数学史选讲高一数学讲座

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1、不懂数学者，不得入内不懂数学者，不得入内！2024/7/221a一天，一群年轻人来到位于雅典城郊外林荫中的“柏拉图学园。只见学园的大门紧闭着，门口挂着一块木牌，上面写着：“不懂数学者，不得入内!这是当年柏拉图亲自立下的规矩，为的是让学生们知道他对数学的重视，然而却把前来求教的年轻人给闹糊涂了。有人在想，正是因为我不懂数学，才要来这儿求教的呀，如果懂了，还来这儿做什么?正在人们面面相觑，不知是退、是进的时候，有一个人从人群中走了出来，只见他整了整衣冠，看了看那块牌子，然后果断地推开了学园大门，头也没有回地走了进去。2024/7/222a数学的开展数学的开展历程程顺顺德一中德一中德一中德一中-李忠

2、李忠李忠李忠华华2024/7/223a初等数学的开初等数学的开创 公元前公元前6 世世纪6 世世纪数学萌芽数学萌芽时期期 远古古 公元前公元前6 世世纪近代数学近代数学创立立时期期 17 世世纪18 世世纪近代数学成熟近代数学成熟时期期 19 世世纪初初 现在在 初等数学交流开展初等数学交流开展时期期 公元公元6 世世纪16 世世纪末末2024/7/224a“ 用十个用十个记号来表示一切数，每个号来表示一切数，每个记号不但有号不但有绝对值，而且有位置的，而且有位置的值，这种巧妙的方法种巧妙的方法出自印度。出自印度。这是一个深是一个深远而又重要的思想，而又重要的思想，它今天看来如此它今天看来如此

3、简单，以致我，以致我们无无视了它的了它的真正真正伟绩。但恰恰是它的。但恰恰是它的简单性以及性以及对一切一切计算都提供了极大的方便，才使我算都提供了极大的方便，才使我们的算的算术在一切有用的文明中列在首位；而当我在一切有用的文明中列在首位；而当我们想想到它竟逃到它竟逃过了古代最了古代最伟大的两个人物阿基米大的两个人物阿基米德和阿波德和阿波罗尼奥斯的天才思想的关注尼奥斯的天才思想的关注时，我，我们更感到更感到这成就的成就的伟大了大了. 拉普拉斯拉普拉斯 数学萌芽数学萌芽时期期 远古古 公元前公元前6 世世纪2024/7/225a初等数学初等数学时期期 公元前公元前6 世世纪6 世世纪 1:演演绎绎

4、体系的形成：体系的形成：?几何原本几何原本?-古希腊古希腊. 2:代数学的开展：代数学的开展： ?算算术术? -古希腊古希腊 算算术、几何、代数、三角、几何、代数、三角术全面开全面开创，崇尚，崇尚逻辑证明和推明和推理，形成理理，形成理论体系体系2024/7/226a古古 希希 腊腊 数数 学学公元前公元前600年年600年年7a数学作数学作为一一门有有组织、独立的和理性的学科来、独立的和理性的学科来说，在古希腊学者登，在古希腊学者登场之前是不存在的。之前是不存在的。 -M-M克莱克莱因因 柏拉图学派诡辩学派埃利亚学派欧多克斯学派亚里士多德学派毕达哥拉斯学派伊奥尼亚学派8a一、古希腊数学的先行者

5、一、古希腊数学的先行者伊奥尼亚学派创始人古希腊最早的数学家、哲学家“希腊七贤之首泰勒斯最先泰勒斯最先证明了如下的定理明了如下的定理: :1.1.两直两直线相交，相交，对顶角相等。角相等。2.2.等腰三角形两底角相等。等腰三角形两底角相等。 3.3.圆被直径二等分。被直径二等分。 4.4.半半圆上的上的圆周角是直角。周角是直角。 -泰勒斯定理泰勒斯定理5.5.两个三角形全等的两个三角形全等的边角角边定理。定理。从泰勒斯开始，命从泰勒斯开始，命题证明成明成为希腊数学的根本精神。希腊数学的根本精神。泰勒斯泰勒斯9a 公元前公元前551前前479年年 精于哲学、数学、天文精于哲学、数学、天文 学、音学

6、、音乐理理论二、二、毕达哥拉斯学派达哥拉斯学派1毕毕达哥拉斯达哥拉斯 Pythagoras 希腊希腊论证数学的另一位祖数学的另一位祖师 毕达哥拉斯学派达哥拉斯学派创始人始人 信奉信奉“万物皆数万物皆数费洛洛罗斯曾斯曾说:“:“人人们所知道的任何事物都包含数。因此，如果没有数所知道的任何事物都包含数。因此，如果没有数就既不可能表达，也不可能理解任何事物。就既不可能表达，也不可能理解任何事物。10a2勾股定理勾股定理 毕毕达哥拉斯定理达哥拉斯定理 二、二、毕达哥拉斯学派达哥拉斯学派11a2002.8 国国际数数学家大会会徽学家大会会徽欧几里得的证明原图赵爽的“弦图”12a二、二、毕达哥拉斯学派达哥

