第五章点的运动学

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1、第第 5章章 点的运动学点的运动学运动学运动学第第第第5 5章章章章 点的运动学点的运动学点的运动学点的运动学本章我们将学习的内容本章我们将学习的内容运动学简介运动学简介点的运动方程点的运动方程速度和加速度速度和加速度第第第第5 5章章章章 点的运动学点的运动学点的运动学点的运动学PART A 运动学简介运动学简介 Part A Part A 运动学简介运动学简介运动学简介运动学简介 1. 1.什么是运动学什么是运动学什么是运动学什么是运动学? ? 在理论力学第二篇在理论力学第二篇 运动学中，我们讨论运动学中，我们讨论 的是刚体（质点）在空间运动时，位置与时的是刚体（质点）在空间运动时，位置与

2、时间的关系，而并不考虑引起运动的力。也就间的关系，而并不考虑引起运动的力。也就是说，运动学研究的是是说，运动学研究的是纯粹的运动几何量纯粹的运动几何量，例如例如位移位移、速度速度、加速度加速度。 运动学是以后学习动力学的基础！运动学是以后学习动力学的基础！Part A Part A 运动学简介运动学简介运动学简介运动学简介 2. 2. 运动学中的力学模型运动学中的力学模型运动学中的力学模型运动学中的力学模型动点动点: 一个忽略其大小尺寸和几何形状的点一个忽略其大小尺寸和几何形状的点.刚体刚体 物体内任意两点的距离在力的作用下物体内任意两点的距离在力的作用下保持原来的长度和位置。保持原来的长度和

3、位置。第第第第5 5章章章章 点的运动学点的运动学点的运动学点的运动学PART B 点的运动方程点的运动方程Part B Part B 点的运动方程点的运动方程点的运动方程点的运动方程 1. 1.怎样描述一个点的运动？怎样描述一个点的运动？怎样描述一个点的运动？怎样描述一个点的运动？不同的坐标系，对于点的运动的描述是不同的。不同的坐标系，对于点的运动的描述是不同的。不同的坐标系，对于点的运动的描述是不同的。不同的坐标系，对于点的运动的描述是不同的。 矢量表示；矢量表示；矢量表示；矢量表示； 直角坐标系；直角坐标系；直角坐标系；直角坐标系； 自然坐标系自然坐标系自然坐标系自然坐标系 . .使用运

4、动方程以及轨迹方程来描述点的运动。使用运动方程以及轨迹方程来描述点的运动。使用运动方程以及轨迹方程来描述点的运动。使用运动方程以及轨迹方程来描述点的运动。Part B Part B 点的运动方程点的运动方程点的运动方程点的运动方程 2. 2.点的运动方程点的运动方程点的运动方程点的运动方程运动方程用来描述动点在不同时间的空间位置。运动方程用来描述动点在不同时间的空间位置。运动方程用来描述动点在不同时间的空间位置。运动方程用来描述动点在不同时间的空间位置。例如例如例如例如: : 运行在南京至上海之间的火车：运行在南京至上海之间的火车：运行在南京至上海之间的火车：运行在南京至上海之间的火车： 13

5、13：00 00 常州常州常州常州 1313：35 35 无锡无锡无锡无锡 1414：30 30 上海上海上海上海若以南京为坐标原点，则走过的里程若以南京为坐标原点，则走过的里程若以南京为坐标原点，则走过的里程若以南京为坐标原点，则走过的里程 s s 是时间是时间是时间是时间 t t 的函的函的函的函数数数数 s s = = f f ( ( t t ) )Part B Part B 点的运动方程点的运动方程点的运动方程点的运动方程 3. 3.轨迹方程轨迹方程轨迹方程轨迹方程用以描述动点运动的几何轨迹。用以描述动点运动的几何轨迹。用以描述动点运动的几何轨迹。用以描述动点运动的几何轨迹。例如，沪宁

