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1、数学物理方法学时：48， 学分：3.0教材：自编 教师：李丽Email： Tel: 62471434; 135940030262021/6/161数学物理方法复复变变函函数数论论数数学学物物理理方方程程特特殊殊函函数数计计算算机机辅辅助助（自自学学）2021/6/162复变函数论部分复变函数论部分2021/6/163复变函数论主要内容n n第一章、复数与复变函数第一章、复数与复变函数n n第二章、解析函数第二章、解析函数n n第三章、复变函数的积分第三章、复变函数的积分 n n第四章、复数级数第四章、复数级数n n第五章、留数第五章、留数n n第六章、第六章、Fourier、Laplace变换
2、变换2021/6/164教学参考书教学参考书2021/6/165习题参考书习题参考书2021/6/166网络资源网络资源n n图书馆电子资源图书馆电子资源 http:/202.202.36.190/source/serv3.htmhttp:/202.202.36.190/source/serv3.htmn nMITMIT开放课程开放课程 http:/ http:/ n数学物理方法数学物理方法- -电子科技大学精品课程电子科技大学精品课程 http:/202.115.21.138/wlxt/ncourse/Mathematic/web/Download.asp http:/202.115.21.
3、138/wlxt/ncourse/Mathematic/web/Download.aspn nComplex Analysis Project for Undergraduate Complex Analysis Project for Undergraduate StudentsStudents（推荐）（推荐）（推荐）（推荐） http:/math.fullerton.edu/mathews/complex.htmlhttp:/math.fullerton.edu/mathews/complex.htmln n数学世界数学世界 http:/ http:/ 数学物理方法是理工科类专业的一门重要
4、基础数学物理方法是理工科类专业的一门重要基础课，既是数学课程，又是物理课程，其教学目的课，既是数学课程，又是物理课程，其教学目的是进一步系统的提高和培养学生建立数理模型，是进一步系统的提高和培养学生建立数理模型，解决物理问题的能力。是用数学知识解决物理问解决物理问题的能力。是用数学知识解决物理问题的方法，首先先从数学知识开始讲起题的方法，首先先从数学知识开始讲起。引言引言2021/6/169第一章、复数与复变函数第一章、复数与复变函数n n学时：学时：4n n重点和要求重点和要求n n复数及其运算复数及其运算复数及其运算复数及其运算n n复变函数，区域，连续，极限复变函数，区域，连续，极限复变
5、函数，区域，连续，极限复变函数，区域，连续，极限n n作业作业n n习题一、习题一、11、14 、19、22（6，10） 26（1、4）、）、302021/6/16101-1 复数基本运算复数基本运算一、复数的表示法一、复数的表示法注意：复数的虚部是一个实数注意：复数的虚部是一个实数一个复数的共扼一个复数的共扼通常记做通常记做（物理学中常用中常用z*z*表示）表示）2021/6/16112.复数的几何表示复数的几何表示 实数组实数组(x,y)(x,y)与平面直角坐标系上的点与平面直角坐标系上的点 一一对应一一对应. .因此因此, ,复数复数z z也与平面直角坐标系上的点一一对应也与平面直角坐标
6、系上的点一一对应, ,这样的平面叫做复平面。两这样的平面叫做复平面。两个坐标轴分别叫做实轴和虚轴。个坐标轴分别叫做实轴和虚轴。 （具体图示参看课本具体图示参看课本）2021/6/1612主值主值argz的范围的范围(z=x+iy)：argz=其中补充内容补充内容幅角幅角应注应注意的意的问题问题2021/6/16133.复数的三角函数与指数函数表示复数的三角函数与指数函数表示2021/6/1614二、复数运算规则二、复数运算规则1. 复数的基本运算如果复数z的实部和虚部都等于零, 则复数等于零，记作 z=0。图示具体见教案图示具体见教案2021/6/16152. 复数的运算法则复数的运算法则20
7、21/6/1616共扼复数的性质：复数的乘法与除法的代数形式与指数形式的计算总结复数的乘法与除法的代数形式与指数形式的计算总结可见复数的乘除法用指数形式方便2021/6/16173.复数的乘幂与方根复数的乘幂与方根(重点重点)具体见下页用指数形式求解用指数形式求解2021/6/1618 如果在复平面上画出这n个不同方根,它们就是以原点为中心,以r1/n为半径的圆的内接正n边形的n个顶点 .k=0,1,2.n-12021/6/1619For example!解：1、先把代数式化为指数式因为-1的辐角为，而模为8。2、根据公式可得2021/6/16204、方根的图示、方根的图示2021/6/162
