电磁场与电磁波第一章矢量分析（高等教学）

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1、第一章 矢量分析 电磁场工程电磁场工程Electromagnetic Fields Engineering刘刘 瑜瑜电子信息工程学院电子信息工程学院1严选课件第一章 矢量分析 一一 本课程的地位与主要任务本课程的地位与主要任务二二 电磁场理论的发展简史电磁场理论的发展简史 三三 电磁场理论的主要研究与应用领域电磁场理论的主要研究与应用领域四四 本课程的基本内容与要求本课程的基本内容与要求前前 言言2严选课件第一章 矢量分析 一、本课程的地位与主要任务一、本课程的地位与主要任务 信息类专业与电有关的两大核心知识基础： 电路理论 电磁场理论 电磁场工程课程是信息类学生必修的一门专业核心基础课，掌握

2、其内容是继续学习现代信息技术的重要前提与必要基础之一。 本课程的主要任务：在大学物理和高等数学的基础上，帮助学生建立场的观念，学会运用场的观点对宏观电磁现象进行分析和求解，为进一步学习有关专业课程奠定必要的理论基础。3严选课件第一章 矢量分析 电磁学是研究电场、磁场以及电磁相互作用的现象、规律和应用的学科。 电磁学的建立，根源于人类对早期发现的一些电磁现象进行的物理解释，如静电吸物、摩擦生电、磁石相吸、库仑实验等。 电磁场理论的发展经历三个阶段：二、电磁场理论的发展简史二、电磁场理论的发展简史 （一）（一） 静电学、静磁学的建立阶段（静电学、静磁学的建立阶段（1919世纪前）世纪前） 这一阶段

3、，电、磁现象是作为两种独立的物理现象分别进行研究，当时还没有发现电与磁的联系，这些早期的研究为电磁学理论的建立奠定了基础。4严选课件第一章 矢量分析 奥斯特从1807年开始研究电磁之间的关系。1820年，他发现电流以力作用于磁针（电流的磁效应）。 （二）（二）发现电与磁的联系发现电与磁的联系 安培 1820年安培发现放在磁铁附近的载流导线会受到力的作用，其后又发现载流导线之间也有相互作用，并提出了著名的Ampere定律，为电动力学的产生奠定了基础。 法拉第 奥斯特1820年发现电流的磁效应后，法拉第敏锐地意识到，电可以对磁产生作用，磁也一定能够对电产生影响。1831年他发现，当磁捧插入导体线圈

4、时；导线圈中就产生电流。这表明，电与磁之间存在着密切的联系（Faraday定律） 。5严选课件第一章 矢量分析 麦 克 斯 韦 1865年 ， 英 国 物 理 学 家 麦 克 斯 韦（J.C.Maxwell 1831-1879)在前人实践和理论的基础上，提出位移电流假说，总结出宏观电磁现象的一般规律麦克斯韦方程组，并于1873年发表了详述该理论的电磁学通论。其核心思想是：变化的电场能产生磁场，变化的磁场也能产生电场，并预言了电磁波的存在。 赫兹 1888年用实验方法证实了电磁波的存在后，麦克斯韦方程组成为经典电动力学的公理，麦克斯韦成为宏观电磁场理论的奠基人。 （三）（三）宏观电磁场理论的建立

5、宏观电磁场理论的建立6严选课件第一章 矢量分析 作为理论物理学的一个重要研究分支，主要致力于统一场理论和微观量子电动力学的研究。电磁场理论的主要研究领域 作为电子信息技术的理论基础，集中于三大类应用问题的研究。三、电磁场理论的主要研究与应用领域三、电磁场理论的主要研究与应用领域7严选课件第一章 矢量分析 电磁能量电磁能量便于转换为其它形式的能量，便于远距离输送，是当今便于转换为其它形式的能量，便于远距离输送，是当今世界最重要的能源，其研究领域涉及电磁能量的产生、储存、变世界最重要的能源，其研究领域涉及电磁能量的产生、储存、变换、传输和综合利用。换、传输和综合利用。（主动调制）（主动调制） 电电

6、磁磁波波作作为为信信息息传传输输的的载载体体，能能在在极极短短的的时时间间内内把把信信号号传传送送到到远远方方，是是当当今今人人类类社社会会发发布布和和获获取取信信息息的的主主要要手手段段，主主要要研研究究领领域域为为电电磁磁信信息息的的产产生生、获获取取、交交换换、传传输输、储储存存、处处理理、再再现现和和综综合利用。合利用。（主动调制）（主动调制） 电电磁磁波波是是探探测测未未知知世世界界的的一一种种重重要要手手段段，主主要要研研究究领领域域为为电电磁磁波波与与目目标标的的相相互互作作用用特特性性、目目标标特特征征的的获获取取、重重建建与与成成像像、探探测测新新技术等。技术等。（被动调制）

