第4章向量组的线性相关性

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1、1第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性4.4 线性方程组解的结构线性方程组解的结构4.3 向量组的秩向量组的秩4.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性4.1 向量组及其线性组合向量组及其线性组合4.5 向量空间向量空间24.1 向量组及其线性组合向量组及其线性组合三维空间的向量三维空间的向量:有向线段。有向线段。建立空间直角坐标系后，建立空间直角坐标系后，它由一点它由一点 P 或一个三元数组或一个三元数组 (x,y,z) 唯一确定。唯一确定。 我们还定义了向量的我们还定义了向量的加法加法(即平行四边形法则即平行四边形法则)和向量的和向量的数数乘乘两种运算。两种运算。3 在建立

2、空间直角坐标系后，由于向量与三元数组在建立空间直角坐标系后，由于向量与三元数组(又称坐标又称坐标)的一一对应关系。用坐标计算向量的加法与数乘就特别方便。的一一对应关系。用坐标计算向量的加法与数乘就特别方便。 由于解线性方程组等实际的需要，我们要把三维空间中的由于解线性方程组等实际的需要，我们要把三维空间中的向量进行推广向量进行推广(把几何向量代数化把几何向量代数化)。直接把。直接把 n 元的数组叫做元的数组叫做(代代数中的数中的)向量向量向量向量，向量加法与数乘运算的定义直接平移三维向量，向量加法与数乘运算的定义直接平移三维向量坐标的运算。坐标的运算。4定义定义定义定义n 个数组成的有序数组个

3、数组成的有序数组称为一个称为一个 n n 维行向量维行向量维行向量维行向量或或 n n 维列向量维列向量维列向量维列向量, 其中其中 称为该行称为该行(列列)向向量的第量的第 i 个个分量分量分量分量. 行向量与列向量统称为行向量与列向量统称为向量向量向量向量. 分量全是实数分量全是实数(复数复数)的向量称为实的向量称为实(复复)向量向量, n 维实维实(复复)向向量的全体记为量的全体记为 . 以后如无特殊说明以后如无特殊说明, 向量均指实向量向量均指实向量. 约定约定约定约定:所讨论的向量如无说明均指所讨论的向量如无说明均指列向量列向量,而行向量用列而行向量用列向量的转置表示向量的转置表示.

4、 向量的向量的加法加法加法加法运算和运算和数乘数乘数乘数乘运算同矩阵的这两种运算一样运算同矩阵的这两种运算一样.或或5 由若干个同维数的列由若干个同维数的列(行行)向量组成的集合称为一个向量组成的集合称为一个向量组向量组向量组向量组. 如无特殊说明如无特殊说明,向量组总是指只含有限个向量的向量组向量组总是指只含有限个向量的向量组. 如如如如: mn 的矩阵的矩阵 A 全体列向量是含全体列向量是含 n 个个 m 维列向量的向量组维列向量的向量组, 简称简称 A A 的列组的列组的列组的列组; 全体行向量是含全体行向量是含 m 个个 n 维的行向量组维的行向量组,简称简称 A A 的的的的行组行组

5、行组行组. 再如再如再如再如: 解的全体是一个含无穷多个解的全体是一个含无穷多个 n 维列向量的向量组维列向量的向量组.定义定义定义定义6观察观察观察观察如图三维空间中的向量如图三维空间中的向量, 必有必有不可能不可能7对于向量组对于向量组 , 表达式表达式称为向量组称为向量组 A 的一个的一个线性组合线性组合.又如果又如果 是向量组是向量组 A 的一个线的一个线性组合性组合, 即即则称向量则称向量 可由向量组可由向量组 A 线性表示线性表示.定义定义定义定义8(1) 向量向量 可由向量组可由向量组 线性表示线性表示存在数存在数 使使上面方程组有解上面方程组有解.即即有解有解学会这种转换就可以

6、了学会这种转换就可以了学会这种转换就可以了学会这种转换就可以了! !注意注意:符号混用符号混用另外另外, 如果解唯一如果解唯一, 则表示方法是唯一的则表示方法是唯一的. 如果如果 (按定义按定义)(转换为方程组转换为方程组)(用矩阵的秩用矩阵的秩)9(2) 如果向量组如果向量组 中的每个向量都可由向量组中的每个向量都可由向量组 线性表示线性表示, 则称则称向量组向量组向量组向量组 B B可由向量组可由向量组可由向量组可由向量组 A A 线性线性线性线性表示表示表示表示.有解有解(改写为矩阵改写为矩阵)(转换为矩阵方程转换为矩阵方程)(用矩阵的秩用矩阵的秩)一个向量组表示另一向量一个向量组表示另

