事故树定性分析

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1、 3-3 3-3 事故树的定性分析事故树的定性分析1 1教学目的与要求： 1. 掌握事故树分析的数学基础;事故树的结构函数、单调关联系统 2. 熟悉事故树的化简 3. 掌握最小割集、最小径集的几种求法2 2一、布尔代数的基本知识一、布尔代数的基本知识1.逻辑运算l逻辑运算的对象是命题逻辑运算的对象是命题l逻辑运算的基本运算有三种，逻辑运算的基本运算有三种， 即逻辑加、逻辑乘、逻辑非。即逻辑加、逻辑乘、逻辑非。3 3a.a.逻辑加逻辑加l给定两个命题A、B，对它们进行逻辑运算后构成的新命题为S，若A、B两者有一个成立或同时成立，S就成立；否则S不成立。则这种A、B间的逻辑运算叫做逻辑加，也叫“或

2、”运算。构成的新命题S，叫做A、B的逻辑和。记作AB=S或记作A+B=S。均读作“A+B”。逻辑加相当于集合运算中的“并集”。 l根据逻辑加的定义可知：l111；101；011；000。4 4l给定两个命题A、B，对它们进行逻辑运算后构成新的命题P。若A、B同时成立，P就成立，否则P不成立。则这种A、B间的逻辑运算，叫做逻辑乘，也叫“与”运算。构成的新命题P叫做A、B的逻辑积。记作AB=P，或记作AB=P，也可记作AB=P，均读作A乘B。逻辑乘相当于集合运算中的“交集”。l根据逻辑乘的定义可知：l111；100：010：000。b.b.逻辑乘逻辑乘5 5l给定一个命题A，对它进行逻辑运算后，构

3、成新的命题为F，若A成立，F就不成立；若A不成立，F就成立。这种对A所进行的逻辑运算，叫做命题A的逻辑非，构成的新命题F叫做命题A的逻辑非。A的逻辑非记作“”，读作“A非”。逻辑非相当于集合运算的求“补集”。l根据逻辑非的定义，可以知道：l0；1；1；0c.c.逻辑非逻辑非6 6 2. 逻辑运算的常用法则逻辑运算的常用法则l定理定理1 1： A (A (对合律对合律) ) l定理定理2 2：A AB BB BA A，ABABBA (BA (交换律交换律) ) l定理定理3 3：A A(B(BC) C) (A(AB)B)C C A(BC) A(BC) (AB)C (AB)C (结合律结合律) )

4、 l定理定理4 4：A ABCBC(A(AB)(AB)(AC) C) A(B A(BC) C) ABABAC (AC (分配律分配律) ) l定理定理5 5：A AA AA A，A AA AA (A (等幂律等幂律) ) l推论：推论：A AA AA AA A，A AA AA AA A 7 7l定理定理6 6：A A 1 1，A A 0 0 l定理定理7 7：A A0 0A A，A A1 1A A l定理定理8 8：A A1 11 1，A A0 00 0 l定理定理9 9：A AABABA A A(A A(AB)B)A (A (吸收律吸收律) ) l在事故树分析中在事故树分析中“A AABAB

5、A A”，“A AA AA A”和和“A AA AA A”几个法则用得较多几个法则用得较多。8 8二、概率论的基本知识二、概率论的基本知识1. 相互独立事件相互独立事件 一个事件发生与否不受其他事件的发生与一个事件发生与否不受其他事件的发生与否的影响。假定有否的影响。假定有A1、 A2 、 A3 、 An个个事件，其中每一个事件发生与否都不受其他事事件，其中每一个事件发生与否都不受其他事件发生与否的影响，则称件发生与否的影响，则称A1、 A2 、 A3 、 An为独立事件。为独立事件。9 9不能同时发生的事件。一个事件发生，其他事件必然不发生。它们之间互相排斥，互不相容。假定有A1、A2、A3

6、、An个事件，A1发生时，A2、A3、An必然不发生；A2发生时，A1、A3、An事件必须不发生，则A1、A2、A3、An事件称为互斥事件。2. 相互排斥事件相互排斥事件1010一个事件发生与否受其他事件的约束，即在其他事件发生的条件下才发生的事件。设A、B两事件，B事件只有在A事件发生的情况下才发生，反之亦然，则A、B事件称为相容事件。在事故树分析中，遇到的基本事件大多数是独立事件。3. 相容事件相容事件11114. n个独立事件的概率和个独立事件的概率和 其计算公式是：其计算公式是： P(A1+A2+A3+An) 1 1 P(A1)1 P(A2)1P(A3)1P(An) 式中：式中：P为独

