信息论与编码(傅祖云_讲义)第三章（谷风校园）

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1、第三章 离散信道及其信道容量3.1 信道的数学模型及分类3.2 平均互信息及平均条件互信息3.3 平均互信息的特征3.4 信道容量及其一般计算方法小结本章主要内容：3.9 信源与信道的匹配1沐风教资第三章 离散信道及其信道容量本章的重、难点内容：了解信道的分类及基本数学模型掌握平均互信息和平均条件互信息的概念和意义知道平均互信息的特征掌握信道容量及其一般计算方法*2沐风教资3.1信道的数学模型及分类在广义的通信系统中，信道是很重要的一部分。信道的任务是以信号方式传输信息和存储信息。研究信道的目的就是研究信道中能够传送或存储的最大信息量，即信道容量问题。本章首先讨论离散信道的统计特性和数学模型，

2、然后定量地研究信道传输的平均互信息及其性质，并导出信道容量及其计算方法。本章只限于研究一个输入端和一个输出端即单用户信道，以无记忆、无反馈、恒参离散信道为重点。3沐风教资3.1.1 信道的分类根据信道的用户多少根据信道输入输出的关联根据信道参数与时间的关系根据输入输出信号的特点两端（单用户）信道多端（多用户）信道无反馈信道反馈信道固定参数信道时变参数信道离散信道连续信道半离散或半连续信道波形信道4沐风教资3.1.2离散信道的数学模型离散信道的数学模型如下图所示信道XY图3.1 离散信道数学模型 根据信道的统计特性即条件概率 的不同，离散信道又可分成三种情况。5沐风教资离散信道的数学模型无干扰（

3、无噪）信道有干扰无记忆信道：离散无记忆信道的充要条件对任意N值和任意x、y的取值，上式都成立。有干扰有记忆信道：即有干扰（噪声）又有记忆，实际信道往往是这种类型。信道输出不但与输入有关，还与其它时刻的输入和输出有关，这样的信道称为有记忆信道。6沐风教资3.1.3单符号离散信道的数学模型单符号离散信道的输入变量为X，取值于 ；输出变量为Y，取值于 。并有条件概率 这一组条件概率称为信道的传递概率或转移概率一般简单的单符号离散信道的数学模型可以用概率空间X,p(y|x),Y来描述。7沐风教资两种重要的二元信道BSC和BEC例3.1 二元对称信道BSC（Binary Symmetric Channe

4、l）这是很重要的一种特殊信道。输入符号X取值于0，1；输出符号也取值于0，1。传递概率： 传递矩阵：a1=0a2=1b1=0b2=11-p1-pppXY8沐风教资两种重要的二元信道BSC和BEC例3.2 二元删除信道BEC（Binary Erasure Channel）这也是很重要的一种特殊信道。输入符号X取值于0，1；输出符号取值于0，2，1。信道传递矩阵：0101pq1-p1-q29沐风教资二元删除信道BEC的说明这种信道实际是存在的，当信号波形传输中失真较大时，我们在接收端不是对接收信号硬性判为0和1，而是根据最佳接收机额外给出的信道失真信息增加一个中间状态2（称为删除符号），采用特定的

5、纠删编码，可有效的恢复出这个中间状态的正确取值。如果信道干扰不是很严重的话， 和 的可能性要比 和 的可能性小得多，所以，假设 是较合理的。 10沐风教资单符号离散信道的数学模型由此可见，一般单符号离散信道的转移概率可用信道转移矩阵P来表示：关于信道矩阵的几点说明：1、输入和输出符号的联合概率为11沐风教资单符号离散信道的数学模型其中 是信道传递概率，通常称为前向概率，它是由于噪声引起的，描述了信道噪声的特性。而 称为后向概率。也把 称为先验概率，而把 称为后验概率。2、根据联合概率可得输出符号的概率3、根据贝叶斯公式得后验概率上式说明，在信道输出端接收到任一符号 一定是输入符号 , 中的一个

6、输入信道。12沐风教资3.2平均互信息及平均条件互信息3.2.1信道疑义度信源输入信道的熵先验熵H(X)信道中有干扰(噪声)存在，接收到符号 后输入的是什么符号仍存在有不确定性 后验熵。意义：后验熵是当信道接收端接收到输出 符号 后，关于输入符号的信息测度。13沐风教资信道疑义度后验熵在输出符号集Y范围内是个随机量，对后验熵在符号集Y中求数学期望，得条件熵为信道疑义度(含糊度)：意义：信道疑义度表示在输出端收到输出变量Y的符号后，对于输入端的变量X尚存在的平均不确定性（存在疑义）。这是由于信道干扰（噪声）引起的。14沐风教资信道疑义度的说明对于一一对应信道，接收到输出Y后，对X的不确定性将完全

