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1、第第 2 2 章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影2.1 点的投影点的投影2.2 直直 线线 的的 投投 影影 2.3 平平 面面 的的 投投 影影 2.4 直线与平面及两平面之间的相对位置直线与平面及两平面之间的相对位置 2.5 换面法换面法1详细课资2.1 2.1 点点 的的 投投 影影2.1.1 点在两投影面体系中的投影点在两投影面体系中的投影 2.1.2 点在点在三面投影体系中的投影三面投影体系中的投影 2.1.3 特殊位置点的投影特殊位置点的投影 2.1.4 两点的相对位置和重影点两点的相对位置和重影点 2详细课资2.1.1 2.1.1 点在两投影面体系中的投影点在两投影面
2、体系中的投影1 1、两投影面体系的组成、两投影面体系的组成H HV V(1)两个互相垂直的两个互相垂直的投影面投影面正正立立投影面（简称正投影面（简称正投影投影面面 或或V V面）面）水平投影面（简称水平面或水平投影面（简称水平面或H H面）面）(2)投影轴投影轴O OX XOXOX轴轴: V: V面与面与H H面的交线面的交线两两个投影面个投影面互相直互相直V面和面和H面把空间分成四个部分，依次用面把空间分成四个部分，依次用I、II、III、IV表示表示,，分别称它们为第一、二、三、四分角。，分别称它们为第一、二、三、四分角。(3)分角分角3详细课资2.1.1 2.1.1 点在两投影面体系中
3、的投影点在两投影面体系中的投影2 2、点的两面投影图、点的两面投影图 H HV VO OX Xa 点点A A的正面投影的正面投影a 点点A A的水平投影的水平投影注意：注意： 空间点用大写字母空间点用大写字母表示，点的投影用表示，点的投影用小写字母表示。小写字母表示。aa A A立体图立体图ax4详细课资投影面展开投影面展开X XO OV VH HA Aaa xa向下翻向下翻不动不动H HaV Va xaX XO O2 2、点的两面投影图、点的两面投影图 3 3、点的两面投影特性、点的两面投影特性 （1 1）点的投影连线垂直于投影轴。）点的投影连线垂直于投影轴。 即即aaOX.aaOX.（2
4、2）点的投影与投影轴的距离）点的投影与投影轴的距离, , 等等 于该点与相邻投影面的距离。于该点与相邻投影面的距离。 即即a ax xa=aA aa=aA ax xa=aAa=aAaX XO Oa 2.1.1 2.1.1 点在两投影面体系中的投影点在两投影面体系中的投影5详细课资2.1.2 2.1.2 点在三面投影体系中的投影点在三面投影体系中的投影1、三投影面体系的组成、三投影面体系的组成W W投影面投影面正立投影面（简称正投影面或正立投影面（简称正投影面或V V面）面）水平投影面（简称水平面或水平投影面（简称水平面或HH面）面）侧立投影面（简称侧面或侧立投影面（简称侧面或WW面）面）投影轴
5、投影轴H HV VO OX XZ ZOXOX轴轴 V V面与面与H H面的交线面的交线OZOZ轴轴 V V面与面与WW面的交线面的交线OYOY轴轴 H H面与面与WW面的交线面的交线三个投影面三个投影面互相垂直互相垂直Y Y分角分角HH、V V、WW把空间分为把空间分为8 8个区域，分别称为个区域，分别称为8 8个分角。个分角。 6详细课资2 2、点的三面投影图、点的三面投影图W WH HV VO OX XZ ZY Ya 点点A A的正面投影的正面投影a 点点A A的水平投影的水平投影a 点点A A的侧面投影的侧面投影注意：注意： 空间点用大写字母空间点用大写字母表示，点的投影用表示，点的投影
6、用小写字母表示。小写字母表示。a aa A A立体图立体图axazaY7详细课资2 2、点的三面投影图、点的三面投影图X XY YZ ZO OV VH HW WA Aaa a xaazay向右翻向右翻向下翻向下翻不动不动投影面展开投影面展开V VW WH H aYHaxazZ Zaa aYWaX XY YH H Y YW WO O 8详细课资2 2、点的三面投影、点的三面投影X XY YZ ZO OV VH HW WA Aaa a xaazayW WV VH HaaxazZ Zaa YHaYWaX XY YH Y YW WO O aZ Zaa X XY YH HY YW WO O 投影面展开投
7、影面展开投影图投影图9详细课资2 2、点的三面投影图、点的三面投影图X XY YZ ZO OV VH HW WA Aaa a xaazayZ ZaaxazZ Zaa YHaYWaX XY YH H Y YW WO O (xA,yA,zA)xAyAzAyA3 3、点的投影规律、点的投影规律a aOXOX轴轴yA(oayH=oayw)=aax= z A (oaz)= a ax= xA(oa x) =aayH=a a OZOZ轴轴=A Aa （A A到到V V面的距离）面的距离）a az=A Aa （A A到到W W面的距离面的距离）a ayw=A Aa（A A到到H H面的距离面的距离）a azz
8、10详细课资3、点的投影规律、点的投影规律X XY YZ ZO OV VH HW WA Aaa a xaazayZ ZaaxazZ Zaa YHaYWaX XY YH HY YW WO O (xA,yA,zA)xAyAzAyA（1）点的投影连线垂直于投影轴。）点的投影连线垂直于投影轴。(注意注意aa“)（2）点的投影到投影轴的距离，等于点的坐标，）点的投影到投影轴的距离，等于点的坐标，也就是该点与对应的相邻投影面的距离。也就是该点与对应的相邻投影面的距离。11详细课资【例例2.1】已知点的正面投影和水平投影已知点的正面投影和水平投影,试求其侧面投影试求其侧面投影【例例2.2】 已知点已知点A
9、A（1010、8 8、1212），求点），求点A A的三面投影。的三面投影。 12详细课资Z ZX XO Oaaaaa aY YHHY YWWbbbbb bbbccc ccc练习练习1已知点已知点A的正面与侧面投影，求点的正面与侧面投影，求点A的水平投影的水平投影13详细课资 2.1.3 2.1.3 特殊位置点的投影特殊位置点的投影 1. 1. 投影面上的点的投影投影面上的点的投影 2. 2. 投影轴上的点的投影投影轴上的点的投影 14详细课资练习2：已知点的坐标求三面投影15详细课资练习2：题解c16详细课资 2.1.4 2.1.4 两点的相对位置和重影点两点的相对位置和重影点 1. 1.