7、一向量组就是矩阵乘法的关系组就是矩阵乘法的关系! !10(3) 如果向量组如果向量组 与向量组与向量组 可以相互表示可以相互表示,则称这两个则称这两个向量组等价向量组等价向量组等价向量组等价.向量组向量组 A 与向量组与向量组 B 等价等价(1) 向量组的向量组的等价关系等价关系是不是是不是等价关系等价关系?(用矩阵的秩用矩阵的秩)(2) , A 的行组与的行组与 B 的行组等价吗的行组等价吗?11例例1解解记记 问问 为何值时为何值时, 不能由不能由 A 线性表线性表示示; 能由能由 A 唯一表示唯一表示; 能由能由 A 有无穷多种表示有无穷多种表示, 并求并求所有表示方法所有表示方法.设向

8、量组设向量组 A:向量向量只需讨论只需讨论解的情况解的情况.这就是这就是P76例例12. 结论是结论是时时,方程组无解方程组无解, 不能由不能由 A 表示表示.时时, 方程组有唯一解方程组有唯一解, 可由可由 A 唯一表示唯一表示.12时时, 方程组有无穷多解方程组有无穷多解, 可由可由 A 无穷多种表示无穷多种表示.通解为通解为所有表示方法所有表示方法:其中其中 k 为任意实数为任意实数.即即13例例2(P87例例3) 设设 n 维向量组维向量组 构成的矩阵为构成的矩阵为 , 证明证明 n 阶单位矩阵阶单位矩阵 E 的列组的列组 可由向量组可由向量组 A 线性表示的的充要条件是线性表示的的充

9、要条件是 (即即 A 是行满矩阵是行满矩阵).证证 上述问题等价地问上述问题等价地问有没有解有没有解.该题已经作为例题讲过了该题已经作为例题讲过了, 这就是这就是P81的第的第19题题.14，例例3向量组向量组 A 与向量组与向量组 B 等价吗等价吗?解法一解法一解法一解法一又易知又易知 , 故等价故等价.15解法二解法二解法二解法二最简阶形一样最简阶形一样(不计零行不计零行), 故等价故等价.16例例4(P108 习题习题5)已知已知证明证明(1) 能能 线性表示线性表示; (2) 不能由不能由 线性表示线性表示.证证证证如果如果 则则 与条件矛盾与条件矛盾.(2) 要证要证(1) 要证要证

10、第四章第四章向量组的线性相关性向量组的线性相关性4.4 线性方程组解的结构线性方程组解的结构4.3 向量组的秩向量组的秩4.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性4.1 向量组及其线性组合向量组及其线性组合4.5 向量空间向量空间184.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性看看三维空间中的向量看看三维空间中的向量(如图如图)设设 可表为可表为, 说明说明这三个向量任何一个都不能由其它两个这三个向量任何一个都不能由其它两个向量线性表示向量线性表示, 说明它们是异面的说明它们是异面的.这三个向量在一个平面内这三个向量在一个平面内(共面共面).19 我们把上面这种向量之间的最基本的关系予以推我

11、们把上面这种向量之间的最基本的关系予以推广广,并换一种叫法并换一种叫法.定义定义定义定义向量可由其余的向量线性表示向量可由其余的向量线性表示, 则称该向量组则称该向量组线性相关线性相关;否则否则,如果任一向量都不由其余向量线性表示如果任一向量都不由其余向量线性表示, 则称该向则称该向量组量组线性无关线性无关(或独立或独立).设向量组设向量组如果其中一个如果其中一个 该定义不是用数学式子表达的该定义不是用数学式子表达的,不便于理论推导不便于理论推导.如何改成数学表达式如何改成数学表达式?20等价定义等价定义等价定义等价定义 如果存在不全为零的数如果存在不全为零的数使得使得则称该向量组则称该向量组

12、线性相关线性相关. 否则否则,如果设如果设便能推出便能推出则称该向量组则称该向量组线性无关线性无关.按后者不妨设按后者不妨设 则则符合前面定义符合前面定义.反之反之,按前者不妨设按前者不妨设又符合后者定义又符合后者定义.等价吗等价吗?21存在不全为零的数存在不全为零的数 使使即即有非零解有非零解.与以前类似，还是转换！与以前类似，还是转换！与以前类似，还是转换！与以前类似，还是转换！向量组向量组线性相关线性相关(按定义按定义)(转化为方程组转化为方程组) 上面方程组有非零解上面方程组有非零解.(用矩阵的秩用矩阵的秩)22(P88 例例5)问向量组问向量组和和的线性相关性的线性相关性?的线性相关