7、（被动调制） 电磁场的三大类应用问题电磁场的三大类应用问题8严选课件第一章 矢量分析 无线电通信（信息载体）无线电通信（信息载体）9严选课件第一章 矢量分析 食品加工（电磁能量）食品加工（电磁能量） 电磁炉电磁炉微波炉微波炉10严选课件第一章 矢量分析 天文观测（探测手段）天文观测（探测手段） 北京天文台射电望远镜北京天文台射电望远镜11严选课件第一章 矢量分析 医疗检测医疗检测（主动发射，被动调制） 医疗医疗CT检测与成像装置检测与成像装置12严选课件第一章 矢量分析 掌握宏观电磁场的掌握宏观电磁场的基本属性和规律基本属性和规律掌握宏观电磁场问题的掌握宏观电磁场问题的基本求解方法基本求解方法

8、掌握掌握电磁波的概念及其传播特性电磁波的概念及其传播特性培养培养用场的观念用场的观念分析问题、解决问题的能力分析问题、解决问题的能力四、课程的基本要求四、课程的基本要求13严选课件第一章 矢量分析 学习注意点学习注意点 本本课课程程作作为为物物联联网网专专业业的的必必修修科科目目，侧侧重重于于电电磁磁场场基基本本概概念念和和原原理理的的掌掌握握，不不同同于于电电子子类类专专业业的的必必修修要要求求（72学学时时），由由于于课课时时数数较较少少（54学学时时），学学习习的的内内容容和和深度要求相对要浅显一些。深度要求相对要浅显一些。 一、矢量分析一、矢量分析 二、静电场与恒定电场理论二、静电场与

9、恒定电场理论 三、恒定磁场理论三、恒定磁场理论 四、静态场边值问题四、静态场边值问题 五、时变电磁场理论五、时变电磁场理论 六、电磁波基本理论六、电磁波基本理论课程的主要内容课程的主要内容14严选课件第一章 矢量分析 【1】 孙玉发等，电磁场与电磁波，合肥工业大学出版社孙玉发等，电磁场与电磁波，合肥工业大学出版社【2】谢处方，电磁场与电磁波（第四版），高等教育出谢处方，电磁场与电磁波（第四版），高等教育出 版社版社【3】其他其他符合教学内容要求符合教学内容要求的的“电磁场与电磁波电磁场与电磁波”教材。教材。主要教学参考书主要教学参考书15严选课件第一章 矢量分析 第一章 电磁场的数学基础：矢量

10、分析 1.1 场的概念场的概念 1.2 三三种常用的正交坐标系种常用的正交坐标系 1.3 标量场的方向导数和梯度标量场的方向导数和梯度 1.4 矢量场的通量和散度矢量场的通量和散度 1.5 矢量场的环量和旋度矢量场的环量和旋度 1.6 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 16严选课件第一章 矢量分析 矢量的几何表示：用一条有方向的线段来表示矢量的几何表示：用一条有方向的线段来表示 矢量的几何表示矢量的几何表示矢量可表示为：矢量可表示为： 其中其中 为为模值模值，表征矢量的，表征矢量的大小大小； 为为单位矢量单位矢量，表征矢量的，表征矢量的方向方向； 说明：矢量书写时，说明：矢量书写时，印刷体印刷体为场量

11、符号加粗，如为场量符号加粗，如 。教材。教材上的矢量符号即采用印刷体。上的矢量符号即采用印刷体。1.1.1 矢量代数矢量代数 标量与矢量标量与矢量 标量：标量：只有大小，没有方向只有大小，没有方向的物理量的物理量( (电压电压U U、电荷量、电荷量Q Q、能量、能量W W等）等） 矢量：矢量：既有大小，又有方向既有大小，又有方向的物理量（作用力，电、磁场强度）的物理量（作用力，电、磁场强度） 矢量的代数表示矢量的代数表示1.1 场的概念场的概念 17严选课件第一章 矢量分析 矢量用坐标分量表示矢量用坐标分量表示zxy18严选课件第一章 矢量分析 1.1.2 矢量的运算矢量的运算 矢量的加法和减

12、法矢量的加法和减法说明：说明：1 1、矢量的加法符合、矢量的加法符合交换律交换律和和结合律结合律： 2 2、矢量相加和相减可用、矢量相加和相减可用平行四边形法则平行四边形法则求解：求解： 19严选课件第一章 矢量分析 矢量的乘法矢量的乘法 矢量与标量相乘矢量与标量相乘标量与矢量相乘只改变矢量大小，不改变方向。标量与矢量相乘只改变矢量大小，不改变方向。 矢量的标积（点积）矢量的标积（点积）说明：说明：1 1、矢量的点积符合交换律和分配律：、矢量的点积符合交换律和分配律： 2 2、两个矢量的点积为两个矢量的点积为标量标量 20严选课件第一章 矢量分析 矢量的矢积（叉积）矢量的矢积（叉积）说明：说明

