《高一数学下册 第4章 幂函数、指数函数和对数函数 4.5 反函数的概念课件 沪教版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高一数学下册 第4章 幂函数、指数函数和对数函数 4.5 反函数的概念课件 沪教版（34页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四章幂函数、指数函数和对数函数4.5 反函数的概念反函数的概念假如假如设设v=2 千米千米/小时小时,t表示时间表示时间,s表示位移表示位移.时间时间 t (小时小时)位移位移 s(千米千米)1234位移位移 s (千米千米)时间时间 t (小时小时)246824681234根据条件填图根据条件填图, ,并写出对应的关系式并写出对应的关系式. .观察两式观察两式22匀速运动匀速运动引例引例：观察这两个关系式发现：观察这两个关系式发现：在在中中t t是自变量是自变量,s,s是自变量是自变量t t的函数的函数. .在在中中s s是自变量是自变量,t,t是自变量是自变量s s的函数的函数. .除此
2、之外除此之外,我们还可发现我们还可发现的表达式的表达式可由可由的表达式变换而得的表达式变换而得,即从即从式式中求出中求出t即可即可.又例如又例如得到反函数的概念得到反函数的概念一、反函数的概念一、反函数的概念一般地，对于函数一般地，对于函数若对于若对于 中任意一个值中任意一个值 ，都有，都有 中中唯一唯一的的使得使得，那么在，那么在 上就确定了上就确定了的的反函数反函数，记作，记作例例的反函数就是的反函数就是正偶数集正偶数集函数函数与函数与函数互为反函数互为反函数！思考思考：函数：函数 的因变量的因变量 与自变量与自变量的对应关系逆过来，能否构成函数？的对应关系逆过来，能否构成函数？函数函数
3、的因变量的因变量 与自变量与自变量的对应关系逆过来，能否构成函数？的对应关系逆过来，能否构成函数？反函数的存在性反函数的存在性例例1.判断下列函数是否存在反函数。判断下列函数是否存在反函数。(1)(2)(3)(4)(5)(6)存在存在不存在不存在存在存在存在存在存在存在不存在不存在二、一个函数存在反函数的判定二、一个函数存在反函数的判定记记(1)对于任意对于任意 ，若，若 ,则则（或（或 若若 ，则，则 ）(2)函数函数 是单调函数是单调函数.(充分非必要条件充分非必要条件)(3)函数函数 的图像符合的图像符合“水平线检验法水平线检验法”(4)由由 解得的解得的 也是一个函数也是一个函数.上述
4、所有方法都可说明函数上述所有方法都可说明函数存在反函数，即存在反函数，即 是是“一对一一对一”的的.三、求一个函数的反函数三、求一个函数的反函数例例 求函数求函数 的反函数的反函数.解：解： 的值域为的值域为求求 得得所以反函数为所以反函数为为了在同一坐标系内作出一个函数为了在同一坐标系内作出一个函数表示，因变量用表示，因变量用 表示表示.因此，反函数改写为因此，反函数改写为与其反函数的图像，习惯上自变量用与其反函数的图像，习惯上自变量用例例2.求下列函数的反函数求下列函数的反函数.(1)(2)(3)(4)解解: (1)因此反函数为因此反函数为(2)解得：解得：解得：解得：因此反函数为因此反函
5、数为例例2.求下列函数的反函数求下列函数的反函数.(3)(4)解解: (3)因此反函数为因此反函数为(4)解得：解得：解得：解得：因此反函数为因此反函数为解毕解毕反函数的概念小结反函数的概念小结存在反函数的存在反函数的是是一一对应一一对应的的与与函数函数 与函数与函数互为反函数互为反函数.充要条件是：充要条件是：求求 的反函数的一般步骤为：的反函数的一般步骤为：求值域求值域(即反函数的定义域即反函数的定义域)求方程求方程 的解的解改写为反函数改写为反函数(1)(2)(3)则则对应法互逆，定义域、值域互反对应法互逆，定义域、值域互反. 例例3：求函数：求函数（ 1 x 0）的反函数的反函数. 1
6、 x 0解：解： 0 1 0 y 1解得解得( 1 x 0 )由由( 1 x 0)的反函数的反函数是：是：( 0 x 1 )0 x2 101 x2 1.反函数的练习：反函数的练习：（2）函数）函数y=2|x|在下列哪个定义区间内不存在在下列哪个定义区间内不存在反函数？反函数？ （ ） （A）2，4； （B）-4，4 （C）0，+) （D（-，0B有时原函数和反函数是同一个函数有时原函数和反函数是同一个函数单调函数必有反函数单调函数必有反函数（3）已知）已知 ，求，求解：解：因此因此解法二：设解法二：设因此因此即点即点 在在 图像上图像上即点即点 在在 图像上图像上解得解得解毕解毕（第（第2课时