10、两点的相对位置两点的相对位置（1）绝对座标法）绝对座标法：空间点对原点的坐标。空间点对原点的坐标。（2）相对座标法：）相对座标法： 两点的相对坐标，即两点坐标差。两点的相对坐标，即两点坐标差。XOZYa a ab b bBAyA-yBxAyAzAxA-xBzA-zBXZYWYHOaa axAyAzA17详细课资 2.1.3 2.1.3 特殊位置点的投影特殊位置点的投影（1）绝对座标法）绝对座标法：空间点对原点的坐标。空间点对原点的坐标。（2）相对座标法：）相对座标法： 两点的相对坐标，即两点坐标差。两点的相对坐标，即两点坐标差。XZYWYHOaa ab bb xA-xByA-yBzA-zB两点
11、中两点中X值大值大的点的点 在左在左两点中两点中Y值大值大的点的点 在前在前 两点中两点中Z值大值大的点的点 在上在上XOZYa a ab b bBAyA-yBxAyAzAxA-xBzA-zB18详细课资 2.1.3 2.1.3 特殊位置点的投影特殊位置点的投影XZYWYHOaa ab bb xA-xByA-yBzA-zB需要注意的是：需要注意的是： XOZYa a ab b bBAyA-yBxAyAzAxA-xBzA-zB1 1）对水平投影而言，由）对水平投影而言，由oxox轴向下就代表向前；对侧面轴向下就代表向前；对侧面投影而言，由投影而言，由ozoz轴向右也代表向前。轴向右也代表向前。
12、2 2）已知两点的相对位置，只要知道其中一点的位置，）已知两点的相对位置，只要知道其中一点的位置，另一点的位置随之就能确定。另一点的位置随之就能确定。 19详细课资 2.1.4 2.1.4 两点的相对位置和重影点两点的相对位置和重影点 2. 2. 重影点及其可见性重影点及其可见性 当当两两点点的的某某两两个个坐坐标标相相同同时时，该该两两点点将将处处于于同同一一投投影影线线上上，因因而而对对某某一一投投影影面面具具有有重重合合的的投投影影，则这两点称为对该投影面的重影点。则这两点称为对该投影面的重影点。重影点的可见性判别方法：重影点的可见性判别方法：对于对于V前遮后；对于前遮后；对于H上遮下上
13、遮下,对于对于W左遮右。左遮右。20详细课资aaaaa aX XZ ZY YWWY YHHO Obbb bbb8 89 95 5练习练习3 3 已知已知A A点在点在B B点前方点前方5 5毫米，上方毫米，上方9 9毫米，右毫米，右方方8 8毫米，求毫米，求A A点的投影。点的投影。21详细课资练习练习4 4：两点的相对位置：两点的相对位置22详细课资练习练习4 4：题解：题解23详细课资练习练习5 5：重影点及投影可见性：重影点及投影可见性24详细课资练习练习5 5：题解：题解25详细课资2.2 2.2 直直 线线 的的 投投 影影2.2.1 直线及直线上点的投影特性直线及直线上点的投影特性
14、 2.2.2 各种位置直线的投影特性各种位置直线的投影特性2.2.3 两直线的相对位置两直线的相对位置 2.2.4 直角投影定理直角投影定理2.2.5 2.2.5 用直角三角形法求直线实长及用直角三角形法求直线实长及 其对投影面的倾角其对投影面的倾角26详细课资2.2.1 2.2.1 直线及直线上点的投影特性直线及直线上点的投影特性 1 1、直线的投影、直线的投影： 可以看做是直线上所有点的投影集合。可以看做是直线上所有点的投影集合。 aa a b b b将直线上两点的将直线上两点的同名投影同名投影用直线连接用直线连接 就得到直线的同名投影。就得到直线的同名投影。2、直线的投影特性、直线的投影
15、特性 B BA Aab直线垂直于投影面直线垂直于投影面投影重合为一点投影重合为一点 积积 聚聚 性性直线平行于投影面直线平行于投影面投影反映线段实长投影反映线段实长 ab=ABAB直线倾斜于投影面直线倾斜于投影面投影比空间线段短投影比空间线段短 ab=ABAB.cos A AB Bab A AM MB Babm从几何角度看，直线的投影：是过直从几何角度看，直线的投影：是过直线上各点向投影面作投射线，其诸投射线线上各点向投影面作投射线，其诸投射线所形成的平面与投影面的交线。所形成的平面与投影面的交线。 27详细课资2.2.12.2.1 直线及直线上点的投影特性直线及直线上点的投影特性 3 3、直
16、线上点的投影特性、直线上点的投影特性cacX XabcY YY YbO OaZ ZbcAH HacaV VbBabcCbW W（1）若点在直线上若点在直线上,则点的投影必在直线的则点的投影必在直线的同同面面投投影影上。上。（2）直线上的点分割直线段之比，等于投影后分）直线上的点分割直线段之比，等于投影后分割直线段之比。割直线段之比。即：即：AC:CB=ac:cb=a c :c b =a c :c b 定比定理定比定理28详细课资【例例2.4】 已知线段已知线段ABAB的投影图，作出分线段的投影图，作出分线段ABAB为为AC:CB=1 : 4AC:CB=1 : 4的点的两面投影。的点的两面投影。
17、cc1. 1. 1. 1. 任作一直线并五等分任作一直线并五等分任作一直线并五等分任作一直线并五等分2. 2. 2. 2. 作相似形定出作相似形定出作相似形定出作相似形定出C C C C点的水平点的水平点的水平点的水平投影投影投影投影c c c c3. 3. 3. 3. 求出求出求出求出C C C C点的正面投影点的正面投影点的正面投影点的正面投影c c c c x xo oa ab ba ab bB B。c c。29详细课资2.2.2 2.2.2 各种位置直线的投影特性各种位置直线的投影特性直线按与投影面相对位置分为三类直线按与投影面相对位置分为三类： 投影面平行线投影面平行线只平行于一个投
18、影面只平行于一个投影面投影面垂直线投影面垂直线正平线（平行于面）正平线（平行于面）侧平线（平行于面）侧平线（平行于面）水平线（平行于面）水平线（平行于面）正垂线（垂直于面）正垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）一般位置直线一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊统称特殊位置位置直线直线垂直于某一投影面垂直于某一投影面30详细课资2.2.2 2.2.2 各种位置直线的投影特性各种位置直线的投影特性1 1、投影面的平行线、投影面的平行线投影特性投影特性：X XZ ZbaaabbO OY YH HY YW W水平线水平线
19、实长实长（1 1）在它所平行投影面上的投）在它所平行投影面上的投影反映真长，它与相应投影轴影反映真长，它与相应投影轴的夹角，分别反映与相应的投的夹角，分别反映与相应的投影面的夹角。影面的夹角。 （2 2）另两个投影面上的投影）另两个投影面上的投影 平平行于行于相应相应的投影轴，且小于真长。的投影轴，且小于真长。V VH HabAaaBbbW W直线与投影面夹角的表示法直线与投影面夹角的表示法：与与H H面的夹角面的夹角: : 与与V V面的夹角面的夹角: : 与与WW面的夹角面的夹角: : 31详细课资W WH HV VO OX XZ ZY Y1 1、投影面平行线、投影面平行线正平线正平线Xa
20、bab baOZYHYW 投影特性：投影特性： 1 1 a a b b = =ABAB。反映反映 、 角的真实大小角的真实大小 2 2ab ab 平行于平行于 OX OX ; ; a a b b 平行于平行于 OZOZ。 aababbAB32详细课资1 1、投影面平行线投影面平行线侧平线侧平线aa b a bbABW WH HV VO OX XZ ZY Y投影特性：投影特性： 1 1 a a b b = =AB;AB;反映反映 、 角的真实大小角的真实大小 2 2a a b b 平行于平行于 OZOZ ; ; abab平行于平行于 OYOYH H 。aa b a bbABXZa b bbaOY
