《13空间几何体的表面积和体积》由会员分享，可在线阅读，更多相关《13空间几何体的表面积和体积（52页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 1 1、表面积：几何体表面的面积、表面积：几何体表面的面积 2 2、体积：几何体所占空间的大小。、体积：几何体所占空间的大小。* * 云在漫步云在漫步* * 云在漫步云在漫步表面积、全面积和侧面积表面积：立体图形的所能触摸到的面积之和叫做它的表面积。（每个面的面积相加 ）侧面积指立体图形的各个侧面的面积之和（除去底面）* * 云在漫步云在漫步* * 云在漫步云在漫步棱柱、棱锥、棱台的侧面积侧面积所指的对象分别如下：棱柱-直直棱柱。棱锥-正正棱锥。棱台-正正棱台2.2.几何体的表面积几何体的表面积 （1 1）棱柱、棱锥、棱台的表面积就是）棱柱、棱锥、棱台的表面积就是 . . （2 2）圆柱、圆
2、锥、圆台的侧面展开图分别是）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是 、 、 ；它们的表面积等于；它们的表面积等于 . .各面面积各面面积之和之和矩矩形形扇形扇形扇环形扇环形侧面积侧面积与底面面积之和与底面面积之和有关概念有关概念1、直棱柱：、直棱柱：2、正棱柱：、正棱柱：3、正棱锥：、正棱锥：4、正棱台：、正棱台：侧棱和底面侧棱和底面垂直垂直的棱柱叫的棱柱叫直直棱柱棱柱底面是底面是正多边形正多边形的的直直棱柱叫棱柱叫正正棱柱棱柱底面是底面是正多边形正多边形，顶点在底面的射影是顶点在底面的射影是底面中心底面中心的棱锥的棱锥正棱锥正棱锥被平行于底面的平面所截，被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部
3、分叫正棱台截面和底面之间的部分叫正棱台作直三棱柱、正三棱锥、正三棱台各一个，找出作直三棱柱、正三棱锥、正三棱台各一个，找出斜高斜高COBAPD斜高的概念2、分别作出一个圆柱、圆锥、圆台，并找出旋转轴、分别作出一个圆柱、圆锥、圆台，并找出旋转轴分别经过旋转轴作一个平面，观察得到的轴截面是分别经过旋转轴作一个平面，观察得到的轴截面是 什么形状的图形什么形状的图形.ABCDABCABCD矩矩 形形等腰三角形等腰三角形等腰梯形等腰梯形直棱柱：设棱柱的高为直棱柱：设棱柱的高为h，底面多边形的周长为，底面多边形的周长为c，则则S直棱柱侧直棱柱侧 .（类比矩形的面积）（类比矩形的面积）圆柱：如果圆柱的底面半
4、径为圆柱：如果圆柱的底面半径为r，母线长为，母线长为l，那么，那么S圆柱侧圆柱侧 （类比矩形的面积）（类比矩形的面积）ch2rl知识点一：柱、锥、台、球的表面积与侧面积知识点一：柱、锥、台、球的表面积与侧面积(1)柱体的侧面积把直三棱柱侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？侧面积怎么求？棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？h正棱柱的侧面展开图正棱柱的侧面展开图思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线 展开，分别得到什么图形展开，分别得到什么图形?展开的图形与原图展开的图形与原图 有什么关系？有什
5、么关系？宽宽长方形长方形圆柱的侧面展开图是矩形圆柱的侧面展开图是矩形O正棱锥：设正棱锥底面正多边形的周长为正棱锥：设正棱锥底面正多边形的周长为c，斜，斜高为高为h，则，则S正棱锥侧正棱锥侧 .（类比三角形的面积）（类比三角形的面积）圆锥：如果圆锥的底面半径为圆锥：如果圆锥的底面半径为r，母线长为，母线长为l，那，那么么S圆锥侧圆锥侧 .（类比三角形的面积）（类比三角形的面积）12chrl(2)锥体的侧面积锥体的侧面积把正三棱锥侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？侧面积怎么求？圆锥的侧面展开图是扇形圆锥的侧面展开图是扇形O 正棱台：设正正棱台：设正n棱台的上底面、下底面周长分别棱台的上底面、下底面
6、周长分别为为c、c，斜高为，斜高为h，则正，则正n棱台的侧面积公式：棱台的侧面积公式：S正棱台侧正棱台侧 . 圆台：如果圆台的上、下底面半径分别为圆台：如果圆台的上、下底面半径分别为r、r，母线长为，母线长为l，则，则S圆台侧圆台侧 12(cc)hl(rr)(3)台体的侧面积台体的侧面积注注：表面积侧面积底面积：表面积侧面积底面积 参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧面展开图是什么侧面展开图是什么 OO圆台的侧面展开图是圆台的侧面展开图是扇环扇环思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线 展开，分别
