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1、 连续型随机变量连续型随机变量X所有可能取值充满所有可能取值充满一个区间一个区间, 对这种类型的随机变量对这种类型的随机变量, 不不能象离散型随机变量那样能象离散型随机变量那样, 以指定它取以指定它取每个值概率的方式每个值概率的方式, 去给出其概率分布去给出其概率分布, 而是通过给出所谓而是通过给出所谓“概率密度函数概率密度函数”的方的方式式. 下面我们就来介绍对连续型随机变量下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法的描述方法.4 4 连续型连续型随机随机变量及其概率密度变量及其概率密度 对于随机变量对于随机变量 X的分布函数的分布函数F(x),如果存如果存在非负函数在非负函数f(x) ,
2、使得对任意使得对任意实数实数x有有则称则称 X为为连续型连续型r.v., f(x)为为 X 的的概率密度函数概率密度函数，简称简称概率密度概率密度.l连续型连续型r.v.及其概率密度函数的定义及其概率密度函数的定义1 o2 o 这两条性质是判定一个这两条性质是判定一个函数函数 f(x)是否为某是否为某r.v.X的概的概率密度函数的充要条件率密度函数的充要条件. f (x)xo面积为面积为13 ol概率密度函数的性质概率密度函数的性质 故故 X的密度的密度 f(x) 在在 x 这一点的值，恰好是这一点的值，恰好是X落在区间落在区间 上的概率与区间长度上的概率与区间长度 之比的极限之比的极限. 这
3、里，如果把概率理解为质量，这里，如果把概率理解为质量， f (x)相当于线密度相当于线密度.=f(x) 若若x是是 f(x)的连续点，则：的连续点，则：40若不计高阶无穷小，有：若不计高阶无穷小，有： 它表示随机变量它表示随机变量 X 取值于取值于 的的概率近似等于概率近似等于 .在连续型在连续型r.v.理论中所起的作用与理论中所起的作用与在离散型在离散型r.v.理论中所起的理论中所起的作用相类似作用相类似.5 0 连续型连续型r.v.取任一指定值的概率为取任一指定值的概率为0.即：即：a为为任一指定值任一指定值这是因为这是因为 说明说明1) 对连续型对连续型 r.v. X,有有2) 由由P(
4、X=a)=0 可推知可推知而而 X=a 并非不可能事件并非不可能事件,由此可见，由此可见， 由由P(A)=0, 不能推出不能推出并非必然事件并非必然事件由由P(B)=1, 不能推出不能推出 B =即分布函数是密度函数的变上限定积分即分布函数是密度函数的变上限定积分.若若 X 是连续型是连续型r.v.， X f (x) , 则则 F(x) = P(X x) = 且在且在 f (x)的连续点，的连续点，l连续型连续型 r.v.的分布函数的分布函数例例1 设设r.v.X的概率密度为的概率密度为(1)确定常数确定常数k;(2)求求X的分布函数的分布函数F(x);(3)求求P10，则，则称称X服从参数为
5、服从参数为 和和 的正态分布的正态分布. ()正态分布正态分布 的图形特点的图形特点 正态分布密度函数的曲线是一条关于正态分布密度函数的曲线是一条关于 对称的钟形曲线对称的钟形曲线. .特点是特点是“两头小，中间大，左右对称两头小，中间大，左右对称”. . 决定了图形的中心位置，决定了图形的中心位置， 决定了决定了图形中峰的陡峭程度图形中峰的陡峭程度. .故故f(x)以以为对称轴，并在为对称轴，并在x=处达到最大处达到最大值值: :令令x=+ +c, x=- -c (c0), 分别代入分别代入f (x), 可得可得f (+ +c)=f (- -c)且且 f (+ +c) f (), f (-
6、-c)f ()这说明曲线这说明曲线 f(x)向左右伸展时，越来越向左右伸展时，越来越贴近贴近x轴。即轴。即f (x)以以x轴为渐近线。轴为渐近线。 当当x 时，时，f(x) 0, ,用求导的方法可以证明，用求导的方法可以证明，为为f (x)的两个拐点的横坐标。的两个拐点的横坐标。x = 例例2 下面是我们用某大学大学生的身高数据下面是我们用某大学大学生的身高数据画出的频率直方图。画出的频率直方图。红线红线是拟是拟合的正态合的正态密度曲线密度曲线可见，某大学大学生的身高服从正态分布。可见，某大学大学生的身高服从正态分布。人人的的身身高高高高低低不不等等，但但中中等等身身材材的的占占大大多多数数，
