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1、知识归纳1集合的基本概念(1)某些指定的对象集在一起就成为一个集合其中每个对象叫做集合中的元素集合中的元素具有确定性、互异性和无序性三个特性(2)集合有三种表示方法：、还可以用区间来表示集合(3)集合中元素与集合的关系分为属于与不属于两种，分别用和来表示列举法描述法图示法2集合之间的关系(1)若集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，则称集合A是集合B的子集，记作.(2)不含任何元素的集合叫空集，用表示(3)由所有的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作AB.若xAB，则xA xB.(4)由所有的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记作AB.若xAB，则xA xB.(5)若已知全集U，集合A
2、U，则UAx|xU且xAAB属于集合A且属于集合B且属于集合A或属于集合B或3集合中的常用性质(1)AB，BA，则A B；AB，BC，则A C；(2)A，若A，则 A；(3)AAA，A，ABBA；(4)AAA，ABBA，AA；(5)AUA，AUA ；(6)ABAAB；(7)U(AB)(UA)(UB)；U(AB)(UA)(UB)；(8)ABAB AB.UAB误区警示1集合中元素的互异性如：设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P*Qx|xab，“”为通常的乘法运算，aP，bQ，若P0,2,4，Q1,2,6，则P*Q中元素的个数是 ( )A9B8C7D6解析：由题意可知P*Q0,2,4,8,12,2
3、4故选D.本题易形成错解：从P中选取元素a有3种选法，对于它的每一种选法，在Q中选取b有3种选法，共有339种，选A.(2)设Mx|f(x)0，Nx|g(x)0，则x|f(x)g(x)0为()AMBNCMN D以上都不对4解决集合的子集、交集、并集、补集关系问题时，要特别注意区间端点的值能否取到例 已知集合Ax|xa，Bx|1x2，且A(RB)R，则实数a的取值范围是()Aa1 Ba2解析：RBx|x1或x2，A(RB)R，a2.这里要特别注意a2能否取到你会求解下列问题吗？集合Ax|2xm，AB，则m的取值范围是_(2)若Bx|xm，AB，则m的取值范围是_(3)若Bx|xm5或x2m1，A
4、B，则m的取值范围是_答案：答案：(1)m0，B(x，y)|xyn0，那么点P(2,3)A(UB)的充要条件是()Am1且n5Bm1且n1且n5Dm5解析：PA，m1，又UB(x，y)|xyn0，PUB，n5，故选A.答案：A点评：一般地，若aA，则元素a一定满足集合A中元素的共同属性答案：B点评：函数值域构成的集合关系的讨论，一般应先求出其值域如果值域与整数有关，可将两集合中的元素找出它们共同的表达形式，利用整数的性质求解或用列举法讨论答案：B例3(09重庆)设Un|n是小于9的正整数，AnU|n是奇数，BnU|n是3的倍数，则U(AB)_.解析：U1,2,3,4,5,6,7,8，A1,3,
5、5,7，B3,6，AB1,3,5,6,7，得U(AB)2,4,8答案：2,4,8点评：集合的运算问题要依据交、并、补运算的定义求解(2010辽宁理，1)已知A，B均为集合U1,3,5,7,9的子集，且AB3，(UB)A9，则A()A1,3B3,7,9C3,5,9 D3,9解析：由题意知，A中有3和9，若A中有7(或5)，则UB中无7(或5)，即B中有7(或5)，则与AB3矛盾，故选D.答案：D例4已知全集IR，集合Mx|x|a，并且MIP，那么a的取值集合是()A2 Ba|a2Ca|a2 Da|a2解 析 ： M x|x|2 x| 2x2 IPx|xaMIP，a2，如下图数轴上所示故选C.答案
6、：C点评：1.一般地，在处理带参数的集合之间的关系时，要把所涉及的集合表示在数轴上，借助其直观性正确判定要特别注意是否包括分界点即a2.2集合运算与不等式的联系是近年来高考的主要题型(2010镇海中学)设全集U是实数集R，集合Mx|x240，Nx|(x2)21，则图中阴影部分所表示的集合是()Ax|2x1Bx|1x2Cx|2x1Dx|x3解析：Venn中的阴影部分在集合M中，不在集合N中，故所表示的集合为MUN.M x|x2 40 x| 2x2， N x|(x2)21x|1x3，MUNx|2x1，故选A.答案：A例5已知集合M(x，y)|y1k(x1)，x，yR，集合N(x，y)|x2y22y
