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1、E-mail: 5 5 第二第二类曲面曲面积分分对坐坐标的曲面的曲面积分分有向曲面：通常我有向曲面：通常我们遇到的曲面都是双遇到的曲面都是双侧的的 例例如如 由方程由方程zz(x y) 表示的曲面分表示的曲面分为上上侧与与 下下侧 设n(cos cos cos)为曲面上的曲面上的 法向量法向量 在曲面的上在曲面的上侧cos0 在在曲面的曲面的 下下侧cos0 闭曲面有内曲面有内侧与外与外侧之之分分 曲面分上曲面分上侧和下和下侧曲面分内曲面分内侧和外和外侧一、一、对坐坐标的曲面的曲面积分的概念和性分的概念和性质E-mail: 类似地似地 假假设曲面的方程曲面的方程为yy(z x)那么那么曲面分
2、曲面分为左左侧与右与右侧 在曲面的右在曲面的右侧cos0 在曲面的左在曲面的左侧cos0 假假设曲面的方程曲面的方程为xx(y z) 那么曲面分那么曲面分为前前侧与后与后侧 在曲面在曲面的前的前侧cos 0 在曲面的后在曲面的后侧cos0E-mail: 设 是有向曲面，在是有向曲面，在 上取一小上取一小块曲面曲面 S 把把 S投影到投影到xOy面上得一投影区域面上得一投影区域 这投影区域的投影区域的面面积记为()xy。假定。假定 S上各点上各点处的法向量与的法向量与z轴的的夹角角的余弦的余弦cos有一有一样的符号的符号(即即cos都是都是正的或都是正的或都是负的的) 我我们规定定 S在在xO
3、y面上的投影面上的投影( S)xy为 其中其中cos0也就是也就是()xy0的情形的情形 类似地可以定似地可以定义 S在在yOz面及在面及在zOx面上的投面上的投影影( S)yz及及( S)zx E-mail: 实例例 流向曲面一流向曲面一侧的流量的流量. .E-mail: E-mail: E-mail: 1. 分割分割那么那么该点流速点流速为 .法向量法向量为 .E-mail: E-mail: 3.3.取极限取极限2. 求和求和E-mail: 这样的极限的极限还会在其它会在其它问题中遇到中遇到 抽去它抽去它们的的详细意意义 就得出以下就得出以下对坐坐标的曲面的曲面积分的分的概念概念 E-m
4、ail: E-mail: E-mail: E-mail: 被被积函数函数积分曲面分曲面类似可定似可定义E-mail: E-mail: 存在条件存在条件:组合方式合方式:物理意物理意义: 表示流向表示流向 指定的流量指定的流量E-mail: 留意：留意：一个一个规定：假定：假设是分片光滑的有向曲面是分片光滑的有向曲面 我我们规 定函数在定函数在 上上对坐坐标的曲面的曲面积分等于函数在各片分等于函数在各片光滑曲面上光滑曲面上对坐坐标的曲面的曲面积分之和分之和 E-mail: 对坐标的曲面积分的性质对坐标的曲面积分的性质:E-mail: 对坐标的曲面积分的性质对坐标的曲面积分的性质:E-mail:
5、二、二、对坐坐标的曲面的曲面积分的分的计算算1 1、逐个投影法【将曲面、逐个投影法【将曲面积分化分化为二重二重积分】分】E-mail: E-mail: 留意留意: :对坐坐标的曲面的曲面积分分, ,必需留意曲面所取的必需留意曲面所取的侧. .E-mail: 逐个投影法思逐个投影法思绪明晰明晰, ,计算量大，普通不多用算量大，普通不多用2、转换投影法【将曲面投影法【将曲面积分同分同应到到别的坐的坐标面面】E-mail: 综合以上三式合以上三式,有有E-mail: 类似地似地,投影投影转换到到yoz平面平面时有有:类似地似地,投影投影转换到到zox平面平面时有有:E-mail: 解法解法1：逐个
6、投影法逐个投影法E-mail: 所以所以E-mail: 于是于是故故E-mail: 解法解法2转换投影法投影法E-mail: 解解 1 z c (0 x a 0 y b)的上的上侧 2 z 0 (0 x a 0 y b)的下的下侧 3 x a (0 y b 0 z c)的前的前侧 4 x 0 (0 y b 0 z c)的后的后侧 5 y 0 (0 x a 0 z c)的左的左侧 6 y b (0 x a 0 z c)的右的右侧 E-mail: E-mail: 练习练习解解E-mail: E-mail: 解解 1和和 2在在xoy面上的投影区域都是面上的投影区域都是 Dxy: x2 y21 (x
7、 0 y 0)其中其中 是球面是球面x2 y2 z2 1外侧在外侧在x 0 y 0的部分的部分 E-mail: E-mail: 解解E-mail: E-mail: 解解 1 z=0； 2 x=0； 3 y=0； 4 x+y+z=1当当 取外取外侧时， 1 取下取下侧； 2 取后取后侧； 3 取左取左侧； 4 取正取正侧E-mail: E-mail: 解：如解：如图E-mail: E-mail: E-mail: E-mail: 三、两类曲面积分之间的联络E-mail: E-mail: 曲面曲面(取下取下侧) 由于由于 E-mail: 综合起来有：合起来有：其中其中cos 、cos 、cos 是有向曲面是有向曲面 上点上点(x y z)处的法向量的方向余弦处的法向量的方向余弦 E-mail: 两两类曲面曲面积分之分之间的的联络的向量方式的向量方式E-mail: 解解 由两由两类曲面曲面积分之分之间的关系，可得：的关系，可得：E-mail: E-mail: 在在对称称积分区域上被分区域上被积函数函数为奇函数，那么奇函数，那么积分分值为零。零。
