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1、三、向量的混合积三、向量的混合积 第3节一、两向量的数量积一、两向量的数量积二、两向量的向量积二、两向量的向量积向量的乘法运算 第8章 一、两向量的数量积一、两向量的数量积沿与力夹角为的直线移动,1. 定义定义设向量的夹角为 ,称 记作数量积 (内积、点积) .引例引例. 设一物体在常力 F 作用下, 位移为 s ,则力F 所做的功为记作故2. 性质性质为两个非零向量, 则有 3. 运算律运算律(1) 交换律(2) 结合律(3) 分配律事实上, 当时, 显然成立 ;例例1. 证明三角形余弦定理证证:则如图 . 设4. 数量积的坐标表示数量积的坐标表示设则当为非零向量时, 由于两向量的夹角公式
2、, 得例例2. 已知三点 AMB . 解解:则求故为 ) .求单位时间内流过该平面域的流体的质量P (流体密度例例3. 设均匀流速为的流体流过一个面积为 A 的平面域 ,与该平面域的单位垂直向量解解:单位时间内流过的体积的夹角为且为单位向量二、两向量的向量积二、两向量的向量积引例引例. 设O 为杠杆L 的支点 , 有一个与杠杆夹角为符合右手规则矩是一个向量 M :的力 F 作用在杠杆的 P点上 ,则力 F 作用在杠杆上的力1. 定义定义定义向量方向 :(叉积)记作且符合右手规则模 :向量积 ,称引例中的力矩思考思考: 右图三角形面积S2. 性质性质为非零向量, 则3. 运算律运算律(2) 分配
3、律(3) 结合律(证明略)证明证明:4. 向量积的坐标表示式向量积的坐标表示式设则向量积的行列式计算法向量积的行列式计算法例例4. 已知三点角形 ABC 的面积 解解: 如图所示,求三一点 M 的线速度例例5. 设刚体以等角速度 绕 l 轴旋转, 导出刚体上 的表示式 . 解解: 在轴 l 上引进一个角速度向量使其在 l 上任取一点 O,作它与则点 M离开转轴的距离且符合右手法则的夹角为 , 方向与旋转方向符合右手法则 ,向径三、向量的混合积向量的混合积1. 定义定义 已知三向量称数量混合积混合积 .记作几何意义几何意义 为棱作平行六面体,底面积高故平行六面体体积为则其2. 混合积的坐标表示混
4、合积的坐标表示设3. 性质性质(1) 三个非零向量共面的充要条件是(2) 轮换对称性 :(可用三阶行列式推出)例例6. 已知一四面体的顶点4 ) , 求该四面体体积 . 解解: 已知四面体的体积等于以向量为棱的平行六面体体积的故例例7. 证明四点共面 .解解: 因故 A , B , C , D 四点共面 .内容小结内容小结设1. 向量运算加减:数乘:点积:叉积:混合积:2. 向量关系:思考与练习思考与练习1. 设计算并求夹角 的正弦与余弦 .答案答案:2. 用向量方法证明正弦定理:证证: 由三角形面积公式所以因备用题备用题1. 已知向量的夹角且解：解：在顶点为三角形中, 求 AC 边上的高 BD .解：解：三角形 ABC 的面积为 2.而故有