7、0，x，yR，那么MN中()A不可能有两个元素B至多有一个元素C不可能只有一个元素D必含无数个元素解析：y1k(x1)表示经过定点(1,1)，斜率为k的直线，不包括通过(1,1)与x轴垂直的直线即x1.x2y22y0，可化为x2(y1)21，表示圆心在(0,1)半径等于1的圆，又(1,1)是圆上的点，直线与圆有两个交点，故选C.答案：C点评：集合与平面解析几何结合是高考的又一热点，这类题型一般以集合为载体考查解析几何基本图形的性质及相互之间的关系，解题关键是抓住表达式的几何意义答案：A答案：C点评：该题立意新颖，背景公平对考生的思维能力和分析解决问题能力有较高的区分度解析：结合题设的定义，逐一
8、判断，可知正确整数集是数域；若有理数集QM，则数集M必为数域；数域必为无限集；答案：存在无穷多个数域其中正确命题的序号是_(把你认为正确命题的序号都填上)答案：例7集合A一条边长为2，一个角为30的等腰三角形，则集合A的子集的个数为()A4 B16C15 D无数个分析：首先搞清集合A中元素个数n，然后根据公式2n求出子集个数解析：边长为2的边是等腰三角形的底边时，30的角可以是三角形的底角，也可以是顶角故这样的三角形有两个边长为2的边是等腰三角形的腰长时，30的角可以是三角形底角，也可以是顶角，故这样的三角形也有两个故适合条件的三角形共有4个所以子集个数为2416个选B.答案：B总结评述：关于
9、有限集的子集个数有如下结论：(1)若Aa1，a2，an，则A的子集个数为2n，其中含有m(mn)个元素的子集个数为Cnm个，A的真子集个数为2n1，A的非空真子集个数为2n2个(2)若a1，a2，amAa1，a2，am，am1，an，则A的个数为2nm个，若a1，a2，amAa1，a2，am，am1，am则A的个数为2nm1个，若a1，a2，amAa1，a2，am，am1，an则A的个数为2nm2个(3)若a1，a2，amBa1，a2，am，am1，an，则B的个数为2m个已知集合1,2,3，100的两个子集A、B满足：A与B的元素个数相同，且AB为空集若nA时，总有2n2B，则集合AB的元素
10、个数最多为()A62 B66 C68 D74解析：若24到49属于A，则50至100的偶数属于B满足要求，此时AB已有52个元素；集合A取1到10的数时，集合B取4到22的偶数，由于AB，4,6,8A，此时AB中将增加14个元素，AB中元素个数最多有521466个答案：B一、选择题1已知集合A1,3,5,7,9，B0,3,6,9,12，则AB()A3,5 B3,6C3,7 D3,9答案D解析A1,3,5,7,9，B0,3,6,9,12，A和B中有相同的元素3,9，AB3,92(文)(09辽宁)已知集合Mx|3x5，Nx|x5，则MN()Ax|x3 Bx|5x5Cx|3x3 Dx|x5答案A解析
11、由题意画出数轴可知，MNx|x3(理)已知集合PQa，b，PQa，b，c，d，则符合条件的不同集合P，Q有()A3对B4对C5对D6对答案B解析根据交集、并集的概念知，集合P，Q中必有元素a，b，然后逐一选择元素c，d与元素a，b构成不同的集合P，Q.集合P，Q分别为：a，b和a，b，c，d；a，b，c和a，b，d；a，b，d和a，b，c；a，b，c，d和a，b，共4对故选B.点评Pa，b，Qa，b，c，d与Pa，b，c，d，Qa，b是不同的3(2010山东滨州)集合A1,0,1，By|ycosx，xA，则AB()A0 B1C0,1 D1,0,1答案B解析 cos01，cos(1)cos1，B
12、1，cos1，AB14(已知全集U1,2,3,4,5,6,7,8，M1,3,5,7，N5,6,7，则U(MN)()A5,7 B2,4C2,4,8 D1,3,5,6,7答案C解析MN1,3,5,6,7，U(MN)2,4,8，故选C.二、填空题5设全集为R，Ax|x26x50，Bx|x3|0x|x5或x4，3a075Bx|3axa3，ABR.三、解答题6设集合Ax|x23x20，Bx|x22(a1)x(a25)0(1)若AB2，求实数a的值；(2)若ABA，求实数a的取值范围解析(1)A1,2，AB2，2B，44(a1)(a25)0，a1或3.(2)ABA，BA，由4(a1)24(a25)8(a3
13、)0得，a3.当a3时，B2，符合题意；当a3时，1，y2x2，B(2，)，AB(2,32已知集合P4,5,6，Q1,2,3，定义PQx|xpq，pP，qQ，则集合PQ的所有真子集的个数为()A32 B31C30 D以上都不对答案B解析由所定义的运算可知PQ1,2,3,4,5，PQ的所有真子集的个数为25131.故选B.3(09北京)设D是正P1P2P3及其内部的点构成的集合 ， 点 P0是 P1P2P3的 中 心 若 集 合 S P|PD，|PP0|PPi|，i1,2,3，则集合S表示的平面区域是()A三角形区域 B四边形区域C五边形区域 D六边形区域答案D解析依题意，由PD且|PP0|PP1|知，点P的轨迹为线段P1P0的垂直平分线A1A2.故由|PP0|PP1|知点P在直线A1A2上及其含P0的一侧，同理由|PP0|PP2|及|PP0|PP3|知，S表示的平面区域为如图所示的六边形A1A2B1B2C1C2及其内部