13、的线性相关.的线性无关的线性无关.例例123t 取何值时取何值时,下列向量组线性相关下列向量组线性相关 ?解解解解记记当当 t = 5 时时, 上面向量组线性相关上面向量组线性相关.例例224设设 线性无关线性无关, 问问 满足什么时满足什么时, 线性相关线性相关.向量组向量组: 分析分析:这是一个向量组表示另一向量组的问题这是一个向量组表示另一向量组的问题, 首先要把它改写成矩阵乘积的形式首先要把它改写成矩阵乘积的形式.则则例例325设设(要讨论上面方程组何时有非零解要讨论上面方程组何时有非零解)由于由于 故故26上面方程组有非零解上面方程组有非零解当当 时时, 线性相关线性相关.27另证另

14、证另证另证: :由于由于 是列满秩矩阵是列满秩矩阵, 故故线性相关线性相关上面秩上面秩 n, 则则 B 必相关必相关.34(6) “短的无关短的无关, 则长的也无关则长的也无关”.反之反之是无关的是无关的.也是无关的也是无关的.35( P109 习题习题16 , P110 习题习题17 )(题目看书题目看书)(16)(17) 如果如果无关无关, 则对任一则对任一 n 维向量维向量必相关必相关.从而从而, 可由可由 线性表示线性表示( 且表法唯一且表法唯一).反之反之, 单位坐标向量可由单位坐标向量可由表示表示,由由(16)题知它是线性无关的题知它是线性无关的.例例6(同同P87 例例3)36重

15、新证重新证 P108 习题习题5 (以前已作为例题讲过以前已作为例题讲过)见见 P90 例例7 (看书看书)例例7第四章第四章向量组的线性相关性向量组的线性相关性4.4 线性方程组解的结构线性方程组解的结构4.3 向量组的秩向量组的秩4.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性4.1 向量组及其线性组合向量组及其线性组合4.5 向量空间向量空间384.3 向量组的秩向量组的秩 对于一个给定的向量组对于一个给定的向量组(可以含无穷多向量可以含无穷多向量), 如何把握向量之间的线性关系如何把握向量之间的线性关系( 即哪些向量可由即哪些向量可由另外一些向量线性表示另外一些向量线性表示?) 希望希望:

16、 在一个向量组中能找到个数最少的一在一个向量组中能找到个数最少的一部分向量部分向量, 其余的向量都可由这些向量线性表示其余的向量都可由这些向量线性表示.这样的部分组要满足什么条件？这样的部分组要满足什么条件？39(1) 线性无关线性无关, (2) A 中任意中任意 r + 1 个向量个向量(如果有的话如果有的话)都线性相关都线性相关.定义定义定义定义1 1如果在向量组如果在向量组 A 中找到中找到 r 个向量个向量 满足满足则称向量组则称向量组 A0 是向量组是向量组 A 的一个的一个最大无关组最大无关组最大无关组最大无关组. (P91 定义定义5)(2) A 中任一向量都可由中任一向量都可由

17、 A0 表示表示.(P92 等价定义等价定义)定义定义定义定义2 2(1) 线性无关线性无关, 如果在向量组如果在向量组 A 中找到中找到 r 个向量个向量 满足满足则称向量组则称向量组 A0 是向量组是向量组 A 的一个的一个最大无关组最大无关组最大无关组最大无关组. 40定义定义定义定义 向量组向量组 A 的最大无关组所含向量的个数的最大无关组所含向量的个数 r (显显然是唯一的然是唯一的)称为称为向量组向量组向量组向量组 A A 的秩的秩的秩的秩. 仍记为仍记为 r(A). 只含零只含零向量的向量组无最大无关组向量的向量组无最大无关组, 规定其秩为规定其秩为0.41回答回答回答回答: :

18、 (1) 向量组的最大无关组唯一吗向量组的最大无关组唯一吗? (2) 如果向量组的秩为如果向量组的秩为 r ,则其任一则其任一 r 个线性无个线性无关的向量都是其最大无关组吗关的向量都是其最大无关组吗? (3) 向量组与其任一最大无关组等价吗向量组与其任一最大无关组等价吗? (4) 向量组的任意两个最大无关组等价吗向量组的任意两个最大无关组等价吗? (5) 等价向量组的秩相等吗等价向量组的秩相等吗?42例例1求向量组求向量组的一个最大无关组和该向量组的秩的一个最大无关组和该向量组的秩. 同理同理, 等也是最大无关组等也是最大无关组.在求解过程中考在求解过程中考在求解过程中考在求解过程中考虑虑虑