7、消除，信道疑义度 。一般情况下条件熵小于无条件熵，有 。说明接收到变量Y的所有符号后，关于输入变量X的平均不确定性将减少，即总能消除一些关于输入端X的不确定性，从而获得了一些信息。15沐风教资3.2.2 平均互信息通过信道传输消除了一些不确定性，获得了一定的信息。我们定义： 称为X和Y之间的平均互信息。物理意义：它代表接收到输出符号后平均每个符号获得的关于X的信息量。它也表明，输入与输出两个随机变量之间的统计约束程度。互信息 是代表收到某消息y后获得关于某事件x的信息量。它可取正值，也可取负值。 是 的统计平均,所以 。16沐风教资平均互信息与各类熵之间的关系熵只是平均不确定性的描述，而不确定

8、性的消除（两熵之差）才等于接收端所获得的信息量。因此，获得的信息量不应该和不确定性混为一谈。维拉图表示的各类熵之间的关系：H(X|Y)H(Y|X)I(X;Y)H(X)H(Y)H(XY)17沐风教资平均互信息与各类熵之间的关系每个圆减去平均互信息后剩余的部分代表两个疑义度 是信道疑义度，又称为损失熵 反映了信道中噪声源的不确定性， 又称噪声熵或散布度H(X|Y)H(Y|X)I(X;Y)H(X)H(Y)H(XY)18沐风教资平均互信息与各类熵之间的关系下面讨论两种极端情况1、无噪一一对应信道（无损信道）此时可以计算得： 在图中就表示是两圆重合。信道中损失熵和噪声熵都为零。有2、输入输出完全统计独立

9、（全损信道）19沐风教资3.3平均互信息的特性1、平均互信息的非负性该性质表明，通过信道总能传递一些信息，最差的条件下，输入输出完全独立，不传递任何信息，互信息等于0，但决不会失去已知的信息。2、平均互信息的极值性一般来说，信道疑义度总是大于0，所以互信息总是小于信源的熵，只有当信道是无损信道时，信道疑义度等于0，互信息等于信源的熵。20沐风教资平均互信息的特征3、平均互信息的交互性（对称性）实际上I(X;Y)和I(Y;X)只是观察者的立足点不同，对信道的输入X和输出Y的总体测度的两种表达形式。正因为有交互性，所以命名为互信息。 4、平均互信息的凸状性（两个定理）定理3.1 平均互信息 是信源

10、概率分布p(x)的型凸函数。21沐风教资平均互信息的特征定理3.1的意义：对于每一个固定信道，一定存在一种信源（某一概率分布P(X)），使输出端获得的平均信息量为最大Imax（型凸函数存在极大值）。这时称这个信源为该信道的匹配信源。定理3.2 平均互信息 是信道传递概率 的型凸函数。定理3.2的意义：对每一种信源都存在一种最差的信道，此信道的干扰（噪声）最大，而输出端获得的信息量最小Imin。22沐风教资二元对称信道BSC的平均互信息例3.4设二元对称信道的输入概率空间为 信道特性如图所示,求平均互信息解：根据平均互信息的定义得：a1=0a2=1b1=0b2=11-p1-pppXY23沐风教资

11、二元对称信道BSC的平均互信息输出符号的概率：则所以24沐风教资二元对称信道BSC的平均互信息其中 也是 区域上的熵函数。当信道固定即固定p时，可得 是的型函数，如图所示。10I(X;Y)1H(p)0.50.510pI(X;Y)H()0.51H()25沐风教资3.4信道容量及其一般计算方法预备知识及几个定义：研究信道的目的是要讨论信道中平均每个符号所能传送的信息量，即信道的信息传输率R。定义信息的传输率就是平均互信息。即定义单位时间内平均传输的信息量为信息传输速率。26沐风教资信道容量及其一般计算方法每个固定信道都有一个最大的信息传输率，定义这个最大的信息传输率为信道容量C，即其单位为 或 ，

