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1、（图中（图中每一格代表一平方厘米）每一格代表一平方厘米）观察左图：观察左图：（1 1）正方形）正方形P P的面积是的面积是 平方厘米。平方厘米。（2 2）正方形）正方形Q Q的面积是的面积是 平方厘米。平方厘米。（3 3）正方形）正方形R R的面积是的面积是 平方厘米。平方厘米。121上面三个正方形的面上面三个正方形的面积之间有什么关系？积之间有什么关系？SP+SQ=SRRQPACBAC2+BC2=AB2八年级下册动手试一试，动脑想一想动手试一试，动脑想一想ABCRQP（图中（图中每一格代表一平方厘米）每一格代表一平方厘米）观察左图：观察左图：（1 1）正方形）正方形P P的面积是的面积是 平
2、方厘米。平方厘米。（2 2）正方形）正方形Q Q的面积是的面积是 平方厘米。平方厘米。（3 3）正方形）正方形R R的面积是的面积是 平方厘米。平方厘米。9方法二方法二1625（1）你能用直角三角形的边长表上述正方形的面积吗？）你能用直角三角形的边长表上述正方形的面积吗？（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？SQ=AC2, SP=BC2, SR=AB2方法一方法一AC2+BC2=AB2SQ+SP=SRABCRQP把把R R看作是大正方形面积减去四个直角三角形的面积。看作是大正方形面积减去四个直角三角形的面积。（图中（图中每一格代表一
3、平方厘米）每一格代表一平方厘米）ABCRQP把把R R看作是小正方形面积加上四个直角三角形的面积。看作是小正方形面积加上四个直角三角形的面积。（图中（图中每一格代表一平方厘米）每一格代表一平方厘米）做一做：做一做： 在下图中用三角尺画出两条直角边分别为在下图中用三角尺画出两条直角边分别为5cm5cm、 12cm12cm的直角三角形，然后用刻度尺量出斜边的长，并验的直角三角形，然后用刻度尺量出斜边的长，并验证上述关系对这个直角三角形是否成立。证上述关系对这个直角三角形是否成立。5 52+12+122=13=132勾股定理：勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。直角三角形的两直角边
4、的平方和等于斜边的平方。ABC在在 ABC中，中， C=90 AC2+BC2=AB2a ab bc c（a a2+b+b2=c=c2）勾勾股股弦弦在西方又称为毕达哥拉斯定理在西方又称为毕达哥拉斯定理八年级下册勾股定理勾股定理ABCa ab bc caaabbbccc大正方形的面积可以表示为：大正方形的面积可以表示为：你能通过下图证明勾股定理吗？你能通过下图证明勾股定理吗？abc所以：所以：化简得：化简得：八年级下册勾股定理勾股定理-证明证明abc你能通过下图证明勾股定理吗？你能通过下图证明勾股定理吗？大正方形的面积可以表示为：大正方形的面积可以表示为：所以：所以：化简得：化简得：八年级下册勾股
5、定理勾股定理勾股定理勾股定理-证明证明结论：在直角三角形中，已知两边可以求第三边结论：在直角三角形中，已知两边可以求第三边.例例1 如图，在如图，在RtABC中中,BC=24,AC=7,求求AB的长的长.B24AC7如果将题目变为：如果将题目变为： 在在RtABC中中,AB=41, BC=40,求求AC的长呢？的长呢？24 RtRtABCABC中中, C, C是直角是直角ACAC2+BC+BC2=AB=AB2八年级下册勾股定理勾股定理-理解理解1.在RtABC中，AB=c,BC=a,AC=b, C=90,(1)已知a=3,b=4,则c=_;(2)已知a=6,c=10,则b=_;(3)已知a=2
