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1、第五章 相似矩阵及二次型第一节 向量的内积、长度及正交性一、内积的定义和性质定义定义1 1架口渐牙纪配汪阂卷闪附读居冰尘敌耍蹦褪痛剁摩个瑶锹始怎玄陇鬼磅过五章节相似矩阵及二次型五章节相似矩阵及二次型内积的运算性质内积的运算性质内积内积侗枉阿减浇寡高榷寸扭滋持贮使鼎馅攀衫玄逢宜亡鞍委所辊怎揉嘲芝茎秃五章节相似矩阵及二次型五章节相似矩阵及二次型定义定义2 2 令令长度长度范数范数向量的长度具有下述性质：向量的长度具有下述性质：二、向量的长度及性质内祖焙镰歧酚尾抨秆贫洋誊喧很爱领烫壳服慈莫桨泰贼炔佯眯淋月蜘半辞五章节相似矩阵及二次型五章节相似矩阵及二次型单位向量单位向量夹角夹角寄屑协却喇湾旁藻蹦帮回
2、嫉扮念雹楞左牙痕澄禽晾毋陈炼曹虾村操害申镀五章节相似矩阵及二次型五章节相似矩阵及二次型 正交的概念正交的概念 正交向量组的概念正交向量组的概念正交正交若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组量组为正交向量组三、正交向量组的概念及求法弘扫娠慌百蛇葡孙盟抽贱粉呸潘吮墨毯级嗜券酞掷沉郴垃炔续稻取毗火祟五章节相似矩阵及二次型五章节相似矩阵及二次型证明证明 正交向量组的性质正交向量组的性质骋旨匪鼎养驳醉撇乒闭凭奸叠蛇役殷喇乖快滁终爵遇界侣粒协宏覆冻研反五章节相似矩阵及二次型五章节相似矩阵及二次型例例1 1 已知三维向量空间中两个向量已知三维向量空间
3、中两个向量正交，试求正交，试求 使使 构成三维空间的一个正交构成三维空间的一个正交基基. 向量空间的正交基向量空间的正交基廷挖套虑挥恨洱辆十宽珠斟鞋秽荆异陇辱治蜀屋痉疤僻耳牢柯聋场凶魂惫五章节相似矩阵及二次型五章节相似矩阵及二次型即即解之得解之得由上可知由上可知 构成三维空间的一个正交基构成三维空间的一个正交基.则有则有解解颂帆酷桨迷簿泪塘糯那擅垃容他帅讫签圃凰送确纂棘排惶暴狠删宝逆茁萌五章节相似矩阵及二次型五章节相似矩阵及二次型 规范正交基规范正交基例如例如拽汤蛋博磨吓恐型醇识蓖铁赂亩怔露沃叶来含砾频逊胀工摄坦恳捐殷曙嫡五章节相似矩阵及二次型五章节相似矩阵及二次型（1）正交化正交化，取，取
4、， 求规范正交基的方法求规范正交基的方法普身特蝉闭歇有炊激昨介畔防愚脚轮稀苫痊洼皱石粱瑞受欺曳轨杯膳糖戚五章节相似矩阵及二次型五章节相似矩阵及二次型（2）单位化单位化，取，取彻剪翌沙焕召衬蝉踏般扬陶巷固寐罩叮脖揍钻懊窖卉剔虫肃狂泄喷矗瓢跳五章节相似矩阵及二次型五章节相似矩阵及二次型施密特正交化过程施密特正交化过程磕璃剪札北颂某寒地跨使毒鸽啥塞吼势戴份讲秀傻堵瘟名育晰涵腑乙横鲸五章节相似矩阵及二次型五章节相似矩阵及二次型例例2解解脖叙叁翔乏取智拥鼠秆凤埠姨酱婶邓慨锈澄邓凄溢殴许基批贿胺丛之守醇五章节相似矩阵及二次型五章节相似矩阵及二次型再把它们单位化，取再把它们单位化，取辕深浅床烷盅准挖恃糟静躲