7、立事件的概率。为独立事件的概率。12125. n个独立事件的概率积个独立事件的概率积 其计算公式是：其计算公式是： P(A1A2A3 An) P(A1)P(A2) P(A3) P(An)1313三、事故树分析的数学基础 1. 事故树的结构函数 结构函数是描述系统状态的函数，它完全取决于元、部件的状态。通常假定任何时间，元、部件和系统只能取正常或故障两种状态，并且任何时刻系统的状态由元、部件状态唯一决定。 假设系统由n个单元（即元、部件）组成，且下列二值变量xi 对应于各单元的状态为： 结构函数结构函数描述系统状态的函数。描述系统状态的函数。1414xi=1 表示单元i 发生（即元、部件故障）（

8、i=1,2,n）0 表示单元i 不发生（即元、部件正常）（i=1,2,n）y =1 表示顶上事件发生0 表示顶上事件不发生y=(X) 或 y=(x1, x2, xn) (X) 系统的结构函数1515与门结构与门结构 与门的结构函数 只有所有基本事件发生时，顶上事件才发生。根据布尔代数运算法则，它是逻辑“与”（逻辑乘）的关系，其逻辑式为：这就是与门结构函数。用代数算式表示为：式中，中取最小值，即只要有一个最小的“0”（正常），则整个系统为“0”（正常）。1616 或门的结构函数 或门结构或门结构 只要有一个或一个以上基本事件只要有一个或一个以上基本事件发发生生时时，顶顶上事件就上事件就发发生。根

9、据布生。根据布尔尔代代数运算法数运算法则则，它是，它是逻辑逻辑“或或”（逻辑逻辑加）加）的关系，其的关系，其逻辑逻辑式式为为：当 仅取0,1二值时，结构函数可写成：式中，从中取最大值，即只要其中有一个最大的“1”（故障），整个系统就为“1”（故障）。这这就是或就是或门结门结构函数。用代数算式构函数。用代数算式表示表示为为：1717 复杂系统的结构函数 由与门和或门组成的事故树，根据逻辑乘与逻辑加的关系，可以写出其结构函数。则则其其结结构函数构函数为为：18182. 单调关联系统 单调关联系统是指系统中任一组成单元的状态由正常（故障）变为故障（正常）而不会使系统的状态由故障（正常）变为正常（故障

10、）的系统。 也就是说，系统每个元、部件对系统的功能（可靠性）发生影响， 如果系统中所有元、部件发生故障，则系统一定呈故障状态； 反之，所有元、部件正常，系统一定正常。1919 而且，当故障的元、部件经过修复转为正常时系统不会由正常转为故障；反之，正常部件故障不会使系统由故障转为正常。根据以上特点，单调关联系统的结构函数具有下述性质: 不含有多余元、部件。 第i个元、部件正常与否，与系统正常与否无关。这样，第i个元、部件就是逻辑多余元、部件。含有逻辑多余元、部件的系统不是单调关联系统。 组成系统的所有元、部件都正常，系统一定正常；反之，所有元、部件发生故障，系统一定发生故障。2020 系统中正常

11、元、部件发生故障时，系统不可能出现由故障状态转为正常状态。这就体现了结构函数的单调性。 或门结构（串联系统）是单调关联系统不可靠性的上限，而与门结构（并联系统）则是单调关联系统的下限。由与门和或门结构组成的事故树都是单调关联系统。 2121练习练习1 1：写出如下事故树的结构函数：写出如下事故树的结构函数2222练习练习2 2：写出如下事故树的结构函数：写出如下事故树的结构函数2323四、事故树的化简1. 事故树化简的必要性事故树化简的必要性 在同一事故中包含有在同一事故中包含有2个或个或2个以上的相同个以上的相同基本事件时，若不进行化简，则可能产生结果基本事件时，若不进行化简，则可能产生结果

12、的错误。为说明这一问题，试看例题：的错误。为说明这一问题，试看例题： 2424l且且q1=q2=q3=0.1 ，x1、x2、x3相互独立。相互独立。 例2525解：解：不化简时，所求出的T发生的概率为：T=A1A2=x1x2x1+x3P(x1x2)=P(x1)P(x2)=q1q2n又P(A1+A2+An)=1-1-P(Ai)i=1P(x1+x3)=1-(1-q1)(1-q3)则P(T)=q1q21-(1-q1)(1-q3)=0.10.11-(1-0.1)(1-0.1)=0.00192626化简后，求出的T发生的概率为：T=A1A2=x1x2(x1+x3)=x1x2x1+x1x2x3=x1x2+

13、x1x2x3=x1x2P(T)=P(x1x2)=P(x1)P(x2)=0.10.1=0.012727 由上面计算，两种算法得到的结果不同，由上面计算，两种算法得到的结果不同， 哪一个结果是正确的？这又是为什么呢？哪一个结果是正确的？这又是为什么呢？ 这是因为在事故树结构中，存在着多余的事这是因为在事故树结构中，存在着多余的事件件x x3 3，所谓多余事件，指的是它的发生与顶上，所谓多余事件，指的是它的发生与顶上事件的发生无关。事件的发生无关。 由于由于x x3 3是多余的，所以若在计算时，无事先是多余的，所以若在计算时，无事先进行简化，则发生错误。所以进行简化，则发生错误。所以P(T)=0.0