6、,b=4,则c=_.2.已知RtABC中，B= 90，AC= ，BC= 则AB=_, A=_;3.在平面直角坐标系中，点（-3，-4）与原点之间的距离是_，点（3，- 4）与点（2，1）之间的距离是_.动脑想一想，看谁反应快！动脑想一想，看谁反应快！5845055. 若正方形的面积为若正方形的面积为3cm2，则它的对角线长是则它的对角线长是 .6. 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为长分别为 .4.4.在在 ABCABC中中,C=90,C=90, , (1)(1)若若c=10,a:b=3:4,c=10,a:b=3:4,则则a=_
7、,b=_. a=_,b=_. (2)(2)若若a=8,b=15,a=8,b=15,则则c=_. c=_. 6817新知理解新知理解-试一试一试试6,8,10八年级下册 7、如图，在、如图，在ABC中，中，ACB = 90。，CD是高，若是高，若AB=13cm，AC = 5cm，求求CD的的长；长；ABCD 提示：先求提示：先求BC，再求再求ABC的的面积，再根据面积，再根据面积求出面积求出AB边上的高边上的高CD； C=90 ACAC2+BC+BC2=AB=AB2八年级下册勾股定理勾股定理-运用运用 8.ABC中中,周长是周长是24,C=90,且且 b=6,则则三角形的面积是多少三角形的面积是
8、多少?ABCabc解：解：周长是周长是24，且，且b=6a+c=24-6=18设设a=x,则则c=18-x C=90, a a2+b+b2=c=c2 x x2+6+62=(18-x)=(18-x)2解得：解得：x=8八年级下册勾股定理勾股定理勾股定理勾股定理-运用运用ABCa ab bc c勾股定理：勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。a a2+b+b2=c=c2在在 ABC中，中， C=90 已知三角形已知三角形ABC中，中，AB=10，BC=21，AC=17，求，求BC边上的高线边上的高线AD。ABCD解：设解：设BD=X，则，
9、则DC=21X。 AD BCAD2=AB2-BD2=102-X2AD2=AC2-CD2=172-（21-X）2解，得解，得 X=6102-X2=172-（21-X）2AD2=102-62=64AD=8 8.ABC中中,周长是周长是 , C=90,且且 c=2,则三角形的面积是多少则三角形的面积是多少?ABCabc八年级下册勾股定理勾股定理勾股定理勾股定理-运用运用 9.直角三角形中直角三角形中,斜边长是斜边长是 , 面积为面积为2,则则三角形的周长是多少三角形的周长是多少?如图，在RtABC中C=90，AC=BC,且BC=5, 求三角形ABC的面积和底边上的高ABC如图，在RtABC中C=90
10、， A=30，,且AC=3, 求BC的长和三角形ABC的面积ABC12.如图，如图，ABC中，中，A=45， B=30，BC=8. 求求AC的的长长.ABCD84442八年级下册勾股定理勾股定理-运用运用 6.如图,四边形ABCD中,B=D=90,C=45,AD=1,BC=2,求CD的长.ABCDE1245045012（1） B=90, C=45, BC=2（2） B=90, C=45, 则E=45ADE=90, C=45, AD=1DE=AD=1则BE=BC=2八年级下册勾股定理勾股定理勾股定理勾股定理-运用运用10.10.如图，在四边形如图，在四边形ABCDABCD中，中，BAD =90B
11、AD =900 0，DBC = 90DBC = 900 0 ， AD = 3AD = 3，AB = 4AB = 4，BC = 12BC = 12，求，求CDCD和和四边形四边形ABCDABCD的面积的面积；DABC八年级下册勾股定理勾股定理勾股定理勾股定理-运用运用9.在等腰ABC中，ABAC13cm ，BC=10cm,求ABC的面积。ABCD131310H ABAC, ADBC作作ADBCADBC于于 D D八年级下册勾股定理勾股定理勾股定理勾股定理-运用运用2、等腰三角形底边上的高为、等腰三角形底边上的高为8，周长为，周长为32，求这个，求这个三角形的面积三角形的面积8X16-XDABC解