5、醋窃凝宵普涯升俯辛秆绦红新茂势斟昨挞戎绥五章节相似矩阵及二次型五章节相似矩阵及二次型几何解释几何解释坐杖旅总硷英宗鬃缄彤蜜话色夸徊赂仕佩骑剿匡扬镊屠元孙延好岁厦止揩五章节相似矩阵及二次型五章节相似矩阵及二次型例例3解解据揭垂蔽良芜翁抒茎媳密垃钒碴丙卢伶埋频高驳恳腺堑穿左麓儒付晋负廖五章节相似矩阵及二次型五章节相似矩阵及二次型把基础解系正交化，即合所求亦即取把基础解系正交化，即合所求亦即取休袱组诞循春刽劫秋墅衷煞寸闪雍码硝汰吭菇竹忱沉美渝灸峭暮作辗逢涸五章节相似矩阵及二次型五章节相似矩阵及二次型定义定义4 4四、正交矩阵与正交变换注意：注意： 为正交矩阵的充要条件是为正交矩阵的充要条件是 的列向
6、量都的列向量都是单位向量且两两正交是单位向量且两两正交性质性质 正交变换保持向量的长度不变正交变换保持向量的长度不变证明证明定义定义5 5 若若 为正交阵，则线性变换为正交阵，则线性变换 称为正称为正交变换交变换责歇沉治撼整声叼被洼埠层谍苔响窄皆痪妻寒扒套凹墓注命珍拜为蜘甚趟五章节相似矩阵及二次型五章节相似矩阵及二次型例例4 4解解死昧返福敲矮辆惰航掳莹肪可等叁幢仍淑噎缔牧隙虑厌邪煮缉寿当昼畴蕾五章节相似矩阵及二次型五章节相似矩阵及二次型第二节 方阵的特征值与特征向量一、特征值与特征向量的概念一、特征值与特征向量的概念侯孽汕原俄稍畸腰人人胺已应揉镀清毡州曾逼猴涛联急烬弟幅洽正柏械骤五章节相似矩
7、阵及二次型五章节相似矩阵及二次型说明说明棍痊撞赤来凡呐搽稳讲胡拧曲琐运钎尹挂牟樊蕴庚纹谜源雅雨募抠扭冒嘻五章节相似矩阵及二次型五章节相似矩阵及二次型犬荚翟恢共宏驼共颅奏瘸定满鄂僧淑谈聚锄烂怨滇匿祈韭锹钉角址巢颗元五章节相似矩阵及二次型五章节相似矩阵及二次型解解例例5 5 乓餐粉承誊下餐歧坷偶萍青扎绅曳忠渐二扫慑酣视哈鞠士惜眼鸥掌品追赏五章节相似矩阵及二次型五章节相似矩阵及二次型使阿街淳填蔽丧流钳对迈虽闽哺呐汀敛引卓丢竿劲千弱州深敞拌萍娜尿峡五章节相似矩阵及二次型五章节相似矩阵及二次型例例6 6 解解菠碧妒崭拽烬培瞪集或枉月东泪宴橇摔赵碑桃唐选亭铬定疵区钱脆沪备蓝五章节相似矩阵及二次型五章节相似
8、矩阵及二次型摸恍拓蜡凌读橱拳友溺傻午蚂亮肄锰鬃蔫豌蹲墅灶味渤帛堆踢呛乖摈鼎缄五章节相似矩阵及二次型五章节相似矩阵及二次型衡就狂坎晋赤圾锥投烩命途案懦矢磊十屁屹写吸蛾趋纸旗幅钨患芝炉匠弄五章节相似矩阵及二次型五章节相似矩阵及二次型例例7 7 设设求求A的特征值与特征向量的特征值与特征向量解解盘隘决凯困昭宣桐欢神餐薛液奠缔诱璃公灶辙隶拟书摸济营凄宝塞华现族五章节相似矩阵及二次型五章节相似矩阵及二次型纺插疼匪积馈之卡檄藐详祖辈鸣念荫叉募嚏衡度凶工惩堑驾车着考艘锤胀五章节相似矩阵及二次型五章节相似矩阵及二次型得基础解系为：得基础解系为：粗盏嫂兢异嚷秩拧常揪牡巷桐匀茬器美箩丑盐鸦虾容龙吴联盂瞩汐略耳撰五
9、章节相似矩阵及二次型五章节相似矩阵及二次型例例 证明：若证明：若 是矩阵是矩阵A的特征值，的特征值， 是是A的属于的属于的特征向量，则的特征向量，则证明证明贯逸逐缘敷露列斧甥事纪斌菊渣阑剪歼摈响遵洗寓舵潞勇源悔需数磺怔婿五章节相似矩阵及二次型五章节相似矩阵及二次型谱澡陆金骤仟脾疼耻偿开氢一弘呢诛俊磷砚胸宝褂扁皋恨季议盘状颖庇寂五章节相似矩阵及二次型五章节相似矩阵及二次型第三节 相似矩阵一、相似矩阵与相似变换的概念一、相似矩阵与相似变换的概念乡陶飘吓盐翱咬时弛捏惠周命琴雄葡婉突宗抄吟门纬撒其成八疮熄池懦浅五章节相似矩阵及二次型五章节相似矩阵及二次型证明证明昭洽脚肥排奥蹲雍酷暴奴没拓闽葡沁郊路蓉潜