21、HYWa33详细课资练习练习判断下列直线是什么位置的直线判断下列直线是什么位置的直线？侧平线侧平线正平线正平线实长实长 实长实长 b a aba b b aa b ba 34详细课资2、投影面垂直线、投影面垂直线 铅垂线铅垂线正垂线正垂线侧垂线侧垂线（2 2）另外两个投影，平行于相应投影轴）另外两个投影，平行于相应投影轴, ,且反映真长。且反映真长。 （1 1）在其垂直的投影面）在其垂直的投影面 上积聚成一点上积聚成一点 。投影特性投影特性: :a b a(b)a b c (d )cdd c e f efe (f )注：注：“相应相应”可理解为：是指与该垂线平行的投影轴或坐标轴可理解为：是指与
22、该垂线平行的投影轴或坐标轴。35详细课资3、一般位置直线（投影面倾斜线）、一般位置直线（投影面倾斜线） Z Z Y YaO OX XabbaY Yb 1 1、三个投影都倾斜于投影轴；、三个投影都倾斜于投影轴；投影特性投影特性H HaaAb V VBbW Wa b 2 2、三个投影的长度都小于真长；、三个投影的长度都小于真长；3 3、三个投影与投影轴的夹角都不反映直线与投影、三个投影与投影轴的夹角都不反映直线与投影 面倾角。面倾角。36详细课资2.2.3 2.2.3 两直线的相对位置两直线的相对位置1、平行两直线投影特性 空间两直线的相对位置分为：空间两直线的相对位置分为：平行平行、相交相交、交
23、叉（异面）交叉（异面）。 空间两直线平行，则其各空间两直线平行，则其各三对三对同同面面投投影影必相互平行，反之亦然。必相互平行，反之亦然。bcdH HAd aCcV VaDbBacdbcdabO OX X37详细课资2.2.3 2.2.3 两直线的相对位置两直线的相对位置2 2、相交两直线投影特性、相交两直线投影特性 若空间两直线相交，若空间两直线相交，则其三对同面投则其三对同面投影必相交，且交点的投影必符合空间一点影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影特性的投影特性。交点是两直交点是两直线的共有点线的共有点ac V VX Xb H HDacdkCAkKd bO OBcabd b a c
24、d kk 38详细课资2.2.3 2.2.3 两直线的相对位置两直线的相对位置accAaCV VbH HddDBbcacabddbO OX X1(2)1(2)2 21 1 交交叉叉直直线线既既不不符符合合平平行行两两直直线线投投影影特特性性，又又不符合相交两直线投影特性。不符合相交两直线投影特性。 “交点交点”是两直线上的一是两直线上的一 对对重影点的投影重影点的投影。2 21 11(2)1(2)4 43(4 )3(4 )3 33(4 )3(4 )3 34 4 3 3、交叉两直线投影特性、交叉两直线投影特性39详细课资 【例例2.4】判断两侧平线的相对位置。判断两侧平线的相对位置。 40详细课
25、资2.2. 4 2.2. 4 直角定理直角定理空间两直线成直角空间两直线成直角( (相交或交叉相交或交叉) )，若两边都与某一投影，若两边都与某一投影面倾斜面倾斜, ,则在该投影面上的投影不是直角。如若是一边平行则在该投影面上的投影不是直角。如若是一边平行于某一投影面的直角，则在该投影面上的投影仍是直角。于某一投影面的直角，则在该投影面上的投影仍是直角。此投影特性称为直角投影定理。此投影特性称为直角投影定理。 需要说明的是：需要说明的是： 1 1）空间直线为交叉垂直时，直角投影定理仍然成立。）空间直线为交叉垂直时，直角投影定理仍然成立。2 2）当直角的另一边也平行于该投影面时）当直角的另一边也
26、平行于该投影面时, ,在该投影面上在该投影面上的投影也是直角；当直角的另一边垂直于该投影面时的投影也是直角；当直角的另一边垂直于该投影面时, ,在在该投影面上的投影成为一直线。是其两个特例。该投影面上的投影成为一直线。是其两个特例。如图如图3- -23所示。所示。已知已知ABBC，ABH面，面，BC倾斜于倾斜于H面。面。ABH面，面，BbH面，面，ABBb，又，又ABBC，AB垂直于垂直于BC和和Bb所决定所决定的平面的平面BCcb。又。又abAB，ab平面平面BCcb，则有，则有abbc，即，即abc为直角。为直角。41详细课资2.2. 4 2.2. 4 直角定理直角定理利利用用直直角角投投
27、影影定定理理可可以以解解决决许许多多有有关关垂垂直直、求求距距离离的的作图问题。作图问题。【例例2.5】如图如图2.22(a)2.22(a)，求点，求点K K到正平线到正平线ABAB的距离的距离 KCKC的投影。的投影。 作图作图: : 1 1）如图如图2.22(b)2.22(b)，由由kk作作kckcabab，与与abab相交相交得得C C点正面点正面投影投影cc。 2 2）C C点在点在ABAB上，依据点的投影规律求得上，依据点的投影规律求得C C点水平面投影点水平面投影c c；连接；连接kckc、kckc即为即为KCKC的两面投影。的两面投影。42详细课资2.2.5 用直角三角形法求直线
28、实长及其对投影面的倾角特特殊殊位位置置直直线线在在三三面面投投影影中中能能直直接接反反映映其其实实长长及及对对投投影影面面的的倾倾角角,而而一一般般位位置置直直线线则则不不能能直直接接反反映映。但但可可用用直直角角三三角角形法求作一般位置直线的实长和倾角。形法求作一般位置直线的实长和倾角。如图如图2.23(a)所示，已知一般位置直线所示，已知一般位置直线AB的两面投的两面投影，确定影，确定AB的实长和倾角的实长和倾角，其作图过程其作图过程如图如图2.23(b)所示：所示： 作图作图: : 1 1）在正面投影中，由）在正面投影中，由bb作水平线作水平线, ,作出直线作出直线ABAB两端点与两端点
29、与HH面的距离面的距离差差Z ZA A-Z-ZB B。 2 2）以）以abab为一直角边，由为一直角边，由a a作作abab的垂线，在此垂线上量取的垂线，在此垂线上量取amam= =Z ZA A-Z-ZB B。3) 3) 连连b b和和mm，bmbm即为直线即为直线ABAB的实长，的实长，abmabm即为即为ABAB的真实倾角的真实倾角 。 43详细课资2.2.5 用直角三角形法求直线实长及其对投影面的倾角因因此此，用用直直角角三三角角形形法法求求直直线线实实长长与与倾倾角角的的方方法法是是：以以直直线线在在某某一一投投影影面面上上的的投投影影为为底底边边,以以直直线线的的两两端端点点与与这这
30、个个投投影影面面的的距距离离差差为为高高,形形成成一一个个直直角角三三角角形形。其其斜斜边边是是直直线线的的实实长长,斜边与底边的夹角就是该直线对这个投影面的倾角。斜边与底边的夹角就是该直线对这个投影面的倾角。44详细课资2.2.5 用直角三角形法求直线实长及其对投影面的倾角【例例2.6】如图如图2.24(a)2.24(a)，求点求点K K到正平线到正平线ABAB的距离。的距离。作图：作图：1 1）作）作K K点到正平线点到正平线ABAB的距离的距离KCKC的两面投影如的两面投影如【例例2.5】，得得图图2.24(b)2.24(b)。2 2）如）如图图2.24(c)2.24(c)在图在图2.2
31、4(b)2.24(b)基础上，过基础上，过cc作作kkkk垂线垂线cmcm交交kkkk于于mm。3 3）由）由c c作作kckc的垂线，并在其上截取的垂线，并在其上截取cmcm0 0，使，使cmcm0 0= = kmkm，连接，连接k k和和mm0 0，kmkm0 0即为点即为点K K到正平线到正平线ABAB的距离。的距离。45详细课资2.3 2.3 平平 面面 的的 投投 影影2.3.1平面的投影表示法平面的投影表示法 2.3.2 各种位置的平面及其投影特性各种位置的平面及其投影特性 2.3.3 2.3.3 平面上的点和直线平面上的点和直线 46详细课资2.3.1平面的表示方法平面的表示方法