7、）课前练习课时）课前练习:例例1. 求函数求函数y=3x-2的反函数的反函数,并画出原函数和反函数的图像并画出原函数和反函数的图像.解解 y=3x-2 函数函数y=3x-2(xR） 的反函数为的反函数为 y= x=1-2 -11-1-2xyy=3x-2xRR（一）例题讲解（一）例题讲解反函数的图像反函数的图像.例例2.求函数求函数 的反函数，并在同一坐标系中的反函数，并在同一坐标系中画出它们的图像画出它们的图像.解：解：的值域为的值域为的反函数是的反函数是一、互为反函数的函数图像间的关系一、互为反函数的函数图像间的关系定理定理 函数函数 和它的反函数和它的反函数 的图像的图像关于直线关于直线
8、对称对称.证：证：设设 是是 的图像上的图像上任意一点任意一点.因此因此是是 的反函数的反函数因此因此即即 在反函数在反函数 图像上图像上.一、互为反函数的函数图像间的关系一、互为反函数的函数图像间的关系定理定理 函数函数 和它的反函数和它的反函数 的图像的图像关于直线关于直线 对称对称.续证续证：对称对称.图像上任意一点关于图像上任意一点关于是是 上任意一点，上任意一点，直线直线 的对称点都在的对称点都在 的图像上的图像上.由于由于 与与 互为反函数，故以上结论互为反函数，故以上结论反之也成立反之也成立. 与与 关于直线关于直线证毕证毕例例2.求函数求函数 的反函数，并在同一坐标系中的反函数
9、，并在同一坐标系中画出它们的图像画出它们的图像.解：解：的值域为的值域为的反函数是的反函数是思考思考 函数的图像与其反函数的图像函数的图像与其反函数的图像有什么有怎样的位置关系？平移有何规律？有什么有怎样的位置关系？平移有何规律？例例.求函数求函数y=x3(xR)的反函数的反函数,并画出并画出原来的函数和它的反函数的图象原来的函数和它的反函数的图象.解：解：xy11原函数与原函数与y=x的交的交点个数？点个数？反函数与反函数与y=x的交的交点个数？点个数？原函数与反函数的原函数与反函数的交点个数及位置？交点个数及位置？例例4.求证：函数求证：函数 的图像关于直线的图像关于直线对称对称.分析分析
10、：由于：由于存在反函数，且存在反函数，且因此，即证因此，即证证：证：因此因此 的图像关于直线的图像关于直线 对称对称.与与 的图像关于的图像关于 对称，对称，证毕证毕若函数若函数y=f(x)的图像关于直线的图像关于直线y=x对称，那么它存在反函数，且反对称，那么它存在反函数，且反函数是它本身。函数是它本身。练习练习二、单调函数的反函数的单调性二、单调函数的反函数的单调性(选用选用)例例4.若函数若函数 是是 上的上的单调函数，探究单调函数，探究 单调性单调性.证明：不妨设证明：不妨设 是增函数是增函数存在唯一的存在唯一的使得：使得：即即是增函数是增函数是增函数是增函数定理定理 单调函数的反函数
11、也是单调函数单调函数的反函数也是单调函数且两个函数具有相同的单调性且两个函数具有相同的单调性.二、单调函数的反函数的单调性二、单调函数的反函数的单调性但单调区间不一定相同但单调区间不一定相同反函数中的奇偶性问题反函数中的奇偶性问题一般地，偶函数不存在反函数。一般地，偶函数不存在反函数。除了除了y=c，x 0，c为常数。为常数。奇函数不一定存在反函数，奇函数不一定存在反函数，若存在，反函数也是奇函数。若存在，反函数也是奇函数。如何证明？如何证明？ 复合函数中反函数问题复合函数中反函数问题反函数结论总结反函数结论总结原、反函数的对应法互逆，定义域、值域互反原、反函数的对应法互逆，定义域、值域互反.
12、求反函数求反函数3步骤：定义域，反解，改写步骤：定义域，反解，改写原、反函数图像关于直线原、反函数图像关于直线y=x 对称对称.(a,b)在原函数图像上，在原函数图像上，(b,a)在反函数图像上在反函数图像上反函数结论总结（续）反函数结论总结（续）原、反函数交点或在直线原、反函数交点或在直线y=x上上，或成对出现或成对出现且关于直线且关于直线y=x 对称对称单调函数的反函数也是单调函数，且单调性一单调函数的反函数也是单调函数，且单调性一致，但单调区间不一定相同致，但单调区间不一定相同一般地，偶函数不存在反函数。一般地，偶函数不存在反函数。除了除了y=c，x 0，c为常数。为常数。奇函数不一定有反函数，若有则也是奇函数。奇函数不一定有反函数，若有则也是奇函数。反函数结论总结（续）反函数结论总结（续）原函数左移原函数左移a个单位、则反函数下移个单位、则反函数下移a个单位个单位