12、而相应的输入概率分布称为最佳输入分布。单位时间内平均传输的最大信息量为一般仍称 为信道容量。27沐风教资信道容量及其一般计算方法信道容量的含义：信道容量与已输入信源的概率分布无关，它是信道的特征的参量，反映的是信道的最大信息传输能力。由上节知识得对于二元信道平均互信息为当 时， 平均互信息的极大值为 因此，二元对称信道的信道容量为 与X概率分布无关。计算信道容量就是求 极大值问题。28沐风教资3.4.1 离散无噪信道的信道容量1、离散无噪无损信道无噪：一个输入对应一个输出，噪声熵无损：一个输出对应一个输入，损失熵所以这类信道的平均互信息为信道容量为a1a2a3b2b1b3111信道矩阵29沐风

13、教资离散无噪信道的信道容量2、离散有噪无损信道特点:信道矩阵中每一列有且仅有一个非零元素有噪：一个X对应多个Y，无损：接收到Y后X完全确定，信道容量b1a1a2a3b2b3b4b5b611/21/23/53/101/10信道矩阵30沐风教资离散无噪信道的信道容量3、离散无噪有损信道（确定信道）信道容量：此类信道接收到符号Y后不能完全消除对X的不确定性，信息有损失。但输出端Y的平均不确 定性因噪声熵等于零而没有增加。a1a2a3aiai+1arb1b2b3无噪：有损：一个X对应一个Y，前向概率 非0即1，一个Y对应多个X，后向概率不等于0或1，31沐风教资离散无噪信道的信道容量我们可以用维拉图来

14、表述有噪无损信道和无噪有损信道中平均互信息、损失熵、噪声熵以及信源熵之间的关系。I(X;Y)H(X)=I(X;Y)H(Y)H(Y|X)有噪无损信道I(X;Y)H(Y)=I(X;Y)H(X)H(X|Y)有损无噪信道32沐风教资3.4.2 对称离散信道的信道容量如果信道转移矩阵P P中每一行都是由 同一组元素的不同排列构成的，并且每一列也是由 这一组元素不同排列组成的，则称这种信道为对称离散信道。例如而不是对称信道33沐风教资对称离散信道的信道容量若输入符号和输出符号个数相同，都等于r，且信道矩阵为其中 ，则称此信道为强对称信道或均匀信道。该信道矩阵中各列之和也等于1。34沐风教资对称离散信道的信

15、道容量对于对称离散信道，当输入符号X达到等概率分布，则输出符号Y一定也达到等概率分布。由此得对称离散信道的信道容量为对称离散信道能够传输的最大的平均信息量，它只与对称信道矩阵中行矢量 和输出符号集的个数s有关。35沐风教资对称离散信道容量的计算例3.5某对称离散信道的信道矩阵为解：每个符号平均能够传输的最大信息为0.0817 bit,只有当输入符号等概分布时才达到这个 最大值 。 36沐风教资对称离散信道容量的计算例3.6 对于强对称信道，其信道容量为对于二元信道r=2由上式得37沐风教资对称离散信道容量的计算二元对称信道讨论：当p=1/2时，二元对称信道的信道容量C=0，不管输入概率分布如何

16、都能达到信道容量。该信道输入端不能传递任何信息到输出端。这种信道是没有任何实际意义的，但它从理论上说明了信道的最佳输入分布不一定是惟一的。 38沐风教资3.4.3 准对称信道的信道容量准对称信道的概念：若信道的列可以划分成若干个互不相交的子集，每一个子集都是对称信道，则称该信道为准对称信道，如：可划分为可划分为39沐风教资准对称信道的信道容量可以证明达到准对称离散信道信道容量的输入分布（最佳输入分布）是等概分布，也可计算得准对称离散信道的信道容量为：其中r是输入符号集的个数， 为准对称信道矩阵中的行元素。而 是第k个子矩阵 中行元素之和， 是第k个子矩阵 中列元素之和。即40沐风教资3.4.4

17、 一般离散信道的信道容量一般离散信道的信道容量的计算：就是对所有可能的输入概率分布 求平均互信息 的极大值。对一般信道有定理3.3:一般离散信道的平均互信息 达到极大值（即等于信道容量）的充要条件是输入概率分布 满足这时C就是所求的信道容量。41沐风教资一般离散信道的信道容量在定理3.3中 是输出端接收到Y后，获得关于 的信息量，即是信源符号 对输出端Y平均提供的互信息。一般 值与 有关，且有令 42沐风教资一般离散信道的信道容量该定理说明：当平均互信息达到信道容量时，输入信源每一个符号x输出相同的互信息。可以利用该定理对一些特殊信道求它的信道容量例3.8输入符号集 ，输出符号集 。信道传递矩