14、1P(T)=0.01。故。故说明化简的必要性。说明化简的必要性。2828化简后的事故树也可用其“等效图”来表示。T=x1x2。 它表明，只要它表明，只要x1和和x2同时发生，同时发生，T就发生。就发生。所以，计算顶上概率时，应按其等效图计算。所以，计算顶上概率时，应按其等效图计算。29292. 2. 事故树化简举例事故树化简举例 例、将下列事故树化简例、将下列事故树化简3030解：解：T=xT=x1 1+A=x+A=x1 1+(x+(x1 1x x2 2)=x)=x1 1 所以，其等效图为：所以，其等效图为：3131例例2 2 化简事故树化简事故树3232等效事故树等效事故树3333练习练习1

15、 1：化简该事故树，并做出等效图：化简该事故树，并做出等效图3434等效事故树等效事故树3535练习练习2 2：化简该事故树，并做出等效图：化简该事故树，并做出等效图3636等效事故树等效事故树3737五、最小割集与最小径集 在事故树分析中，最小割集与最小径集的概念起着非常重要的作用。事故树定性分析的主要任务是求出导致系统故障（事故）的全部故障模式。通过对最小割集或最小径集的分析，可以找出系统的薄弱环节，提高系统的安全性和可靠性。 3838 1. 1. 割集和最小割集割集和最小割集 割集是图论中的一个重要的概念，事故树分析中的割集指的是导致顶上事件发生的基本事件组合，也称作截集或截止集。系统的

16、割集也就是系统的故障模式。 3939 如果在某个割集中任意除去一个基本事件就不再是割集了，这样的割集就称为最小割集。换句话说，也就是导致顶上事件发生的最低限度的基本事件组合。因此，研究最小割集，实际上是研究系统发生事故的规律和表现形式，发现系统最薄弱环节。由此可见，最小割集表示了系统的危险性。 40402. 2. 最小割集的求法最小割集的求法 最小割集的求法有多种，常用的方法有布尔代数化简法、行列法、结构法、质数代入法和矩阵法等。这是仅就常用的布尔代数化简法和行列法做一简介。 a.布尔代数化简法 事故树经过布尔代数化简，得到若干交集的并集，每个交集实际就是一个最小割集。下面以图示的事故树为例，

17、利用布尔代数化简法求其最小割集。 4141图图1 1 某事故某事故树示意图树示意图 46584242结果得7个交集的并集，这7个交集就是7个最小割集 ,即4343图2图1事故树的等效图 4444b. 行列法 行列法又称下行法，这种方法是1972年由：富塞尔(Fussel)提出，所以又称为富塞尔法。 该算法的基本原理是从顶上事件开始，由上往下进行，与门仅增加割集的容量（即割集内包含的基本事件的个数），而不增加割集的数量。或门则增加割集的数量，而不增加割集的容量。4545 每一步按上述的原则：由上而下排列，把与门连接的输入事件横向排列，把或门连接的输入事件纵向排列，这样逐层向下，直到全部逻辑门都置

18、换成基本事件为止。得到的全部事件积之和，即是布尔割集（BICS)，再经布尔代数化简，就可得到若干最小割集。 下面仍以图1所示的事故树为例，求最小割集。 4646 顶上事件与下一层的中间事件 是用或门连接的。故T被 代替时，纵向排列。 与下一层事件 之间也是或门连接的，故 被 代替时，仍然是纵向排列。 4747 与下一层事件 之间是与门连接的，故被 代替时，要横向排列。而 与下层事件 是或门连接的,故 被 代替时，要纵向排列。 48484949用布尔代数化简5050 这与第一种算法的结果是一致的。上述两种算法相比，布尔代数化简法较为简单。 但行列法便于用计算机辅助计算最小割集，故国际上仍普遍使用

19、行列法。 5151六、径集和最小径集 径集是割集的对偶。当事故树中某些基本事件的集合都不发生时，顶上事件就不发生，这种基本事件的集合称为径集，也叫路集或通集。所以系统的径集也就代表了系统的正常模式，即系统成功的一种可能性。 最小径集，如果在某个径集中任意除去一个基本事件就不再是径集了，或者说，使事故树顶上事件不发生的最低限度的基本事件组合，这样的径集就称为最小径集。5252 研究最小径集，实际上是研究保证正常运行需要哪些基本环节正常发挥作用的问题，它表示系统不发生事故的几种可能方案，即表示系统的可靠性。 a. 对偶、对偶系统及对偶树 设系统S有一个结构函数 ，现定义一个新的结构函数 使 式中