12、：设这个三角形为解：设这个三角形为ABC，高为高为AD，设，设BD为为X，则，则AB为（为（16-X），）， 由勾股定理得：由勾股定理得：X2+82=(16-X)2即即X2+64=256-32X+X2 X=6 SABC=BCAD/2=2 6 8/2=48 2.三角形三角形ABC中中,AB=10,AC=17,BC边上的高边上的高线线AD=8,求（求（1）BD （2）CD （3）BCDDABC 1.已知已知:直角三角形的三边长分别是直角三角形的三边长分别是3,4,X,则则X2=25 或或7ABC13.如图如图,在在ABC中中,AB=AC=5,P为为BC边上任意一点边上任意一点.求求证证:AP2+P
13、BPC=25.ABCPDABCPD八年级下册勾股定理勾股定理-运用运用 1.在长和宽分别是在长和宽分别是40cm,30cm的文具盒中，能的文具盒中，能放进一支长为放进一支长为48cm的铅笔吗？的铅笔吗？40cm30cm分析：根据题意，关键是求分析：根据题意，关键是求对角线的长度。对角线的长度。x解：设对角线长为解：设对角线长为xcmxcm由勾股定理得：由勾股定理得：30302+40+402=x=x2x x2 =2500=2500解得：解得：x=50x=5050504848该文具盒能放进一支长为该文具盒能放进一支长为48cm的铅笔的铅笔八年级下册勾股定理勾股定理勾股定理勾股定理-运用运用2、如图
14、:是一个长方形零件图,根据所给的尺寸,求两孔中心A、B之间的距离ABC409016040分析：AC=90-40=50BC=160-40=120在RtABC中，ACAC2 2+BC+BC2 2=AB=AB2 250502 2+120+1202 2=AB=AB2 2AB=130八年级下册勾股定理勾股定理勾股定理勾股定理-运用运用3.飞机在天空中水平飞行飞机在天空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000米处米处,过了过了20秒秒,飞机距离这个男孩头顶飞机距离这个男孩头顶5000米米,飞机每时飞行飞机每时飞行多少千米多少千米?20秒秒4000米米5000
15、米米解：解：由勾股定理，可以得到由勾股定理，可以得到AB2=BC2+AC2，即即50002=BC2+40002，所以所以BC=3000米。米。即飞机的速度为即飞机的速度为540千米千米/时。时。ABC1.如图，在水塔O的东北方向处有一抽水站A距O点8千米,在水塔的东南向处有一建筑工地B距O点6千米，在AB间建一条直水管，则水管的长为多少? o八年级下册勾股定理勾股定理勾股定理勾股定理-运用运用甲、乙甲、乙两位两位探险者到沙漠进行探险探险者到沙漠进行探险.某日早晨某日早晨8:00甲先出发甲先出发,他以他以6千米千米/小时的速度向东行走小时的速度向东行走,1时后乙出发时后乙出发,他以他以5千米千米
16、/小时的速度小时的速度向北行进向北行进,上午上午10:00,甲、乙二人相距多远甲、乙二人相距多远?东东北北甲甲乙乙甲走2小时的路程为62=12千米乙走1小时的路程为51=5千米根据勾股定理得：八年级下册勾股定理勾股定理勾股定理勾股定理-运用运用5、某市要建造一图书馆，位置在如图所示的直线某市要建造一图书馆，位置在如图所示的直线AB上选取，该市有两所学校在点上选取，该市有两所学校在点C和点和点D的位置，的位置，CAAB于于A，DBAB于于B，已知已知AB=25千米，千米，CA=15千米，千米，DB=10千米，试问：图书馆千米，试问：图书馆E应该建在距点应该建在距点A多少千米多少千米处，才能使它到
17、两所学校的距离相等？处，才能使它到两所学校的距离相等？ACEBD解：解：设设AE=x，则，则BE=25-x，x由勾股定理得：由勾股定理得：CE2=AE2+AC2=x2+152DE2=BE2+DB2=（25-x）2+102 x2+152 =（25-x）2+102解得解得 x=10（千米）千米） 8.8.有一个水池有一个水池, ,水面是一个边长为水面是一个边长为1010尺的正方形尺的正方形, ,在水池正在水池正中央有一根新生的芦苇中央有一根新生的芦苇, ,它高出水面它高出水面1 1尺尺. .如果把这根芦苇拉如果把这根芦苇拉向岸边向岸边, ,它的顶端恰好到达岸边的水面它的顶端恰好到达岸边的水面, ,