7、得到什么图形展开，分别得到什么图形?展开的图形与原图展开的图形与原图 有什么关系？有什么关系？扇环扇环扇环扇环 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，h它们的侧面展开图还是平面图形，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和之和例1：一个正三棱台的上、下底面边长分别是3cm和6cm，高是3/2cm，求三棱台的侧面积. 分析：关键是求出斜高，注意图中的直角梯形ABCC1A1B1O1ODD1E例3：圆台的上、下底面半径分别为2和4，高为 ，求其侧面展
8、开图扇环所对的圆心角分析：抓住相似三角形中的相似比是解题的关键小结：1、抓住侧面展开图的形状，用好相应的计算公式，注意逆向用公式； 2、圆台问题恢复成圆锥图形在圆锥中解决圆台问题，注意相似比.答：1800例：圆台的上、下底半径分别是10cm和20cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是1800，那么圆台的侧面积是多少？（结果中保留）600小结：1、弄清楚柱、锥、台的侧面展开图的形状是关键； 2、对应的面积公式C=0C=CS圆柱侧= 2rlS圆锥侧= rlS圆台侧=（r1+r2)lr1=0r1=r2例1：一个正三棱柱的底面是边长为5的正三角形，侧棱长为4，则其侧面积为 _;答：60例2：正四棱锥底面
9、边长为6 ,高是4，中截面把棱锥截成一个小棱锥和一个棱台，求棱台的侧面积 例例3 已知棱长为已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积，求它的表面积 DBCAS 分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成组成因为因为BC=a，所以：所以： 因此，四面体因此，四面体S-ABC 的表面积的表面积交交BC于点于点D解：先求解：先求 的面积，过点的面积，过点S作作 ，例例4(2010年广东省惠州市高三调研年广东省惠州市高三调研)如图，已如图，已知正三棱柱知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长是的底面边长是2
10、，D，E是是CC1，BC的中点，的中点，AEDE.(1)求此正三棱柱的侧棱长；求此正三棱柱的侧棱长；(2)正三棱柱正三棱柱ABCA1B1C1的表面积的表面积【思路点拨思路点拨】(1)证明证明AED为直为直角三角形，然后求侧棱长；角三角形，然后求侧棱长；(2)分别求出分别求出侧面积与底面积侧面积与底面积【点点评】求表面积应分别求各部分面的面积，所以应弄清图形的形求表面积应分别求各部分面的面积，所以应弄清图形的形状，利用相应的公式求面积，规则的图形可直接求，不规状，利用相应的公式求面积，规则的图形可直接求，不规则的图形往往要再进行转化，常分割成几部分来求则的图形往往要再进行转化，常分割成几部分来求
11、思考：怎样求斜棱柱的侧面积？ 1）侧面展开图是 平行四边形 2）S斜棱柱侧=直截面周长侧棱长 3） S侧侧=所有侧面面积之和所有侧面面积之和几何体占有空间部分的大小叫做它的体积几何体占有空间部分的大小叫做它的体积一、体积的概念与公理一、体积的概念与公理:公理公理1、长方体的体积等于它的长、宽、高的积。、长方体的体积等于它的长、宽、高的积。V长方体长方体= abc推论推论1 、长方体的体积等于它的底面积、长方体的体积等于它的底面积s和高和高h的积。的积。V长方体长方体= sh推论推论2 、正方体的体积等于它的棱长、正方体的体积等于它的棱长a 的立方。的立方。V正方体正方体= a3定理定理1： 柱
12、体（棱柱、圆柱）的体积等于它柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底面积的底面积 s 和高和高 h 的积。的积。V柱体柱体= sh二：柱体的体积二：柱体的体积推论推论 ： 底面半径为底面半径为r，高为高为h圆柱的体积是圆柱的体积是V圆柱圆柱= r2h三三:锥体体积锥体体积例例2 2： 如图：三棱柱如图：三棱柱ADAD1 1C C1 1-BDC,-BDC,底面积为底面积为S S, ,高为高为h h. . ABD C D1C1CDA BCD1ADCC1D1A答答:可分成可分成棱锥棱锥A-D1DC, 棱锥棱锥A-D1C1C, 棱锥棱锥A-BCD. 问：（问：（1 1）从）从A A点出发棱柱能点出发棱柱能分