7、特特高高和和特特矮矮的的只只是是少少数数，而而且且较较高高和和较较矮矮的的人人数数大大致致相相近近，这这反反映映了服从正态分布的随机变量的特点。了服从正态分布的随机变量的特点。 除除了了身身高高外外, ,在在正正常常条条件件下下各各种种产产品品的的质质量量指指标标，如如零零件件的的尺尺寸寸、纤纤维维的的强强度度和和张张力力、农农作作物物的的产产量量、小小麦麦的的穗穗长长和和株株高高、测测量量误误差差、射射击击目目标标的的水水平平或或垂垂直直偏偏差差、信信号号噪声等等，都服从或近似服从正态分布噪声等等，都服从或近似服从正态分布. .(3) 设设X , X的分布函数是的分布函数是(4) 标准正态分
8、布标准正态分布的正态分布称为的正态分布称为标准正态分布标准正态分布. .其密度函数和分布函数常用其密度函数和分布函数常用 和和 表示：表示： 标准正态分布的重要性在于，标准正态分布的重要性在于，任何一个任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布标准正态分布. . 根据定理根据定理1,1,只要将标准正态分布的分布只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题率计算问题. ., ,则则 N(0,1) 设设定理定理1 书末附有标准正态分布函数数值表，有书末附有标准正态分布函数数值表，
9、有了它，可以解决一般正态分布的概率计算了它，可以解决一般正态分布的概率计算. .（5） 正态分布表正态分布表表中给的是表中给的是x0时时, (x)的值的值.当当x175的概率为的概率为P X175=0.2578解解: 设车门高度为设车门高度为h cm, ,按设计要求按设计要求P(X h)0.01或或 P(X h) 0.99，例例4 公共汽车车门的高度是按成年男性与车门公共汽车车门的高度是按成年男性与车门顶头碰头机会在顶头碰头机会在0.01以下来设计的，问车门高以下来设计的，问车门高度应如何确定度应如何确定? ?假设成年男性的身高（单位：假设成年男性的身高（单位：cm）XN(170,7.692)
10、因为因为XN( (170,7.,7.692),),故故 P(X0.99所以所以 = =2.33, ,即即 h=170+17.92 188设计车门高度为设计车门高度为188厘米时，可使男厘米时，可使男子与车门碰头机会子与车门碰头机会不超过不超过0.01. .则称点则称点 为标准正态分布的上为标准正态分布的上 分位点分位点. .（7） 上上 分位点分位点设设XN(0,1)(0,1)，若，若 满足条件满足条件若若 r.v. X的概率密度为：的概率密度为：则称则称X服从区间服从区间( a, b)上的均匀分布，记作：上的均匀分布，记作：X U（a, b）. 均匀分布均匀分布x均匀分布常见于下列情形：均匀
11、分布常见于下列情形： 如在数值计算中，由于四舍五如在数值计算中，由于四舍五 入，小数入，小数点后某一位小数引入的误差，例如对小数点点后某一位小数引入的误差，例如对小数点后第一位进行四舍五后第一位进行四舍五 入时，那么一般认为误入时，那么一般认为误差服从（差服从（-0.5, 0.5）上的均匀分布。）上的均匀分布。若若X U(a, b)，则则对于满足对于满足的的c,d, 总有总有例例5 设电阻值设电阻值R是一个是一个r.v.，均匀分布在，均匀分布在9001100，求，求R的概率密度及的概率密度及R落在落在9501050的概率。的概率。解解 按题意，按题意，R的概率密度为的概率密度为于是有于是有则称
12、则称 X 服从参数为服从参数为 的指数分布的指数分布. 指数分布常用于可靠性统计研究中，指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命如元件的寿命.3. 指数分布指数分布常简记为常简记为 XE( ) .若若 r.v. X具有概率密度具有概率密度 这一讲，我们介绍了连续型随机变量、这一讲，我们介绍了连续型随机变量、概率密度函数及性质。概率密度函数及性质。 还介绍了正态分布，还介绍了正态分布，它的应用极为广泛，它的应用极为广泛，在本课程中我们一直要和它打交道在本课程中我们一直要和它打交道. 后面第五章中，我们还将介绍为什么后面第五章中，我们还将介绍为什么这么多随机现象都近似服从正态分布这么多随机现象都近似服从正态分布;还还要给出德莫佛极限定理的证明要给出德莫佛极限定理的证明. 另外我们简单介绍了均匀分布和指数另外我们简单介绍了均匀分布和指数分布分布.l小结小结