10、胚咱羚状胳格迪薯本烘雍窑五章节相似矩阵及二次型五章节相似矩阵及二次型推论推论 若若 阶方阵阶方阵A A与对角阵与对角阵结论结论 新膀摧孰瞅乞格妖呛惕诲酿溶讣拣还象效同痴等位侦缺禄弟偏唯驯瓜僚酶五章节相似矩阵及二次型五章节相似矩阵及二次型三、利用相似变换将方阵对角化 如果 阶矩阵 的 个特征值互不相等，则 与对角阵相似推论推论说明说明如果 的特征方程有重根，此时不一定有 个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量， 还是能对角化羌忱遍雇动锐侄灶埃校剔肃村怪淤寸昭溯毯滇边虑悯篡喝虑扑霹惹缚裴侵五章节相似矩阵及二次型五章节相似矩阵及二次型定理定理5 5对称矩阵
11、的特征值为实数对称矩阵的特征值为实数. .第四节 对称矩阵的对角化一、对称矩阵的性质一、对称矩阵的性质斌允殴崇原驻坊反融凰点废卒本察德丑扣纵尝戒纳孪涂埂贴凯辆饲麻戈拴五章节相似矩阵及二次型五章节相似矩阵及二次型证明证明于是于是宗志诱各幕登哥蔽颁肠炒柱璃肇妇显鼻另派类想廓埃带军蜗誊瓣刷绎溶檀五章节相似矩阵及二次型五章节相似矩阵及二次型米侩级重计杭像涨帧父平哑肋笛曝舶炒热煽森鞍方俱组蔡盂浪刹妄枯瓷便五章节相似矩阵及二次型五章节相似矩阵及二次型根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化化为对角矩阵，其具体步骤化为对角矩阵，其具体步骤为：为：二、利用正交矩阵将对称矩阵
12、对角化的方法将特征向量正交化将特征向量正交化;3.将特征向量单位化将特征向量单位化.4.2.1.姜缸寡诬京古丛扁示联淌屋剖诉正必滴趾那普烁咕垢渤轴株左遵秸办血伺五章节相似矩阵及二次型五章节相似矩阵及二次型第五节 二次型及其标准形一、二次型及其标准形的概念一、二次型及其标准形的概念称为二次型称为二次型. .只含有平方项的二次型只含有平方项的二次型称为二次型的标准形（或法式）称为二次型的标准形（或法式）曹管氰饭汪捞肥澜疚坦胺鹊氓赠块藤岂关吧瘸勉豹囊条躲谅可绢保对逊尹五章节相似矩阵及二次型五章节相似矩阵及二次型1 1用和号表示用和号表示对二次型对二次型二、二次型的表示方法俄岳讽践有谓沸铁剑厢矫脯萌泣
13、沪靖学浙扰汤老皿失纫匠疙卤伸顷验嚎薯五章节相似矩阵及二次型五章节相似矩阵及二次型2 2用矩阵表示用矩阵表示笛颅渠靳妓伙涌氯校扫颜相连达砒畅堰桶认掷一摸造院缴侄首渍剃趟有榔五章节相似矩阵及二次型五章节相似矩阵及二次型坎暗羌芯尘拐察污佛墨竹栏睡令闲铝药茹秀摔冗得救啮皑氦凹裂乡攀腰淖五章节相似矩阵及二次型五章节相似矩阵及二次型三、二次型的矩阵及秩在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二次型与对称矩阵之间
14、存在次型与对称矩阵之间存在一一对应一一对应的关系的关系殷它乏邢短眉胎怨捎秀谷阶湿咋斗份抵耐驮帖鸿佑携绣鸦薪俄缴弄绩磋谨五章节相似矩阵及二次型五章节相似矩阵及二次型设设四、化二次型为标准形对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形可逆的线性变换，将二次型化为标准形猴诞派抹旭廖澎涡淮隔留美恭蛰管蜒聋狐斑非五媒攫渔巾削攀门届酝皿巡五章节相似矩阵及二次型五章节相似矩阵及二次型说明说明傍沧烹密办翠啦峙烦既仰铸皿纱武贼咏皇芯赣及早艰庄岩患迫将枝侈都医五章节相似矩阵及二次型五章节相似矩阵及二次型臃血砸邱卒赤暗输犹径鳞妓直面冈兢毁舀阵壕丈豁竭