20、，称 为 为的对偶结构函数，以 为结构函数的系统 称为系统S的对偶系统 。 5353 由于有 ，所以 的对偶系统是S。对偶是相互的，故称为相互对偶系统。相互对偶系统有如下基本性质： S的割集是 的径集，反之亦然。 S的最小割集是 的最小径集，反之亦然。5454 利用相互对偶系统的定义，可根据某系统的事故树建造其对偶树。具体做法是，只要把原事故树中的与门改为或门，或门改为与门，其他的如基本事件、顶上事件不变，即可建造对偶树，根据相互对偶系统的基本性质，则事故树的最小割集就是对偶树的最小径集。因此，求事故树最小割集的方法，同样可用于对偶树。5555 b. 成功树 在对偶树的基础上，再把其基本事件

21、及顶上事件T改成它们的补事件（即各事件发生改为不发生）， 就可得到成功树。 如图3所示 。5656图3事故树、成功树的变换示例 例1：以图1为例，画出其成功树，求原树的最小径集。 解：首先画成功树，见图4 5757图4图1事故树的成功树 5858 用布尔代数化简法求成功树的最小割集如下： 由此得到成功树的两个最小割集，根据相互对偶关系，也就是原事故树的两个最小径集，即：5959例2：图5是某系统的事故树，求其最小割集，画出成功树，求最小径集。 解：用布尔代数化简法求最小割集 图图5某系某系统的事故树统的事故树的示意图的示意图 6060得到9个最小割集，分别为：6161画出的成功树见图图6，最后

22、用布尔代数化简法求最小径集。 图6图5事故树的成功树 6262得到成功树的三个最小割集，根据相互对偶的关系，也就是事故树的三个最小径集，分别为：如果将成功树最后经布尔代数化简的结果再换为事故树，则：6363 这样，就形成了三个并集的交集。根据最小径（割）集的定义，可做出其等效图如图7所示。 （a）用最小割集表示 图7图5事故树的等效图 6464（b） 用最小径集表示6565七、判别割（径）集数目的方法 从上例可看出，同一事故树中最小割集和最小径集数目是不相等的。 如果在事故树中与门多、或门少，则最小割集的数目较少； 反之，若或门多与门少，则最小径集数目较少。 在求最小割（径）集时，为了减少计算

23、工作量，应从割（径）集数目较少的入手。 6666 遇到很复杂的系统，往往很难根据逻辑门的数目来判定割（径）集的数目。在求最小割集的行列法中曾指出，与门仅增加割集的容量（即基本事件的个数），而不增加割集的数量，或门则增加割集的数量，而不增加割集的容量。根据这一原理，下面介绍一种用“加乘法”求割（径）集数目的方法。 该法给每个基本事件赋值为1，直接利用“加乘法”求割（径）集数目。但要注意，求割集数目和径集数目，要分别在事故树和成功树上进行。6767 如图8所示，首先根据事故树画出成功树，再给各基本事件赋与“1”，然后根据输入事件与输出事件之间的逻辑门确定“加”或“乘”，若遇到或门就用“加”，遇到与

24、门则用“乘”。 。 割集数目 径集数目6868 (a)事故树（b）成功树 图8 用“加乘法”求割、径集数目 6969 从上例可看出，割集数目比径集数目多，此时用径集分析要比用割集分析简单。如果估算出某事故树的割、径集数目相差不多，一般从分析割集入手较好。这是因为最小割集的意义是导致事故发生的各种途径，得出的结果简明、直观。 另外，在做定量分析时，用最小割集分析，还可采用较多的近似公式，而最小径集则不能。 必须注意，用上述方法得到的割、径集数目，不是最小割、径集的数目，而是最小割、径集的上限。只有当事故树中没有重复事件时，得到的割、径集的数目才是最小割、径集数。 7070八、最小割集与最小径集在

25、事故树分析中的意义八、最小割集与最小径集在事故树分析中的意义 1.最小割集表示系统的危险性。求解出最小割集可以掌握事故发生的各种可能，了解系统危险性的大小，为事故调查和事故预防提供依据。 2.最小径集表示系统的安全性。求出最小径集，可知道要使事故不发生，需控制住哪几个基本事件能使顶上事件不发生，并可知道有几种可能的预防方案。7171 3.从最小割集能直观地、概略地看出哪种事故发生后，对系统危险性影响最大，哪种稍次，哪种可以忽略，以及如何采取措施使事故发生概率迅速下降。 4.利用最小割集和最小径集可以直接排出结构重要度的顺序。 5.根据最小径集，选择控制事故的最佳方案。 6.利用最小割集和最小径集计算顶上事件的发生概率和定量分析。 7272