6、高速公路上运动的车辆，其运动轨迹即为高速公路例如，沪宁高速公路上运动的车辆，其运动轨迹即为高速公路例如，沪宁高速公路上运动的车辆，其运动轨迹即为高速公路例如，沪宁高速公路上运动的车辆，其运动轨迹即为高速公路的几何曲线。的几何曲线。的几何曲线。的几何曲线。Part B Part B 点的运动方程点的运动方程点的运动方程点的运动方程 4. 4.运动方程与轨迹方程运动方程与轨迹方程运动方程与轨迹方程运动方程与轨迹方程轨迹方程：轨迹方程：运动方程：运动方程：Part B Part B 点的运动方程点的运动方程点的运动方程点的运动方程 4. 4.运动方程运动方程运动方程运动方程- -矢量法矢量法矢量法矢

7、量法质点质点 M 的空间位置用的空间位置用矢量矢量OM表示表示OM- r矢径矢径Part B Part B 点的运动方程点的运动方程点的运动方程点的运动方程 4. 4.运动方程运动方程运动方程运动方程- -直角坐标法直角坐标法直角坐标法直角坐标法在上述联立方程中消去时间在上述联立方程中消去时间 t, 我们可以得到点我们可以得到点M的轨迹方程的轨迹方程:Part B Part B 点的运动方程点的运动方程点的运动方程点的运动方程 4. 4.运动方程运动方程运动方程运动方程- - 自然坐标法自然坐标法自然坐标法自然坐标法自然坐标的起点可以在自然坐标的起点可以在自然坐标的起点可以在自然坐标的起点可以

8、在轨迹上任意选取；轨迹上任意选取；轨迹上任意选取；轨迹上任意选取；s s: : 从自然坐标起点至某从自然坐标起点至某从自然坐标起点至某从自然坐标起点至某一时间动点位置的路程；一时间动点位置的路程；一时间动点位置的路程；一时间动点位置的路程；自然坐标轴的正方向可自然坐标轴的正方向可自然坐标轴的正方向可自然坐标轴的正方向可以沿着动点运动的方向以沿着动点运动的方向以沿着动点运动的方向以沿着动点运动的方向也可以背离动点运动的也可以背离动点运动的也可以背离动点运动的也可以背离动点运动的方向。方向。方向。方向。Part B Part B 点的运动方程点的运动方程点的运动方程点的运动方程 例题例题例题例题

9、1 1椭圆规椭圆规确定点确定点 A, B, C, M的运的运动方程动方程.Part B Part B 点的运动学点的运动学点的运动学点的运动学 解解解解 A 点的运动方程:B点的运动方程:M点的运动方程:M点的轨迹方程:Part B Part B 点的运动方程点的运动方程点的运动方程点的运动方程 解解解解 C点的运动方程:C 点的运动轨迹是以O为圆心，l为半径的圆。选择选择 O 作为自然坐标的原作为自然坐标的原点，则点，则C 点的运动方程可写点的运动方程可写为为:第第第第5 5章章章章 点的运动学点的运动学点的运动学点的运动学PART C 速度和加速度速度和加速度Part C Part C 速

10、度和加速度速度和加速度速度和加速度速度和加速度 1. 1. 速度和加速度速度和加速度速度和加速度速度和加速度 矢量法矢量法矢量法矢量法方向方向 : 沿轨迹的切线方向沿轨迹的切线方向.单位单位 : m/s单位单位 : m/s2矢端曲线 速度矢径矢端曲线切线 加速度速度矢端曲线切线 1. 1. 速度和加速度速度和加速度速度和加速度速度和加速度 矢量法矢量法矢量法矢量法Part C Part C 速度和加速度速度和加速度速度和加速度速度和加速度 2. 2. 速度和加速度速度和加速度速度和加速度速度和加速度 直角坐标系直角坐标系直角坐标系直角坐标系由于直角坐标轴固定由于直角坐标轴固定: :沿坐标轴的分

11、量沿坐标轴的分量: :Part C Part C 速度和加速度速度和加速度速度和加速度速度和加速度 2. 2. 速度和加速度速度和加速度速度和加速度速度和加速度 直角坐标系直角坐标系直角坐标系直角坐标系 例例1：抛体运动。假设物体以初速度：抛体运动。假设物体以初速度v0沿与水平沿与水平方向成角方向成角 方向被抛出方向被抛出, 求物体运动的轨道方程、求物体运动的轨道方程、射程、飞行时间和物体所能到达的最大高度。射程、飞行时间和物体所能到达的最大高度。 抛体运动可以看作为抛体运动可以看作为x方向方向的匀速直线运动和的匀速直线运动和y方向的匀方向的匀变速直线运动相叠加。变速直线运动相叠加。xyO解解

