《八年级数学上册3.1勾股定理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《八年级数学上册3.1勾股定理（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、这是这是19551955年希腊为纪念一个数学学派发行的邮票年希腊为纪念一个数学学派发行的邮票. .新课导入P PR RQ Q正方形正方形P P的面积的面积正方形正方形Q Q的面积的面积正方形正方形R R的面积的面积A AB BC C9 91616？怎么求怎么求S SR R的大小？的大小？有几种方案？有几种方案？如图，小方格的边长为如图，小方格的边长为1.1.知识讲解勾股定理勾股定理知识点1P PQ QC C R R用用“补补”的方法的方法SRP PQ QC C R R用用“割割”的方法的方法Q QSRABC（图中每个小方格代表（图中每个小方格代表1个单位面积）个单位面积）（1 1）在图中，正方
2、形）在图中，正方形A A中含中含有有 个小方格，即个小方格，即A A的面积的面积是是 个单位面积个单位面积. . 正方形正方形B B的面积是的面积是_个个单位面积单位面积. . 正方形正方形C C的面积是的面积是_个单位面积个单位面积. .9 99 99 91818探究勾股定理探究勾股定理ABC （图中每个小方格代表（图中每个小方格代表1 1个单位面积）个单位面积）把正方形把正方形C C分割成若干分割成若干个直角边为整数的三角个直角边为整数的三角形来求形来求=18个单位面积个单位面积ABC（图中每个小方格代表（图中每个小方格代表1 1个单位面积）个单位面积）=18=18个单位面积个单位面积把正
3、方形把正方形C看成边长为看成边长为6的正方形面积的一半的正方形面积的一半ABCABC（图中每个小方格代表（图中每个小方格代表1个单位面积）个单位面积）图图1 1图2（2 2）在图）在图2 2中，正方形中，正方形A A，B B，C C中各含有多少个小方格中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？它们的面积各是多少？（3 3）你能发现图）你能发现图1 1中三个中三个正方形正方形A A，B B，C C的面积之间的面积之间有什么关系吗？图有什么关系吗？图2 2呢？呢？S SA A+S+SB B=S=SC C即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边
4、上的正方形的面积. .A AB BC C图图1 1A AB BC C图图2 2（1 1）观察图）观察图1 1、图、图2 2，并填，并填写下表：写下表： A A的面积的面积（单位面积）（单位面积） B B的面积的面积（单位面积）（单位面积） C C的面积的面积（单位面积）（单位面积）图图1 1图图2 216169 925254 49 91313 做一做做一做A AB BC C图图1 1A AB BC C图图2 2（2 2）右图中正方形）右图中正方形A,BA,B，C C的面积之间有的面积之间有什么关系？什么关系？S SA A+S+SB B=S=SC C即：两条直角边上的即：两条直角边上的正方形面积
5、之和等于正方形面积之和等于斜边上的正方形的面斜边上的正方形的面积积. . 中国古代把直角三角形中较短的直角中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾边叫做勾, ,较长的直角边叫做股较长的直角边叫做股，斜边叫斜边叫做弦做弦. . 据据周髀算经周髀算经记载，西周战国时期记载，西周战国时期（约公元前（约公元前1 1千多年）有个叫商高的人对千多年）有个叫商高的人对周公说，把一根直尺折成直角，两端连接周公说，把一根直尺折成直角，两端连接得一个直角三角形，如果勾是得一个直角三角形，如果勾是3 3，股是，股是4 4，那么弦等于那么弦等于5.5.3 34 45 5勾勾股股弦弦人们还发现，人们还发现， 在直角三角
6、形中，在直角三角形中，勾是勾是6 6，股是股是8 8，勾是勾是5 5，股是股是1212，弦一定是弦一定是1313， 是不是所有的直角三角形都有这个性质呢？世界上许是不是所有的直角三角形都有这个性质呢？世界上许多数学家，先后用不同方法证明了这个结论多数学家，先后用不同方法证明了这个结论. . 我国把它称我国把它称为勾股定理为勾股定理. .6 62 2=36,=36,8 82 2=64,=64,6 62 2+8+82 2=10=102 210102 2=100=100等等等等. . 5 52 2=25,=25,12122 2=144,=144,5 52 2+12+122 2=13=132 2131
7、32 2=169=169弦一定是弦一定是1010；勾股定理勾股定理如果直角三角形两直角边分别为如果直角三角形两直角边分别为a a，b,b,斜边为斜边为c c，那么，那么直角三角形两直角边的平方和等于直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方斜边的平方. .a ab bc c勾勾股股弦弦abcabcbacabc用两种方法表示大正方形的面积用两种方法表示大正方形的面积: :abcbcbcbcaaa对比两种表示方法对比两种表示方法, ,你得到勾股定理了吗你得到勾股定理了吗? ?我们用另外一种方法来说明勾股定理是正确的我们用另外一种方法来说明勾股定理是正确的1.1.设直角三角形的两条直角边长分别为设直角