7、拉斯学派3不可公度不可公度万物皆数万物皆数可公度可公度第一次数学危机第一次数学危机不可公度不可公度希帕希帕苏斯斯发现阿基米德证明13a14a理性的火炬已理性的火炬已经点燃点燃, ,希腊数学的黄金希腊数学的黄金时期即将来期即将来临。那是一个涌那是一个涌动着智慧、思想和理性的光着智慧、思想和理性的光辉时代代15a欧几里德与欧几里德与?几何原本几何原本?几何原本几何原本?是希腊是希腊时时期乃至整个人期乃至整个人类历类历史史上最重要的数学著作上最重要的数学著作.古希腊数学家欧几里古希腊数学家欧几里德将之前的希腊数学德将之前的希腊数学进进行了整理行了整理,它成它成书书与与公元前公元前300年左右年左右.

8、16a?几何原本几何原本?建立的建立的历历史背景史背景1、泰勒斯、泰勒斯开始了命开始了命题的的证明，明，为几何建立到几何建立到论证体系中体系中迈出了第一步。出了第一步。2、毕达哥拉斯学派开始了数学的抽象研究。达哥拉斯学派开始了数学的抽象研究。3、体系的划定，主要是研究几何作、体系的划定，主要是研究几何作图的三大的三大问题：化化圆为方、立方倍方、立方倍积、三等分任意角。、三等分任意角。4、内容的、内容的积累、方法的累、方法的积累累穷竭法竭法6、欧几里德完成了、欧几里德完成了对对?几何原本几何原本?的的历历史史性整理性整理5、逻辑作作为工具工具17a?几何原本几何原本?的根本内容分析的根本内容分析

9、目目录 第一卷第一卷 几何根底几何根底 第八卷第八卷 数数论二二 第二卷第二卷 几何与代数几何与代数 第九卷第九卷 数数论三三 第三卷第三卷 圆与角与角 第十卷第十卷 无理无理量量 第四卷第四卷 圆与正多与正多边形形 第十一卷第十一卷 立体几立体几何何 第五卷第五卷 比例比例 第十二卷第十二卷 立体的立体的测量量 第六卷第六卷 相似相似 第十三卷第十三卷 建正多面体建正多面体 第七卷第七卷 数数论一一18a?几何原本几何原本?的根本内容分析的根本内容分析五条公五条公设 1.过两点能作且只能作一直两点能作且只能作一直线； 2.线段段(有限直有限直线)可以无限地延可以无限地延长； 3.以任一点以任

10、一点为圆心心,任意任意长为半径半径,可作一可作一圆； 4.但凡直角都相等；但凡直角都相等； 5.同平面内一条直同平面内一条直线和另外两条直和另外两条直线相交，假相交，假设在直在直线同同侧的两个内角之和小于的两个内角之和小于180，那么，那么这两条直两条直线经无限延无限延长后在后在这一一侧一定相交一定相交 五条公理五条公理 1.等于同量的量彼此相等；等于同量的量彼此相等； 2.等量加等量，其和相等；等量加等量，其和相等； 3.等量减等量，其差相等；等量减等量，其差相等； 4.彼此能重合的物体是全等的；彼此能重合的物体是全等的； 5.整体大于局部。整体大于局部。 19a?几何原本几何原本?对对数学

11、开展的意数学开展的意义义?几何原本几何原本?几乎概括了古希腊当几乎概括了古希腊当时时所有的数学所有的数学理理论论,包括几何学包括几何学,数数论论等等,成成为为近代西方数学的重近代西方数学的重要源泉要源泉.?几何原本几何原本?是希腊人根据几何材料的内在是希腊人根据几何材料的内在联联系系,以概念作以概念作为为判断和推理的根底逐步形成了数学判断和推理的根底逐步形成了数学证证明的明的观观念念,这这是是对对数学数学认识认识的一个的一个质质的的飞跃飞跃?几何原本几何原本?自成自成书书以后以后,在数学界在数学界产产生巨大生巨大而深而深远远的影响的影响,成成为为数学史上乃至科学史上数学史上乃至科学史上严严格的

