《3-4隐函数相关变化率ppt课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《3-4隐函数相关变化率ppt课件（40页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.4 隐函数及由参数方程所确定隐函数及由参数方程所确定的函数的导数的函数的导数 相关变化率相关变化率第三章第三章 导数与微分导数与微分隐函数的导数隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数由参数方程所确定的函数的导数相关变化率相关变化率小结小结 思考题思考题 对数求导法对数求导法1一、隐函数的导数一、隐函数的导数定义定义: :隐函数的显化隐函数的显化问题问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则隐函数求导法则: :用用复合函数求导法则复合函数求导法则直接对方程两边求导直接对方程两边求导,并注并注意到其中意到其中变量变量y是是x的函数的函数.2例例解解
2、解得解得3 虽然隐函数没解出来虽然隐函数没解出来,但它的导数求出来但它的导数求出来了了,当然结果中仍含有变量当然结果中仍含有变量y.允许在允许在 的表达式中含有变量的表达式中含有变量y.一般来说一般来说,隐函数隐函数求导求导, 求求隐函数的导数时隐函数的导数时,只要记住只要记住x是自变量是自变量,将方程两边同时对将方程两边同时对x求导求导,就得到一个含有导数就得到一个含有导数从中解出即可从中解出即可.于是于是y的函数便是的函数便是x的复合函数的复合函数,的方程的方程.y是是x的函数的函数,4例例解解所求切线方程为所求切线方程为显然通过原点显然通过原点.5例例解解6或解或解解得解得7考研数学一考
3、研数学一, 3分分解解确定确定,8二、对数求导法二、对数求导法观察函数观察函数方法方法: :先在方程两边取对数先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导然后利用隐函数的求导方法求出导数方法求出导数.-对数求导法对数求导法适用范围适用范围: :9例例解解等式两边取对数得等式两边取对数得10例例解解等式两边取对数得等式两边取对数得11一般地一般地两边对求两边对求x导得导得12注注复合函数复合函数改写成改写成如上例如上例则则只要将只要将幂指函数也可以利用对数性质化为幂指函数也可以利用对数性质化为:再求导再求导,13解答解答 等式两边取对数等式两边取对数14解答解答15三、由参数方程所确定的函数的导数
4、三、由参数方程所确定的函数的导数例如例如消去参数消去参数问题问题: : 消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导?16由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得1718例例解解19 所求切线方程为所求切线方程为20例例解解2122例例解解23若曲线由极坐标方程若曲线由极坐标方程给出给出, ,利用利用可化为极角可化为极角 参数方程参数方程, ,因此曲线因此曲线切线的斜率为切线的斜率为q qq qsin)(ry = =,cos)(q qq qrx = =q qq qq qsin)( r- -24例例解解 将曲线的极坐标方程转换成将曲线的极坐标方程转换成则曲线的切线斜率
5、为则曲线的切线斜率为所以法线斜率为所以法线斜率为又切点为又切点为故法线方程为故法线方程为即即参数方程参数方程 这种将极坐标方程化为参数方程这种将极坐标方程化为参数方程,借助借助参数方程处理问题的方法参数方程处理问题的方法,在高等数学中将在高等数学中将多次遇到多次遇到.25为两可导函数为两可导函数之间有联系之间有联系之间也有联系之间也有联系称为称为相关变化率解法三步骤相关变化率解法三步骤找出相关变量的关系式找出相关变量的关系式对对t 求导求导相关变化率相关变化率求出未知的相关变化率求出未知的相关变化率三、相关变化率三、相关变化率相关变化率相关变化率之间的关系式之间的关系式 代入指定时刻的变量值及
6、已知变化率代入指定时刻的变量值及已知变化率,(1)(2)(3)26例例解解仰角增加率仰角增加率27例例解解水面上升之速率水面上升之速率4000m28水面水面例例解解桥面桥面20mxy(1)在此人的正下方有一条小船以在此人的正下方有一条小船以的速度在的速度在与桥垂直的方向航行与桥垂直的方向航行,求经求经5s后后,人与小船相分离的人与小船相分离的速度速度.对对t求导求导(2)(3),my船航行距离为船航行距离为29五、小结隐函数求导法则隐函数求导法则: : 直接对方程两边求导直接对方程两边求导;对数求导法对数求导法: : 对方程两边取对数对方程两边取对数,按隐函数的求导按隐函数的求导法则求导法则求
7、导;参数方程求导参数方程求导: 实质上是利用复合函数和反函数实质上是利用复合函数和反函数求导法则求导法则;相关变化率相关变化率: : 通过函数关系确定两个相互依赖的通过函数关系确定两个相互依赖的变化率变化率; ; 解法解法: : 通过建立两者之间的关系通过建立两者之间的关系, , 用链用链式求导法求解式求导法求解. .注意注意: :变量变量y是是x的函数的函数.30思考题思考题131思考题思考题1解答解答不对不对32思考题思考题 2(是非题是非题)正确解答正确解答试问试问对吗对吗?非非33作业作业习题习题3.4 (833.4 (83页页) )1.(7)(8) 3.(2) 5.(3)(4) 6.(4)(8) 8. (2) 9. (4) 10.(2) 15. 18. 34练练 习习 题题35363738练习题答案练习题答案3940