13、：1 1、矢量的叉积、矢量的叉积不符合不符合交换律，但交换律，但符合符合分配律：分配律： 2 2、两个矢量的叉积为两个矢量的叉积为矢量矢量 3 3、矢量运算恒等式、矢量运算恒等式qsinABq21严选课件第一章 矢量分析 若某一矢量的模和方向都保持不变， 此矢量称为常矢，如某物体所受到的重力。而在实际问题中遇到的更多的是模和方向或两者之一会发生变化的矢量，这种矢量我们称为变矢，如沿着某一曲线物体运动的速度v等。 设t是一变量，A为变矢，对于某一区间Ga, b内的每一个数值t, A都有一个确定的矢量A (t)与之对应，则称A为变量t的矢量函数。记为 1.1.3 矢量函数矢量函数 22严选课件第一

14、章 矢量分析 而G为A的定义域。矢量函数A(t)在直角坐标系中的三个坐标分量都是变量t的函数，分别为Ax(t)、Ay(t)、Az(t)，则矢量函数A (t)也可用其坐标表示为 其中ex、ey、ez为x轴、y轴、z轴的单位矢量。 23严选课件第一章 矢量分析 1.1.4 标量场和矢量场标量场和矢量场 如果在某一空间区域内的每一点，都对应着某个物理量的一个确定的值，则称在此区域内确定了该物理量的一个场。例如在教室中温度的分布确定了一个温度场，一定空间中电位的分布确定了一个电位场。 场的一个重要的属性是它占有一定空间，而且在该空间域内， 除有限个点和表面外，其物理量应是处处连续的。若该物理量与时间无

15、关，则该场称为静态场；若该物理量与时间有关，则该场称为动态场或称为时变场。 24严选课件第一章 矢量分析 研究物理系统中温度、 压力、 密度等在一定空间的分布状态时，数学上只需用一个代数变量来描述， 这些代数变量(即标量函数)所确定的场称为标量场， 如温度场T(x, y, z)、电位场(x, y, z)等。然而在许多物理系统中， 其状态不仅需要确定其大小，同时还需确定它们的方向，这就需要用一个矢量来描述， 因此称为矢量场，例如电场、磁场、流速场等等。 25严选课件第一章 矢量分析 yx以以数值大小（数值大小（明暗程度明暗程度）表表示的示的标量场标量场 以以箭头箭头表示的表示的矢量场矢量场A 标

16、量场标量场（）和矢量场和矢量场（A）yx26严选课件第一章 矢量分析 标量场的等值面标量场的等值面 标量场空间中，由所有场值相等的点所标量场空间中，由所有场值相等的点所构成的面，即为等值面。即若标量函数为构成的面，即为等值面。即若标量函数为 ，则等值面方程为：，则等值面方程为：从数学上看，场是从数学上看，场是定义在空间区域上的函数定义在空间区域上的函数：静态标量场和矢量场可分别表示为：静态标量场和矢量场可分别表示为：时变标量场和矢量场可分别表示为：时变标量场和矢量场可分别表示为： 27严选课件第一章 矢量分析 例例1-1 求数量场 =(x+y)2-z通过点M(1, 0, 1)的等值面方程。 解

17、解：点M的坐标是x0=1, y0=0, z0=1，则该点的数量场值为=(x0+y0)2-z0=0。其等值面方程为 或 28严选课件第一章 矢量分析 三维空间任意一点的位置可通过三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交线的交点三条相互正交线的交点来来确定。确定。 在电磁场与波理论中，三种常用的正交坐标系为：在电磁场与波理论中，三种常用的正交坐标系为：直角坐直角坐标系标系、圆柱坐标系圆柱坐标系和和球坐标系球坐标系。 三条正交线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为三条正交线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正交坐标系正交坐标系；三条正交线称为；三条正交线称为坐标轴坐标轴；描述坐标轴的量称为

18、；描述坐标轴的量称为坐坐标变量标变量。1.2 三种常用的正交坐标系三种常用的正交坐标系29严选课件第一章 矢量分析 1.2.1 直角坐标系直角坐标系位置矢量位置矢量面元矢量面元矢量线元矢量线元矢量体积元体积元坐标变量坐标变量坐标单位矢量坐标单位矢量点点P(x0,y0,z0)0yy=（平面）（平面） o x y z0xx=（平面）（平面）0zz=（平面（平面）P 直角坐标系直角坐标系 x yz直角坐标系的线元、面积元、体积元直角坐标系的线元、面积元、体积元 odzd ydx30严选课件第一章 矢量分析 1.2.2 圆柱坐标系圆柱坐标系坐标变量坐标变量坐标单位矢量坐标单位矢量位置矢量位置矢量线元矢

19、量线元矢量体积元体积元面元矢量面元矢量圆柱坐标系中的线元、面元和体积元圆柱坐标系中的线元、面元和体积元圆柱坐标系圆柱坐标系微分单元关系微分单元关系31严选课件第一章 矢量分析 说明：说明：圆柱坐标系下矢量运算方法：圆柱坐标系下矢量运算方法：加减：加减：标积：标积：矢积：矢积：32严选课件第一章 矢量分析 1.2.3 球坐标系球坐标系球坐标系球坐标系球坐标系中的线元、面元和体积元球坐标系中的线元、面元和体积元坐标变量坐标变量坐标单位矢量坐标单位矢量位置矢量位置矢量线元矢量线元矢量体积元体积元面元矢量面元矢量微分单元关系微分单元关系33严选课件第一章 矢量分析 说明：球坐标系下矢量运算：说明：球坐