12、：首先必须：首先必须建立坐标系建立坐标系, 取抛射点为坐标原点取抛射点为坐标原点O, x 轴水平向右轴水平向右, y 轴竖直向上轴竖直向上, 如图。如图。运动叠加原理是求解复杂运动的有力工具。运动叠加原理是求解复杂运动的有力工具。 x1 = 0是抛射点的位置是抛射点的位置, 另一个是射程另一个是射程 抛体运动轨道方程抛体运动轨道方程 令令y = 0，得，得 xyO物体的飞行时间物体的飞行时间当物体到达最大高度时当物体到达最大高度时, 必有必有物体达最大高度的时间物体达最大高度的时间最大高度最大高度抛射角抛射角 0 = /4时时,最大射程最大射程xyO 例例2：通过绞车拉动湖中小船拉向岸边：通过

13、绞车拉动湖中小船拉向岸边, 如图。如如图。如果绞车以恒定的速率果绞车以恒定的速率u拉动纤绳拉动纤绳, 绞车定滑轮离水面绞车定滑轮离水面的高度为的高度为h, 求小船向岸边移动的速度和加速度。求小船向岸边移动的速度和加速度。 解解：以绞车定滑轮处为坐标原点：以绞车定滑轮处为坐标原点, x 轴水平向轴水平向右右, y 轴竖直向下轴竖直向下, 如图所示。如图所示。xlhyoxxlh 设小船到坐标原点的距离为设小船到坐标原点的距离为l, 任意时刻小船到任意时刻小船到岸边的距离岸边的距离x总满足总满足 x 2 = l 2 h 2 两边对时间两边对时间t 求导数求导数, 得得 绞车拉动纤绳的速率绞车拉动纤绳

14、的速率, 纤绳随时间在缩纤绳随时间在缩短短, 故故 ; 是小船向岸边移动的速率。是小船向岸边移动的速率。负号表示小船速负号表示小船速度沿度沿x 轴反方向。轴反方向。 小船向岸边移小船向岸边移动的加速度为动的加速度为 xlhPart C Part C 速度和加速度速度和加速度速度和加速度速度和加速度 例题例题例题例题 3 3M点的运动方程点的运动方程:求求1. M 点的轨迹2.当 t = /4k 秒时，M点的位置和速度.3. 沿轨迹的运动方程Part C Part C 速度和加速度速度和加速度速度和加速度速度和加速度 解解解解 1.从从M点的运动方程中消去参数点的运动方程中消去参数t:2.计算速

15、度计算速度Part C Part C 速度和加速度速度和加速度速度和加速度速度和加速度 解解解解 3. 设设 M0 是自然坐标的原点是自然坐标的原点Part C Part C 速度和加速度速度和加速度速度和加速度速度和加速度 3. 3. 速度和加速度速度和加速度速度和加速度速度和加速度 自然坐标系自然坐标系自然坐标系自然坐标系当质点从当质点从 A 运动到运动到 B, 在一个在一个无穷小的时间无穷小的时间 dt, 质点走过质点走过的轨迹是曲率半径为的轨迹是曲率半径为 r r 的一的一段非常小的长度段非常小的长度 ds除以 dtPart C Part C 速度和加速度速度和加速度速度和加速度速度和

16、加速度 3. 3. 速度和加速度速度和加速度速度和加速度速度和加速度 自然坐标系自然坐标系自然坐标系自然坐标系引进单位矢量引进单位矢量et 和和 enet 和和 en 相互垂直相互垂直, 大小为大小为1。et 和和 en 方向并不固定方向并不固定, 由动由动点点A的位置确定。的位置确定。et 是是A的切线方向且指向的切线方向且指向s的的增加方向。增加方向。en 垂直于垂直于A的轨迹并指向曲的轨迹并指向曲率中心率中心 CPart C Part C 速度和加速度速度和加速度速度和加速度速度和加速度 3. 3. 速度和加速度速度和加速度速度和加速度速度和加速度 自然坐标系自然坐标系自然坐标系自然坐标