13、割分割成几个三棱锥？成几个三棱锥？ 3.3.1 1锥体（棱锥、圆锥）的体积锥体（棱锥、圆锥）的体积 （底面积（底面积S，高高h） 注意：三棱锥的顶点和底面可以根据需要变换，四面体的每一个面都可以作为底面，可以用来求点到面的距离问题问题:锥体锥体( (棱锥、圆锥）棱锥、圆锥）的体积的体积定理定理如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面 积是，高是，那么它的体积是：积是，高是，那么它的体积是：推论：如果圆锥的底面半径是推论：如果圆锥的底面半径是，高是，高是， 那么它的体积是：那么它的体积是：hSS锥体锥体 圆锥圆锥 Shss/ss/hx四四.台体的体积台体的体积V V台体台
14、体= =上下底面积分别是上下底面积分别是s/,s,高是高是h，则，则推论：如果圆台的上推论：如果圆台的上, ,下底面半径是下底面半径是r r1 1.r.r2,2,高是高是，那么它的体积是：，那么它的体积是：圆台圆台 h(1)长方体的体积长方体的体积V长方体长方体abc .(其中其中a、b、c为长、宽、高，为长、宽、高，S为底面为底面积，积，h为高为高)(2)柱体柱体(圆柱和棱柱圆柱和棱柱)的体积的体积V柱体柱体Sh.其中，其中，V圆柱圆柱r2h(其中其中r为底面半径为底面半径)Sh知识点二柱、锥、台、球的体积知识点二柱、锥、台、球的体积(3)锥体锥体(圆锥和棱锥圆锥和棱锥)的体积的体积V锥体锥
15、体 Sh.其中其中V圆锥圆锥 ， r为底面半径为底面半径13r2h(4)台体的体积公式台体的体积公式V台台注：注：h为台体的高，为台体的高，S和和S分别为上下分别为上下两个底面的面积两个底面的面积其中其中V圆台圆台 注：注：h为台体的高，为台体的高，r、r分别为上、分别为上、下两底的半径下两底的半径(5)球的体积球的体积V球球 .13h(r2rrr2)43R3设球的半径为设球的半径为R，则球的体积公式为，则球的体积公式为V球球 .43R3例例1(2009年高考上海卷年高考上海卷)若球若球O1、O2表表面积之比面积之比4，则它们的半径之比，则它们的半径之比_.(1)(1)若球的表面积变为原来的若
16、球的表面积变为原来的2 2倍倍, ,则半径变为原来的则半径变为原来的倍。倍。(2)(2)若球半径变为原来的若球半径变为原来的2 2倍，则表面积变为原来的倍，则表面积变为原来的倍。倍。(3)(3)若两球表面积之比为若两球表面积之比为1:21:2，则其体积之比是，则其体积之比是。(4)(4)若两球体积之比是若两球体积之比是1:21:2，则其表面积之比是，则其表面积之比是。例例2 2：例例3.3.如图，正方体如图，正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为a,a,它的各个它的各个顶点都在球顶点都在球O O的球面上，问球的球面上，问球O O的表面积。的表面
17、积。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O OA AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。略解：变题变题1.1.如果球如果球O O和这个正方体的六个面都相切，则有和这个正方体的六个面都相切，则有S=S=。变题变题2.2.如果球如果球O O和这个正方体的各条棱都相切，则有和这个正方体的各条棱都相切，则有S=S=。关键关键：找正
18、方体的棱长找正方体的棱长a a与球半径与球半径R R之间的关系之间的关系OABC例例4已知过球面上三点已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的截面到球心O的距离的距离等于球半径的一半，且等于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的体，求球的体积，表面积积，表面积解：如解：如图，设球球O半径半径为R，截面截面 O的半径的半径为r，例例5、有三个球、有三个球,一球切于正方体的各面一球切于正方体的各面,一一球切于正方体的各侧棱球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的一球过正方体的各顶点各顶点,求这三个球的体积之比求这三个球的体积之比.作轴截面作轴截面规律方法总结1直棱柱的侧面展开图是一些矩形，正棱