32、1、用几何元素表示用几何元素表示不在同一不在同一直线上的直线上的三个点三个点 直线及直线及线外一线外一点点abca b c dd 两平行两平行直线直线abca b c 两相交两相交直线直线平面平面图形图形c abca b caba b c baca b c 47详细课资2.3.1 2.3.1 平面的表示方法平面的表示方法2、用迹线表示、用迹线表示W WH HV VO OX XZ ZY Y P（1 1）迹线）迹线： 平面与投影面的交线平面与投影面的交线。（3 3）迹线平面：）迹线平面：用迹线表示的平面称为迹线平面。用迹线表示的平面称为迹线平面。（2 2）迹线分为：）迹线分为：正面迹线正面迹线P
33、PV V与与V V面交线面交线水平迹线水平迹线P PH H与与HH面交线面交线 侧面迹线侧面迹线P PWW与与WW面交线面交线OXZYWYHPVPWPH（4 4）一般位置的平面迹线的投影特性：）一般位置的平面迹线的投影特性： 1 1）在三个投影面上都有迹线，每条迹）在三个投影面上都有迹线，每条迹线都没有积聚性，都与投影轴倾斜。线都没有积聚性，都与投影轴倾斜。 2 2）每两条迹线分别相交于相应）每两条迹线分别相交于相应的投影轴上的同一点，由其中的的投影轴上的同一点，由其中的任意两条迹线即可表示这个平面。任意两条迹线即可表示这个平面。 PVPWPH48详细课资2 2、用迹线表示、用迹线表示（5）迹
34、线表示平面的优缺点迹线表示平面的优缺点：1）优点：用迹线表示平面容）优点：用迹线表示平面容易想象空间位置。有利于易想象空间位置。有利于研究问题。研究问题。2）缺点）缺点:有时也不方便。有时也不方便。OXZYWYHPVPWPHW WH HV VO OX XZ ZY Y PPVPWPH49详细课资2.3.2 2.3.2 各种位置的平面及其投影特性各种位置的平面及其投影特性 平面对于投影面的位置可分为三类平面对于投影面的位置可分为三类：投影面垂直面投影面垂直面投影面平行面投影面平行面一般一般位置位置平面平面特殊特殊位置位置平面平面只垂直于一个投影面只垂直于一个投影面平行于一个投影面的平面平行于一个投
35、影面的平面与三个投影面都倾斜与三个投影面都倾斜正垂面正垂面侧垂面侧垂面铅垂面铅垂面正平面正平面侧平面侧平面水平面水平面50详细课资1、投影面垂直面、投影面垂直面（1）铅垂面）铅垂面垂直面的投影特性是：垂直面的投影特性是：（1 1）在所垂直的投影面上的投影，积聚成直线；该投影与）在所垂直的投影面上的投影，积聚成直线；该投影与投影轴的夹角，分别反映平面与相应投影面的夹角。投影轴的夹角，分别反映平面与相应投影面的夹角。（2）在另两投影面上的投影具有类似性。）在另两投影面上的投影具有类似性。pppW WH HV VO OX XZ ZY Y51详细课资1 1、投影面垂直面、投影面垂直面（2 2）正垂面的
36、投影）正垂面的投影qqqW WH HV VO OX XZ ZY Yqqq52详细课资1 1、投影面垂直面、投影面垂直面（3）侧垂面）侧垂面R的投影的投影rrrW WH HV VO OX XZ ZY Yrrq53详细课资2 2、投影面平行面、投影面平行面（1）水平面qqqqq qqq平行面投影特性平行面投影特性（1）在它所平行的投影面上投影反映实形。）在它所平行的投影面上投影反映实形。（2）其另外两个投影积聚成直线，且平行于相应的投影轴。）其另外两个投影积聚成直线，且平行于相应的投影轴。54详细课资2 2、投影面平行面、投影面平行面（2）正平面55详细课资W WH HV VO OX XZ ZY
37、Y2、投影面平行面（3）侧平面）侧平面的投影的投影rrrrrr56详细课资3 3、一般位置的平面、一般位置的平面投影特性： 三个面都是平面图形，且面积缩小三个面都是平面图形，且面积缩小YW c cOaYH b ab a b cW WH HV VO OX XZ ZY Y a cba c b b a cABC57详细课资2.3.3 2.3.3 平面上的点和直线平面上的点和直线1 1、点在平面上的几何条件、点在平面上的几何条件 ABCDEabcabcddee点在平面上的几何条件是：该点在这个平面内的某一条直线上点在平面上的几何条件是：该点在这个平面内的某一条直线上。58详细课资2.3.3 2.3.3
38、 平面上的点和直线平面上的点和直线2 2、直线在平面上的几何条件、直线在平面上的几何条件M MN NA AB Bn nbbacacmmnn（1）直线通过这个平面上的两个点；）直线通过这个平面上的两个点；（2）或者）或者直线直线通过这个通过这个平面上的一平面上的一个个点点，且平行于该平面上的另一直线，则此直线且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。在该平面内。ad cnnbdacb59详细课资【例例2.7】 如图如图2.31（a）正方形）正方形ABCD处于正垂面，已知其处于正垂面，已知其左下边左下边AB的两面投影，的两面投影，=30，补全其两面投影。，补全其两面投影。1) 1) 作作正方
39、形正方形ABCDABCD的正面投影：的正面投影：如图如图2.312.31（b b），过），过ABAB边的边的正面投影正面投影a(b)a(b)作与作与OXOX轴成轴成3030角的射线，与以角的射线，与以a(b)a(b)为圆心以为圆心以a ab b长为半径的圆弧相交于一点，（长为半径的圆弧相交于一点，（正方形正方形ABCDABCD处处于正垂面位置，且于正垂面位置，且=3030这样的正垂面有两个）这样的正垂面有两个）此点即是此点即是CDCD边的正面投影边的正面投影c(d)c(d)。60详细课资【例例2.7】 如图如图2.31（a）正方形）正方形ABCD处于正垂面，已知其处于正垂面，已知其左下边左下边
40、AB的两面投影，的两面投影，=30，补全其两面投影。，补全其两面投影。2 2）作正）作正方形方形ABCDABCD的水平投影：分别过的水平投影：分别过a a、b b作作OXOX轴的平行线，轴的平行线，与过点与过点c c、dd作作OXOX轴的垂直线分别交于轴的垂直线分别交于c c、d d。连接。连接acac、cdcd、dbdb得正方形得正方形ABCDABCD水平投影。水平投影。3 3）最后，整理作图线，得正方形）最后，整理作图线，得正方形ABCDABCD的两面投影的两面投影如图如图2.312.31（c c） 61详细课资e e(1)abca b k c k 【例例2.8】 如图如图2.32（a）判
41、断点）判断点K、直线、直线AM是否是否在在ABC上。上。（1 1）判断点）判断点K K是否在是否在ABCABC上。上。 作图作图：如图：如图2.322.32（b b）1)1)假设假设K K点在点在ABCABC上，作上，作AKAK的正的正面投影，即连接面投影，即连接akak, ,并延长之与并延长之与bcbc交于交于ee。 2) 2)由由aeae作出其水平投影作出其水平投影aeae。由于点由于点K K的水平投影的水平投影k k在在aeae上，说明上，说明点点K K在在ABCABC的直线的直线AEAE上，即上，即K K点点在在ABCABC上。上。62详细课资mmmm【例例2.8】 如图如图2.32（
42、a）判断点）判断点K、直线、直线AM是否是否在在ABC上。上。hh(2)abca b c （2 2）判断直线）判断直线AMAM是否在是否在ABCABC上。上。分析：分析： 根据直线在平面上的几何条件，直根据直线在平面上的几何条件，直线在平面上，直线通过这个平面上线在平面上，直线通过这个平面上的两个点。的两个点。 不难看出点不难看出点A A在在ABABC C面上，只要判断面上，只要判断MM点是否在点是否在ABCABC平面上就可判断出平面上就可判断出AMAM是否在是否在ABCABC面上。于是问题转化为第一问。面上。于是问题转化为第一问。作图：作图：如图如图2.322.32（b b）方法同第一问方法
43、同第一问, ,只是先作只是先作AMAM的水平的水平投影投影amam，由，由afaf作作aeae。判断结果是：。判断结果是：直线直线A AMM不不在在ABCABC上。上。63详细课资【例例2.9】 如图如图2.33（a）已知平面四边形）已知平面四边形ABCD的正面投影及的正面投影及AB、AD边的水平投影，补全其水平投影；并在其上取一点边的水平投影，补全其水平投影；并在其上取一点M，使，使M在在H面之上面之上15mm，在，在V面之前面之前30mm。分析：分析：由图由图2.332.33（a a）可知，只要作出）可知，只要作出C C点的水平投影点的水平投影c c，然后顺次，然后顺次连接连接bcdbcd