18、请问这个水池的深度请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少和这根芦苇的长度各是多少? ?5尺1尺x 尺x2 + 52 = (x+1)2x = 12水池水池八年级下册勾股定理勾股定理勾股定理勾股定理-运用运用例例1111八年级下册勾股定理勾股定理勾股定理勾股定理-运用运用4、如图，在直角三角形如图，在直角三角形ABC中，中，C=90，BC=3cm，AC=4cm，折叠折叠CBA，使，使BC边的点落在边的点落在AB边上边上,其中点其中点C落在落在点点E处，求处，求CD的长。的长。BCADE解：解：在在RtABC中，中，AB2=BC2+AC2=32+42=25 可得可得AB=5（cm）由于图形折叠，
19、得由于图形折叠，得BE=BC=3cm，DEAB，CD=DE设设CD=x，则在则在RtADE中，中，DE=xcm，DA=（4-x）cm，AE=AB-BE=2cm，由勾股定理得，由勾股定理得，x2+22=（4-x）2解这个方程得解这个方程得 x=1.5(cm)八年级下册勾股定理勾股定理勾股定理勾股定理-运用运用折叠矩形折叠矩形ABCD的一边的一边AD,点点D落在落在BC边上的点边上的点F处处,已知已知AB=8CM,BC=10CM,求（求（1）CF （2）EC.ABCDEF810106X8-X48-X解：由题意得解：由题意得AD= BC=10CMBF2=AF2-AB2=102-82在直角三角形在直角
20、三角形EFC中中FC2+EC2=EF2解，得解，得 X=3BF=6 FC=4ABBC设设EC=X，则，则EF=8X即即42+X2=（8-X）2EC=3AB我怎么走会最近呢?7.7.有一个圆柱有一个圆柱, ,它的高等于它的高等于1212厘米厘米, ,底面半底面半径等于径等于3 3厘米厘米, ,在圆柱下底面上的在圆柱下底面上的A A点有一点有一只蚂蚁只蚂蚁, ,它想从点它想从点A A爬到点爬到点B , B , 蚂蚁沿着圆蚂蚁沿着圆柱侧面爬行的最短路程是多少柱侧面爬行的最短路程是多少? ? (的值取3) BA 高高12cmBA长长18cm (的值取的值取3)9cm AB2=92+122=81+144
21、=225= AB=15(cm)蚂蚁爬行的最短路程是蚂蚁爬行的最短路程是15厘米厘米.152 如图，长方体的长为15 cm，宽为 10 cm，高为20 cm，点B离点C 5 cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？1020B51020ACE1020ACFAECB201510EFDA B C ABC 如下图：在方格纸中有如下图：在方格纸中有ABCABC，顶点在格点上，请利用余下的，顶点在格点上，请利用余下的地方画一个与之相似的放大三角形，使它们的对应边比都为地方画一个与之相似的放大三角形，使它们的对应边比都为 32八年级下册勾股定理勾股定理勾股定理勾股定理-
22、运用运用2. 一天，小明买了一张底面是边长为260cm正方形，厚30cm的床垫回家。到了家门口，才发现门口只有242cm高，宽100cm。你认为小明能拿进屋吗，为什么？242100八年级下册勾股定理勾股定理勾股定理勾股定理-运用运用 小丁的妈妈买了一部小丁的妈妈买了一部3434英寸英寸（8686厘米）的电视机。小丁量了厘米）的电视机。小丁量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有电视机的屏幕后，发现屏幕只有7070厘米长和厘米长和5050厘米宽，他觉得一厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你能解释这定是售货员搞错了。你能解释这是为什么吗？是为什么吗？ 我们通常所说的我们通常所说的34英寸英寸或或86厘米的