20、标系下矢量运算： 加减：加减：标积：标积：矢积：矢积：34严选课件第一章 矢量分析 不同坐标系不同坐标系变量变量的转换的转换直角坐标直角坐标与与圆柱坐标系圆柱坐标系直角坐标直角坐标与与球坐标系球坐标系35严选课件第一章 矢量分析 三种坐标系有不同适用范围：三种坐标系有不同适用范围：1 1、直角坐标系适用于场呈、直角坐标系适用于场呈面对称分布面对称分布的问题求解，如无限大的问题求解，如无限大面电荷分布产生电场分布。面电荷分布产生电场分布。2 2、柱面坐标系适用于场呈、柱面坐标系适用于场呈轴对称分布轴对称分布的问题求解，如无限长的问题求解，如无限长线电流产生磁场分布。线电流产生磁场分布。3 3、球

21、面坐标系适用于场呈、球面坐标系适用于场呈点对称分布点对称分布的问题求解，如点电荷的问题求解，如点电荷产生电场分布。产生电场分布。36严选课件第一章 矢量分析 标量场在某点的标量场在某点的方向方向导数导数表示标量场自该点沿表示标量场自该点沿某一方向上的变化率。某一方向上的变化率。 标量场标量场 在在 P 点沿点沿 l 方向上的方向导数方向上的方向导数 定义为定义为Pl1.3 标量场的方向导数和梯度标量场的方向导数和梯度方向导数与选取的方向导数与选取的考察方向考察方向有关。有关。方向导数表征标量场空间中，方向导数表征标量场空间中，某点处某点处场值沿场值沿特定方向特定方向变化的规律。变化的规律。37

22、严选课件第一章 矢量分析 方向导数物理意义：方向导数物理意义：，标量场，标量场 在在 处沿处沿 方向增加率；方向增加率；，标量场，标量场 在在 处沿处沿 方向减小率；方向减小率；，标量场，标量场 在在 处沿处沿 方向为等值面方向（无改变）方向为等值面方向（无改变） 方向导数的计算方向导数的计算 的方向余弦。的方向余弦。 式中式中： 分别为分别为 与与x,y,zx,y,z坐标轴的夹角。坐标轴的夹角。 38严选课件第一章 矢量分析 例例1-2 求数量场 在点M(1, 1, 2)处沿l=ex+2ey+2ez方向的方向导数。 解：解：l方向的方向余弦为 39严选课件第一章 矢量分析 而 数量场在l方向

23、的方向导数为 在点M处沿l方向的方向导数 40严选课件第一章 矢量分析 梯度是一个梯度是一个矢量矢量。 某点梯度的某点梯度的大小大小等于该点的等于该点的最大方向导数最大方向导数，某点，某点梯度的方向为该点具有梯度的方向为该点具有最大最大方向导数的方向。方向导数的方向。1.3.2 标量场的梯度标量场的梯度 梯度的定义梯度的定义式中：式中： 为场量为场量 最大变化率最大变化率的方向上的单位矢量。的方向上的单位矢量。 梯度的性质梯度的性质 标量场的梯度为标量场的梯度为矢量矢量，且是坐标位置的函数，且是坐标位置的函数 标量场梯度的幅度表示标量场的标量场梯度的幅度表示标量场的最大增加率最大增加率 标量场

24、梯度的方向标量场梯度的方向垂直于垂直于等值面，为标量场等值面，为标量场增加最快增加最快的方向的方向 标量场在给定点沿任意方向的标量场在给定点沿任意方向的方向导数方向导数等于等于梯度在该方向投影梯度在该方向投影41严选课件第一章 矢量分析 梯度的计算梯度的计算 标量场(x, y, z)在l方向上的方向导数为 在直角坐标系中，令 42严选课件第一章 矢量分析 矢量l是l方向的单位矢量，矢量G是在给定点处的一常矢量。 由上式显然可见，当l与G的方向一致时，即cos(G, l)=1 时，标量场在点M处的方向导数最大，也就是说沿矢量G方向的方向导数最大，此最大值为 43严选课件第一章 矢量分析 在直角坐

25、标系中， 梯度的表达式为 梯度用哈密顿微分算子的表达式为 哈密顿算符式中的式中的grad 是英文单词是英文单词 gradient（梯度）的缩写。的缩写。44严选课件第一章 矢量分析 设c为一常数，u(M)和v(M)为标量场，很容易证明下面梯度运算法则的成立。 45严选课件第一章 矢量分析 例例1-3 设标量函数r是矢径r=xex+yey+zez的模， 即 ， 证明： 证：证： 因为 46严选课件第一章 矢量分析 所以 47严选课件第一章 矢量分析 例例1-4 求函数r在M(1，0，1)处沿l=ex+2ey+2ez方向的方向导数。解：解： 由例1-3知r的梯度为 点M处的坐标为x=1, y=0,