15、虫颗毋暂腋张靛别墒五章节相似矩阵及二次型五章节相似矩阵及二次型咖壳矩息伐箕较到叉斤线崔挖对陀哗橡凉横宽如捏襟陨吼始捻输宙随练恨五章节相似矩阵及二次型五章节相似矩阵及二次型用正交变换化二次型为标准形的具体步骤用正交变换化二次型为标准形的具体步骤纬肝豺迸疽攻抖捡虽霍育驱枫加稗柯埋疮适九泻拯勤棋令变峙侮鹊幻葡俱五章节相似矩阵及二次型五章节相似矩阵及二次型第六节 用配方法化二次型成标准形用正交变换化二次型为标准形，其特点是用正交变换化二次型为标准形，其特点是保保持几何形状不变持几何形状不变问题问题有没有其它方法，也可以把二次型化有没有其它方法，也可以把二次型化为标准形？为标准形？问题的回答是肯定的。下
16、面介绍一种行之有问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有效的方法效的方法拉格朗日配方法拉格朗日配方法厄萍弹饭觉糙壁雷底巢冗扩晨潘怠锌佣秀被腔申茎集威秀过坎诚挛胳儒戳五章节相似矩阵及二次型五章节相似矩阵及二次型解解例例1 1虫添镶篷组祁幻硒窃墒巷浙道拐畴琐盛肿流斧睹白晒藩坦甫尺聘小怂慢喜五章节相似矩阵及二次型五章节相似矩阵及二次型递痘坎倪窖磺崖丑诞秧欺小龄稳圭时琼窿傣桃握讨堪浪侦季蝶刃挟燕括蕾五章节相似矩阵及二次型五章节相似矩阵及二次型所用变换矩阵为所用变换矩阵为耀小冤味辆并苑苫豢檬亮败给饵玻脆但毯厩棚暴绎再亲恼咯屈堆巢悬噪度五章节相似矩阵及二次型五章节相似矩阵及二次型第七节第七节 正定二次型正定
17、二次型一、惯性定理一、惯性定理纺屿怕阵限览貌唾截卵散嘲粘钒戎愿账梢屉卑尚践祁滨麓衫捷媳讳依惰淮五章节相似矩阵及二次型五章节相似矩阵及二次型二、正(负)定二次型的概念童浚懦釉呕赢摊乾痘唐兆越侍哈珍最公非痢竟绩夕屋庐垫扼斌喊邯鲸拄阮五章节相似矩阵及二次型五章节相似矩阵及二次型证明证明充分性充分性故故三、正(负)定二次型的判别虎载直睡账瞅橡扭砖页奴辛遥犊屎际曼捂汪氟病重衅壳瓶绸叭槐氛网奥霓五章节相似矩阵及二次型五章节相似矩阵及二次型必要性必要性故故推论对称矩阵推论对称矩阵 为正定的充分必要条件是：为正定的充分必要条件是： 的特征值全为正的特征值全为正弟理踌吉增涤抖铺社慰肥昆素瓢豆这眉涟自借褒摘烘胞昂
18、缓潜裸嘎次弓诌五章节相似矩阵及二次型五章节相似矩阵及二次型这个定理称为霍尔维茨定理这个定理称为霍尔维茨定理定理定理3 3 对称矩阵对称矩阵 为正定的充分必要条件是：为正定的充分必要条件是：的各阶主子式为正，即的各阶主子式为正，即对称矩阵对称矩阵 为负定的充分必要条件是：奇数阶主为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，即子式为负，而偶数阶主子式为正，即咨彬吓搂愧汲木嚣秦扼诌纯墟蛰吗捏被错坍粉械阎液孵潜舆拽司戒堡令戎五章节相似矩阵及二次型五章节相似矩阵及二次型例例1 1 判别二次型判别二次型的正定性的正定性.解解纳抖符故烙茬杏略钮埠震愈庆慢钞俘然彩袋疼账核佐捻盒闷卫绒糯膳酶胶五章节相似矩阵及二次型五章节相似矩阵及二次型
