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1、1.1傅氏变换 及单位脉冲函数本章学习目标 1、了解傅里叶积分; 2、理解傅里叶变换; 3、掌握 Dirac 函数及傅里叶变换; 4、熟悉傅里叶变换的性质. 一、傅里叶积分定理 若函数f(t) 在任何有限区间上满足狄氏条件，且在 上绝对可积。则有 成立，而左端的f(t)在它的间断点t处值为 例1 求函数 的傅里叶积分表达式。 二.傅里叶变换的概念 即 例例 2、求指数衰减函数、求指数衰减函数的傅立叶变换，并求的傅立叶变换，并求的值。的值。 在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲函数. 因为有许多物理现象具有脉冲性质, 如在电学中, 要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后所产生的电流；在力学
2、中, 要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等，研究此类问题就会需要我们介绍单位脉冲函数。三、单位脉冲函数 在原来电流为零的电路中, 某一瞬时(设为t=0)进入一单位电量的脉冲, 现在要确定电路上的电流i(t). 以q(t)表示上述电路中的电荷函数, 则 当t0时, i(t)=0, 由于q(t)是不连续的, 从而在普通导数意义下, q(t)在这一点是不能求导数的. 如果我们形式地计算这个导数, 则得 这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够表示这样的电流强度. 为了确定这样的电流强度, 引进一称为狄利克雷(Dirac)的函数, 简单记成d-函数:有了这种函数, 对于许多集中于一点或一瞬时
3、的量, 例如点电荷, 点热源, 集中于一点的质量及脉冲技术中的非常窄的脉冲等, 就能够象处理连续分布的量那样, 以统一的方式加以解决.de(t)1/eeO（在极限与积分可交换意义下）工程上将d-函数称为单位脉冲函数。 可将d-函数用一个长度等于1的有向线段表示, 这个线段的长度表示d-函数的积分值, 称为d-函数的强度.tOd (t)1d-函数有筛选性质：可见d-函数和任何连续函数的乘积在实轴上的积分都有明确意义。因为d 函数是广义函数, 所以其Fourier变换不 是通常意义下的Fourier 变换. 根据Fourier 变换的定义, 以及d 函数的性质, 可 得 通常, 没有意义. 然而由
4、 在广义函数意义下, 性质：证法2：若F(w)=2pd (w), 由傅氏逆变换可得例3 证明：1和2pd (w)构成傅氏变换对.证法1：由上面两个函数的变换可得例如常数, 符号函数, 单位阶跃函数以及正, 余弦函数等, 然而它们的广义傅氏变换也是存在的, 利用单位脉冲函数及其傅氏变换就可以求出它们的傅氏变换. 所谓广义是相对于古典意义而言的, 在广义意义下, 同样可以说,原象函数f(t) 和象函数F(w) 构成一个傅氏变换对. 在物理学和工程技术中, 有许多重要函数不满足傅氏积分定理中的绝对可积条件, 即不满足条件 例5 计算 和 根据d 函数Fourier变换的 , 可得 例6 证明：证： 例7 计算 利用 , 可得 因为d (x)是d 逼近函数 的弱极限, 所以由 , 也可以理解为 (1) d 函数Fourier变换的时移和频移性质 d-函数的傅氏变换为:于是d (t)与常数1构成了一傅氏变换对.根据Fourier变换的定义以及d 函数的性质, 即 (2) d 函数Fourier变换的微分性质 根据Fourier变换的定义, 以及d 函数的性质, 又因为所以