19、虑: : 向量组的秩向量组的秩向量组的秩向量组的秩与它构成矩阵的与它构成矩阵的与它构成矩阵的与它构成矩阵的秩有何关系秩有何关系秩有何关系秩有何关系? ?易求得易求得说明说明 A 中有一个中有一个 2 阶子式不为零阶子式不为零. 如取前两列前两行如取前两列前两行:那么那么 , 从而从而 线性无关线性无关.再看再看 A 的任意三列的任意三列 , 因为因为所以任意三列都是线性相关的所以任意三列都是线性相关的.根据定义根据定义 就是一个最就是一个最大无关组大无关组 43( P91 定理定理6 )三秩相等定理三秩相等定理三秩相等定理三秩相等定理44例例2求向量组求向量组的一个最大无关组并把其余向量用该最

20、大无关组表出的一个最大无关组并把其余向量用该最大无关组表出. 接例接例1, 已求得一个最大无关组为已求得一个最大无关组为要求要求 用用 表出表出, 这相当于要解方程组这相当于要解方程组解解45你能将求最大无关组和把其余向量你能将求最大无关组和把其余向量你能将求最大无关组和把其余向量你能将求最大无关组和把其余向量用该最大无关组表出一步完成吗用该最大无关组表出一步完成吗用该最大无关组表出一步完成吗用该最大无关组表出一步完成吗? ?类似类似 可求可求 用用 表出表出.解解46例例3(P94 例例11)求向量求向量一个最无关组一个最无关组,并把其余并把其余向量用该最大无关组表出向量用该最大无关组表出.

21、矩阵的秩矩阵的秩=线性无关吗线性无关吗?是最大无关组吗是最大无关组吗?4748再深入再深入:则则与与同解同解即即与与同解同解说明说明: 矩阵的初等行变换不改变列之间的线性关系矩阵的初等行变换不改变列之间的线性关系.比如比如(移项便知移项便知)相关相关(无关无关)相关相关(无关无关)前面的做法前面的做法,也可依此理论为依据也可依此理论为依据(本质一样本质一样).49右边的最大无关组右边的最大无关组左边的最大无关组左边的最大无关组50 为什么以前我们把矩阵与向量组以及它们的秩混为什么以前我们把矩阵与向量组以及它们的秩混用同一符号用同一符号,有了三秩相等定理就能理解了有了三秩相等定理就能理解了. 但

22、是但是,如果向量组是无穷向量组符号就不能混用了如果向量组是无穷向量组符号就不能混用了.有限向量组中的有关结论都可推广到无穷向量组有限向量组中的有关结论都可推广到无穷向量组.这部这部分内容请同学们自学分内容请同学们自学.见见P93定理定理3和和P94例题例题10.说明说明:第四章第四章向量组的线性相关性向量组的线性相关性4.4 线性方程组解的结构线性方程组解的结构4.3 向量组的秩向量组的秩4.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性4.1 向量组及其线性组合向量组及其线性组合4.5 向量空间向量空间524.4 线性方程组解的结构线性方程组解的结构本节主要讨论本节主要讨论(2) 解集的秩是多少解

23、集的秩是多少? (3) 解集的最大无关组解集的最大无关组(又称为又称为基础解系基础解系) 如何求如何求?齐次方程组齐次方程组(假设有无穷多解假设有无穷多解)(1) 解集的特点解集的特点?53首先回答第一问题首先回答第一问题(P96性质性质1和性质和性质2)记记 Ax = 0 的解集为的解集为(1) N(A) 对线性运算封闭对线性运算封闭.证证54证证(2) 假设假设 是是 N(A) 的一个最大无关组的一个最大无关组, 则则( 取任意实数取任意实数)即即 Ax = 0 的通解为的通解为记记设设 , 由于由于 是是 N(A) 的最大无关组的最大无关组, 有常数有常数使得使得从而从而,设设即即由由(