44、即可。由于即可。由于ABCDABCD是平面四边形，所以，是平面四边形，所以，ACAC、BDBD必必相交一点相交一点K K，连接，连接AKAK，C C点在点在AKAK上，可求上，可求C C点的水平投影。点的水平投影。64详细课资【例例2.9】 如图如图2.33（a）已知平面四边形）已知平面四边形ABCD的正面投影及的正面投影及AB、AD边的水平投影，补全其水平投影；并在其上取一点边的水平投影，补全其水平投影；并在其上取一点M，使，使M在在H面之上面之上15mm，在，在V面之前面之前30mm。作图：作图： 1 1）如图如图2.332.33（b b）分别连接分别连接acac、bdbd其交点为其交点为
45、平面四平面四边形边形ABCDABCD对角线对角线ACAC、BDBD交点交点K K的的V V面投影面投影 kk，2 2）连接）连接bdbd, ,过过kk作作OXOX轴垂线，与轴垂线，与bdbd相交，得相交，得ACAC和和BDBD的的交点交点K K的水平面投影的水平面投影 k k。 65详细课资【例例2.9】 如图如图2.33（a）已知平面四边形）已知平面四边形ABCD的正面投影及的正面投影及AB、AD边的水平投影，补全其水平投影；并在其上取一点边的水平投影，补全其水平投影；并在其上取一点M，使，使M在在H面之上面之上15mm，在，在V面之前面之前30mm。作图：作图： 3 3）连接）连接akak
46、, ,并延长，与过并延长，与过cc作作OXOX轴垂线轴垂线相交，得相交，得C C点的水平点的水平面投影面投影 c c。 4 4）顺次连接）顺次连接bcdbcd得平面四边形得平面四边形ABCDABCD水平投影水平投影abcdabcd。 66详细课资【例例2.9】 如图如图2.33（a）已知平面四边形）已知平面四边形ABCD的正面投影及的正面投影及AB、AD边的水平投影，补全其水平投影；并在其上取一点边的水平投影，补全其水平投影；并在其上取一点M，使，使M在在H面之上面之上15mm，在，在V面之前面之前30mm。(2) (2) 在其上取一点在其上取一点MM分析：分析：如图如图2.332.33（c
47、c），），MM在在HH面之上面之上15mm15mm，它一定在平面，它一定在平面ABCDABCD内距离水平面内距离水平面15mm15mm的水平线的水平线EFEF上；上；MM在在V V面之前面之前30mm, 30mm, 所以，它也在平面所以，它也在平面ABCDABCD内距离内距离V V面面30mm30mm的正平线的正平线GHGH上，直线上，直线EFEF、GHGH的交点即是所要求的的交点即是所要求的MM点。点。67详细课资【例例2.9】 如图如图2.33（a）已知平面四边形）已知平面四边形ABCD的正面投影及的正面投影及AB、AD边的水平投影，补全其水平投影；并在其上取一点边的水平投影，补全其水平投
48、影；并在其上取一点M，使，使M在在H面之上面之上15mm，在，在V面之前面之前30mm。(2) (2) 在其上取一点在其上取一点MM作图：作图：1 1）作位于平面）作位于平面ABCDABCD内距离水平面内距离水平面15mm15mm的水平线的水平线EFEF的正面投的正面投影影efef和水平投影和水平投影efef. .68详细课资【例例2.9】 如图如图2.33（a）已知平面四边形）已知平面四边形ABCD的正面投影及的正面投影及AB、AD边的水平投影，补全其水平投影；并在其上取一点边的水平投影，补全其水平投影；并在其上取一点M，使，使M在在H面之上面之上15mm，在，在V面之前面之前30mm。(2
49、) (2) 在其上取一点在其上取一点MM作图：作图：2 2）作作位位于于平平面面ABCDABCD内内距距离离正正面面30mm30mm的的正正平平线线GHGH的的水水平平投投影影g gh h和正面投影和正面投影g ghh. .69详细课资【例例2.9】 如图如图2.33（a）已知平面四边形）已知平面四边形ABCD的正面投影及的正面投影及AB、AD边的水平投影，补全其水平投影；并在其上取一点边的水平投影，补全其水平投影；并在其上取一点M，使，使M在在H面之上面之上15mm，在，在V面之前面之前30mm。(2) (2) 在其上取一点在其上取一点MM作图：作图：3)3) efef和和g ghh交交点点
50、mm，efef和和g gh h的的交交点点mm，分分别别为为所所要要求求的的MM点的正面投影和水平投影。点的正面投影和水平投影。 70详细课资2.4 2.4 直线与平面及两平面之间的相对位置直线与平面及两平面之间的相对位置2.4.l 2.4.l 平行问题平行问题 2.4.2 2.4.2 相交问题相交问题 2.4.3 2.4.3 垂直问题垂直问题 71详细课资2.4.l 2.4.l 平行问题平行问题 1. 1. 直线与平面平行直线与平面平行当直线与垂直于投当直线与垂直于投影面的平面平行时，直影面的平面平行时，直线的投影平行于平面的线的投影平行于平面的有积聚性的同面投影，有积聚性的同面投影，或者，
51、直线、平面在同或者，直线、平面在同一投影面上的投影都有一投影面上的投影都有积聚性。积聚性。对于一般位置的直对于一般位置的直线，如平面外的一条直线，如平面外的一条直线与平面内的某直线平线与平面内的某直线平行，则该直线与平面平行，则该直线与平面平行。行。 72详细课资2.4.l 2.4.l 平行问题平行问题 2. 2. 平面与平面平行平面与平面平行【例例2.10】 如图如图2.36（a），已知），已知ABC所确定平面及平面外所确定平面及平面外一点一点K的两面投影，的两面投影，（1）过）过K点作正平线平行于点作正平线平行于ABC所确定平面；所确定平面；（2）过）过K点作一平面平行于点作一平面平行于A
52、BC所确定平面。所确定平面。由由初初等等几几何何可可知知，若若一一平平面面内内的的两两相相交交直直线线平平行行于于另一平面内的两相交直线，则两平面相互平行。另一平面内的两相交直线，则两平面相互平行。73详细课资2.4.l 2.4.l 平行问题平行问题 【例例2.10】 如图如图2.36（a），已知），已知ABC所确定平面及平面外所确定平面及平面外一点一点K的两面投影，的两面投影，（1）过）过K点作正平线平行于点作正平线平行于ABC所确定平面；所确定平面；（2）过）过K点作一平面平行于点作一平面平行于ABC所确定平面。所确定平面。（1 1）过）过K K点作正平线平行于点作正平线平行于ABCABC
53、所确定平面所确定平面分析：分析：当直线平行于某平面时，该直线必平行于该平面内的一条直当直线平行于某平面时，该直线必平行于该平面内的一条直线，因此，在线，因此，在ABCABC内作正平线内作正平线BDBD，然后过，然后过K K点作点作BDBD的平的平行线行线KEKE，KEKE即为所求。即为所求。74详细课资2.4.l 2.4.l 平行问题平行问题 【例例2.10】 如图如图2.36（a），已知），已知ABC所确定平面及平面外所确定平面及平面外一点一点K的两面投影，的两面投影，（1）过）过K点作正平线平行于点作正平线平行于ABC所确定平面；所确定平面；（2）过）过K点作一平面平行于点作一平面平行于A
54、BC所确定平面。所确定平面。（1 1）过）过K K点作正平线平行于点作正平线平行于ABCABC所确定平面所确定平面作图：作图： 1 1）如图）如图2.362.36（b b）所示，过）所示，过b b作作bdbd平行于平行于OXOX轴交轴交acac于于d d，按投影特性作，按投影特性作bd bd 的正面投影的正面投影bdbd，得，得ABCABC内正平线内正平线BDBD的两面投影。的两面投影。2）作直线）作直线kebd，kebd，得直线得直线KE的两面投影。的两面投影。75详细课资2.4.l 2.4.l 平行问题平行问题 【例例2.10】 如图如图2.36（a），已知），已知ABC所确定平面及平面外