23、电视机，是指厘米的电视机，是指其荧屏对角线的长度其荧屏对角线的长度售货员没搞错售货员没搞错荧屏对角线大约为荧屏对角线大约为8686厘米厘米702+502=7400862=7396八年级下册勾股定理勾股定理勾股定理勾股定理-运用运用3.如图,正四棱柱的底面边长为5cm,侧棱长为8cm,一只蚂蚁欲从正四棱柱的底面上的点A沿棱柱侧面到点C1处吃食物,那么它需要爬行的最短路径是多少？ 解:如下图,将四棱柱的侧面展开,连结AC1,AC=10cm,CCAC=10cm,CC1 1=8cm(=8cm(已知已知), ), BCAB1C1D1A1DBAB1D1A1DC1C答:蚂蚁需要爬行的最短路径是 cm. 葭生
24、池中葭生池中 今有方池一丈，今有方池一丈， 葭生其中央，葭生其中央， 出水一尺，出水一尺， 引葭赴岸，引葭赴岸， 适与岸齐。适与岸齐。问：问：水深、葭长水深、葭长各几何？各几何？ 5尺尺X-1X1 1尺尺解：解：可设葭长为可设葭长为x x尺，尺，则水深为则水深为( (x-1)x-1)尺尺则有则有: (x-1)2+52=x2解得：解得： x=13所以：所以：葭长葭长1313尺，水深尺，水深1212尺。尺。葭葭( (jiji) ) 八年级下册勾股定理勾股定理勾股定理勾股定理-运用运用 1.如如图图, ,一一圆圆柱柱高高8cm,8cm,底底面面半半径径2cm,2cm,一一只只蚂蚂蚁蚁从从点点A A爬
25、爬到到点点B B处处吃吃食食, ,要爬行的最短路程要爬行的最短路程( ( 取取3 3）是）是( ) ( ) A.20cm B.10cm C.14cm D.A.20cm B.10cm C.14cm D.无法确定无法确定 BB8OA2蛋糕ACB例例4、在下图中，在下图中，BC长为长为3厘米，厘米，AB长为长为4厘米，厘米，AF长为长为12厘米，求正方形厘米，求正方形CDEF的面积。的面积。ABCDEFAC2=32+42=52SCDEF=FC2=AF2+AC2=122+52 =132=169厘米厘米2例例5、如图，直角三角形三边上的半圆面积之间有什如图，直角三角形三边上的半圆面积之间有什么关系？么关
26、系？S1S2S3S1+S2=S3即：两直角边上的半圆面积之即：两直角边上的半圆面积之和等于斜边上半圆的面积。和等于斜边上半圆的面积。1、小明从家出发向正北方向走了小明从家出发向正北方向走了150米，接着向正米，接着向正东方向走到离家东方向走到离家250米远的地方，小明向正东方向米远的地方，小明向正东方向走了多远？走了多远？2、一架云梯长一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米。米。（1）这个梯子的顶端距地面有多高？）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方米，那么梯子的底部在水平方向也滑动
27、了向也滑动了4米吗？米吗？郑凯想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出旗杆的高吗？ ABC5米(X+1)米x米如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是多少？20203 32 2AB32323已知：在RtABC中，C=900, A,B,C的对边分别为a,b,c,设ABC的面积为S,周长为P（1 1）填表：）填表：三三边a b ca b ca+b-ca+b-c3 3、4 4、5 52 25 5、1212、13134 48 8、1515、17176 6（2 2）如果）如果a+b-ca+b-c=m=m，观察上表猜想观察上表猜想 =_=_( (用含有用含有m m的代数式表示的代数式表示) )。（3 3）证明（）证明（2 2）中的结论。）中的结论。