24、1) x 是解是解,从而从而55通过下面的例子通过下面的例子, 针对一般的方程组针对一般的方程组例例1回答所提问题回答所提问题.再讨论第再讨论第(2)和第和第(3)个问题个问题56 可知道矩阵可知道矩阵 A 的秩的秩 r ，又说明，又说明原方程组只有原方程组只有 r 个独立的方程且个独立的方程且 B 的前的前 r 行对应的方程组行对应的方程组是与原方程同解的是与原方程同解的“最简最简”方程组方程组.第一步第一步第一步第一步:对系数矩阵对系数矩阵 A 初等行变换化最简阶梯形初等行变换化最简阶梯形 B最简阶梯形说明了什么？最简阶梯形说明了什么？第二步第二步第二步第二步：写出同解的方程组：写出同解的

25、方程组(保留第一个未知数在方程保留第一个未知数在方程的左边的左边,其余的都移到右边其余的都移到右边. 右边的又叫自由变量右边的又叫自由变量)自由变量的个数自由变量的个数=?n r (未知数的个数减独立方程的个数未知数的个数减独立方程的个数)57第三步第三步第三步第三步:令自由变量为任意实数令自由变量为任意实数写出通解，再改写成向量形式写出通解，再改写成向量形式 是解吗是解吗?线性无关吗线性无关吗?任一解都任一解都 可由可由 表示吗表示吗?是基础解系吗是基础解系吗?基础解系所含向量的个数基础解系所含向量的个数 = ?n r (自由变量的个数自由变量的个数)第四步第四步第四步第四步:写出基础解系写

26、出基础解系58再来分析一下基础解系的由来再来分析一下基础解系的由来:第二步的同解方程组为第二步的同解方程组为第三步的通解为第三步的通解为就是就是取取代入同解方程组代入同解方程组(1)中求得中求得然后再拼成的解向量然后再拼成的解向量. 类似的类似的59这就启发我们这就启发我们, 由于基础解系所含解向量的个数正好由于基础解系所含解向量的个数正好等于自由变量的个数等于自由变量的个数(这里这里3个个).只要令只要令为三个线性无关的向量为三个线性无关的向量.代入同解方程组代入同解方程组(1)中求得中求得然后再拼成解向量然后再拼成解向量.必然是线性无关的必然是线性无关的, 从而也是基础解系从而也是基础解系

27、.由此得到下面的解法二由此得到下面的解法二.60第一步第一步第一步第一步:同前同前第二步第二步第二步第二步:同前同前第三步第三步第三步第三步: 令令代入代入(1)求求再拼基础解系再拼基础解系:第四步第四步第四步第四步:写出通解写出通解61齐次方程组解的结构定理齐次方程组解的结构定理(P98 定理定理7)齐次方程组齐次方程组 的基础解系所含向量个数为的基础解系所含向量个数为设一个基础解系为设一个基础解系为则通解为则通解为62例例2设设 , 是是 的的两个不同的解向量两个不同的解向量, k 取任意实数取任意实数, 则则 Ax = 0 的通解是的通解是63例例3(P101例例13)设设 ,证明证明证

28、证记记则由则由说明说明都是都是的解的解因此因此移项移项64例例4(P101例例15) 证明证明设设 , 首先证明首先证明利用这一结论利用这一结论注注:第二个结论决不是同理可证第二个结论决不是同理可证!证证65例例5(P101 习题习题27)设设 A 为为 n 阶方阵阶方阵 , 证明证明(1)(2)(3)证证66例例6(P110 习题习题24)求一个齐次方程组求一个齐次方程组, 使它的基础解系为使它的基础解系为记之为记之为 AB=O ,这相当于要解矩阵方程这相当于要解矩阵方程, 习惯把未知习惯把未知的的 A 放在右边放在右边, 转置转置,只需解只需解然后再把这些解拼成然后再把这些解拼成 的列的列

29、( A 的行的行)即可即可. 解解 得基础解系得基础解系设所求的齐次方程组为设所求的齐次方程组为 , 则则取取即可即可.解解67下面讨论下面讨论:非齐次方程组非齐次方程组 解的结构解的结构以下总假设以下总假设有解有解, 而其对应的齐次方程组而其对应的齐次方程组的基础解系为的基础解系为这里这里68性质性质性质性质性质性质(P102 性质性质3 , 性质性质4)(1 1) 设设 都是都是(1)的解的解,则则是是(2)的解的解.(2 2) 设设 是是(1)的解的解, 是是(2)的解的解,则则 仍是仍是(1)的解的解.设设 是是(1)的一个解的一个解(固定固定), 则对则对(1)的任一解的任一解 x是

