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1、常数项级数常数项级数函数项级数函数项级数正正项项级级数数幂级数幂级数收收敛敛半半径径R R泰勒展开式泰勒展开式数或函数数或函数函函 数数数数任任意意项项级级数数泰勒级数泰勒级数在收敛在收敛 级数与数级数与数条件下条件下 相互转化相互转化 一、主要内容一、主要内容1性质性质1 1: : 级数的每一项同乘一个不为零的常数级数的每一项同乘一个不为零的常数, ,敛敛散性不变散性不变. .性质性质2 2: :收敛级数可以逐项相加与逐项相减收敛级数可以逐项相加与逐项相减. .性质性质3 3: :在级数前面加上有限项不影响级数的敛在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性散性.性质性质4 4: :收敛级数加括弧
2、后所成的级数仍然收敛收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和于原来的和. .级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件:收敛级数的基本性质收敛级数的基本性质1 1、常数项级数、常数项级数3常数项级数审敛法常数项级数审敛法正正 项项 级级 数数任意项级数任意项级数1.2.4.充要条件充要条件5.比较法比较法6.比值法比值法7.根值法根值法4.绝对收敛绝对收敛5.交错级数交错级数(莱布尼茨定理莱布尼茨定理)3.按基本性质按基本性质;一般项级数一般项级数4.绝对收敛绝对收敛42 2、幂级数、幂级数(1) (1) 收敛性收敛性14推论推论15定义定义: : 正数正数R称为幂级数的称为幂级数的收敛半径收敛
3、半径.幂级数的收敛域称为幂级数的幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间收敛区间.16a.a.代数运算性质代数运算性质: : 加减法加减法(其中其中(2)(2)幂级数的运算幂级数的运算17b.b.和函数的分析运算性质和函数的分析运算性质: :183 3、幂级数展开式、幂级数展开式(1) 定义定义19(2) 充要条件充要条件(3) 唯一性唯一性20(3) 展开方法展开方法a.a.直接法直接法( (泰勒级数法泰勒级数法) )步骤步骤:b.b.间接法间接法 根据唯一性根据唯一性, 利用常见展开式利用常见展开式, 通过通过变量代换变量代换, 四则运算四则运算, 恒等变形恒等变形, 逐项求导逐项求导, 逐项逐
4、项积分积分等方法等方法,求展开式求展开式.21(4) 常见函数展开式常见函数展开式2223二、例题二、例题例例1 1解解根据级数收敛的必要条件，根据级数收敛的必要条件，原级数发散原级数发散25解解根据比较判别法，根据比较判别法，原级数收敛原级数收敛26解解原级数收敛；原级数收敛；原级数发散；原级数发散；原级数也发散原级数也发散27例例解解即原级数非绝对收敛即原级数非绝对收敛28由莱布尼茨定理：由莱布尼茨定理：知此交错级数收敛，知此交错级数收敛，故原级数是条件收敛故原级数是条件收敛29例例解解两边逐项积分两边逐项积分3031例例4 4解解3233例例5 5解解3435 结束语结束语若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！