55、所确定平面及平面外一点一点K的两面投影，的两面投影，（1）过）过K点作正平线平行于点作正平线平行于ABC所确定平面；所确定平面；（2）过）过K点作一平面平行于点作一平面平行于ABC所确定平面。所确定平面。（2 2）过）过K K点作一平面平行于点作一平面平行于ABCABC所确定平面所确定平面分析：分析：根据两平面平行的几何条件，可过根据两平面平行的几何条件，可过K点作两条直线分别平行于点作两条直线分别平行于ABC内两条内两条直线，此两条直线所确定的平面即为所求的平直线，此两条直线所确定的平面即为所求的平面面76详细课资2.4.l 2.4.l 平行问题平行问题 【例例2.10】 如图如图2.36（
56、a），已知），已知ABC所确定平面及平面外所确定平面及平面外一点一点K的两面投影，的两面投影，（1）过）过K点作正平线平行于点作正平线平行于ABC所确定平面；所确定平面；（2）过）过K点作一平面平行于点作一平面平行于ABC所确定平面。所确定平面。（2 2）过）过K K点作一平面平行于点作一平面平行于ABCABC所确定平面所确定平面作图：作图： 如如图图2.36（c）所所示示，过过k分分别别作作kf bc，kgac，按按投投影影特特性性由由kf 、kg作作出出其其正正面面投投影影kfbc , kgac得得过过K点点的的直直线线KF、KG的的两两面面投投影影。KF、KG所确定的平面即为所求。所确定
57、的平面即为所求。77详细课资2.4.l 2.4.l 平行问题平行问题 【例例2.10】 如图如图2.36（a），已知），已知ABC所确定平面及平面外所确定平面及平面外一点一点K的两面投影，的两面投影，（1）过）过K点作正平线平行于点作正平线平行于ABC所确定平面；所确定平面；（2）过）过K点作一平面平行于点作一平面平行于ABC所确定平面。所确定平面。（2 2）过）过K K点作一平面平行于点作一平面平行于ABCABC所确定平面所确定平面作图：作图： 如如图图2.36（c）所所示示，过过k分分别别作作kf bc，kgac，按按投投影影特特性性由由kf 、kg作作出出其其正正面面投投影影kfbc ,
58、 kgac得得过过K点点的的直直线线KF、KG的的两两面面投投影影。KF、KG所确定的平面即为所求。所确定的平面即为所求。78详细课资2.4.2 2.4.2 相交问题相交问题 1. 1. 直线与平面相交直线与平面相交在在直直线线与与平平面面、平平面面与与平平面面的的相相对对位位置置中中，凡凡不不符符合合平平行行几几何何条条件件的的，则则必必然然相相交交。以以下下讨讨论论直直线线或或平平面面处处于于特特殊殊位位置置，即即直直线线或或平平面面垂垂直直于于投投影影面面情情况况下下，此此时时，直直线线与与平平面面、平平面面与平面相交所具有的投影特点。与平面相交所具有的投影特点。1 1）直线与垂直于投影
59、面的平面相交）直线与垂直于投影面的平面相交79详细课资2.4.2 2.4.2 相交问题相交问题 1. 1. 直线与平面相交直线与平面相交80详细课资2.4.2 2.4.2 相交问题相交问题 1）平面与投影面垂直面相交）平面与投影面垂直面相交aa bd( (e) )ebdh( (f) )cfch1 1( (2 2 ) ) 平面平面DEFH是一铅垂面，是一铅垂面，它的水平投影有积聚性，其它的水平投影有积聚性，其与与ac、bc的交点的交点m、n即为即为两个共有点的水平投影，故两个共有点的水平投影，故mn即为交线即为交线MN的水平投影的水平投影。 求交线求交线 判别可见性判别可见性 点点在在MC上，点
60、上，点在在FH上，上，点点在前，点在前，点在在后，故后，故mc 可见。可见。作图作图2 21 1 mmnn2. 2. 平面与平面相交平面与平面相交81详细课资2.4.2 2.4.2 相交问题相交问题 2. 2. 平面与平面相交平面与平面相交2 2）两个与投影面垂直的平面相交）两个与投影面垂直的平面相交可通过正面投影可通过正面投影直观地进行判别。直观地进行判别。abcdefc f d b e a m (n )空间及投影分析空间及投影分析 平面平面ABCABC与与DEFDEF都为都为正垂正垂面面，它们的，它们的交线为一条正垂线交线为一条正垂线，两平面两平面正面投影的交点即为交正面投影的交点即为交线
61、的正面投影，线的正面投影，交线的水平投交线的水平投影垂直于影垂直于OXOX轴轴。 求交线求交线 判别可见性判别可见性作图作图 从正面投影上可看出，从正面投影上可看出，在交线左侧，平面在交线左侧，平面ABCABC在上，在上，其水平投影可见。其水平投影可见。nm能能!如何判别？如何判别？例：求两平面的交线例：求两平面的交线MN并判别可见性。并判别可见性。能否不用重能否不用重影点判别？影点判别？82详细课资2.4.3 2.4.3 垂直问题垂直问题 垂垂直直是是相相交交的的特特殊殊情情况况，本本节节只只讨讨论论直直线线或或平平面面垂垂直直于于投投影面时，直线和平面及两平面之间的垂直问题。影面时，直线和
62、平面及两平面之间的垂直问题。1. 1. 直线与平面垂直直线与平面垂直 1) 1) 当直线与垂直于投影面的平面相垂直时，直线一定平行当直线与垂直于投影面的平面相垂直时，直线一定平行与该平面所垂直的投影面，而且直线的投影垂直于平面的有与该平面所垂直的投影面，而且直线的投影垂直于平面的有积聚性的同面投影。积聚性的同面投影。 如图如图2.412.41所示，直线所示，直线MNMN垂直于铅垂面垂直于铅垂面ABCABC，则，则MNMN一一定是水平线，定是水平线，且且mnmnabcabc。83详细课资2.4.3 2.4.3 垂直问题垂直问题 垂垂直直是是相相交交的的特特殊殊情情况况，本本节节只只讨讨论论直直线
63、线或或平平面面垂垂直直于于投投影面时，直线和平面及两平面之间的垂直问题。影面时，直线和平面及两平面之间的垂直问题。1. 1. 直线与平面垂直直线与平面垂直 2) 2) 当当平平面面与与投投影影面面垂垂直直线线相相垂垂直直时时，平平面面一一定定平平行行于于该该直直线线所所垂垂直直的的投投影影面面，且且在在其其它它投投影影面面的的投投影影垂垂直直于于该该直直线线的的投投影影。如如图图2.422.42所所示示，平平面面ABCABC垂垂直直于于铅铅垂垂线线MNMN，所所以以，平面平面ABCABC一定平行于水平面，且一定平行于水平面，且mmn nabcabc。84详细课资2.4.3 2.4.3 垂直问题
64、垂直问题 2. 2. 平面与平面垂直平面与平面垂直 若若空空间间两两平平面面垂垂直直相相交交，且且两两平平面面都都垂垂直直与与一一个个投投影影面面时时，两两平平面面的的积积聚聚性性投投影影一一定定互互相相垂垂直直，且且交交线线为为该该投投影影面面的的垂垂直线。直线。 如如图图2.432.43所所示示，铅铅垂垂面面ABCDABCD和和铅铅垂垂面面CDEFCDEF互互相相垂垂直直，因因此此，它它们们的的水水平平面面有有积积聚聚性性投投影影互互相相垂垂直直，其其交交线线CDCD为铅垂线。为铅垂线。85详细课资2.5 2.5 换面换面 法法 2.5.1 换面法的基本概念 2.5.2 点的投影换面规律
65、2.5.3 换面法的基本作图2.5.4 换面法的解题举例86详细课资2.5.1 换面法的基本概念 当当几几何何元元素素在在两两个个互互相相垂垂直直的的投投影影面面体体系系中中对对某某一一投投影影面面处处于于特特殊殊位位置置时时, ,可可以以直直接接利利用用一一些些投投影影特特性性求求解解几几何何元元素素的的图图示示和和图图解解问问题题。但但是是若几何元素在两投影面体系中不处于这样的特殊位置若几何元素在两投影面体系中不处于这样的特殊位置, ,则需变换投影面。则需变换投影面。 像上述这样几何元素在两投影面体系中不处于特殊位置时像上述这样几何元素在两投影面体系中不处于特殊位置时, , 可以保留一个投