26、 z=1, 所以r在M点处的梯度为 r在M点沿l方向的方向导数为 48严选课件第一章 矢量分析 而 所以 49严选课件第一章 矢量分析 例例1-5 已知位于原点处的点电荷q在点M(x, y, z)处产生的电位为 ，其中矢径r为r=xex+yey+zey，且已知电场强度与电位的关系是E=-，求电场强度E。 解：解： 根据f(u)=f(u)gradu的运算法则， 50严选课件第一章 矢量分析 1.4.1 1.4.1 矢量线矢量线 形象描述形象描述矢量场在空间分布状况矢量场在空间分布状况的曲线，的曲线，例如例如电场中的电力线。电场中的电力线。 线上每一点的线上每一点的切线方向切线方向代表该点矢量场的

27、方向，代表该点矢量场的方向，而而矢量线的矢量线的疏密疏密表征矢量场的表征矢量场的大小。大小。矢量线矢量线OM 1.4 矢量场的通量和散度矢量场的通量和散度 为精确描述矢量线，需求出矢量线方程。为精确描述矢量线，需求出矢量线方程。 根据定义，线上任一点的切向与该点矢量场根据定义，线上任一点的切向与该点矢量场 F的方向平行。的方向平行。 即：即：F dr = 0，经推导化简可得矢量线，经推导化简可得矢量线方程：方程：51严选课件第一章 矢量分析 例例1-6 求矢量场A=xy2ex+x2yey+zy2ez的矢量线方程。解：解： 矢量线应满足的微分方程为 从而有 解之即得矢量线方程 c1和c2是积分常

28、数。 52严选课件第一章 矢量分析 矢量场的通量矢量场的通量 若若矢量场矢量场 分布于空间中，在空分布于空间中，在空间中存在任意曲面间中存在任意曲面S S，则定义：，则定义：为为矢量矢量 沿沿有向曲面有向曲面 S S 的通量的通量。1.4.2 1.4.2 矢量场的通量矢量场的通量为为定量描述矢量场的具体特征，定量描述矢量场的具体特征，引入引入通量、环量通量、环量的概念。的概念。 矢量矢量 F沿某一有向曲面沿某一有向曲面 S 的的面积面积分分称为矢量称为矢量 F 通过该有向曲面通过该有向曲面 S 的的通通量量，以，以标量标量 表示，即：表示，即： 53严选课件第一章 矢量分析 1) 1) 面元矢

29、量面元矢量 定义：面积很小的定义：面积很小的有向有向曲面。曲面。：面元面积，为：面元面积，为微分量微分量，无限小无限小：面元法线方向，：面元法线方向，垂直于垂直于面元。面元。说明：说明：2) 2) 面元法向面元法向 的确定方法：的确定方法： 对非闭合曲面：由曲面边线绕向按对非闭合曲面：由曲面边线绕向按右手右手螺旋法则螺旋法则确定；确定； 对闭合曲面：闭合面对闭合曲面：闭合面外法线方向外法线方向 若若S 为闭合曲面为闭合曲面 物理意义：表示穿入和穿出闭合面物理意义：表示穿入和穿出闭合面S S的通量的的通量的代数和代数和。 54严选课件第一章 矢量分析 图 1-3 法线方向的取法 55严选课件第一

30、章 矢量分析 若若 ，通过闭合曲面有净的矢量线穿出，闭合面内有发，通过闭合曲面有净的矢量线穿出，闭合面内有发出矢量线的出矢量线的正源正源； 若若 ，有净的矢量线进入，闭合面内有汇集矢量线的，有净的矢量线进入，闭合面内有汇集矢量线的负负源（洞）源（洞）； 若若 ，进入与穿出闭合曲面的矢量线相等，闭合面内，进入与穿出闭合曲面的矢量线相等，闭合面内无无源源，或或正源负源代数和为正源负源代数和为0 0。 通过通过闭合面闭合面S S的通量的通量的物理意义：的物理意义：56严选课件第一章 矢量分析 但是，通量仅能表示闭合面中但是，通量仅能表示闭合面中源的总量源的总量，它不能，它不能显示显示源的分布特性源的

31、分布特性。为此需要研究矢量场的。为此需要研究矢量场的散度散度。1.4.2 矢量场的散度矢量场的散度 例例如如：已已知知真真空空中中的的电电场场强强度度 E 通通过过任任一一闭闭合合曲曲面面的的通通量量等等于于该该闭闭合合面面包包围围的的自自由由电电荷荷的的电电荷荷量量 q 与真空介电常数与真空介电常数 0 之比，即，之比，即，57严选课件第一章 矢量分析 当闭合面当闭合面 S 向某点向某点无限收缩无限收缩时，矢量时，矢量 A 通过该闭通过该闭合面合面 S 的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场矢量场 A 在该点的在该点的散度散度，以，以 div