30、是 (2)的解的解,从而存在从而存在 使得使得又形如又形如(3)的向量的向量( 任取任取)都是都是(1)的解的解.由此得由此得:69非齐次方程组解的结构定理非齐次方程组解的结构定理设设 是是(1)的任一解的任一解, 则则(1)的通解为的通解为70例例7即得方程组的一个解即得方程组的一个解(P102 例例16)解解71在对应的齐次方程中在对应的齐次方程中取取得齐次方程组的基础解系得齐次方程组的基础解系于是所有通解于是所有通解72设设是非齐次是非齐次 Ax=b 的解的解, 则则是是 Ax=0 的解的解是是 Ax=b 的解的解例例873例例9设设 是非齐次是非齐次 Ax = b 的两个不同的解的两个

31、不同的解其对应的齐次方程组的基础解系其对应的齐次方程组的基础解系, 则则 Ax = b 的通解是的通解是(多选多选)74例例10(P111 习题习题29)设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知已知 是它的三个解向量是它的三个解向量, 且且求该方程组的通解求该方程组的通解.解解取取 , 则它就是解则它就是解,从而也是基从而也是基础解系础解系.基础解系所含向量个数基础解系所含向量个数 = 4 3 = 1故非齐次方程组的通解为故非齐次方程组的通解为第四章第四章向量组的线性相关性向量组的线性相关性4.4 线性方程组解的结构线性方程组解的结构4.3 向量组的

32、秩向量组的秩4.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性4.1 向量组及其线性组合向量组及其线性组合4.5 向量空间向量空间764.5 向量空间向量空间集合集合 对于加法及乘数两种运算封闭指对于加法及乘数两种运算封闭指 设设 为为 维向量的集合，如果集合维向量的集合，如果集合 非空，非空，且集合且集合 对于加法及数对于加法及数乘乘两种运算封闭，那么就称两种运算封闭，那么就称集合集合 为为向量空间向量空间定义定义定义定义 维向量的全体是一个向量空间维向量的全体是一个向量空间,记作记作只含零向量的集合是一个向量空间只含零向量的集合是一个向量空间(称为零空间称为零空间)向量空间如果不是零空间必含有无

33、穷多个向量向量空间如果不是零空间必含有无穷多个向量77证明下列集合是向量空间证明下列集合是向量空间证证例例1所以所以 构成了向量空间构成了向量空间.78证证(以前的以前的)例例2证明齐次方程组的解集证明齐次方程组的解集是一个向量空间是一个向量空间. 以后称为齐次方程组的以后称为齐次方程组的解空间解空间.79例例3证明非齐次方程组的解集证明非齐次方程组的解集不是向量空间不是向量空间.证证设设 , 而而 S 对加法运算不封闭对加法运算不封闭.或或S 对数乘运算不封闭对数乘运算不封闭.80是向量空间是向量空间.例例4证证81定义定义定义定义设设 是一向量组是一向量组, 称称为由该向量组为由该向量组生

34、成的生成的(或张成的或张成的)向量空间向量空间.记为记为 特别地特别地, 由矩阵由矩阵 A 的列向量生成的向量空间称为的列向量生成的向量空间称为 A的的列空间列空间(或称或称像空间像空间或称或称值域值域).记为记为R(A)82例例5设向量组设向量组 与向量组与向量组 等价等价,(P105 例例23)证明证明同理同理证证83 向量空间向量空间 V 的一个最大无关组的一个最大无关组, 又称又称 V 的一个的一个基基(或坐标系或坐标系). 基所含向量的个数基所含向量的个数 r 又称为又称为 V 的的维数维数.记为记为 dim(V) = r . 此时称此时称 V 是是 r 维的向量空间维的向量空间.

35、设有向量空间设有向量空间 及及 ，若，若 ，就称，就称 是是的的子空间子空间设设 是由是由 维向量所组成的向量空间，则维向量所组成的向量空间，则定义定义定义定义定义定义定义定义 齐次方程组齐次方程组 的基础解系就是解空间的基础解系就是解空间的一个基的一个基. 解空间的维数是解空间的维数是 n - r(A).84定义定义定义定义 设向量空间设向量空间 V 的一个基为的一个基为 ,则则对对 V 中的任一向量中的任一向量 可唯一地表示为可唯一地表示为数组数组 或向量或向量 称为称为向量向量 在基在基 下的下的坐标坐标.的一个基显然就是向量组的一个基显然就是向量组 的一个最的一个最大无关组，其维数就是该向量组的秩。大无关组，其维数就是该向量组的秩。