17、系Dr 与A点的轨迹相切，大小为ds速度速度: :速度的大小速度的大小速度的方向速度的方向Part C Part C 速度和加速度速度和加速度速度和加速度速度和加速度 3. 3. 速度和加速度速度和加速度速度和加速度速度和加速度 自然坐标系自然坐标系自然坐标系自然坐标系由上由上, ,又：又：则：则：Part C Part C 速度和加速度速度和加速度速度和加速度速度和加速度 3. 3. 速度和加速度速度和加速度速度和加速度速度和加速度 自然坐标系自然坐标系自然坐标系自然坐标系切向加速度，表示了质点速度大小的切向加速度，表示了质点速度大小的变化，若质点速率增加，那么它具有变化，若质点速率增加，那

18、么它具有和速度相同的方向，反之，和速度方和速度相同的方向，反之，和速度方向相反。向相反。法向加速度，描述了速度方向的变法向加速度，描述了速度方向的变化。化。Part C Part C 速度和加速度速度和加速度速度和加速度速度和加速度 3. 3. 速度和加速度速度和加速度速度和加速度速度和加速度 自然坐标系自然坐标系自然坐标系自然坐标系关于关于 空间自然轴系空间自然轴系因为方向同所以 3. 3. 速度和加速度速度和加速度速度和加速度速度和加速度 自然坐标系自然坐标系自然坐标系自然坐标系速度加速度代入则 3. 3. 速度和加速度速度和加速度速度和加速度速度和加速度 自然坐标系自然坐标系自然坐标系自

19、然坐标系Part C Part C 速度和加速度速度和加速度速度和加速度速度和加速度 4. 4. 应用应用应用应用若切向加速度若切向加速度 at 是一个常数是一个常数, 质点做匀加速曲线运动，质点做匀加速曲线运动，则有以下关系则有以下关系:曲线匀速运动曲线匀速运动常数常数 例例5-4 在在图图的的摇摇杆杆滑滑道道机机构构中中，滑滑块块M同同时时在在固固定定圆圆弧弧槽槽BC和和摇摇杆杆OA的的滑滑道道中中滑滑动动。圆圆弧弧BC的的半半径径为为R，摇摇杆杆的的转转轴轴O在在BC弧弧的的圆圆周周上上，摇摇杆杆绕绕O轴轴以以匀匀角角速速度度转转动动。当当运运动动开开始始时时，摇摇杆杆在在水水平平位位置

20、置。求求 （1）滑滑块块相相对对于于BC弧弧的的速速度度、加加速度；（速度；（2）滑块相对于摇杆的速度、加速度。）滑块相对于摇杆的速度、加速度。Theoretical Mechanics 返回首页返回首页Theoretical Mechanics先求滑块先求滑块M相对圆弧相对圆弧BC的速度、加速度。的速度、加速度。 BC弧固定，故滑块弧固定，故滑块M的运动轨迹已知，宜用自然法求解的运动轨迹已知，宜用自然法求解 以以M点的起始位置为原点，逆时针方向为正点的起始位置为原点，逆时针方向为正 方向如图方向如图方向如图方向如图 返回首页返回首页5.4 例例 题题 分分 析析Theoretical Mec

21、hanics解法解法2：笛卡儿坐标法笛卡儿坐标法建立图示坐标系建立图示坐标系 返回首页返回首页5.4 例例 题题 分分 析析Theoretical Mechanics 在在轨轨迹迹已已知知情情况况下下，用用自自然然法法不不仅仅简简便便，而而且且速速度、加速度的几何意义很明确。度、加速度的几何意义很明确。 讨论：讨论： 返回首页返回首页5.4 例例 题题 分分 析析Theoretical Mechanics求滑块求滑块M相对于杆的速度与加速度相对于杆的速度与加速度 将将参参考考系系Ox 固固定定在在OA杆杆上上，此此时时，滑滑块块M在在OA杆杆上上作作直线运动，相对轨迹是已知的直线运动，相对轨迹