32、A 表示表示式中，式中，div 是英文字是英文字divergence 的缩写；的缩写； V 为闭合面为闭合面 S 包围的体积。包围的体积。散度的定义散度的定义 即：即：散度是一个标量散度是一个标量，它可理解为，它可理解为通过通过包围单位体积闭合面包围单位体积闭合面的通量。的通量。 58严选课件第一章 矢量分析 散度的物理意义散度的物理意义 矢量场的散度表征了矢量场的矢量场的散度表征了矢量场的通量源的分布特性通量源的分布特性( (体密度体密度) )； 矢量场的矢量场的散度是标量散度是标量； 矢量场的散度是矢量场的散度是空间坐标的函数空间坐标的函数； 矢量场的散度值表征空间中矢量场的散度值表征空间

33、中某点处某点处通量源的密度通量源的密度。( ( 正源正源) ) 负负源源) )( ( 无源无源） 若若 处处成立，则该矢量场称为处处成立，则该矢量场称为无散场无散场 若若 ，则该矢量场称为，则该矢量场称为有散场有散场， 为源密度为源密度 讨论：在矢量场中，讨论：在矢量场中，59严选课件第一章 矢量分析 矢量场A的散度可表示为哈密顿微分算子与矢量A的标量积， 即 散度的计算散度的计算60严选课件第一章 矢量分析 例例 求空间任一点位置矢量求空间任一点位置矢量 r 的散度的散度 。求得求得已知已知解解rOxzyxzy61严选课件第一章 矢量分析 散度运算相关公式散度运算相关公式62严选课件第一章

34、矢量分析 该公式表明了矢量场该公式表明了矢量场 A 的散度在的散度在体积体积V内的积分内的积分等于矢量场穿等于矢量场穿过包围该体积的过包围该体积的边界面边界面S S的通量的通量。 从从数学数学角度可以认为散度定理建立了角度可以认为散度定理建立了面积分面积分和和体积分体积分的关系。从的关系。从物理物理角度可以理解为散度定理建立了角度可以理解为散度定理建立了区域区域 V 中中的场和包围区域的场和包围区域 V 的边界的边界 S 上的上的场之间的关系场之间的关系。因此，如。因此，如果已知区域果已知区域 V 中的场，中的场， 根据根据散度散度定理即可求出边界定理即可求出边界 S 上的上的场，反之亦然。场

35、，反之亦然。1.4.4 散度定理（矢量场的高斯定理）散度定理（矢量场的高斯定理）散度定理散度定理或者写为或者写为63严选课件第一章 矢量分析 散度定理形式证明散度定理形式证明 64严选课件第一章 矢量分析 散度定理的形式证明散度定理的形式证明2 2从散度定义，可以得到：从散度定义，可以得到：则在一定体积则在一定体积V V内的总的通量为：内的总的通量为：体积的剖分体积的剖分VS1S2en2en1S65严选课件第一章 矢量分析 例例1-7 在坐标原点处正点电荷产生电场，在此电场中任一点处的电位移矢量为 求穿过原点为球心、R为半径的球面的电通量(见图 1-4)。 图 1-4 例 1-7 图 66严选

36、课件第一章 矢量分析 解：解： 由于球面的法线方向与D的方向一致，所以 67严选课件第一章 矢量分析 例例 1-8 原 点 处 的 点 电 荷 q， 在 离 其 r处 产 生 的 电 位 移 矢 量 ，试求电位移矢量D的散度。 解：解： 68严选课件第一章 矢量分析 例例 1-9 球面S上任意点的位置矢量为r=xex+yey+zez，求 解：解： 根据散度定理知 而r的散度为 所以 69严选课件第一章 矢量分析 矢量场矢量场 A 沿一条沿一条有向有向闭合曲线闭合曲线 l 的的线积分线积分称为矢量场称为矢量场 A 沿该曲线的沿该曲线的环量环量，以，以 表示，即表示，即可见，若在闭合有向曲线可见，

37、若在闭合有向曲线 l 上，矢量场上，矢量场 A 有有分量方分量方向向处处与线元处处与线元 dl 的方向保持的方向保持一致一致，则环量，则环量 0；若处处若处处相反相反，则，则 0 。可见，环量可以用来描述。可见，环量可以用来描述矢量场的矢量场的旋涡旋涡特性。特性。l1.5 矢量场的环量和旋度矢量场的环量和旋度 70严选课件第一章 矢量分析 图 1-5 矢量场的环量 线元线元矢量矢量 ：长度趋近于：长度趋近于0 0，方向沿路径切线方向。，方向沿路径切线方向。 环量意义：若矢量场环量不为零，则场空间中存在产环量意义：若矢量场环量不为零，则场空间中存在产生矢量场的漩涡源。生矢量场的漩涡源。反映矢量场