66、影面，用垂直于被保留的投影面的新投影面更可以保留一个投影面，用垂直于被保留的投影面的新投影面更换另一投影面换另一投影面, , 组成一个新的两投影面体系，使几何元素在新投组成一个新的两投影面体系，使几何元素在新投影面体系中对新投影面处于便利解题的特殊位置，在新投影面影面体系中对新投影面处于便利解题的特殊位置，在新投影面体系中作图求解，这种方法称为变换投影面法，简称换面法。体系中作图求解，这种方法称为变换投影面法，简称换面法。 87详细课资2.5.1 换面法的基本概念 当当几几何何元元素素在在两两个个互互相相垂垂直直的的投投影影面面体体系系中中对对某某一一投投影影面面处处于于特特殊殊位位置置时时,
67、 ,可可以以直直接接利利用用一一些些投投影影特特性性求求解解几几何何元元素素的的图图示示和和图图解解问问题题。但但是是若几何元素在两投影面体系中不处于这样的特殊位置若几何元素在两投影面体系中不处于这样的特殊位置, ,则需变换投影面。则需变换投影面。应用换面法解题时应遵循下列两条原则：应用换面法解题时应遵循下列两条原则： （1 1）新投影面应选择在新投影面体系中使几何元素处于便）新投影面应选择在新投影面体系中使几何元素处于便利解题的位置。利解题的位置。 （2 2）新投影面必须垂直于原投影面体系中的一个投影面）新投影面必须垂直于原投影面体系中的一个投影面, ,并与它并与它组成新投影面体系。必要时可
68、连续交替变换。组成新投影面体系。必要时可连续交替变换。88详细课资2.5.2 点的投影换面规律点的投影换面规律点点是是最最基基本本的的几几何何元元素素。要要学学会会运运用用换换面面法法解解决决问问题题，首首先先应应该该掌掌握握点的投影变换规律。点的投影变换规律。1.点的一次换面点的一次换面VHXX1a1ax1V1V1HX1(1)(1)点的新投影和保留的投影面原投影的连线垂直于新的投影轴点的新投影和保留的投影面原投影的连线垂直于新的投影轴点的新投影和保留的投影面原投影的连线垂直于新的投影轴点的新投影和保留的投影面原投影的连线垂直于新的投影轴 ；(2)(2)点的新投影到新投影轴的距离等于被更换的原
69、投影到原投影轴的距离。点的新投影到新投影轴的距离等于被更换的原投影到原投影轴的距离。点的新投影到新投影轴的距离等于被更换的原投影到原投影轴的距离。点的新投影到新投影轴的距离等于被更换的原投影到原投影轴的距离。 a1aaXVHa)立体图立体图b)投影图投影图图图2.45点的一次投影变换（变换点的一次投影变换（变换V 面）面）Aaxaa89详细课资同样也可同样也可变换变换H面面VHXH1X1a1ax1a1X1VH1ax1 用正垂面用正垂面H1来代替来代替H面，面，H1面和面和V面组成新投影体系面组成新投影体系V/H1，投影体系由，投影体系由V/H变换为变换为V/H1。新旧两体系具有同一个。新旧两体
70、系具有同一个V面，因此面，因此a1ax1=Aa =aax。 aaXVHa)立体图立体图b)投影图投影图图图2.46点的一次投影变换（变换点的一次投影变换（变换H面）面）Aaxaa90详细课资2点的二次变换点的二次变换在实际应用中，有时变换一次还不能解决问题，必须变换两次，即在第一在实际应用中，有时变换一次还不能解决问题，必须变换两次，即在第一次换面之后的基础上，以第一次的投影体系次换面之后的基础上，以第一次的投影体系V1/H(或或V/H1)中的投影面中的投影面V1(或或H1)为不变投影面，用与其垂直的新投影面为不变投影面，用与其垂直的新投影面H2(或或V2)进行二次更换投影面，组成新进行二次更
71、换投影面，组成新的投影体系的投影体系V1/H2(或或V2/H1)。a2V1X2H2图图2.47点的二次投影换面点的二次投影换面a)立体图立体图b)投影图投影图V1HX1a1aaXVH91详细课资2.5.3 换面法的基本作图换面法的基本作图如如何何将将一一般般位位置置直直线线或或平平面面变变换换为为特特殊殊位位置置直直线线或或平平面面，是是换面法的基本作图问题，主要有四种情况。换面法的基本作图问题，主要有四种情况。1. 1. 将一般位置直线变换为投影面平行线将一般位置直线变换为投影面平行线92详细课资2.5.3 换面法的基本作图换面法的基本作图2. 2. 将投影面平行线变换为投影面垂直线将投影面
72、平行线变换为投影面垂直线新轴与新的水平投影垂直；新轴与新的水平投影垂直；新轴与新的水平投影垂直；新轴与新的水平投影垂直；新投影到新轴的距离等于旧投影到旧轴的距离。新投影到新轴的距离等于旧投影到旧轴的距离。新投影到新轴的距离等于旧投影到旧轴的距离。新投影到新轴的距离等于旧投影到旧轴的距离。1c (d1)图图2.49.49投影面平行线变换成投影面垂直线投影面平行线变换成投影面垂直线a)立体图立体图b)投影图投影图X1HV1O193详细课资2.5.3 换面法的基本作图换面法的基本作图一般位置直线变换为正垂线一般位置直线变换为正垂线一般位置直线一般位置直线一次变换一次变换平行线平行线二次变换二次变换垂
73、直线垂直线V1H1X2垂直垂直a2(b2)图图4- -8一般位置直线变换成垂直线一般位置直线变换成垂直线V1HX1aa bbVXHa1 实长实长平行平行b194详细课资2.5.3 换面法的基本作图换面法的基本作图3. 3. 将一般位置平面变为投影面的垂直面将一般位置平面变为投影面的垂直面分析分析：将一般位置平面变换为投影面垂直面，可在新投影面上求得该平面对原投将一般位置平面变换为投影面垂直面，可在新投影面上求得该平面对原投影面的倾角影面的倾角.如图如图2.51所示。其方法是让所作的新投影面同时垂直于给定的一所示。其方法是让所作的新投影面同时垂直于给定的一般位置平面般位置平面ABC 和原体系中保
74、留的投影面，则平面和原体系中保留的投影面，则平面ABC与保留的投影面与保留的投影面在新投影面上的投影积聚为两条直线，它们之间的夹角即为两平面之间的二面在新投影面上的投影积聚为两条直线，它们之间的夹角即为两平面之间的二面角，亦即该平面角，亦即该平面ABC对保留的投影面的倾角。对保留的投影面的倾角。图图2.51一般位置平面变换为投影面铅垂面一般位置平面变换为投影面铅垂面a)立体图立体图b)投影图投影图95详细课资2.5.3 换面法的基本作图换面法的基本作图VHXaxabX1V1cckkBK新新投投影影面面应应垂垂直直于于平平面面内内的的平平行行线线！图图4- -10一般位置平面变换为正垂面直观图一
75、般位置平面变换为正垂面直观图ax1cx1bx1abbxAC a1(k1)b1c1 3.将将一一般般位位置置平平面面变变为为投投影影面面的的垂垂直直面面96详细课资2.5.3 换面法的基本作图换面法的基本作图kkb1c1 HV1X1垂直垂直平面有积聚性的投影平面有积聚性的投影步骤：步骤：找平面内的水平线找平面内的水平线;平面变成垂直面，平面变成垂直面，有积聚性，反映平面有积聚性，反映平面与与H面的夹角。面的夹角。建新轴建新轴V1/H垂直于垂直于ak，AK变成正垂线变成正垂线;图图4- -11一般位置平面变换为正垂面投影图一般位置平面变换为正垂面投影图作图作图:将一般位置平面变为正垂面的投影图。将
76、一般位置平面变为正垂面的投影图。aaXVHcbcba1 (k1)97详细课资2.5.3 换面法的基本作图换面法的基本作图4. 4. 将投影面垂直面变为投影面的平行面将投影面垂直面变为投影面的平行面将将投投影影面面垂垂直直面面变变换换为为投投影影面面平平行行面面，可可在在新新投投影影面面上上得得到到该该平平面面的的实实形形。如如图图2.52(a)所所示示，欲欲求求作作铅铅垂垂面面ABC的的实实形形，须须保保留留H面面，作作新新投投影影面面V1平平行行于于ABC。显显然然，此此时时V1也也同同时时垂垂直直于于H面面，并并与与H面面组组成成了了一一个个新新的的投投影影体体系系V1/H，ABC则则变变
77、换换成成了了该该体体系系中中的的正正平平面面。作作图图时时如如图图2.52(b)所所示示，首首先先作作X1轴轴平平行行于于ABC的的水水平平积积聚聚性性投投影影abc，然然后后应应用用投投影影换换面面规规律律求求出出ABC各各顶顶点点在在新新投投影影面面的的新新投投影影a1、b1、c1，最最后后连连成成a1b1c1即即是是ABC的实形。的实形。图图2. .52铅垂面变换为正平面铅垂面变换为正平面a)立体图立体图b)投影图投影图98详细课资2.5.3 换面法的基本作图换面法的基本作图一般位置平面变换为投影面的平行面，必须经过二次换面。一般位置平面变换为投影面的平行面，必须经过二次换面。V1H2X