18、阵为求该信道的信道容量。01201111/21/243沐风教资一般离散信道的信道容量解：假设输入概率分布为 检验是否满足定理3.3，若满足就找到了最佳分布。由式得44沐风教资一般离散信道的信道容量由以上可见此输入分布满足定理3.3因此可得这个信道的信道容量为而达到信道容量的输入概率分布就是前面假设的分布45沐风教资一般离散信道的信道容量例3.9 信道如图，输入符号集为 ，输出符号集为 。信道矩阵为,求信道容量。解：设输入概率分布b1a1a2a3b2110.5a4a5110.546沐风教资由式 及式计算得此假设分布满足定理3.3。因此信道容量为最佳分布是47沐风教资若设输入分布为同理可得也有根据

19、定理3.3可知，输入分布也是最佳分布，还有其它最佳分布，这说明 信道的最佳输入分布不是唯一的。而输出分 布是唯一的。48沐风教资一般离散信道的信道容量计算对于一般离散信道，很难利用定理3.3来求信道容量和对应的输入概率分布，只能采用求解如下方程组的方法。于是把方程组中前r个方程改写成：49沐风教资一般离散信道的信道容量计算移项后可得：令 代入上式，得：这是含有s个未知数j，有r个方程的非齐次线性方程组。50沐风教资一般离散信道的信道容量计算如果设r=s，信道转移矩阵P是非奇异方阵，则此方程组有解，并且可以求出j的数值，然后根据 的条件求得信道容量：由这个C值就可解得对应的输出概率分布p(bj)

20、再根据 就可解 出达到信道容量的最佳输入概率分布p(ai)。51沐风教资一般离散信道的信道容量计算 例例3.103.10设离散无记忆信道如图，输入X的符号集为 输出Y的符号集 传递矩阵为求其信道容量及其最佳的输入概率分布。a11/21/2111/41/41/41/4a2a3a4b1b2b3b452沐风教资一般离散信道的信道容量计算此信道是非对称信道，无法利用定理3.3来计算信道容量。但这信道矩阵为方阵r=s,且为非奇异矩阵，所以可得方程组：解方程组，得53沐风教资一般离散信道的信道容量计算得信道容量输出符号概为由此可得最佳输入分布为54沐风教资一般离散信道的信道容量计算几点说明：有时所求出的P

21、(ai)不一定能满足概率的条件（因为采用拉格朗日乘子法时没有加入 P(ai)0 的条件限制），所以必须对解进行检查。如果所有解都满足P(ai)0 ,则解是正确的。否则解无效。55沐风教资一般离散信道的信道容量计算解无效（有些P(ai)0）表明所求的极限值C出现在边界上，这时有些P(ai)0 。因此，可设某些输入符号的概率为0，然后重新进行计算。但当 rs 时，求解非齐次线性方程组比较困难。即使求出解，也无法保证解的正确性。因此必须反复进行试算，这就便运算变得非常复杂。这时可采用计算机，运用迭代算法求解。56沐风教资3.9 信源与信道的匹配信道的信道容量是固定的，如果某一信源通过该信道传输时，信

22、息传输率达到了信道容量，我们认为信源与信道达到匹配，否则，我们认为有剩余。定义：信道剩余度CI(X;Y)信道相对剩余度其中，I(X;Y)是信源通过该信道实际传输的平均信息量。对于无损信道剩余度57沐风教资信源与信道的匹配如何才能做到信源与信道的匹配呢？一般通信系统中，把信源发出的符号变成能在信道中传输的符号，在传输时，要能够尽量用较少的符号表示相同的信息，这样就可以提高信息的传输率，从而提高信道的利用率。这就是香农无失真信源编码理论，也就是无失真数据压缩理论。58沐风教资信源与信道的匹配无失真信源编码就是将信源输出的消息变换成适合信道传输的新信源的消息来传输，而使新信源的符号接近等概率分布，新信源的熵接近最大熵。这样，信源传输的信息量达到最大，信道剩余度接近于零，信源与信道达到匹配。这些是我们将在下一章讨论这些问题。59沐风教资本章小结互信息：平均互信息：平均互信息的特性：1、非负性60沐风教资本章小结2、极值性：3、交互性：4、凸状性： 是P(x)的 型函数 是 的 型函数信道容量：1、无噪无损信道：61沐风教资本章小结2、有噪无损信道：3、无噪有损信道：4、二元对称信道：5、对称信道：62沐风教资本章小结6、准对称信道：Nk是第k个子矩阵中行元素之和；Mk是第k个子矩阵中列元素之和。信道相对剩余度：63沐风教资