38、漩涡源分布情况反映矢量场漩涡源分布情况71严选课件第一章 矢量分析 环量可以表示产生具有旋涡特性的源的强度，但环量可以表示产生具有旋涡特性的源的强度，但是环量代表的是闭合曲线包围的是环量代表的是闭合曲线包围的总的源强度总的源强度，它不能，它不能显示源的显示源的分布特性分布特性。为此，需要研究矢量场的。为此，需要研究矢量场的旋度旋度。I1 I2 例如：例如：已知真空中磁通密度已知真空中磁通密度 B 沿任一闭合有向曲沿任一闭合有向曲线线 l 的环量等于该闭合曲线包围的传导电流强度的环量等于该闭合曲线包围的传导电流强度 I 与与真空磁导率真空磁导率 0 的乘积。即的乘积。即 72严选课件第一章 矢量

39、分析 1.5.2 1.5.2 矢量的旋度矢量的旋度 环量面密度环量面密度称为矢量场称为矢量场 在在M M点处沿点处沿 方向的环量面密度（方向的环量面密度（漩涡源密度漩涡源密度）。定义：定义：空间某点空间某点M M处单位面元处单位面元边界闭合曲线的环量：边界闭合曲线的环量：1)1)环量面密度大小与所选取的环量面密度大小与所选取的单位面元方向单位面元方向 有关。有关。2) 任意取向面元的环量面密度与任意取向面元的环量面密度与最大最大环量面密度的关系：环量面密度的关系：73严选课件第一章 矢量分析 矢量场的矢量场的旋度旋度 矢量场在矢量场在M M点的旋度为该点处点的旋度为该点处环量面密度最大时环量面

40、密度最大时对应的矢量，对应的矢量，其值等于其值等于M M点处最大环量面密度点处最大环量面密度，方向为，方向为环量密度最大的方向环量密度最大的方向，表，表示为示为 或或 ，即：，即：式中：式中： 表示矢量场旋度的方向；表示矢量场旋度的方向； 旋度的物理意义旋度的物理意义 矢量的旋度为矢量的旋度为矢量矢量，是空间坐标的函数，是空间坐标的函数 矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度漩涡源密度 矢量场的旋度大小可以认为矢量场的旋度大小可以认为是包围单位面积的闭合曲线上的是包围单位面积的闭合曲线上的最大环量最大环量。 74严选课件第一章 矢量分析

41、旋度的计算旋度的计算 直角坐标系：直角坐标系：75严选课件第一章 矢量分析 无论梯度、散度或旋度都是无论梯度、散度或旋度都是微分运算微分运算，它们表示，它们表示场在场在某点某点附近的变化特性。因此，附近的变化特性。因此，梯度、散度及旋度梯度、散度及旋度描述的是场的描述的是场的点特性点特性或称为或称为微分微分特性特性。 函数的函数的连续性连续性是可微的必要条件。因此在场量发是可微的必要条件。因此在场量发生生不连续不连续处，也就处，也就不存在不存在前述的梯度、散度或旋度。前述的梯度、散度或旋度。 76严选课件第一章 矢量分析 矢量场的旋度矢量场的旋度的散度恒为零的散度恒为零标量场的梯度标量场的梯度

42、的旋度恒为零的旋度恒为零 旋度计算相关公式：旋度计算相关公式：77严选课件第一章 矢量分析 讨论：散度和旋度比较讨论：散度和旋度比较 78严选课件第一章 矢量分析 1.5.3 1.5.3 斯托克斯定理（旋度定理）斯托克斯定理（旋度定理）由旋度的定义 对于有限大面积s，可将其按如图方式进行分割，对每一小面积元有斯托克斯定理的形式证明 意义：矢量场的旋度在曲面上的积分等于意义：矢量场的旋度在曲面上的积分等于矢量场在矢量场在限定该曲面的闭合曲线限定该曲面的闭合曲线上的环量。上的环量。曲面的曲面的剖分剖分方向相反大方向相反大小相等抵消小相等抵消注意：注意：式中式中dS的方向与的方向与dl的方向成的方向

43、成右手螺旋关系右手螺旋关系。 79严选课件第一章 矢量分析 旋度定理旋度定理（斯托克斯定理斯托克斯定理） 从数学角度可以认为从数学角度可以认为旋度旋度定理建立了定理建立了面积分面积分和和线线积分积分的关系。从物理角度可以理解为的关系。从物理角度可以理解为旋度旋度定理建立了定理建立了区域区域 S中的场和包围区域中的场和包围区域 S 的的边界边界 l 上的场之间的关上的场之间的关系。因此，如果已知区域系。因此，如果已知区域 S 中的场，根据旋度定理即中的场，根据旋度定理即可求出边界可求出边界 l 上的场，反之亦然。上的场，反之亦然。或者或者80严选课件第一章 矢量分析 若矢量场若矢量场 在某区域在