78、2a2b2c2平平行行实实形形图图2.5.53一般位置平面变换为水平面一般位置平面变换为水平面aaXVHcbcbkkb1c1 HV1X1a1 (k1)99详细课资2.5.4 换面法的解题举例换面法的解题举例掌掌握握了了换换面面法法，我我们们在在图图解解、图图示示几几何何问问题题时时，就就可可以以利利用用它它把把一一般般位位置的直线或平面变换成特殊位置的，从而达到解题的目的。置的直线或平面变换成特殊位置的，从而达到解题的目的。【例例2.11】如图如图2.54所示，求一般位置直线所示，求一般位置直线MN与与ABC平面的交点平面的交点K，并判断并判断MN的可见性。的可见性。分析分析: : 由图由图2
79、.54(a)所示所示, ,直线与平面都是一般位置直线与平面都是一般位置, ,若其中之一垂直于投影面时，那若其中之一垂直于投影面时，那么可利用积聚性直接作图。因此，可将么可利用积聚性直接作图。因此，可将ABCABC平面变换成投影面垂直面或将平面变换成投影面垂直面或将直线变换成投影面垂直线，而后者则需两次变换，前者只需一次，所以需将直线变换成投影面垂直线，而后者则需两次变换，前者只需一次，所以需将ABCABC平面变换成投影面垂直面。平面变换成投影面垂直面。100详细课资2.5.4 换面法的解题举例换面法的解题举例作图作图: :1) 1) 如如图图2.54(b)，在在ABCABC平平面面上上取取一一
80、水水平平线线ADAD, ,即即作作adadX X轴轴，并并对对应作出应作出adad；2) 2) 作作新新投投影影轴轴X X1 1adad，即即ADADV V1 1面面，利利用用换换面面规规律律，求求出出MNMN和和ABCABC在在V V1 1面上的投影面上的投影mm1 1nn1 1及及a a1 1bb1 1cc1 1。3 3）V V1 1面面投投影影mm1 1nn1 1与与a a1 1bb1 1cc1 1的的交交点点即即为为MNMN与与ABCABC平平面面的的交交点点K K在在V V1 1面的投影面的投影k k1 1, ,对应返回求出交点的两面投影对应返回求出交点的两面投影k k及及kk。4
81、4 4 4）从从V V1 1面面投投影影可可判判断断HH面面中中kmkm与与abcabc 重重叠叠部部分分是是可可见见的的，应应画画粗粗实实线线；knkn与与abcabc 重重叠叠部部分分是是不不可可见见的的，应应画画细细虚虚线线；在在原原投投影影体体系系中中，用用重重影影点点可可判判断断kmkm与与abcabc重重叠叠部部分分是是不不可可见见的的，应应画画细细虚虚线线；knkn与与abcabc重叠部分是可见的，应画粗实线；重叠部分是可见的，应画粗实线； 101详细课资2.5.4 换面法的解题举例换面法的解题举例【例例2.12】如如图图2.55(a)所所示示,已已知知位位于于正正垂垂面面的的等
82、等边边ABC，点，点C在在AB的前方的前方,补全补全ABC的两面投影。的两面投影。分析分析: : 经经一一次次换换面面可可将将正正垂垂的的等等边边ABCABC变变换换为为HH1 1面面平平行行面面, , HH1 1面面投投影影反反映映实实形形, ,于是就可在于是就可在V V/ /HH1 1中作出这个中作出这个ABCABC , ,再返回再返回V V/ /HH, ,补全它的两面投影。补全它的两面投影。102详细课资【例例2.12】如如图图2.55(a)所所示示,已已知知位位于于正正垂垂面面的的等等边边ABC，点，点C在在AB的前方的前方,补全补全ABC的两面投影。的两面投影。作图：作图： 1) 1
83、) 如图如图2.55(b)(b)所示，用所示，用HH1 1更换更换HH使使HH1 1ABCABC，并作出，并作出a a1 1b b1 1：由于：由于abcabc积聚成一直线，与积聚成一直线，与abab重合，所以，作新重合，所以，作新投影投轴投影投轴X X1 1abab；按投影换面的规律作；按投影换面的规律作出出a a1 1和和b b1 1，连成，连成a a1 1b b1 1 。2)2)在在V V/ /HH1 1中作出中作出ABCABC ：在：在HH1 1面分面分别以别以a a1 1、b b1 1为圆心为圆心, , a a1 1b b1 1, ,为半径作圆弧，为半径作圆弧，相交得相交得c c1
84、1，连得，连得a a1 1b b1 1c c1 1 ；由；由c c1 1, ,作作垂直于垂直于X X1 1的投影连线的投影连线, ,abab交得交得cc, ,即即得得ABCABC的有积聚性的有积聚性的投影的投影abcabc。3)3)返返回回V V/ /HH, ,作作出出a abcbc：由由cc作作垂垂直直于于X X的的投投影影连连线线，由由投投影影换换面面规规律律作作出出HH面面中中的的c c, ,与与abab连连成成abcabc，于于是是就就补补全全了了ABCABC的两面投影。的两面投影。103详细课资2.5.4 换面法的解题举例换面法的解题举例【例例2.13】如如图图2.56(a)2.56
85、(a)所所示示，求求两两平平面面ABCABC和和DEFDEF的交线的交线, ,并判断可见性。并判断可见性。 fabecdefcbdXVHakka1X1HV1c1b1d1f1e1m1n1mnnm分析：分析：当当相相交交的的两两平平面面中中一一个个是是投投影影面面的的垂垂直直面面时时,可可利利用用投投影影的的积积聚聚性性求求解解两两平平面面交交线线。因因此此可可将将其其中中的的一一个个平平面面利利用用换换面面法法变变换换为为投投影影面面的的垂垂直直面面，求求出出在在新新投投影影体体中中的的交交线线，然然后后再再返返回回到到原投影体系中。原投影体系中。图图4- -24求两平面交线求两平面交线104详
86、细课资2.5.4 换面法的解题举例换面法的解题举例【例例2.14】如如图图2.57(a)所所示示,求求空空间间交交叉叉两两直直线线AB、CD之间的最短距离。之间的最短距离。分析分析: : 求求两两交交叉叉直直线线间间的的最最短短距距离离实实质质是是求求两两直直线线之之间间公公垂垂线线段段的的长长度度。由由于于直直线线都都处处于于一一般般位位置置，直直接接求求解解比比较较困困难难。如如将将其其中中一一条条直直线线ABAB变变换换成成投投影影面面的的垂垂直直线线如如图图2.57(b)2.57(b)，此此时时ABAB、CDCD两两直直线线最最短短距距离离的的公公垂垂线线是是水水平平线线，它它的的水水
87、平平投投影影kmkm反反映映实实长长, ,即即为为ABAB、CDCD两两直直线线最最短短距距离离。所所以以，此此题题的的解解题思路就是将其中的一条一般位置直线经两次换面变换成投影面垂直线。题思路就是将其中的一条一般位置直线经两次换面变换成投影面垂直线。105详细课资2.5.4 换面法的解题举例换面法的解题举例作图作图: : 1) 1)如图如图2.572.57（c c）所示）所示, ,将将ABAB经过两次换面变换成投影面经过两次换面变换成投影面垂垂直直线线，其其在在HH2 2面面上上的的投投影影积积聚聚为为a a2 2( (b b2 2,) ,)。直直线线CDCD也也随随之之变变换换，其其在在HH2 2面面上的投影为上的投影为c c2 2d d2 2。 2 2）由由a a2 2( (b b2 2,) ,)作作mm2 2k k2 2c c2 2d d2 2，mm2 2k k2 2即即为为公公垂垂线线KMKM在在HH2 2面面上上的的投投影影, ,它它反反映映了交叉两直线了交叉两直线ABAB和和CDCD之间的真实距离。之间的真实距离。 3)3)由由V V1 1/ /HH2 2坐标系返回作图到原坐标坐标系返回作图到原坐标 。【例例2.14】如如图图2.57(a)所所示示,求求空空间间交交叉叉两两直直线线AB、CD之间的最短距离。之间的最短距离。106详细课资