8、三角形的两条直角边长分别为a a和和b b，斜边长为，斜边长为c c. .（1 1）已知）已知a a= =6 6，c c=10=10，求，求b b；（2 2）已知）已知a a=5=5，b b=12=12，求，求c c；（3 3）已知）已知c c=25=25，b b=15=15，求，求a a. .b=8c=13a=20即学即练即学即练2.2.如如图图，图图中中所所有有的的三三角角形形都都是是直直角角三三角角形形，四四边边形形都都是是正正方方形形. .已已知知正正方方形形A,B,C,DA,B,C,D的的边边长长分分别别是是1212，1616，9 9，1212，求求最最大大正正方方形形E E的面积的
9、面积. .解：根据图形正方形解：根据图形正方形E 的边长为的边长为: 故故E的面积为的面积为:252=625.勾股定理的证明勾股定理的证明知识点2命题命题如果直角三角形两直角边长分别为如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为，斜边长为c，那么，那么a2+b2=c2如何证明呢？如何证明呢？如图我国古代证明该命题的如图我国古代证明该命题的“赵爽弦图赵爽弦图”. .赵爽弦图赵爽弦图赵爽指出：按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四.以勾股之差自相乘为中黄实.加差实，亦成弦实.思考你是如何理解的？你是如何理解的？你会证明吗？你会证明吗？证明bbaaS=a2+b2acbacb小正方形的面积小正
10、方形的面积= (= (a a- -b b) )2 2即即c2=a2+b2.=c2-4 ab原命题是正确的，又因为该命题与直角三角形的边有关，原命题是正确的，又因为该命题与直角三角形的边有关，我国把它称为我国把它称为勾股定理勾股定理。你理解了吗？原命题是否正确？你理解了吗？原命题是否正确？ 提问小结世界上几个文明古国相继发现和研究过勾股定理，世界上几个文明古国相继发现和研究过勾股定理，据说其证据说其证明方法多达明方法多达400 400 多种，有兴趣的同学可以继续研究多种，有兴趣的同学可以继续研究. .1.1.作作 8 个全等的直角三角形个全等的直角三角形(2 条直角边长分别为条直角边长分别为 a
11、、b斜斜边边长长为为 c)再再作作3个个边边长长分分别别为为 a、b、c 的的正正方方形形把把它它们们拼拼成成两两个个正正方方形形(如如图图)你你能能利利用用这这两两个个图图形形验验证证勾勾股股定理吗定理吗? 写出你的验证过程写出你的验证过程.即学即练即学即练解解: :由图可知大正方形的边长为：由图可知大正方形的边长为：a a+ +b b则面积为则面积为( (a a+ +b b) )2 2，图，图中把大正方形的面积分成了四部分，分别是：边长为中把大正方形的面积分成了四部分，分别是：边长为a a的的正方形，边长为正方形，边长为b b的正方形，还有两个长为的正方形，还有两个长为b b，宽为，宽为a
12、 a的长的长方形方形. .根据同一个图形面积相等，由左图可得根据同一个图形面积相等，由左图可得( (a a+ +b b) )2 2= =a a2 2+ +b b2 2+4+4 abab，由右图可得由右图可得( (a a+ +b b) )2 2= =c c2 2+4+4 ab.ab.所以所以a a2 2+ +b b2 2= =c c2 2. .1.1.在直角三角形中，满足条件的三边长可以是在直角三角形中，满足条件的三边长可以是 ( (写出一组即可写出一组即可) )【解析解析】答案不唯一，只要满足式子答案不唯一，只要满足式子a a2 2+b+b2 2=c=c2 2即可即可. .答案：答案：3 3，
13、4 4，5 5（满足题意的均可）（满足题意的均可） 随堂练习2. .在在RtRtABCABC中，两直角边长分别为中，两直角边长分别为3 3和和 ，则斜边长，则斜边长为为 .3. .在在RtRtABCABC中，若斜边长为中，若斜边长为 ，一条直角边的长，一条直角边的长为为2 2，则另一条直角边的长为，则另一条直角边的长为 .4. .在在RtRtABCABC中，中，C C=90=90，a a=6=6，c c=10=10，则，则b b= = .5.5.求斜边长求斜边长17 cm17 cm、一条直角边长、一条直角边长15 cm15 cm的直角三角形的面的直角三角形的面积积. .【解析解析】设另一条直角
14、另一条直角边长是是x cm.由勾股定理得由勾股定理得:152+ x2 =172，x2=172-152=289225=64，所以所以 x=8（负值舍去），舍去），所以另一直角所以另一直角边长为8 cm，直角三角形的面直角三角形的面积是是: (cm2).6.6.在在RtRtABCABC中，中，C C=90=90. .(1)(1)已知已知c c=25=25，b b=15=15，求，求a a；(2)(2)已知已知a a= = ，A A=60=60，求，求b b，c c. .通过本课时的学习，需要我们掌握：通过本课时的学习，需要我们掌握：勾股定理：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即课堂小结