44、某区域V V内，内，处处处处 ，但在某些位置，但在某些位置或整个空间内，有或整个空间内，有 ，则称在该区域，则称在该区域V V内，场内，场 为为无旋场。无旋场。 1.5.4 无旋场与无散场无旋场与无散场 无旋场无旋场结论：结论：无旋场场矢量沿任何闭合路径的环量等于零无旋场场矢量沿任何闭合路径的环量等于零( (无漩涡源无漩涡源) )。 重要性质重要性质：无旋场的旋度始终为无旋场的旋度始终为0，可引入标量辅助函数可引入标量辅助函数表征矢量场，即表征矢量场，即例如：静电场例如：静电场81严选课件第一章 矢量分析 无散场无散场 若矢量场若矢量场 在某区域在某区域V V内，处处内，处处 ，但在某些位置，

45、但在某些位置或整个空间内，有或整个空间内，有 ，则称在该区域，则称在该区域V V内，场内，场 为为无源有旋场。无源有旋场。 结论：结论：无散场通过任意闭合曲面的通量等于零（无散度源）无散场通过任意闭合曲面的通量等于零（无散度源）。 重要性质：重要性质：无散场的散度始终为无散场的散度始终为0，可引入矢量函数的旋度表示无散场，可引入矢量函数的旋度表示无散场例如，恒定磁场例如，恒定磁场82严选课件第一章 矢量分析 （3 3）无旋、无散场）无旋、无散场 （源在所讨论的区域之外）（源在所讨论的区域之外）（4 4）有散、有旋场）有散、有旋场这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分这样的场可分解为两部

46、分：无旋场部分和无散场部分无旋场部分无旋场部分无散场部分无散场部分83严选课件第一章 矢量分析 拉普拉斯运算（算符）拉普拉斯运算（算符） 标量场的拉普拉斯运算标量场的拉普拉斯运算对标量场的梯度求散度的运算称为拉普拉斯运算。记作：对标量场的梯度求散度的运算称为拉普拉斯运算。记作：式中：式中：称为拉普拉斯算符。称为拉普拉斯算符。 在直角坐标系中：在直角坐标系中：84严选课件第一章 矢量分析 矢量场的拉普拉斯运算矢量场的拉普拉斯运算在直角坐标系中：在直角坐标系中：85严选课件第一章 矢量分析 例例1-10 求矢量场A=x(z-y) ex+y(x-z)ey+z(y-x)ez在点M(1，0，1)处的旋度

47、以及沿n=2ex+6ey+3ez方向的环量面密度。 解：解： 矢量场A的旋度 86严选课件第一章 矢量分析 在点M(1，0，1)处的旋度 n方向的单位矢量 在点M(1，0，1)处沿n方向的环量面密度 87严选课件第一章 矢量分析 例例 1-11 在坐标原点处放置一点电荷q，在自由空间产生的电场强度为 求自由空间任意点(r0)电场强度的旋度E。 88严选课件第一章 矢量分析 解：解： 89严选课件第一章 矢量分析 1.6 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 在有限区域内，任意矢量场由矢量场的在有限区域内，任意矢量场由矢量场的散度散度、旋度旋度和和边界条件边界条件（即矢量场在有限区域

48、边界上的分布）（即矢量场在有限区域边界上的分布）唯一确定唯一确定，且任意矢量场可，且任意矢量场可表示为：表示为：说明：说明： 矢量场可分解一个矢量场可分解一个有源无旋场有源无旋场和和无源有旋场无源有旋场之和，即：之和，即：90严选课件第一章 矢量分析 已知已知矢量矢量F的通量源密度的通量源密度矢量矢量F的旋度源密度的旋度源密度场域边界条件场域边界条件在电磁场中在电磁场中电、磁场散度电、磁场散度电、磁场旋度电、磁场旋度场域边界条件场域边界条件亥姆霍兹定理在电磁理论中的意义：亥姆霍兹定理在电磁理论中的意义：研究电磁场的一条主线研究电磁场的一条主线。 若矢量场若矢量场 在某区域在某区域V V内，处处

49、有：内，处处有： 和和 则则 由其在边界面上的场分布确定。由其在边界面上的场分布确定。 注意：注意：不存在在整个空间内散度和旋度处处均为零的矢量场。不存在在整个空间内散度和旋度处处均为零的矢量场。91严选课件第一章 矢量分析 矢量场的惟一性定理矢量场的惟一性定理 位位于于某某一一区区域域中中的的矢矢量量场场，当当其其散散度度、旋旋度度以以及及边边界界上上场场量量的的切切向向分分量量或或法法向向分分量量给给定定后后，则则该该区区域域中中的的矢量场被惟一地确定。矢量场被惟一地确定。 已知散度和旋度代表产生矢量场的源，可见惟一性已知散度和旋度代表产生矢量场的源，可见惟一性定理表明，矢量场被其定理表明，矢量场被其源源及及边界条件边界条件共同决定。共同决定。VSF(r)92严选课件第一章 矢量分析 作 业一 试证明以下矢量恒等式：证明以下矢量恒等式：93严选课件