22、是已知的OA直线。直线。M点相对运动方程为点相对运动方程为 方向沿方向沿OA且与且与x 正向相正向相反反 其方向沿指向其方向沿指向x轴负向轴负向 返回首页返回首页5.4 例例 题题 分分 析析Theoretical Mechanics 例例5-5 平行四连杆机构在图示平面内运动。平行四连杆机构在图示平面内运动。O1A = O2B=0.2 m, AM =0.6m，O1O2 = AB =0.6m，如，如O1A按按 =15的规律转动，其中的规律转动，其中 以以rad计计，t以以s计计。试求试求t=0.8 s时时，M点的速度与加速度。点的速度与加速度。 返回首页返回首页5.4 例例 题题 分分 析析T

23、heoretical MechanicsA A点作圆周运动，其运动方程为点作圆周运动，其运动方程为（m/s） 此时此时AB杆正好第六次回到起始的水平位置杆正好第六次回到起始的水平位置O点处点处. 、 的方向如图示的方向如图示 返回首页返回首页5.4 例例 题题 分分 析析Theoretical Mechanics 返回首页返回首页5.4 例例 题题 分分 析析 例例5-6 搅拌机如拌机如图所示，已知所示，已知O1AO2BR，O1O2AB，杆，杆O1A以不以不变转速速n r/min。试分析分析 BAM构件上构件上M点的点的轨迹、速度迹、速度和加速度。和加速度。 解：因为构件解：因为构件BAM作平

24、移作平移,所以所以 M轨迹与轨迹与A相同。相同。 A的轨迹为的轨迹为Theoretical Mechanics 返回首页返回首页5.4 例例 题题 分分 析析O1xA bvmMyaMvAnO2Ba M的的轨迹迹速度速度 加速度加速度 例例5-7 如图所示，摇杆机构的滑杆如图所示，摇杆机构的滑杆AB以匀速以匀速u向上运动，试建向上运动，试建立摇杆立摇杆OC上点上点C的运动方程，并求此点在的运动方程，并求此点在 的速度大小。假定的速度大小。假定初始瞬时初始瞬时 0，摇杆长，摇杆长OCa，距离，距离ODl。Theoretical Mechanics 返回首页返回首页5.4 例例 题题 分分 析析Th

25、eoretical Mechanics 返回首页返回首页5.4 例例 题题 分分 析析解：如图示坐标系，动点解：如图示坐标系，动点C的坐标为：的坐标为：对于于动点点A： 动点点C的运的运动方程方程为：用弧坐用弧坐标表示点表示点C的运的运动方程，方程，则有有当当 Theoretical Mechanics 返回首页返回首页5.4 例例 题题 分分 析析 例例5-7 如图所示，曲柄如图所示，曲柄CB以匀角速度以匀角速度 0绕绕 C 轴转动，其转轴转动，其转动方程为动方程为 0t，通过滑块，通过滑块B带动摇杆带动摇杆OA绕绕O转动，设转动，设OCh，CBr，求摇杆的转动方程。，求摇杆的转动方程。Th

26、eoretical Mechanics 返回首页返回首页5.4 例例 题题 分分 析析解：以解：以C为原点，为原点，x、y轴分别如图示，则对于轴分别如图示，则对于B： 在在图示中：示中： 又又 0t 摇杆的杆的转动方程方程为Theoretical Mechanics 返回首页返回首页5.4 例例 题题 分分 析析 例例5-8 一偏心圆盘凸轮机构如图示。圆盘一偏心圆盘凸轮机构如图示。圆盘C的半径为的半径为R，偏，偏心距为心距为e。设凸轮以匀角速度。设凸轮以匀角速度 绕绕O轴转动，求导板轴转动，求导板AB的速度和的速度和加速度。加速度。Theoretical Mechanics 返回首页返回首页5.4 例例 题题 分分 析析解：如图建立坐标系解：如图建立坐标系则圆盘则圆盘C沿沿y向的运动方程为向的运动方程为 yCesin 而导板的运动与圆盘而导板的运动与圆盘C y向运动相同，所以导板运动方程为向运动相同，所以导板运动方程为