19、锥的侧面展开图直棱柱的侧面展开图是一些矩形，正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形，正棱台的侧面展开图是一些全等的是一些全等的等腰三角形，正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形等腰梯形2斜棱柱的侧面积等于它的直截面斜棱柱的侧面积等于它的直截面(垂直于侧棱并与每条垂直于侧棱并与每条侧棱都相交的截面侧棱都相交的截面)的周长与侧棱长的乘积的周长与侧棱长的乘积3如果直棱柱的底面周长是如果直棱柱的底面周长是c，高是，高是h，那么它的侧面，那么它的侧面积是积是S直棱柱侧直棱柱侧ch.4应注意各个公式的推导过程，不要死记硬背公式本应注意各个公式的推导过程，不要死记硬背公式本身，要熟悉柱体中的矩形、锥体中的
20、直角三角形、台体中的身，要熟悉柱体中的矩形、锥体中的直角三角形、台体中的直角梯形等特征图形在公式推导中的作用直角梯形等特征图形在公式推导中的作用规律方法总结5如果不是正棱柱、正棱锥、正棱台，在求其侧面积或如果不是正棱柱、正棱锥、正棱台，在求其侧面积或全面积时，应对每一个侧面的面积分别求解后再相加全面积时，应对每一个侧面的面积分别求解后再相加6求球的体积和表面积的关键是求出球的半径反之，求球的体积和表面积的关键是求出球的半径反之，若已知球的表面积或体积，那么就可以得出其半径的大小若已知球的表面积或体积，那么就可以得出其半径的大小7计算组合体的体积时，首先要弄清楚它是由哪些基本计算组合体的体积时，
21、首先要弄清楚它是由哪些基本几何体构成，然后再通过轴截面分析和解决问题几何体构成，然后再通过轴截面分析和解决问题8计算圆柱、圆锥、圆台的体积时，关键是根据条件找计算圆柱、圆锥、圆台的体积时，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面和旋出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解题型一题型一 几何体的展开与折叠几何体的展开与折叠 有一根长为有一根长为3 cm3 cm，底面半径为，底面半径为1 cm1 cm的的 圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2 2
22、圈，并圈，并 使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端, , 则铁丝的最短长度为多少？则铁丝的最短长度为多少？ 把圆柱沿这条母线展开，将问题转把圆柱沿这条母线展开，将问题转 化为平面上两点间的最短距离化为平面上两点间的最短距离. .题型分类题型分类 深度剖析深度剖析解解 把圆柱侧面及缠绕其上把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到的铁丝展开，在平面上得到矩形矩形ABCDABCD（如图所示），（如图所示），由题意知由题意知BCBC=3 cm=3 cm，ABAB=4 cm=4 cm，点，点A A与点与点C C分别是铁丝的起、止位分别是铁丝的起、止位置，故
23、线段置，故线段ACAC的长度即为铁丝的最短长度的长度即为铁丝的最短长度. .故铁丝的最短长度为故铁丝的最短长度为5 cm.5 cm. 求立体图形表面上两点的最短距离求立体图形表面上两点的最短距离问题，是立体几何中的一个重要题型问题，是立体几何中的一个重要题型. .这类题目的这类题目的特点是：立体图形的性质和数量关系分散在立体特点是：立体图形的性质和数量关系分散在立体图形的几个平面上或旋转体的侧面上图形的几个平面上或旋转体的侧面上. .为了便于发为了便于发现它们图形间性质与数量上的相互关系，必须将现它们图形间性质与数量上的相互关系，必须将图中的某些平面旋转到同一平面上，或者将曲面图中的某些平面旋
24、转到同一平面上，或者将曲面展开为平面，使问题得到解决展开为平面，使问题得到解决. .其基本步骤是：展其基本步骤是：展开（有时全部展开，有时部分展开）为平面图形，开（有时全部展开，有时部分展开）为平面图形，找出表示最短距离的线段，再计算此线段的长找出表示最短距离的线段，再计算此线段的长. . 题型三题型三 多面体的表面积及其体积多面体的表面积及其体积 一个正三棱锥的底面边长为一个正三棱锥的底面边长为6 6，侧棱长，侧棱长 为为 ，求这个三棱锥的体积，求这个三棱锥的体积. . 本题为求棱锥的体积问题本题为求棱锥的体积问题. .已知底面已知底面 边长和侧棱长，可先求出三棱锥的底面面积边长和侧棱长，可先求出三棱锥的底面面积 和高，再根据体积公式求出其体积和高，再根据体积公式求出其体积. . 解解 如图所示，如图所示， 正三棱锥正三棱锥S SABCABC. . 设设H H为正为正ABCABC的中心，的中心， 连接连接SHSH， 则则SHSH的长即为该正三棱锥的高的长即为该正三棱锥的高. .连接连接AHAH并延长交并延长交BCBC于于E E，则则E E为为BCBC的中点，且的中点，且AHAHBCBC. .ABCABC是边长为是边长为6 6的正三角形，的正三角形，