12、演格的演绎绎的公理化体系的最早的典范的公理化体系的最早的典范.20a约前287年前212年，伟大的古希腊哲学家、数学家、物理学家、力学家，静力学和流体静力学的奠基人。21a 代数的开展二次方程的解法二次方程的解法三次、四次方程的解法三次、四次方程的解法22a 一元多一元多项式方程是否可用式方程是否可用 根根式求解的式求解的问题卡丹公式23a 代数学的中心代数学的中心问题即五次以上的一元多即五次以上的一元多项式式方程是否可用根式求解的方程是否可用根式求解的问题时,经由由J.-L.拉格拉格朗日、朗日、P.鲁菲尼、菲尼、N.H.阿阿贝尔和和E.伽伽罗瓦引入瓦引入和开展，并有成效地用它和开展，并有成效

13、地用它彻底解决了底解决了这个中心个中心问题。一元三次、四次方程求根公式找到后，人一元三次、四次方程求根公式找到后，人们在努力在努力寻找一元五次方程求根公式，三百年找一元五次方程求根公式，三百年过去了，但没有人成功，去了，但没有人成功，这些些经过尝试而没有得而没有得到到结果的人当中，不乏有大数学家。果的人当中，不乏有大数学家。2024/7/2224an时至今日，群的概念已至今日，群的概念已经普遍地被普遍地被认为是数学及其是数学及其许多多应用中最根本的概念之一。它不但渗透到用中最根本的概念之一。它不但渗透到诸如几何学、代数拓如几何学、代数拓扑学、函数扑学、函数论、泛函分析及其他、泛函分析及其他许多

14、数学分支中而起着重要多数学分支中而起着重要的作用，的作用，还形成了一些新学科如拓扑群、李群、代数群、算形成了一些新学科如拓扑群、李群、代数群、算术群等，它群等，它们还具有与群具有与群结构相构相联系的其他系的其他结构如拓扑、解构如拓扑、解析流形、代数簇等，并在析流形、代数簇等，并在结晶学、理晶学、理论物理、量子化学以至物理、量子化学以至代数代数编码学、自学、自动机理机理论等方面，都有重要的等方面，都有重要的应用。作用。作为推广推广“群的概念的群的概念的产物：半群和幺半群理物：半群和幺半群理论及其近年来及其近年来对计算机科学和算机科学和对算子理算子理论的的应用，也有很大的开展。群用，也有很大的开展

15、。群论的的计算机方法和程序的研究，已在迅速地开展。算机方法和程序的研究，已在迅速地开展。 2024/7/2225a 1651年，法国一位贵族梅素向法国数学家、物理学家帕斯卡提出了一个十分有趣的 “分赌注问题问题是是这样的的: :一次梅一次梅素素和和赌友友掷硬硬币，各押，各押赌注注3232个金个金币双方双方约定，梅定，梅素素如果先如果先掷出三次正面，出三次正面，或者或者赌友先友先掷三次正面，就算三次正面，就算赢了了对方方赌博博进行行了一段了一段时间，梅，梅素素已已经两次两次掷出正面，出正面，赌友已友已经一一次次掷出正面出正面这时候梅候梅素素接到通知，要他接到通知，要他马上陪同上陪同国王接国王接见

16、外外宾，赌博只好中断了博只好中断了请问：两个人：两个人应该怎怎样分分这6464个金个金币才算合理呢才算合理呢? ?分分赌注注26a 赌友友说，他要再碰上两次正面，或梅，他要再碰上两次正面，或梅素素要再要再碰上一次正面就算碰上一次正面就算赢，所以，所以他主他主张赌金金应按按2：1来分。来分。即即自己自己分分6464个金个金币的的 ，梅素梅素分分6464个金个金币的的 梅梅素素争争辩说，不，不对，即使下一次，即使下一次赌友友掷出了正面，出了正面，他他还可以得到可以得到 ，即，即3232个金个金币；再加上下一次他；再加上下一次他还有一半希望得到有一半希望得到1616个金个金币，所以他，所以他应该分得

17、分得6464个金个金币的的 ，赌友只能分得友只能分得6464个金个金币的的 两人到底两人到底谁说得得对呢呢? ?27a帕斯卡是17世纪有名的“神童数学家。可是，梅素提出的“分赌注的问题，却把他难住了他苦苦思考了两三年，到1654年才算有了点眉目，于是写信给他的好友费马，两人讨论结果，取得了一致的意见：梅素的分法是对的，他应得64个金币的四分之三，赌友应得64金币的四分之一。这时有位荷兰的数学家惠更斯在巴黎听到这件新闻，也参加了他们的讨论结果他们这样答复了梅素的问题；“先做一个树结构图，根据树结构图A胜的概率是34时，就把赌钱的34分给A，把剩下的14分给B就可以了于是，概率的计算就这样产生了2

