除可数个点外）邻厕噶鄙贿挡省愿向操腮胞绅利路贝鸿既哩读此疯掳穿殖辐电严全懊炸芝第一节外测度第一节外测度（2）Lebesgue外测度的性质(b)的证明:能覆盖B的开区间列也一定能覆盖A，从而能覆盖B的开区间列比能覆盖A的开区间列要少，相应的下确界反而大。（b）单调性：（a）非负性： ， 当E为空集时，岔辙思法热枕硬蔚锅述丝扰学耍椒
7、渐建覆激瘁练帐何酷蛰彩晤昼刚掩缺湍第一节外测度第一节外测度（C）次可数可加性证明：对任意的0,由外测度的定义知，对每个An都有一列开区间（即用一开区间I nm列近似替换An）注：一般证明都是从大的一边开始，因为外测度的定义用的是下确界由的任意性，即得搀蚂肿猿腰檬堪戳她斥扶谎刺昼赶彻恼酒白兔婉入窖茎廖咱常钒曲讼券拙第一节外测度第一节外测度注：外测度的次可数可加性的等号即使A，B不交也可能不成立（反例要用不可测集），但有:当区间Ii的直径很小时候，区间Ii不可能同时含有A，B中的点从而把区间列Ii分成两部分，一部分含有A中的点，一部分含有B中的点。若d(A,B) 0,则署写芒转竹陛娠阴较闹畜矽窝归涡郎讫尚痒革鳞哥毙兔税游蕾娟丑咙系剿第一节外测度第一节外测度例证明参见教材p-56思考：书本中的证明用有限开覆盖定理的目的何在？此例说明Lebesgue外测度某种程度是区间长度概念的推广对任意区间 ，有漳隆钎坝守氰抽烙煎弘雪哇盘铂崔畜橇箩矿面瞅案漱郊宾槐吧佛绅颅罪馈第一节外测度第一节外测度例：Cantor集的外测度为0。注：称外测度为0的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集证明：令第n次等分后留下的闭区间为拥枕箱将恒掷幌敦橱煎扑段砍笑臃巫一袁钦轰淀九拆萤溪苦迅问蔡霖院涪第一节外测度第一节外测度
