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1、直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系本课内容本节内容2.52.5.4 三角形的内切圆三角形的内切圆 想在一块三角形硬纸板上剪下一个面积想在一块三角形硬纸板上剪下一个面积最大的圆形纸板，应当怎样剪？最大的圆形纸板，应当怎样剪？议一议议一议议一议议一议议一议议一议 如图，为了使圆形纸板的面积最大，如图，为了使圆形纸板的面积最大，这个圆应当与三角形的三条边都尽可能这个圆应当与三角形的三条边都尽可能贴近贴近 这使得我们猜测这使得我们猜测：这个圆应当与三角：这个圆应当与三角形的三条边都相形的三条边都相切切.如果存在，那么如何画出这样的圆？如果存在，那么如何画出这样的圆？与三角形的三条边都相切的圆存在吗？
2、与三角形的三条边都相切的圆存在吗？动脑筋动脑筋 如果圆与如果圆与ABC的三条边都相切，那么圆心的三条边都相切，那么圆心O到三条边的距离都等于半径，从而这些距离相等到三条边的距离都等于半径，从而这些距离相等. 我们已经知道，到一个角的两边距离相等的我们已经知道，到一个角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，因此圆心点一定在这个角的平分线上，因此圆心O是是A的的与与B的平分线的交点的平分线的交点. 根据以上分析，我们可以按下面的方法画一个圆根据以上分析，我们可以按下面的方法画一个圆与三角形的三边都相切与三角形的三边都相切.如下图，已知如下图，已知ABC. 求作：与求作：与ABC的各边都相切的圆
3、的各边都相切的圆.作作A，B的平分线的平分线AD，BE， 它们相交于点它们相交于点O；过点过点O作作AB的垂线，垂足为的垂线，垂足为M；以点以点O为圆心，为圆心，OM为半径作圆为半径作圆.圆圆O就是所求作的圆，如图所示就是所求作的圆，如图所示.作法：作法： 由以上分析和作法可知，与三角形的三条边都相切由以上分析和作法可知，与三角形的三条边都相切的圆有且只有一个的圆有且只有一个. 如图所示，设点如图所示，设点O是是ABC的内心，由于的内心，由于AB，BC，CA都与都与O相切，因此圆心相切，因此圆心O到到AB，BC，CA的距离都等于圆的半径的距离都等于圆的半径. .从而圆心从而圆心O在在ABC的每
4、个内角的平分线上的每个内角的平分线上. 与三角形各边都相切的圆叫作三角形的与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆内切圆，内切圆的圆心叫作三角形的，内切圆的圆心叫作三角形的内心内心，这个三角形叫作圆的这个三角形叫作圆的外切三角形外切三角形.结论结论由此得出：由此得出： 三角形的内心是这个三角形的三条角三角形的内心是这个三角形的三条角平分线的交点平分线的交点.例例6 如图所示，如图所示， O是是ABC的内切圆，的内切圆， A=70，求，求BOC的度数的度数. 举举例例解解 A=70， ABC + ACB = 180- -A = 110. O是是ABC的内切圆，的内切圆， BO， CO分别是分别是
5、ABC与与ACB的平分线，的平分线，即即1= ABC， 2= ACB. BOC = 180- -（1 + 2） = 180- - （ABC+ACB） = 180- - 110 = 125 . 1. 任任画一个三角形，画一个三角形，求作求作它的内切圆它的内切圆.练习练习答：画一个三角形，然后分别作答：画一个三角形，然后分别作其中任意两个角的角平分线，其其中任意两个角的角平分线，其相交于一点相交于一点O，如图，如图.O以以O为圆心，以为圆心，以OD的长为半径作圆，的长为半径作圆，则圆则圆O就是所求作的圆就是所求作的圆.过点过点O作一条边的垂线，垂足为作一条边的垂线，垂足为D.D2. 如图，如图，A
6、BC的内切圆的三个切点分别为的内切圆的三个切点分别为D，E，F， A =74，B=47，求圆心角，求圆心角EOF的度数的度数. 解解 O 是是 ABC 的内切圆，的内切圆， OEBC， OFAC， 即即 OEC=OFC=90. 又又 A=74， B=47, C=59. 在四边形在四边形 OECF 中中 ， EOF=360- -90- -90- -59=121.3.已知等边三角形已知等边三角形ABC的边长为的边长为a，求它的内切圆，求它的内切圆 的半径的半径. 解解连接连接 OB、 OC.O如图，如图， O是等边三角形是等边三角形ABC 的内切圆的内切圆. ABC则则OBC= B=30，OCB=
7、 C= 30.则则 ODBC，且，且OD 为内切圆的半径为内切圆的半径.设设 BC 边与边与 O的切点为的切点为D，连接，连接 OD.D OD=tan30 在在 RtOBD 与与 RtOCD 中，中， tan30= ， BD=DC， 即即 DC即内切圆的半径为即内切圆的半径为 .OAB CD中考中考 试题试题例例 如图，如图， O内切于内切于ABC，切点分别为，切点分别为D、E、F.已已知知B=50，C=60，连结，连结OE、OF、DE、DF，那么，那么EDF等于等于 （ ） A.40 B.55 C.65 D.70BD解析解析B=50，C=60， A=70.又又AB、BC、AC切切 O于点于点E、D、F，AEO=AFO=90.EOF=360- -90- -90- -70=110.EDF = EOF= 110=55，故选故选B. .结结 束束