18、8a 讨论结讨论结果，惠更斯把它写成一本果，惠更斯把它写成一本书书叫做叫做? ?论赌论赌博中的博中的计计算算?(1657?(1657年年) )，这这就是概率就是概率论论最早的一部著作最早的一部著作 概率概率论现论现在已在已经经成了数学的一个重要分支，在科学技成了数学的一个重要分支，在科学技术术各各领领域里有域里有着十分广泛的着十分广泛的应应用用 29a哥尼斯堡七哥尼斯堡七桥问题30a例1七桥问题如图，能否从某个桥出发，走过所有的桥，但每座桥只经过一次？ABCD？BACD31aBACD2421331333532a图 论欧拉对“七桥问题的研究是图论研究的开始，同时也为拓扑学的研究提供了一个初等的例

19、子。2024/7/2233a点线图拓扑学topology:不注重数量关系和形状特征，而注重点与点的连接方式！如：建立校园网络系统。从网络中心到各办公楼、教学楼、学生宿舍楼，到各办公室、教室和寝室。你任何设计呢？你需要建立一个网络的拓扑图即可。实际上如果两个图的点与连接方式一致，它们实际上就是拓扑意义下的一张图。34a课后学后学习建建议：n1.去去读书馆，借，借阅一本关于数学史的一本关于数学史的书；比方：比方：?数学史上的三次危机数学史上的三次危机?、?古今数学思想古今数学思想?等。等。n2.找一位感找一位感兴趣的数学家，了解他的生平趣的数学家，了解他的生平轶事；事；n3.做一个研究做一个研究兴

20、学学习的的课题比方：比方：?中国古代的数学成就中国古代的数学成就?、?中外数学开展比照中外数学开展比照?等。等。35a祝愿同学祝愿同学们热爱数学，数学， 学好数学！学好数学！2024/7/2236a再再见！2024/7/2237a希希尔伯特伯特23问:1 1 连续统连续统假假设设 2 2 算算术术公理的相容性公理的相容性 3 3 两个等底等高四面体的体两个等底等高四面体的体积积相等相等问题问题4 4 两点两点间间以直以直线为线为距离最短距离最短线问题线问题 5. 5. 一个一个连续变换连续变换群的李氏概念群的李氏概念6. 6. 物理学的公理化物理学的公理化 7. 7. 某些数的无理性与超越性某

21、些数的无理性与超越性 8. 8. 素数素数问题问题 包括黎曼猜包括黎曼猜测测、哥德巴赫猜、哥德巴赫猜测测及及孪孪生素数生素数问题问题等。等。9 9 在任意数域中在任意数域中证证明最一般的互反律明最一般的互反律1010 丢丢番番图图方程可解性方程可解性2024/7/2238a11 系数系数为为任意代数数的二次型任意代数数的二次型 . 12 将阿将阿贝贝尔尔域上的克域上的克罗罗克定理推广到任意的代数有理域上去克定理推广到任意的代数有理域上去 13 不可能用只有两个不可能用只有两个变变数的函数解一般的七次方程数的函数解一般的七次方程 14 证证明某明某类类完完备备函数系的有限性函数系的有限性 15

22、舒伯特舒伯特计计数演算的数演算的严严格根底格根底 一个典型一个典型问题问题是：在三是：在三维维空空间间中中有四条直有四条直线线，问问有几条直有几条直线线能和能和这这四条直四条直线线都相交？都相交？16 代数曲代数曲线线和代数曲和代数曲线线面的拓扑面的拓扑问题问题 17 半正定形式的平方和表示半正定形式的平方和表示 18 用全等多面体构造空用全等多面体构造空间间 19 正那么正那么变变分分问题问题的解是否一定解析的解是否一定解析 20 一般一般边值问题边值问题 21 具有具有给给定定单值单值群的群的线线性微分方程解的存在性性微分方程解的存在性证证明明 22 由自守函数构成的解析函数的由自守函数构

23、成的解析函数的单值单值化化 23 变变分法的分法的进进一步开展一步开展2024/7/2239a 1975年，在美国伊利年，在美国伊利诺诺斯大学召开的一斯大学召开的一次国次国际际数学会数学会议议上，数学家上，数学家们们回回忆忆了四分之了四分之三个世三个世纪纪以来希以来希尔尔伯特伯特23个个问题问题的研究的研究进进展展情况。当情况。当时统计时统计，约约有一半有一半问题问题已已经经解决了，解决了，其余一半的大多数也都有重大其余一半的大多数也都有重大进进展。展。1976年，在美国数学家年，在美国数学家评选评选的自的自1940年以来美国数学的十大成就中，有三年以来美国数学的十大成就中，有三项项就是就是希希尔尔伯特第伯特第1、第、第5、第、第10问题问题的解决。由此的解决。由此可可见见，能解决希，能解决希尔尔伯特伯特问题问题，是当代数学家，是当代数学家的无上荣耀。的无上荣耀。2024/7/2240a问题是数学的心脏再再见！2024/7/2241a