8、1三、例题三、例题1、2、3、4见课本见课本2021/6/1622四、复数的无穷远点四、复数的无穷远点四、复数的无穷远点四、复数的无穷远点在实变函数微积分学中的在实变函数微积分学中的只是一个符号而已只是一个符号而已。而复球面上的无穷远点复球面上的无穷远点 却是一个完全确定的点，却是一个完全确定的点，并且只有一个无穷远点并且只有一个无穷远点。补充一些内容补充一些内容具体见课本具体见课本2021/6/16232021/6/1624n n无穷远点：复平面上模为无穷大的点涉及无穷大的复数运算：n n确定值（条件是？）n n不确定值复数的无穷远点复数的无穷远点2021/6/1625本节总结与注意1、掌握
9、书上的例题，并且会举一反三。例题1要根据复数的模的基本性质证明。例题2要记住结论。例题3此类题目用z=x+iy代入方程化简即可。3、2、复数的幂和根式的求法（见例题4）重点内容重点内容 首先要求把复数的代数形式化为极坐标形式，找出模与幅角的主值。2021/6/1626n n定义： 对于复平面的点集对于复平面的点集E E，它的每个点，它的每个点z z都有一个或多个点都有一个或多个点通过确定的关系与之对应。则称通过确定的关系与之对应。则称为为z z的复变函数，记的复变函数，记作：作： = =f f( (z z), z), zE E E E叫做叫做定义域定义域。n n复变函数可以看做两个实二元函数有
10、序组合n n= =f f( (z z)=u(x,y)+iv(x,y),)=u(x,y)+iv(x,y),n n复变函数有单值函数单值函数和多值函数多值函数之分n n复变函数研究的重点是解析函数一、复变函数的定义一、复变函数的定义1.2 复变函数复变函数画图说明2021/6/1627n n邻域：邻域：|z-z|z-z0 0|，记做，记做(z(z0 0) )n n去心邻域去心邻域 0 0|z-z|z-z0 0|设设G G为复平面上的点集，为复平面上的点集， z z0 0为为G G内任意点内任意点n n内点：存在一个内点：存在一个(z(z0 0) )属于属于G G。n n开集：开集：G G上的点都是
11、内点上的点都是内点n n区域：区域：1 1）开集，）开集，2 2）连通）连通 （举例子在教案举例子在教案）n n区域的边界点：非内点区域的边界点：非内点n n区域的边界：所有边界点的集合（线条，点）区域的边界：所有边界点的集合（线条，点）n n闭区域：区域闭区域：区域边界边界n n区域有界：任意区域有界：任意 |z|z|00，必存在，必存在00使得在使得在0|z-z0|z-z0 0| 时，总有时，总有| |f f (z)-A|(z)-A| ，那么称，那么称A A是是f f(z)(z)的极限。记的极限。记作：作：四、复变函数的极限四、复变函数的极限注意：注意：1 1）f(z)在在z z0 0可以
12、没有定义。可以没有定义。 2 2）z z趋近于趋近于z z0 0的路径是任意的的路径是任意的, ,极限都是极限都是A.A. 3 3）z z沿不同路径趋近于沿不同路径趋近于z z0 0得到的极限不同得到的极限不同, , 表示表示f f (z(z0 0) )没有极限没有极限2021/6/1632 解释一下作业题2021/6/1633(2)、复变函数极限的基本定、复变函数极限的基本定理理复变函数与二元实变函数极限的区别在于复变函数复变函数与二元实变函数极限的区别在于复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)中包含两个二元实变函数中包含两个二元实变函数u(x,y)和和v(x.y).因因此有下面的定
13、理此有下面的定理:求复变函数的极限就是求两个二元实变函数的极限求复变函数的极限就是求两个二元实变函数的极限,因此具有相同因此具有相同的几何意义的几何意义. 因此可以证明因此可以证明,在存在极限在存在极限limz-z0f(z)=A, limz-z0g(z)=B的条件下的条件下, 下列极限运算法则对复变函数的极限运算也成立下列极限运算法则对复变函数的极限运算也成立:具体证明见课本2021/6/1634五、复变函数的连续五、复变函数的连续2021/6/1635n n定义定义：如果函数如果函数f f (z)(z)在在点点z z0 0有有极限极限有有定义定义且且相等相等，则，则称函数在称函数在z z0 0处连续。处连续。n n连续的等价条件连续的等价条件： f f (z)(z)实部和虚部分别在实部和虚部分别在z z0 0处连续处连续总结复变函数的连续总结复变函数的连续即即u(x,y)和和v(x,y)在在(x0, y0)处连续。处连续。2021/6/1636 结束语结束语若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！
